函数的周期性(基础复习习题练习)

课题：函数的周期性

考纲要求：

了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.

教材复习

()1 周期函数：对于函数()y f x =，如果存在非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的

一个周期.

()2最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中 的正数，那么这个最

小正数就叫作()f x 的最小正周期. 基本知识方法

1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，

则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：

函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,

① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；

③()()

1

f x a f x +=±

，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；

⑤1()

()1()

f x f x a f x -+=

+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.

⑥1()

()1()

f x f x a f x -+=-

+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

⑦1()

()1()

f x f x a f x ++=

-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.

⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为

4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.

⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；

⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；

⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；

3.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x 恒有()()f x T f x +=;

二是能找到适合这一等式的非零常数T ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.

4.解决周期函数问题时，

要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值.

问题1．(06山东)已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的

值为 .A 1- .B 0 .C 1 .D 2

问题2．()1(00上海) 设()f x 的最小正周期2T =且()f x

它在区间[]0,1上的图象如右图所示的线段AB ,则在区间[]1,2上,

()f x =

()2已知函数()f x 是周期为2的函数，当11x -<<时，2()1f x x =+，

当1921x << 时，()f x 的解析式是

()3 ()x f 是定义在R 上的以2为周期的函数，对k Z ∈，用k I 表示区间(]21,21k k -+，

已知当0x I ∈时，()2

f x x =，求()x f 在k I 上的解析式。

问题3．()1（04福建）定义在R 上的函数()x f 满足()()2+=x f x f ，当[]5,3∈x 时，

()42--=x x f ，则 .A sin cos 66f f ππ⎛⎫⎛

⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭； .B ()()sin1cos1f f >；

.C 22cos sin 33f f ππ⎛⎫⎛

⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭ .D ()()cos2sin 2f f >

()2（05天津文） 设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减， 且()y f x =的图像关于直线3x =对称，则下面正确的结论是 .A (1.5)(3.5)(6.5)f f f << .B (3.5)(1.5)(6.5)f f f << .C (6.5)(3.5)(1.5)f f f << .D (3.5)(6.5)(1.5)f f f <<

问题4．定义在R 上的函数()x f ，对任意R x ∈，有()()()()y f x f y x f y x f 2=-++，

且()00≠f ，()1求证：()10=f ；()2判断()x f 的奇偶性；

()3若存在非零常数c ,使02=⎪⎭

⎫

⎝⎛

c f ，①证明对任意R x ∈都有()()x f c x f -=+成立； ②函数()x f 是不是周期函数，为什么？

问题5．（01全国）设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称，对任

意的121,0,2

x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

，都有1212()()()f x x f x f x +=⋅.

()1设(1)2f =，求1(

)2f 、1

()4f ；()2证明：()f x 是周期函数. ()3记⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+=n n f a n 212，求lim(ln )n n a →∞.