四川省射洪中学校2020-2021学年高三上学期第二次月考数学(理)试题

四川省射洪中学校2020—2021学年高二数学上学期第二次月考试题 理（无答案） 注意事项： 1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。

回答非选择题时, 将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

3. 考试结束后, 将答题卡交回。

第I 卷（选择题）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求）1．直线320x y +-=的倾斜角为（ ）A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°2． 一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形，且直观图O A B C ''''的面积为1，则原梯形的面积为（ ）A. 1B. 2C. 2D. 223．已知两条直线,a b ，两个平面,αβ，下面四个命题中不正确的是（ ）A ．,//,a b a b ααββ⊥⊂⇒⊥B ．//,//,a b a b αβαβ⊥⇒⊥C ．//,a b b a ββ⊥⇒⊥D ．//,////a b a b αα⇒4.如图,在四面体OABC 中, D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ）A 111333OA OB OC ++ B. 111234OA OB OC ++ C. 111244OA OB OC ++D. 111446OA OB OC ++ 5. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，BC ＝2，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与A 1C 所成的角为( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．24＋9πB ．12＋9πC ．12＋5πD ．24＋4π7. 已知点A （2，-3），B （3，2），直线ax +y +2=0与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4132a -<<B ．12a >或43a <-C ．4132a -≤≤D ．12a ≥或43a ≤- 8．如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ； ②△BAC 是等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥； ④平面ADC ⊥平面ABC ．其中正确的是( )A ．①②④ B．①②③ C．②③④ D ．①③④9．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( )A.345B.365C.283D.32310. 已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD ＝2AB ＝12，则该球的表面积为( )A ．643π B．96π C．192π D．48π11. 设m ∈R ，过定点A 的动直线x +my ＝0和过定点B 的动直线mx ﹣y ﹣m +2＝0交于点P （x ，y ），则的最大值是( )A. B. C.D.12. 如图，正方体绕其体对角线旋转之后与其自身重合，则的值可以是（ ）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡横线上)13. 若直线1:2100l ax y +-=与直线()2:2350l x a y +++=平行，则1l 与2l 之间的距离为 ▲ ．14． 已知x ，y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则z ＝2x +y 的最大值为 ▲ .15. 已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AD 的中点，则过点1B 且与平面1A BE 平行的平面截正方体的截面面积为 ▲ .16． 在三棱锥A-BCD 中，AC ＝BD ＝3，AD ＝BC ＝4，AB ＝CD ＝m ，则m 的取值范围是 ▲ .三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（10分）在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD 的顶点()1,2A -和(5,4)C ，AB 所在直线的方程为30x y -+=.（1） 求对角线BD 所在直线的方程；（2） 求AD 所在直线的方程.▲18.（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝1，BC ＝2.(1)求证：AF ⊥CD ；(2)若M 为线段BD 的中点，求证：平面CED ∥平面AMF .▲19.（12分）如图，已知点P 在圆柱OO 1的底面圆O 上，AB 为圆O 的直径，圆柱OO 1的侧面积为16π，OA ＝2，∠AOP ＝120°.(1)求三棱锥A 1－APB 的体积；(2)求直线A 1P 与底面PAB 所成角的正切值．▲20.（12分）已知在平面直角坐标系中，已知直线l ：（2+m ）x+（1-2m ）y+4-3m=0．（1）求证：不论m 为何实数，直线l 恒过一定点。

绝密★启用前四川省遂宁市射洪中学2021届高三年级上学期11月月考检测数学(理)试题2020年11月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合1228x M x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭,{}2log 1N x x =≤,则M N ⋃= A ．3,2 B ．[)3,2- C ．[]1,2 D ．(]0,2 2．设,命题：若,则有实根的否命题是 A ．若,则没有实根 B ．若,则没有实根 C ．若,则有实根 D ．若,则没有实根 3．角θ的终边与单位圆的交点的横坐标为12-,则tan θ的值为A ．3-．1± C ．3．34．设函数()ln ,1,1x x x f x e x ≤--⎧⎪=>-⎨⎪⎩,则()()2f f -的值为 A ．1e B ．2e C ．12 D ．25．函数的图象大致是A ．B ．C ．D ．6．α,β是两个平面,m ,n 是两条直线,则下列命题中错误的是A ．如果m n ⊥,m α⊥,n β⊥,那么αβ⊥B ．如果m α⊂,//αβ,那么//m βC ．如果l αβ=,//m α,//m β,那么//m lD ．如果m n ⊥,m α⊥,βn//,那么αβ⊥7．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为6的奇函数,且满足(1)1f =,(2)3f =,则(8)(5)f f -=A ．4-B ．2-C ．2D ．48．已知ABC ∆的一个内角为120︒,并且三边长构成公差为2的等差数列,则ABC ∆的周长为A ．15B ．18C ．21D ．249．设a b 、分别是两条异面直线12l l 、的方向向量,向量a b 、夹角的取值范围为A ,12l l 、所成角的取值范围为B ,则“A α∈”是“B α∈”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 10．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位长度,再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象,则下列说法正确的是A ．函数()g x 1B ．函数()g x 的最小正周期为π。

2021届四川省射洪中学校高三上学期第二次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{=A x y =，{}12B x x =-＜＜ ，则A B =（ ）A ．()1,1-B ．(]1,1-C ．[)1,2D ．()1,2【答案】C【解析】求出集合A 的范围，直接进行交集运算即可得解. 【详解】{{}==1A x y x =≥，故{}|12AB x x =≤<，故选：C. 【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了求函数定义域，在求集合时，注意描述对象的确定，属于简单题. 2．设311z i=-，则复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】化简311z i=-再根据复数的几何意义判定即可. 【详解】 因为3111122z i i ==--,所以复平面内z 对应的点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与几何意义,属于基础题型. 3．已知等比数列{a n }的公比为12，且a 2＝﹣2，那么a 6等于（ ） A ．12-B ．14-C ．16-D ．18-【答案】D【解析】根据等比数列通项公式求得6a . 【详解】由于{}n a 是等比数列，所以()446211228a a q ⎛⎫=⋅=-⨯=- ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题. 4．已知命题:0p x ∀≥，1x e ≥或sin 1x ≤，则p ⌝为（ ） A ．0x ∃<，1x e <且sin 1x > B ．0x ∃<，1x e ≥或sin 1x ≤ C ．0x ∃≥，1x e <或sin 1x > D ．0x ∃≥，1x e <且sin 1x >【答案】D【解析】利用全称命题的否定可得出命题p 的否定. 【详解】由全称命题的否定可知，命题p 的否定为:0p x ⌝∃≥，1x e <且sin 1x >.故选：D. 【点睛】本题考查全称命题否定的改写，要熟悉量词与结论的变化，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.5．已知α是第二象限角，()5sin 13πα-=，则()cos πα+=（ ） A ．1213-B ．513-C ．513D ．1213【答案】D【解析】根据诱导公式化简，及同角三角函数的基本关系，计算即可得出结果. 【详解】()5sin sin =13παα-=,α是第二象限角， 12cos =13α∴-, ()12cos cos 13παα∴+=-=. 故选：D【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数在化简求值中的应用，属于基础题.6．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】D【解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系. 【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：xy a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.7．函数()2cos x xf x x+=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先判断函数为奇函数，再求出()1f 即可判断 【详解】()()()()22cos cos x x x xf x f x xx-+-+-==-=--，则函数()f x 为奇函数，故排除A D ，， 当1x =时，()11cos10f =+>，故排除B ， 故选C ． 【点睛】本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值，属于基础题. 8．运行如图程序框图，则输出m 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】根据程序框图进行模拟运算即可．