中考数学复习二次函数专项易错题及答案
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中考数学复习二次函数专项易错题及答案
一、二次函数
1.已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值?
(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣1
2
x2+2x+6;(2)当t=3时,△PAB的面积有最大值;
(3)点P(4,6).
【解析】
【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可得;
(2)作PM⊥OB与点M,交AB于点N,作AG⊥PM,先求出直线AB解析式为y=﹣x+6,
设P(t,﹣1
2
t2+2t+6),则N(t,﹣t+6),由
S△PAB=S△PAN+S△PBN=1
2
PN•AG+
1
2
PN•BM=
1
2
PN•OB列出关于t的函数表达式,利用二次函数
的性质求解可得;
(3)由PH⊥OB知DH∥AO,据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°,结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形,则∠EDP=45°,从而得出点E与点A重合,求出y=6时x的值即可得出答案.
【详解】(1)∵抛物线过点B(6,0)、C(﹣2,0),
∴设抛物线解析式为y=a(x﹣6)(x+2),
将点A(0,6)代入,得:﹣12a=6,
解得:a=﹣1
2
,
所以抛物线解析式为y=﹣1
2
(x﹣6)(x+2)=﹣
1
2
x2+2x+6;
(2)如图1,过点P作PM⊥OB与点M,交AB于点N,作AG⊥PM于点G,
设直线AB 解析式为y=kx+b ,
将点A (0,6)、B (6,0)代入,得:
6
60b k b =⎧⎨
+=⎩
, 解得:16k b =-⎧⎨=⎩
,
则直线AB 解析式为y=﹣x+6,
设P (t ,﹣
12
t 2
+2t+6)其中0<t <6, 则N (t ,﹣t+6),
∴PN=PM ﹣MN=﹣
12t 2+2t+6﹣(﹣t+6)=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣1
2
t 2+3t , ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN•AG+1
2PN•BM =1
2
PN•(AG+BM ) =
1
2PN•OB =12×(﹣1
2t 2+3t )×6 =﹣3
2t 2+9t
=﹣32(t ﹣3)2+272
,
∴当t=3时,△PAB 的面积有最大值; (3)如图2,
∵PH ⊥OB 于H , ∴∠DHB=∠AOB=90°, ∴DH ∥AO , ∵OA=OB=6, ∴∠BDH=∠BAO=45°, ∵PE ∥x 轴、PD ⊥x 轴, ∴∠DPE=90°,
若△PDE 为等腰直角三角形, 则∠EDP=45°,
∴∠EDP 与∠BDH 互为对顶角,即点E 与点A 重合,
则当y=6时,﹣
12
x 2
+2x+6=6, 解得:x=0(舍)或x=4, 即点P (4,6).
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题,涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等,熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.
2.如图,抛物线y =12
x 2
+bx ﹣2与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于C 点,且A (﹣1,0).
(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标; (2)判断△ABC 的形状,证明你的结论;
(3)点M 是抛物线对称轴上的一个动点,当MC +MA 的值最小时,求点M 的坐标.
【答案】(1)抛物线的解析式为y =
213x -22x ﹣2,顶点D 的坐标为 (3
2,﹣258
);(2)△ABC 是直角三角形,证明见解析;(3)点M 的坐标为(32,﹣5
4
). 【解析】 【分析】
(1)因为点A 在抛物线上,所以将点A 代入函数解析式即可求得答案;
(2)由函数解析式可以求得其与x 轴、y 轴的交点坐标,即可求得AB 、BC 、AC 的长,由勾股定理的逆定理可得三角形的形状;
(3)根据抛物线的性质可得点A 与点B 关于对称轴x 3
2
=
对称,求出点B ,C 的坐标,根据轴对称性,可得MA =MB ,两点之间线段最短可知,MC +MB 的值最小.则BC 与直线
x 3
2=
交点即为M 点,利用得到系数法求出直线BC 的解析式,即可得到点M 的坐标. 【详解】
(1)∵点A (﹣1,0)在抛物线y 212x =+bx ﹣2上,∴2112
⨯-+()b ×(﹣1)﹣2=0,解得:b 32=-,∴抛物线的解析式为y 213
22
x =-x ﹣2. y 21322x =
-x ﹣212=(x 2﹣3x ﹣4 )21325228x =--(),∴顶点D 的坐标为 (325
2
8
,
-). (2)当x =0时y =﹣2,∴C (0,﹣2),OC =2. 当y =0时,213
22
x -x ﹣2=0,∴x 1=﹣1,x 2=4,∴B (4,0),∴OA =1,OB =4,AB =5.
∵AB 2=25,AC 2=OA 2+OC 2=5,BC 2=OC 2+OB 2=20,∴AC 2+BC 2=AB 2.∴△ABC 是直角三角形.
(3)∵顶点D 的坐标为 (3
2528,
-),∴抛物线的对称轴为x 32
=. ∵抛物线y 12=
x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ,B 两点,∴点A 与点B 关于对称轴x 3
2
=对称. ∵A (﹣1,0),∴点B 的坐标为(4,0),当x =0时,y 213
22
x =-x ﹣2=﹣2,则点C 的坐标为(0,﹣2),则BC 与直线x 3
2
=
交点即为M 点,如图,根据轴对称性,可得:MA =MB ,两点之间线段最短可知,MC +MB 的值最小.
设直线BC 的解析式为y =kx +b ,把C (0,﹣2),B (4,0)代入,可得:2
40b k b =-⎧⎨
+=⎩
,