【详解】 a=16，a≤0否，21641a log m ，， a=4，a≤0否，2422a log m ，， a=2，a≤0否，2213a log m ，， a=1，a≤0否，2104alog m ，，a=0，a≤0是，输出m=4， 故选D ． 【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义．9．已知f(x)是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x 3－x ，则函数y ＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )． A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】当x ∈[0,2)时，由f(x)＝0可得x ＝0或x ＝1，即在一个周期内，函数的图象与x 轴有两个交点，在区间[0,6)上共有6个交点，当x ＝6时，也是符合要求的交点，故共有7个不同的交点．10．若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） A ．725B ．15C ．15-D ．725-【答案】D【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．11．已知1a >，设函数()4x f x a x =+-的零点为m ，()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的取值范围是 ( ) A ．(1,)+∞ B ．7(,)2+∞C ．(4,)+∞D ．9(,)2+∞【答案】A【解析】根据函数与方程将零点问题转化为交点问题，利用反函数图像关于y x =对称的性质，得到m n +的值，然后根据基本不等式得到所求的结果. 【详解】函数()4xf x a x =+-的零点是函数xy a =与函数4y x =-图象交点A 的横坐标m ，函数()log 4a g x x x =+-的零点是函数log a y x =与函数4y x =-图象交点B 的横坐标n ，由于相同底数的指数函数与对数函数互为反函数， 其图象关于直线y x =对称， 直线4y x =-与直线y x =垂直，故直线4y x =-与直线y x =的交点()2,2即是,A B 的中点，4m n ∴+=.()111114m n m n m n ⎛⎫∴+=++ ⎪⎝⎭1241m n n m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭≥，当且仅当2m n ==时，等号成立， 又m n ≠，所以等号无法取到， 因此11m n+的取值范围是()1,+∞ 故选A 项. 【点睛】本题考查函数与方程，反函数图像的性质，基本不等式求和的最小值，属于中档题. 12．已知{|()0}M f αα==，{|()0}N g ββ==，若存在M α∈，N β∈，使得||n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”.若2()21x f x -=-与2()e x g x x a =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为A ．214(,]e eB ．214(,]e eC ．242[,)e eD ．3242[,)e e【答案】B【解析】易知函数()f x 在R 上单调递增，且22(2)210f -=-=，所以函数()f x 只有一个零点2，故{2}M =.由题意知|2|1β-<，即13β<<，由题意，函数()g x 在(1,3)内存在零点，由2()e 0xg x x a =-=，得2e xa x =，所以2ex x a =，记2()((1,3))ex x h x x =∈，则222e e (2)()((1,3))(e )e x x x xx x x x h x x --==∈'，所以当(1,2)x ∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增；当(2,3)x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减.所以24()(2)e h x h ≤=.而1(1)eh =，391(3)e e h =>，所以214()(2)e e h x h <≤=，所以a 的取值范围为214(,]e e.故选B.点睛：本题通过新定义满足“1度零点函数”考查函数在给定区间内的零点问题，属于难题，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，将函数零点问题转化为2ex x a =，即求函数的值域问题，通过导数得单调性，得值域.二、填空题 13．e11dx x =⎰________. 【答案】1【解析】由于()'1ln x x=，利用微积分基本定理，直接求得定积分的值. 【详解】易知()'1ln x x =.故ee111ln |ln e ln11dx x x ==-=⎰.【点睛】本小题主要考查利用微积分基本定理求定积分的值.只需求得原函数，代入计算公式即可计算出定积分的值.属于基础题.14．函数()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递减，且为奇函数.若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是 ．【答案】[1,3]【解析】根据函数的奇偶性以及函数的单调性即可求出x 的范围即可． 【详解】因为f （x ）为奇函数，所以f （﹣1）＝﹣f （1）＝1，于是﹣1≤f （x ﹣2）≤1等价于f （1）≤f （x ﹣2）≤f （﹣1）， 又f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减， ∴﹣1≤x ﹣2≤1， ∴1≤x ≤3． 故答案为[]1,3 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，考查转化思想，属于基础题． 15．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ的值为______. 【答案】35【解析】利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值求出辅助角，再利用两角和的正、余弦公式求出cos θ的值． 【详解】对于函数()3cos 4sin 5sin()f x x x x ϕ=+=+， 其中，4cos 5ϕ=，3sin 5ϕ=．当x θ=时，函数取得最小值，∴5sin()5θϕ+=-，即sin()1θϕ+=-，∴cos()0θϕ+=．则43sin cos 15543cos sin 055θθθθ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3cos 5θ=-故答案为：35． 【点睛】本题主要考查辅助角公式，两角和的正、余弦公式，属于中档题．16．已知函数()2ln ,0,e x x m f x e x m x<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-仅有1个零点，则实数m 的取值范围为______. 【答案】(]0,e【解析】令()0g x =，得出()f x m e e =，令()()f x h x e=，将问题转化为直线m y e =与函数()y h x =的图象有且仅有1个交点，然后对m 与e 的大小进行分类讨论，利用数形结合思想得出关于实数m 的等式或不等式，即可求出实数m 的取值范围. 【详解】令()0g x =，则()f x m =，得()f x me e =，令()()ln ,0,x x mf x h x e e x m x <≤⎧⎪==⎨>⎪⎩， 则问题转化为直线my e =与函数()y h x =的图象有且仅有1个交点， 当m e =时，1m y e ==，此时函数()y h x =的图象与直线my e=只有1个公共点(),1e ，符合题意；当0m e <<时，01m e <<，若函数()y h x =的图象与直线my e=只有1个公共点， 则ln m em e m<<，如下图所示，显然m e e m <成立，下面解不等式ln m m e <，即ln 1m m e<， 构造函数()ln x F x x =，0x >，()1ln xF x x-'=，令()0F x '=，得x e =.当0x e <<时，()0F x '>，当x e =时，()0F x '<.所以，函数()y F x =在x e =处取得最大值，即()()max 1F x F e e==， 所以，当0m >且m e ≠时，不等式ln 1m m e<恒成立，此时，0m e <<. 当m e >时，1m e >，若函数()y h x =的图象与直线m y e =有1个交点，则有ln mm e≤，即ln 1m m e≥，由上可知，m e =（舍去）. 综上所述，0m e <≤. 故答案为：(]0,e . 【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，解题的关键就是对m 与e 的大小关系进行分类讨论，并利用数形结合思想得出不等关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.三、解答题17．已知函数2()23=++f x x ax ，[]4,6x ∈-． （1）当2a =-时，求()f x 的最值；（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]4,6-上是单调函数； 【答案】（1）最小值是1-，最大值是35.；（2）6a -或4a .【解析】（1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可； （2）求出函数的对称轴，得到关于a 的不等式，求出a 的范围即可． 【详解】解：（1）当2a =-时，22()43(2)1f x x x x =-+=--，由于[]4,6x ∈-，()f x ∴在[]4,2-上单调递减，在[]2,6上单调递增，()f x ∴的最小值是()21f =-，又(4)35,(6)15f f -==，故()f x 的最大值是35.（2）由于函数()f x 的图像开口向上，对称轴是x a =-，所以要使()f x 在[]4,6-上是单调函数，应有4a --或6a -，即6a -或4a . 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质，是一道中档题． 18．已知角α的终边经过点()12,5P -. （1）求sin α，cos α；（2）求()()()()cos 2cos 2sin 2cos f παπααπαα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=-+-的值. 【答案】（1）5sin 13α=-，12cos 13α=；（2）2919. 【解析】（1）先求出13OP =，再由三角函数定义可得5sin 13α=-，12cos 13α=； （2）由（1）可知5sin 13α=-，12cos 13α=，再结合诱导公式求得()2919f α=. 【详解】解：（1）由题意可得：13OP =，由角的终边上的点的性质可得5sin 13α=-，12cos 13α=； （2）由（1）可知5sin 13α=-，12cos 13α=，再结合诱导公式得：()()()()512cos 2cos 2sin 2cos 21313512sin 2cos sin 2cos 213121399f παπααααπαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+--+ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭====-+-+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2919fα=【点睛】本题考查根据角的终边上的点求三角函数值、根据诱导公式化简求值，是基础题. 19．已知函数ln()()x af x ax+=∈R.（1）若曲线()y f x=在点(1,(1))f处的切线与直线10x y--=平行，求a的值；（2）在（1）条件下，求函数()f x的单调区间和极值；【答案】（1）0（2）单调递增区间是(0,)e，单调递减区间是(,)e+∞，在x e=处取得极大值，为1e【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得()11f'=,解得a的值；（2）求出导函数零点,列表分析导函数符号变化规律,确定函数单调区间及极值试题解析：解：（1）函数(){}0,f x x x的定义域为所以()21ln.x af xx--='又曲线()()()1,1y f x f=在点处的切线与直线10x y--=平行，所以()111,0.f a a=-=='即（2）令()0,f x x e='=得当x变化时，()(),f x f x'的变化情况如下表：+ 0 —极大值由表可知：()f x的单调递增区间是()0,e，单调递减区间是(),e+∞所以()f x x e=在处取得极大值，()()ln.ef x f ee极大值==1e=20．某市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：API [0，50] （50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300] ＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数 4 13 18 30 9 11 15记某企业每天由于空气污染造成的经济损失为S（单位：元），空气质量指数API为ω，在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元．（1）试写出S（ω）表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？P（K2≥k c）0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 K c 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828K2=非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计100【答案】（1）S（ω）=；（2）；（3）有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．【解析】试题分析：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元，可得函数关系式；（2）由500＜S≤900，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；（3）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论．试题解析：解：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元，可得S（ω）=；（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元”为事件A；由500＜S≤900，得150＜ω≤250，频数为39，∴P（A）=；（2）根据以上数据得到如表：非重度污染重度污染合计供暖季22 8 30非供暖季63 7 70合计85 15 100K2的观测值K2=≈4.575＞3.841所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．【考点】独立性检验.21．已知函数()()2ln 1f x ax x x ax a R =--+∈在定义域内有两个不同的极值点.（1）求实数a 的取值范围；（2）设两个极值点分别为1x ，2x ，且12x x <，证明：()()2212122f x f x x x +<-+.【答案】（1）2a e >；（2）证明过程见详解.【解析】（1）先求函数()f x 的定义域和导函数，接着令()()'()ln 20g x f x a x x x ==->，再将条件“函数()f x 在()0,∞+内有两个不同的极值点”转化为“函数()g x 在区间()0,∞+内至少有两个不同的零点”，接着利用导函数分0a ≤和0a >两种情况讨论求实数a 的取值范围； （2）先由（1）得方程组1122ln 2ln 2a x x a x x =⎧⎨=⎩将“()()2212122f x f x x x +<-+”转化为“22211ln 10x x x x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭”，再构造新函数()()2ln 11h t t t t =-+>，最后利用导函数判断函数()h t 在区间()1,+∞内单调递减，证明()()2212122f x f x x x +<-+.【详解】解：（1）由题意可知，()f x 的定义域为()0,∞+，且()ln 2f x a x x '=-， 令()()ln 20g x a x x x =->，则函数()f x 在()0,∞+内有两个不同的极值点()g x ⇔在区间()0,∞+内至少有两个不同的零点， 由()2a xg x x-'=可知， 当0a ≤时，()0g x '<恒成立，即函数()g x 在()0,∞+上单调，不符合题意，舍去； 当0a >时，由()0g x '>得02a x <<， 即函数()g x 在区间0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 由()0g x '<得，2a x >， 即函数()g x 在区间,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减；故要满足题意，必有ln 022a a g a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，解得2a e >， （2）证明：由（1）可知，1122ln 2ln 2a x x a x x =⎧⎨=⎩，则()221111111ln 11f x ax x x ax x ax =--+=-+，同理()22221f x x ax =-+所以()()2212122f x f x x x +<-+⇔()()2212122221121x ax x a x x x -+-+++<-⇔()21122ax x x <+， 因为1122ln 2ln 2a x x a x x =⎧⎨=⎩，两式相减得21212ln x x a x x -=， 所以()21122a x x x <+⇔22221121ln x x x x x -<， 不妨设120x x <<，则222222122221211111ln 1ln 10lnx x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-<⇔<-⇔-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 构造函数：()()2ln 11h t t t t =-+>，其中21x t x =由()2120t h t t-'=<，所以函数()h t 在区间()1,+∞内单调递减，所以()()10h t h <=，则22211ln 10x x x x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭所以()()2212122f x f x x x +<-+【点睛】本题考查根据极值点个数求参数范围、利用导函数研究函数的单调性、利用导函数证明不等式，还考查了转化的数学思想与分类讨论的数学思想，是偏难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，[)0,2θ∈π),曲线2C的参数方程为12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).（1）求曲线1C ，2C 的普通方程;（2）若曲线1C 上一点P 到曲线2C的距离的最大值为a .【答案】（1） 221:19x C y +=,2:0x a C -= （2）a =a =-.【解析】（1）根据三角函数平方关系消元得1C 的普通方程，根据加减消元法得2C 的普通方程；（2）先根据点到直线距离公式得点P 到2C 的距离，再根据a 的正负讨论其最大值取法，最后根据最大值求结果. 【详解】（1）221:19x C y +=，2:0x a C -=（2）设点()3cos ,sin P θθ，点P 到2C的距离d ==， 当0a ≥时，有sin 13πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，max 2a d ==，∴a = 当0a <时，有sin 13⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πθ时，max d ==a =-；综上，a =a =-【点睛】本题考查参数方程化普通方程以及利用椭圆参数方程求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.23．已知函数()1f x ax =+.（1）当1a =时，求不等式()213f x x +->的解集；（2）设()1g x x =+，若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集为R ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}11x x x <->或；（2）[]1,1-.【解析】（1）将1a =代入()1f x ax =+中，然后根据()213f x x +->，利用零点分段法解不等式即可，或构造函数()121h x x x =++-，利用函数图像解不等式； （2）由条件可知11ax x +≤+，然后分0a =和0a ≠两种情况，利用数形结合法得到关于a 的不等式，再求出a 的范围. 【详解】（1）当1a =时，有()3,111212,1213,2x x h x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩.解法一：作出函数()y h x =的图像，它与直线3y =的交点为()1,3A -，()1,3B ，所以原不等式的解集为{}11x x x <->或.解法二：原不等式133x x <-⎧⇔⎨->⎩或11223x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-+>⎩或1233x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩，解得1x <-或无解或1x >，所以原不等式的解集为{}11x x x <->或.（2）不等式()()f x g x ≤，即11ax x +≤+.（） 当0a =时，（）式11x ⇔≤+，恒成立；当0a ≠时，作出()1f x ax =+与()1g x x =+的图像，如图所示.则有1a ≤，于是11a -≤≤且0a ≠. 综上所述，a 的取值范围是[]1,1-. 【点睛】此题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属于中档题.。

四川省射洪中学校2020届高三数学上学期第二次月考试题文第I卷(选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）设集合，则1.B. A.D.C.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于2.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限函数的大致图像为 3.B. A.D. C.若，则 4. D. C. A.B.的一条渐近线方程为，则该双双曲线5.曲线的离心率为C. A.D. 2B.x?y?1?0??yz?x?y x0x?2y?的最大值为6.若满足，约束条件，则??x?2y?2?0?3?3D ．．．ABC．1?1 2- 1 -，“”是7.在已知偶函数上单调递增，则对实数“”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件C. 充要条件cm某几何体的三视图如右图所示，数量单位为，它的体积是8.932733cm A．． B cm2227393cm3 C．．D cm22部分，三条两两相交且429.平面内的一条直线将平面分成部分，两条相交直线将平面分成部分，…，则平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平7不共点的直线将平面分成面分成的部分数为D. 22A. 16B. 20C. 21有且仅有一个零点，则实数，10.的值为设函数 C. A.B. D.已知等差数列，则，=，11.，其前项和为 B. A. D. C.b?x?y2b有公共点，则12.若直线与曲线的取值范围是x4x?y?3?????,221?11?221?,22?． BA ．????????,21,2233?1?．． DC????分）第Ⅱ卷（非选择题共90分）分，满分20(本大题共4小题，每小题5二、填空题????????3?a11?,1f1,1faxx?x??处的切线过点，则 _______．13.的图象在点已知函数??0?）个单位后看，所得到的图象关（将函数14.的图象向左平移x3?cos2x sin)(fx?2?y的最小值为．于轴对称，则“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们15.- 2 -K，即从该数列的第三项数字开始，每个数字8，5，31，1，2，称之为神奇数．具体数列为????aaS的前为“斐波那契”数列，项和，为数列等于前两个相邻数字之和．已知数列若nn n a?MS?__________．(用则表示)M20182020的焦点，点，点是是抛物线上任意一点，当点：在时，16.已知取得最大值，时，当点在__________.则．取得最小值三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.（本大题满分12分），且.，，中，角在，，所对的边分别是（Ⅰ）求角；.（Ⅱ）若，求18.（本大题满分12分）为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据好下表：超过1小时不超过1小时（Ⅰ）求，；（Ⅱ）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？（Ⅲ）以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数.附：0.010 0.001 0.05010.8286.6353.841- 3 -19.（本大题满分12分）.如图所示，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，、、、.的中点、分别是棱、、（I）证明：四边形为矩形；，求点到平面）若平面的距离平面.（II分）（本大题满分20.12的距离的比是常数与定点，点的距离和它到直线：已知点的轨迹为.曲线（Ⅰ）求曲线的方程；交曲线于，两点，当点不在、两点时，直线，（Ⅱ）若直线：的.之积为定值，，求证：斜率分别为，21.12分）（本大题满分，其中已知函数.处取得极值，求实数的取值范围；（Ⅰ）若函数仅在有三个极值点，，（Ⅱ）若函数，求证：.如果多做，则按所做的第一题中任选一题作答23.分，请考生在第（二）选考题：共1022、. 题计分分）（：坐标系与参数方程选修22. [4-4]10- 4 -直线的参数方程为(为参数,倾斜角),曲线在直角坐标系中，C的参数方程为轴正半轴为极轴建立极坐为极点，(为参数,)，以坐标原点标系。

四川省射洪县射洪中学2019-2020学年高一数学上学期第二次月考试题（无答案）第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，，则图中阴影部分所表示的集合是（ {12345}U =，，，，}42{，=A }321{，，=B ）A. B. C. D.}4{{24}，}54{，}43,1{，2.函数的零点所在的大致区间是( )2()ln(1)f x x x=+- A. B. C. D.()0,1()1,2()2,3()3,43.设，，，则（ ）2log 21=a 31log 21=b 3.021⎪⎭⎫ ⎝⎛=c A. B. C. D.a c b <<a b c <<b c a <<b a c <<4.已知函数，则（ ）122,0()1log ,0x x f x x x +⎧≤=⎨+>⎩1((8f f =A. B. C. D.31212-135.若，，则下列点中，在角终边上的点是（ ）3sin 5α=4cos 5α=-αA. B. C. D.)4,3(-(3,4)--)3,4(-)3,4(-6.函数的单调递增区间是（ ）212()log (2)f x x x =-A. B. C. D.(1,)+∞(2,)+∞(,0)-∞(,1)-∞7.已知扇形的半径为cm ，面积为cm 2，则这个扇形的圆心角的弧度数为（ ）11 A. B. C. D.12348.偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）()f x (],0-∞(3)0f =()0f x x <A.B. C. D.()(),33,-∞-+∞ ()(),30,3-∞- ()()3,03,-+∞ ()3,3-9.函数的图象的大致形状是（ ）()ln 1f x x =-10.函数与在区间上都是减函数，则实数的取值范围为（ ）ax x y 22+-=1+=x a y []2,1a A. B. C. D.()()1,00,1-U ()(]1,00,1-U ()0,1(]0,111.函数，若关于的方程对任意都有三个不21,0(),0x e x f x x ax x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩x ()0f x m +=(0,1)m ∈相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）a A. B. C. D.(],2-∞-[)2,+∞[]2,2-(][),22,∞-∞-+ 12.函数，，若对任意的实数221,01()log (1),1x x x f x x x ⎧-+≤<=⎨+≥⎩2()21g x ax x a =++-，总存在实数，使得成立，则实数的取值范围为[)10,x ∈+∞2[0,)x ∈+∞12()()f x g x =a （ ）A. B. C. D.7(,]4-∞7[,)4+∞7[0,)47[0,]4二.填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.幂函数在上为减函数,则实数 221()(3)m f x m x+=-),0(+∞=m 14.函数的定义域为 ()f x =15.已知，则tan 2α=2sin cos sin 3cos αααα-=+16.给出定义:若(其中为整数),则叫做离实数最近的整数,记作1122m x m -<≤+m m x ,{}x 即.若函数，则下列结论正确的有{}x m =(){}f x x x =-①函数的定义域是,值域是；()f x R (]11,22-②点是函数的图象的对称中心；(),0,k k Z ∈()f x ③函数的最小正周期为； ()f x 1④函数在上是增函数；()f x (13,22-第Ⅱ卷三.解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）计算下列各式的值：（1（2）.7log 23log 27lg 252lg 27++-18.（本小题12分）已知集合，．12164x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭121log ,82B y y x x ⎧⎫==≤≤⎨⎬⎩⎭（1）求；B A （2）若，且，求实数的取值范围．{}11C x m x m =-≤≤+A C ⊆m 19.（本小题12分）（1）化简；()()()2sin 5cos 3tan cos sin 22παπαπππααα+-+⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）若，且，求的值．1sin 5cos αα+=(),2αππ∈tan α20.（本小题12分）已知函数是奇函数.()221x x n f x -+=+（1）求的值并判断的单调性；n ()f x （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2cos sin 20f x f a x +-≥a 围．21.（本小题12分）已知函数是定义在上的奇函数，当时,.()f x R 0x >()13xf x =-（1）求函数的解析式；()f x（2）当时，方程有解，求实数的取值范x ⎤∈⎦()()22log 10f a x f x +-=a 围．。

射洪中学高2021级补习班高三上期10月月考数学(理科)试题第I 卷(选择题共60分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上。

1.已知集合A =x ∈Z -1≤x ≤3 ，B =x x 2≤2 ，则A ∩B =()A.-1,2B.-1,0,1C.-1,0,1,2D.-2,32.若a >b >0，则一定有()A.cos a <cos bB.2a -2b <0C.1a >1bD.a 3>b 33.已知命题p ：∃x ∈R ，3ax 2+2ax +1≤0是假命题，则实数a 的取值范围是()A.-∞，0 ∪3，+∞B.-∞，0 ∪3，+∞C.0，3D.0，34.已知函数y =f x 的图像在点P 3，f 3 处的切线方程是y =-2x +7，则f 3 -f 3 =()A.-2B.2C.-3D.35.函数f (x )=e x -1e x +1⋅sin x 在区间-π2，π2上的图象大致为()A B C D6.函数f x =12-2π4-x cos 的单调递增区间是()A.2k π-π2，2k π+π2 ，k ∈Z B.2k π+π2，2k π+3π2，k ∈Z C.k π+π4，k π+3π4，k ∈Z D.k π-π4，k π+π4，k ∈Z 7.已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)A >0,ω>0,|φ|<π2的大致图像如图所示，将函数f (x )的图像向右平移π2后得到函数g (x )的图像，则g 5π12 =()A.22B.-22C.62D.-628.已知函数f (x )=ln 9x 2+1-3x +x +1，若a ，b ∈R ，a +b =2023，则f b -2025 +f a +2 =()A.12B.2C.94D.49.已知tan2α-tan α ⋅cos2α=2，则tan α=()A.2B.2C.-2D.1210.已知函数f (x )满足f (x +3)=-f (x )，当x ∈[-3,0)时，f (x )=2x +sinπx 3，则f (2023)=()A.14-32B.-14C.34D.-14+3211.当0<x ≤19时，x <log a x (a >0且a ≠1)恒成立，则实数a 的取值范围为()A.(3,9)B.1729,1C.116,1D.43,+∞12.若关于x 的不等式xe x -2ax +a <0的非空解集中无整数解，则实数a 的取值范围是()A.25e 2,13eB.13e ,e4eC.13e ,eD.e 4e ,e第II 卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知幂函数f (x )的图象过点(2,4)，且f (a )=14，则a 的值为．14.复数z =21+i的共轭复数z =.15.已知倾斜角为θ的直线l 与直线x +2y +1=0垂直，则sin θ+3cos θsin θ-cos θ=．16.对于函数f x =sinπx ,x ∈0,212f x -2 ,x ∈2,+∞，有下列4个命题：①任取x 1,x 2∈0,+∞ ，都有f x 1 -f x 2 ≤2恒成立；②f x =2kf x +2k k ∈N * ，对于一切x ∈0,+∞ 恒成立；③函数y =f x -ln x -1 有3个零点；④对任意x >0，不等式f x ≤2x恒成立.则其中所有真命题的序号是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.本小题12分已知集合A ={x |x -5<2x <x -2}，集合B ={x |2m +3≤x ≤m +1}．(1)当m =-4时，求∁R A ∪B ；(2)当B 为非空集合时，若x ∈B 是x ∈A 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18.本小题12分已知函数f x =sin ωx +φ ω>0,0<φ<π 的图象相邻两最高点的距离为π，且有一个对称中心为π3,0 ．(1)求ω和φ的值；(2)若f θ-π6 =223，且π8<θ<π4，求f θ 的值．19.本小题12分已知x =2是函数f (x )=ax 3+cx 的极值点，且曲线f (x )在点(1,f (1))处的切线斜率为-9．(1)求函数f (x )的解析式；(2)设g (x )=mx +5(m >0)，若对任意x 1∈[-1,3]，总存在x 2∈[-1,3]，使得g x 1 =f x 2 成立，求实数m 的取值范围．20.本小题12分已知f (x )=3sin (π+x )sin x -π2+cos 2π2+x -12(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )=1，a =2，求△ABC 面积的最大值.21.本小题12分已知函数f (x )=xe tx -e x +1，其中t ∈R ，e =2.71828⋯是自然对数的底数.(1)当t =0时，求函数f (x )的最大值；(2)证明：当t <1-1e时，方程f (x )=1无实根；(3)若函数f (x )是(0,+∞)内的减函数，求实数t 的取值范围.(二)选考题22.本小题10分在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x =2-3ty =t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 极坐标方程为：ρsin 2θ=6cos θ．(1)求直线l 普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)过点M 2,0 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，求AM +BM 的值．1.B 【详解】由A =x ∈Z -1≤x ≤3 射洪中学高2021级补习班高三10月月考数学(理)试题答案，可得A =-1,0,1,2,3 ，由B =x x 2≤2 ，可得B =x -2≤x ≤2 ，所以A ∩B =-1,0,1 .故选：B2.D 【详解】对于A ，∵y =cos x 在π,2π 上单调递增，∴当2π>a >b >π时，cos a >cos b ，A 错误；对于B ，∵y =2x 在0,+∞ 上单调递增，∴2a >2b ，即2a -2b >0，B 错误；对于C ，∵y =1x 在0,+∞ 上单调递减，∴1a <1b，C 错误；对于D ，∵y =x 3在0,+∞ 上单调递增，∴a 3>b 3，D 正确.故选：D .3.D 【详解】由题意得¬p 是真命题，即∀x ∈R ，3ax 2+2ax +1>0，当a =0时，1>0符合题意；当a ≠0时，有a >0，且Δ=(2a )2-4⋅3a <0，解得0<a <3.综上所述，实数a 的取值范围是0,3 .故选:D .4.D 【详解】函数f x 的图像在点P 3,f 3 处的切线的斜率就是在该点处的导数，即f 3 就是切线y =-2x +7的斜率，所以f 3 =-2.又f 3 =-2×3+7=1，所以f 3 -f 3 =1--2 =3.故选：D5.A 【详解】∵f (x )-f -x =e x -1e x +1⋅sin x -e -x -1e -x +1⋅sin -x =e x -1e x +1+1-e x1+e x sin x =0，即f (x )=f -x ，∴f (x )为偶函数；又∵当x ∈0,π2时，则sin x >0,e x >e 0=1，故e x +1>0,e x-1>0，∴f (x )>0；综上所述：A 正确，B 、C 、D 错误.故选：A .6.C7.A 【详解】依题意，A =2，T 4=7π12-π3=π4，故T =π，故ω=2ππ=2，故f (x )=2sin (2x +φ)，将7π12,-2 代入可知，2×7π12+φ=3π2+2k π(k ∈Z )，解得φ=π3+2k π(k ∈Z )，故f (x )=2sin 2x +π3 ，故g (x )=f x -π2 =2sin 2x -2π3 ，则g 5π12 =2sin π6=22故选：A .8.B 【详解】∀x ∈R ，9x 2+1>3x ≥3x ，则9x 2+1-3x >0恒成立，又因为f x +f -x =ln 9x 2+1-3x +ln 9x 2+1+3x +x -x +2=ln 9x 2+1-9x 2 +2=2，因为a +b =2023，则b -2025 +a +2 =0，因此，f b -2025 +f a +2 =2.故选：B 9.A 【详解】因为tan2α-tan α ⋅cos2α=2，所以sin2αcos2α-tan α⋅cos2α=2，所以sin2α-sin αcos α⋅cos2α=2，即2sin αcos α-sin αcos α⋅2cos 2α-1 =2，即2sin αcos α-2sin αcos α+sin αcos α=2，即sin αcos α=tan α=2.故选：A10.D 【详解】因为f x +6 =-f x +3 =f x ，所以f x 是以6为周期的函数，所以f 2023 =f 337×6+1 =f 1 =f -2+3 =-f -2 =-2-2+sin -2π3 =-14+32.11.B 【详解】由x <log a x 在0,19上恒成立，得0<a <1，令f (x )=x -log a x ，则f (x )在0,19 上为增函数，所以由f 19 <0，得a >1729．又因为0<a <1，所以1729<a <1，故选：B12.B 【详解】原不等式可化为2ax -a >xe x ，设f x =2ax -a ,g x =xe x ，则直线f x =2ax -a 过定点12,0，由题意得函数g x =xe x 的图象在直线f x =2ax -a 的下方．∵g x =xe x ，∴g x =x +1 e x ．设直线f x =2ax -a 与曲线g x =xe x相切于点m ,n ，则有{2a =m +1 e m me m =2am -a，消去a 整理得2m 2-m -1=0，解得m =-12或m =1(舍去)，故切线的斜率为2a =-12+1 e -12=12e -12=e 2e ，解得a =e4e．又由题意知原不等式无整数解，结合图象可得当x =-1时，f -1 =-3a ,g -1 =-e -1，由f -1 =g -1 解得a =13e，当直线f x =2ax -a 绕着点12,0 旋转时可得13e ≤a <e 4e，故实数a 的取值范围是13e ,e 4e．选B ．13.-12或12【详解】根据题意可设f x =x m ,m ∈R ，由题可知2m =4，解得m =2，则f x =x 2，又f a =14，即a 2=14，解得a =-12或12.故答案为：-12或12.14.1+i【详解】因为z =21+i =21-i 1+i 1-i=21-i 2=1-i ，所以z=1+i ，故答案为：1+i 15.【答案】516.【详解】对于①,如图:任取x 1,x 2∈0,+∞当x 1,x 2∈0,2 ,f x 1 -f x 2 =sinπx 1-sinπx 2 ≤2当x ∈2,+∞ ,f (x )=12f (x -2)=12nsin n π,n ∈N * ∴x 1,x 2∈0,+∞ ,f x 1 -f x 2 ≤2,恒成立故①正确.对于②,∵f (x )=12f (x -2)∴f (x +2k )=12kf (x )∴f (x )=2k f (x +2k )k ∈N * ,故②错误.对于③,f x =ln x -1 的零点的个数问题,分别画出y =f x 和y =ln x -1 的图像如图:1654321xyO∵y =f x 和y =ln x -1 图像由三个交点.∴f x =ln x -1 的零点的个数为:3.故③正确.对于④,设x ∈2k ,2k +2 ,k ∈N∵f x =sinπx ,x ∈0,212f x -2 ,x ∈2,+∞∴f (x )max =12k ,k ∈N 令g x =2x 在x ∈2k ,2k +2 ,k ∈N 可得:g x min =1k +1当k =0时,x ∈0,2 ,f (x )max =1,g x min =1,∴f (x )max ≤g x min ∵若任意x >2,不等式f x ≤2x 恒成立,即f (x )max ≤g x min ,可得1k +1≥12k 1654321xyO求证:当k ≥1,1k +1≥12k ,化简可得:2k ≥k +1，设函数T (k )=2k -k -1,则T (k )=2k ln2-1≥0∴当k ≥1时,T (k )单调递增,可得T (k )≥T (1)=0，∴T (k )=2k -k -1≥0∴2k ≥k +1即:1k +1≥12k ，综上所述,对任意x >0,不等式f x ≤2x恒成立.故④正确.故答案为:①③④.17.解：1 ∵A ={x |x -5<2x <x -2}，∴A ={x |-5<x <-2}．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分当m =-4时，B ={x |-5≤x ≤-3}．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分∴A ∪B ={x |-5≤x <-2}，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分所以，∁R A ∪B ={x |x <-5或x ≥-2}．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分2 ∵B 为非空集合，x ∈B 是x ∈A 的充分不必要条件，则集合B 是集合A 的真子集，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分∴2m +3≤m +12m +3>-5m +1<-2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分解得：m ≤-2m >-4m <-3，∴m 的取值范围是{m |-4<m <-3}．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分18.(1)解：由题意可知，函数f x 的最小正周期为T =π，∴ω=2πT=2，则f x =sin 2x +φ ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分因为函数f x 有一个对称中心为π3，0 ，则2×π3+φ=k πk ∈Z ，所以，φ=k π-2π3k ∈Z ，因为0<φ<π，则φ=π3，故ω=2，φ=π3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)由(1)可得f x =sin 2x +π3，f θ-π6 =sin 2θ-π6 +π3 =sin2θ=223，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分因为π8<θ<π4，则π4<2θ<π2，所以cos2θ=1-sin 22θ=13，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分因此f θ =sin 2θ+π3 =12sin2θ+32cos2θ=12×223+32×13=22+36. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分19.解：1 f(x)=ax3+cx，则f (x)=3ax2+c，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分由题可知f (2)=12a+c=0，f (1)=3a+c=-9，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分解得a=1,c=-12，故f x =x3-12x．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分2 由(1)知f x =x3-12x，f (x)=3x2-12=3x+2x-2，故当x∈-1,2，f (x)<0，f x 单调递减；当x∈2,3，f (x)>0，f x 单调递增；又f-1=11,f2 =-16,f3 =-9，故f x 在-1,3上的值域为-16,11；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分g(x)=mx+5(m>0)，当x∈-1，3，g x 单调递增，故g x 值域为-m+5,3m+5；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分根据题意-m+5，3m+5是-16，11的子集，故-m+5≥-16,3m+5≤11，m>0，解得m∈0，2，故实数m的取值范围为0，2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分20.【详解】(1)因为f(x)=3sin(π+x)sin x-π2+cos2π2+x-12，所以f(x)=3-sin x-cos x+sin2x-1 2，=32sin2x+1-cos2x2-1 2，=32sin2x-12cos2x=sin2x-π6，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分令-π2+2kπ≤2x-π6≤π2+2kπ，解得-π6+kπ≤x≤π3+kπ，所以f x 的单调递增区间：kπ-π6,kπ+π3，(k∈Z)；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分(2)因为f(A)=1，所以f A =sin2A-π6=1，又因为A∈(0，π)，所以A=π3，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分在三角形ABC中，利用余弦定理得cos A=b2+c2-42bc=12，整理得：b2+c2-4=bc，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分又因为b2+c2≥2bc，所以b2+c2-4≥2bc-4，即bc≥2bc-4，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分所以bc≤4，当且仅当b=c时等号成立，S△ABC=12bc sin A=34bc所以S△ABC≤3，当且仅当a=b=c=2时，S△ABC取得最大值3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分21.解：(1)当t =0时，f (x )=x -e x +1，f (x )=1-e x ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分当x <0，f (x )>0，f (x )在(-∞,0)内单增；当x >0，f (x )<0，f (x )在(0,+∞)内单减，f (x )max =f (0)=0. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分(2)由f (x )=1，得xe tx =e x ，即x =e x (1-t )>0，原方程无负实根，故有ln xx=1-t ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分令g (x )=ln x x ，g (x )=1-ln xx 2，当0<x <e ，f (x )>0，f (x )在(0,e )内单增；当x >0，f (x )<0，f (x )在(e ,+∞)内单增，则g (x )max =g (e )=1e ，而当x →0时，g (x )→-∞，故g (x )值域为-∞,1e.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分方程f (x )=1无正实根等价于当1-t ∉-∞,1e，即1-t >1e ，也即t <1-1e，综上，当t <1-1e 时，方程f (x )=1无实根. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分(2)f (x )=e tx +txe tx -e x =e tx [1+tx -e(1-t )x]，由题设知∀x >0，f (x )≤0，无妨取x =1，有f (1)=e t (1+t -e 1-t )≤0，即e 1-t ≥1+t >1=e 0，也即t <1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分1°当t ≤12时，且x >0，有f(x )=e tx [1+tx -e (1-t )x ]≤e x 21+x 2-e x2，由(Ⅰ)知1+x -e x<0，也有1+x 2-e x2<0，故f (x )<0，函数f (x )在(0,+∞)内单减.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分2°当12<t <1时，0<1-t <12，且t 1-t >1，即11-t ln t1-t>0，令h (x )=1+tx -e (1-t )x，h (0)=0，h (x )=t -(1-t )e(1-t )x=(1-t )t1-t-e (1-t )x，当0<x <11-t ln t 1-t ，h (x )>0，h (x )在0,11-t ln t1-t内单增，h (x )>h (0)=0，此时f (x )>0，f (x )在0,11-t ln t1-t内单增，f (x )>f (0)=0，与题设矛盾.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分综上，当且仅当t ≤12时，函数f (x )是(0,+∞)内的减函数.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分(注：不能说明当t >12时命题不成立，最多得9分)22.(1)由于x=2-3ty=t，消t得2-3y=x，即x+3y-2=0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分由ρ⋅sin2θ=6cosθ得ρ2⋅sin2θ=6ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程是：y2=6x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)将直线l:x=2-3ty=t化为标准形式x=2-32ty=12t(t 为参数)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分代入y2=6x，1 2t2=62-32t并化简得t 2+123t -48=0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分Δ=624>0，设A，B对应参数为t 1，t 2，t 1t 2=-48<0，t 1+t 2=-123,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分所以AM+BM=t 1 +t 2 =t 1-t 2=(t 1+t 2)2-4t 1t 2=439⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分补习班 理科答案第7页共7页。

2021届四川省射洪中学校高三上学期第二次月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2A x Z x =∈≥，()(){}130B x x x =--<，则A B =（ ）A ．∅B ．{}2,3C ．{}2D ．{}23x x ≤<【答案】C【解析】先化简得到{}13B x x =<<，再求A B 即可.【详解】解：因为()(){}130B x x x =--<，所以{}13B x x =<< 因为{}2A x Z x =∈≥，所以{}2A B ⋂= 故选：C 【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题. 2．设311z i =-，则复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】化简311z i=-再根据复数的几何意义判定即可. 【详解】因为3111122z i i ==--,所以复平面内z 对应的点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与几何意义,属于基础题型. 3．已知α是第二象限角，5sin 13α=，则cos α=（ ） A ．1213-B ．513- C ．513D ．1213【答案】A【解析】利用同角的三角函数关系，求出cos α即可.【详解】已知α是第二象限角，5sin 13α=，则12cos 13α===-. 故选：A 【点睛】本题考查了同角的三角函数关系和角的范围等问题，属于基础题. 4．已知等比数列{a n }的公比为12，且a 2＝﹣2，那么a 6等于（ ） A ．12-B ．14-C ．16-D ．18-【答案】D【解析】根据等比数列通项公式求得6a . 【详解】由于{}n a 是等比数列，所以()446211228a a q ⎛⎫=⋅=-⨯=- ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题. 5．如果21tan(),tan 544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，那么tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．1318B ．1322C ．322D ．16【答案】C【解析】将所求式子中的角()4πα+变形为()()4παββ+--，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将已知的两等式的值代入即可求出值． 【详解】解：2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，21tan()tan()3544tan()tan[()()]2144221tan()tan()1454παββππααββπαββ-+--∴+=+--===++-+⨯．故选：C 【点睛】本题考查了两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．6．函数()2cos x xf x x+=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先判断函数为奇函数，再求出()1f 即可判断 【详解】()()()()22cos cos x x x xf x f x xx-+-+-==-=--，则函数()f x 为奇函数，故排除A D ，， 当1x =时，()11cos10f =+>，故排除B ， 故选C ． 【点睛】本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值，属于基础题.7．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】D【解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系. 【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<. 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：xy a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.8．已知()f x 是定义域为(1,1)-的奇函数，而且()f x 是减函数，如果(2)(23)0f m f m -+->，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．5(1,)3B ．5(,)3-∞ C ．(1,3) D ．5(,)3+∞【答案】A【解析】根据函数的奇偶性，把题设中的不等式转化为(2)(23)f m f m ->-+，再结合函数的定义域和单调性，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 是定义域为(1,1)-的奇函数，即11x -<<，且()()f x f x -=-，又由(2)(23)0f m f m-+->，即(2)(23)f m f m->--，可得(2)(23)f m f m->-+，又因为()f x是减函数，所以121{1231223mmm m-<-<-<-<-<-+，解得513m<<．故选：A.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与函数的奇偶性的应用，其中解答中根据函数的奇偶性合理转化，以及利用函数的单调性求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 9．如下的程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值，若x y=，则这样的x值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】试题分析：根据题意可知，当2x≤时，2y x，令2x x=，解得120,1x x==，当25x<≤时，24y x=-，令24x x-=，解得4x=，当5x>时，11(0,)5yx=∈，方程1xx=在给定范围内无解，故一共有三个解，所以答案为C．【考点】程序框图．10．若3cos()45πα-=，则sin2α=（）A．725B．15C．15-D．725-【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．11．已知1a >，设函数()4x f x a x =+-的零点为m ，()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的取值范围是 ( ) A ．(1,)+∞ B ．7(,)2+∞C ．(4,)+∞D ．9(,)2+∞【答案】A【解析】根据函数与方程将零点问题转化为交点问题，利用反函数图像关于y x =对称的性质，得到m n +的值，然后根据基本不等式得到所求的结果. 【详解】函数()4xf x a x =+-的零点是函数xy a =与函数4y x =-图象交点A 的横坐标m ，函数()log 4a g x x x =+-的零点是函数log a y x =与函数4y x =-图象交点B 的横坐标n ，由于相同底数的指数函数与对数函数互为反函数， 其图象关于直线y x =对称， 直线4y x =-与直线y x =垂直，故直线4y x =-与直线y x =的交点()2,2即是,A B 的中点，()111114m n m n m n ⎛⎫∴+=++ ⎪⎝⎭1241m n n m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭≥，当且仅当2m n ==时，等号成立， 又m n ≠，所以等号无法取到， 因此11m n+的取值范围是()1,+∞ 故选A 项. 【点睛】本题考查函数与方程，反函数图像的性质，基本不等式求和的最小值，属于中档题. 12．已知{|()0}M f αα==，{|()0}N g ββ==，若存在M α∈，N β∈，使得||n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”.若2()21x f x -=-与2()e x g x x a =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为A ．214(,]e eB ．214(,]e eC ．242[,)e eD ．3242[,)e e【答案】B【解析】易知函数()f x 在R 上单调递增，且22(2)210f -=-=，所以函数()f x 只有一个零点2，故{2}M =.由题意知|2|1β-<，即13β<<，由题意，函数()g x 在(1,3)内存在零点，由2()e 0xg x x a =-=，得2e xa x =，所以2ex x a =，记2()((1,3))ex x h x x =∈，则222e e (2)()((1,3))(e )e x x x xx x x x h x x --==∈'，所以当(1,2)x ∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增；当(2,3)x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减.所以24()(2)e h x h ≤=.而1(1)eh =，391(3)e e h =>，所以214()(2)e e h x h <≤=，所以a 的取值范围为214(,]e e.故选B.点睛：本题通过新定义满足“1度零点函数”考查函数在给定区间内的零点问题，属于难题，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，将函数零点问题转化为2ex x a =，即求函数的值域问题，通过导数得单调性，得值域.二、填空题13．设向量()1,1a =，()1,1b =-，则()a b a -⋅=______. 【答案】2【解析】由平面向量的数量积的坐标运算即可得解. 【详解】因为()0,2a b -=，所以()10122a b a -⋅=⨯+⨯=， 故答案为：2. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，考查了运算求解能力，属于基础题.14．若命题“2000,3210x R x ax ∃∈++<”是假命题，则实数a 的取值范围是______.【答案】⎡⎣【解析】利用原命题的否定是真命题求解． 【详解】∵命题“2000,3210x R x ax ∃∈++<”是假命题，∴命题“2,3210x R x ax ∀∈++≥”是真命题．∴24120a ∆=-≤，解得a ≤≤故答案为：[． 【点睛】本题考查由命题的真假求参数取值范围，当一个命题为假命题时，其否定一定是真命题，从真命题角度求解比较容易理解，易得出解题方法．15．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ的值为______. 【答案】35【解析】利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值求出辅助角，再利用两角和的正、余弦公式求出cos θ的值． 【详解】对于函数()3cos 4sin 5sin()f x x x x ϕ=+=+， 其中，4cos 5ϕ=，3sin 5ϕ=．当x θ=时，函数取得最小值，∴5sin()5θϕ+=-，即sin()1θϕ+=-，∴cos()0θϕ+=．则43sin cos 15543cos sin 055θθθθ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3cos 5θ=-故答案为：35． 【点睛】本题主要考查辅助角公式，两角和的正、余弦公式，属于中档题．16．已知函数()2ln ,0,e x x m f x e x m x<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-仅有1个零点，则实数m 的取值范围为______. 【答案】(]0,e【解析】令()0g x =，得出()f x m e e =，令()()f x h x e=，将问题转化为直线m y e =与函数()y h x =的图象有且仅有1个交点，然后对m 与e 的大小进行分类讨论，利用数形结合思想得出关于实数m 的等式或不等式，即可求出实数m 的取值范围. 【详解】令()0g x =，则()f x m =，得()f x me e =，令()()ln ,0,x x mf x h x e e x m x <≤⎧⎪==⎨>⎪⎩， 则问题转化为直线my e =与函数()y h x =的图象有且仅有1个交点， 当m e =时，1m y e ==，此时函数()y h x =的图象与直线my e=只有1个公共点(),1e ，符合题意；当0m e <<时，01m e <<，若函数()y h x =的图象与直线my e=只有1个公共点，则ln m em e m<<，如下图所示，显然m e e m <成立，下面解不等式ln m m e <，即ln 1m m e<， 构造函数()ln x F x x =，0x >，()1ln xF x x-'=，令()0F x '=，得x e =.当0x e <<时，()0F x '>，当x e =时，()0F x '<.所以，函数()y F x =在x e =处取得最大值，即()()max 1F x F e e==， 所以，当0m >且m e ≠时，不等式ln 1m m e<恒成立，此时，0m e <<. 当m e >时，1m e >，若函数()y h x =的图象与直线m y e =有1个交点，则有ln mm e≤，即ln 1m m e≥，由上可知，m e =（舍去）. 综上所述，0m e <≤. 故答案为：(]0,e . 【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，解题的关键就是对m 与e 的大小关系进行分类讨论，并利用数形结合思想得出不等关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.三、解答题17．已知函数2()23=++f x x ax ，[]4,6x ∈-．（1）当2a =-时，求()f x 的最值；（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]4,6-上是单调函数； 【答案】（1）最小值是1-，最大值是35.；（2）6a -或4a .【解析】（1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可； （2）求出函数的对称轴，得到关于a 的不等式，求出a 的范围即可． 【详解】解：（1）当2a =-时，22()43(2)1f x x x x =-+=--，由于[]4,6x ∈-，()f x ∴在[]4,2-上单调递减，在[]2,6上单调递增，()f x ∴的最小值是()21f =-，又(4)35,(6)15f f -==，故()f x 的最大值是35.（2）由于函数()f x 的图像开口向上，对称轴是x a =-，所以要使()f x 在[]4,6-上是单调函数，应有4a --或6a -，即6a -或4a . 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质，是一道中档题． 18．已知角α的终边经过点()12,5P -. （1）求sin α，cos α；（2）求()()()()cos 2cos 2sin 2cos f παπααπαα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=-+-的值. 【答案】（1）5sin 13α=-，12cos 13α=；（2）2919. 【解析】（1）先求出13OP =，再由三角函数定义可得5sin 13α=-，12cos 13α=； （2）由（1）可知5sin 13α=-，12cos 13α=，再结合诱导公式求得()2919f α=. 【详解】解：（1）由题意可得：13OP =，由角的终边上的点的性质可得5sin 13α=-，12cos 13α=； （2）由（1）可知5sin 13α=-，12cos 13α=，再结合诱导公式得：()()()()512cos 2cos 2sin 2cos 21313512sin 2cos sin 2cos 213121399f παπααααπαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+--+ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭====-+-+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2919f α= 【点睛】本题考查根据角的终边上的点求三角函数值、根据诱导公式化简求值，是基础题. 19．已知函数()32133=+-f x x ax x （a 为常数），曲线()y f x =在点()()1,1A f 处的切线平行于直线41y x =-+. （1）求a 的值； （2）求函数()f x 的极值.【答案】（1）1a =-；（2）极大值为()513f -=，极小值为()39f =-. 【解析】（1）首先求出()223=+-'f x x ax ，利用导数的几何意义可知(1)4f '=-，代入即可求解.（2）由（1）可求出()223f x x x '=--，再令()0f x '<求出单调递减区间，()0f x '>，求出单调递增区间，再根据极值的定义即可求解. 【详解】解：（1）()223=+-'f x x ax ，∵在点()()1,1A f 处的切线平行于直线41y x =-+， ∴()1224f a '=-=-， ∴1a =-；（2）由（1）可得()223f x x x '=--，令()0f x '>得3x >或1x <-，列表如下：∴极大值为()513f -=，极小值为()39f =-. 【点睛】本题考查了导数的几何意义求参数值、利用导数研究函数的极值，解题的关键是求出导函数，属于基础题.20．为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，某边远山区每户居民月用电量划分为三档：月用电量不超过150度，按0.6元/度收费，超过150度但不超过250度的部分每度加价0.1元，超过250度的部分每度再加价0.3元收费.（1）求该边远山区某户居民月用电费用y （单位：元）关于月用电量x （单位：度）的函数解析式；（2）已知该边远山区贫困户的月用电量y （单位：度）与该户长期居住的人口数x （单位：人）间近似地满足线性相关关系：y bx a =+（b 的值精确到整数），其数据如表：现政府为减轻贫困家庭的经济负担，计划对该边远山区的贫困家庭进行一定的经济补偿，给出两种补偿方案供选择：一是根据该家庭人数，每人每户月补偿6元；二是根据用电量每人每月补偿78.4S y =-（y 为用电量）元，请根据家庭人数x 分析，一个贫困家庭选择哪种补偿方式可以获得更多的补偿？附：回归直线y bx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-.参考数据：161142254⨯=，168152520⨯=，191173247⨯=，64181152⨯=，214196=，215225=，216256=，217289=，218324=.【答案】（1）0.6,01500.715,15025090,250x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩；（2）见解析【解析】分析：（1）由电价分三个“阶梯”，利用分段函数求出解析式即可；（2）先利用最小二乘法求出回归方程10184ˆ.y x =+，第一种方案x 人每月补偿6x 元，第二种方案x 人每月补偿为()278.46010x S y x x x ⋅=-=-，由22601065410x x x x x --=-，令254100x x ->，解得0 5.4x <<，从而可得结果.详解：（1）当0150x ≤≤时，0.6y x =，当150250x <≤时，()0.61500.71500.715y x x =⨯+⨯-=-， 当250x >时，()0.61500.7100125090y x x =⨯+⨯+⨯-=-，∴y 关于x 的解析式为0.6,01500.715,15025090,250x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩.（2）由16x =，180y =，10110.11010ˆb==≈，180ˆˆ10.11618.4a y bx =-=-⨯=，所以回归直线方程为10184ˆ.yx =+. 第一种方案x 人每月补偿6x 元，第二种方案x 人每月补偿为()278.46010x S y x x x ⋅=-=-，由22601065410x x x x x --=-，令254100x x ->，解得0 5.4x <<，∴当人数不超过5人时，选择第二种补偿方式可获得更多补偿；当人数超过5人时，选择第一种补偿方式可获得更多补偿.点睛：本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，最小二乘法求回归方程，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏.21．已知函数()()2ln 1f x ax x x ax a R =--+∈在定义域内有两个不同的极值点.（1）求实数a 的取值范围；（2）设两个极值点分别为1x ，2x ，且12x x <，证明：()()2212122f x f x x x +<-+.【答案】（1）2a e >；（2）证明过程见详解.【解析】（1）先求函数()f x 的定义域和导函数，接着令()()'()ln 20g x f x a x x x ==->，再将条件“函数()f x 在()0,∞+内有两个不同的极值点”转化为“函数()g x 在区间()0,∞+内至少有两个不同的零点”，接着利用导函数分0a ≤和0a >两种情况讨论求实数a 的取值范围；（2）先由（1）得方程组1122ln 2ln 2a x x a x x =⎧⎨=⎩将“()()2212122f x f x x x +<-+”转化为“22211ln 10x x x x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭”，再构造新函数()()2ln 11h t t t t =-+>，最后利用导函数判断函数()h t 在区间()1,+∞内单调递减，证明()()2212122f x f x x x +<-+.【详解】解：（1）由题意可知，()f x 的定义域为()0,∞+，且()ln 2f x a x x '=-， 令()()ln 20g x a x x x =->，则函数()f x 在()0,∞+内有两个不同的极值点()g x ⇔在区间()0,∞+内至少有两个不同的零点， 由()2a xg x x-'=可知， 当0a ≤时，()0g x '<恒成立，即函数()g x 在()0,∞+上单调，不符合题意，舍去； 当0a >时，由()0g x '>得02a x <<， 即函数()g x 在区间0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 由()0g x '<得，2a x >， 即函数()g x 在区间,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减； 故要满足题意，必有ln 022a a g a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，解得2a e >， （2）证明：由（1）可知，1122ln 2ln 2a x x a x x =⎧⎨=⎩，则()221111111ln 11f x ax x x ax x ax =--+=-+，同理()22221f x x ax =-+ 所以()()2212122f x f x x x +<-+⇔()()2212122221121x ax x a x x x -+-+++<-⇔()21122ax x x <+，因为1122ln 2ln 2a x x a x x =⎧⎨=⎩，两式相减得21212ln x x a x x -=， 所以()21122a x x x <+⇔22221121ln x x x x x -<， 不妨设120x x <<，则222222122221211111ln 1ln 10lnx x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-<⇔<-⇔-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 构造函数：()()2ln 11h t t t t =-+>，其中21x t x =由()2120t h t t-'=<，所以函数()h t 在区间()1,+∞内单调递减，所以()()10h t h <=，则22211ln 10x x x x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭所以()()2212122f x f x x x +<-+【点睛】本题考查根据极值点个数求参数范围、利用导函数研究函数的单调性、利用导函数证明不等式，还考查了转化的数学思想与分类讨论的数学思想，是偏难题. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，[)0,2θ∈π),曲线2C的参数方程为12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).（1）求曲线1C ，2C 的普通方程;（2）若曲线1C 上一点P 到曲线2C的距离的最大值为a .【答案】（1） 221:19x C y +=,2:0x a C -= （2）a =a =-.【解析】（1）根据三角函数平方关系消元得1C 的普通方程，根据加减消元法得2C 的普通方程；（2）先根据点到直线距离公式得点P 到2C 的距离，再根据a 的正负讨论其最大值取法，最后根据最大值求结果. 【详解】（1）221:19x C y +=，2:0x a C -=（2）设点()3cos ,sin P θθ，点P 到2C的距离d ==， 当0a ≥时，有sin 13πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，max d ==，∴a = 当0a <时，有sin 13⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πθ时，max 2ad -==a =-；综上，a =a =-【点睛】本题考查参数方程化普通方程以及利用椭圆参数方程求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.23．已知函数()1f x ax =+.（1）当1a =时，求不等式()213f x x +->的解集；（2）设()1g x x =+，若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集为R ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}11x x x <->或；（2）[]1,1-.【解析】（1）将1a =代入()1f x ax =+中，然后根据()213f x x +->，利用零点分段法解不等式即可，或构造函数()121h x x x =++-，利用函数图像解不等式； （2）由条件可知11ax x +≤+，然后分0a =和0a ≠两种情况，利用数形结合法得到关于a 的不等式，再求出a 的范围. 【详解】（1）当1a=时，有()3,111212,1213,2x xh x x x x xx x⎧⎪-<-⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩.解法一：作出函数()y h x=的图像，它与直线3y=的交点为()1,3A-，()1,3B，所以原不等式的解集为{}11x x x<->或.解法二：原不等式133xx<-⎧⇔⎨->⎩或11223xx⎧-≤≤⎪⎨⎪-+>⎩或1233xx⎧>⎪⎨⎪>⎩，解得1x<-或无解或1x>，所以原不等式的解集为{}11x x x<->或.（2）不等式()()f xg x≤，即11ax x+≤+.（）当0a=时，（）式11x⇔≤+，恒成立；当0a≠时，作出()1f x ax=+与()1g x x=+的图像，如图所示.则有1a≤，于是11a-≤≤且0a≠.综上所述，a的取值范围是[]1,1-.【点睛】此题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属于中档题.。