2020届高三入学调研理科数学试卷(1)含答案

乐山市高中2023届第一次调查研究考试理科数学(本试卷共4页，满分150分。

考试时间120分钟)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需“改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|-2＜x＜2}，B={x|（x+3）（x-1）＜0}，则A∩B=（）A.{x|-3＜x＜2}B.{x|-3＜x＜1}C.{x|-2＜x＜1}D.{x|-2＜x＜-1}2.为了了解乐山大佛景区暑假游客年龄情况，大佛管委会对不同年龄段的游客人数进行了统计，并整理得到如下的频率分布直方图.已知20岁到70岁的游客人数共约200万，则年龄在[50，60]的游客人数约为（）A.6万B.60万C.8万D.80万3.设复数z满足|z+i|=|z-3i|，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（）A.x=1B.y=1C.x=-1D.y=-14.(1+2x)(1+x)³的展开式中x² 的系数为（）A.4B.6C.9D.105.背海省龙羊峡水电站大坝为重力拱坝(如图1)，其形状如同曲池(如图2).《九章算术》指出，曲池是上下底面皆为扇环形状的水池，设其上底面扇环的内外弧长分别为c₁，c₂，内外径之差为a₁，下底面扇环的内外弧长分别为d₁，d₂，内外径之差为a₂，高为h，则曲池体积公式为V=16[(2a1+a2)b1+(2a2+a1)b2]ℎ，其中b1=c1+c2 2，b2=d1+d22.已知龙羊峡水电站大坝的上底面内外弧长分别为360m和380m，内外半径分别为250m和265m；下底面内外弧长分别为50m和70m，内外半径差为80m，高为180m.则浇筑龙羊峡大坝需要的混凝土约为(结果四舍五入)（）A.1.3× 10 ⁶m³B.1.4×10⁶m³C.1.5×10⁶m³D.1.6×10⁶m³6.已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S ，，则“q >0”是“Sₙ+Sₙ₊₂>2Sₙ₊₁”.的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数f (x )=lg(√1+x 2−x)+2x ，则函数f (x )的大致图象为（ ）8.已知t a n(a +β)=3， t a nβ=2，则c os2α=（ ）A.2425B.−2425C.725D.−725 9.已知 100.4771≈3，100.301≈2，设 M=1510，则M 所在的区间为（ ）10.已知 f (x )={−x 2+2x ，x ≥0x 2+2x ，x <0， 满足f (a )（ ） A.(-∞，-2)∪(0，2) B.(-∞，-2)∪(2，+∞)C.(-2.0) ∪(0，2)D.(-2.0)∪(2，+∞)11.已知x +y =1，x ≠0，y >0，则 1|x|+2|x1y+1的最小值为（ ） A.2 B.32 C.52 D ⋅83 12.已知a =sin0.1，b =0.09，c =12ln119，则（ ） A.c >a >b B.a >c >b C.b >c >a D.a >b >c填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13.抛物线y ²=2px (p >0)上一点M (2，y )到焦点F 的距离|MF |=5，则抛物线的方程为 .14.若向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，a 与b 的夹角为120°.则a ·(2b -a )= .A.(109,1010)B.(1010,1011)C.(10¹¹,10¹²)D.(1012,1013)15.函数f(x)=1|x−1|−1−cosπx在[-1，3]上所有零点之和为.16.在平面四边形ABCD中AB=BD=CD=√3，BC=AD=2，，沿BD将△ABD折起，使得△ABC与△BAD全等.记四面体ABCD外接球球心到平面ABC的距离为d₁，四面体ABCD的内切球球心到点A的距离为d2，则d1d2的值为.三、解答题：全科免费下载公众号《高中僧课堂》本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.(本小题满分12分)已知等差数列{a.}的前三项和为15，等比数列{b.}的前三项积为64，且a₁=b₁=2.(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)设c n={a n，n为奇数√b n，n为偶数，求数列{c n}的前20项和.18.(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+π3)+sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积.若f(B2)=−14且b=√3，求√3cosAcosC+S的最大值.19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD满足AD∥BC，且AD=12.P A=AB=BC=1，三角形P AC的面积为√22.(1)画出平面P AB和平面PCD的交线，并说明理由，(2)求平面P AB与平面PCD所成锐二面角的余弦值.20.(本小题满分12分)“双十一”期间，某大型商场举行了“消费领奖”的促销活动，在规定的商品中，顾客消费满，200元(含200元)即可抽奖一次，抽奖方式有两种(顾客只能选择其中一种).方案一：从装有5个形状、大小完全相同的小球(其中红球1个，黑球4个)的抽奖盒中，有放回地摸出2球，每摸出1次红球，立减100元.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球2个，黑球8个)的抽奖盒中，不放回地摸出2个球，中奖规则为：若摸出2个红球，享受免费优惠；若摸出1个红球，1个黑球，则打5折；若摸出2个黑球，则抵扣现金50元.(1)某顾客恰好消费200元，选择抽奖方案一，求他实付现金的分布列和期望；(2)若顾客消费300元，试从实付金额的期望值分析顾客选择哪一种抽奖方式更合理?21.(本小题满分12分)若函数g(x)=xe 12x−e x+1.(1)证明:当x>0时，g(x)<0；(2)设n∈N*，证明:∑n√i(i+1)>ln(n+1).请考生在第22―23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若P是C上一动点A(1,π2)，B(2,π6)，作线段BP的中垂线交直线AP于点Q，求点Q 的轨迹方程.23.(本小题满分10分)已知函数f(x)=2|x+1|-|2x+3|.(1)求f(x)的最大值m；(2)若正数a.b，c满足a/x=m，证明: 1a +1b+1c≥√a+√b+√c.乐山市高中2023届第一次调查研究考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．CBBCC BAACD BA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．212y x =； 14．3-； 15．4； 16三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）∵等差数列{}n a 满足12315a a a ++=，∴25a =．∵12a =，∴213d a a =-=，∴31n a n =-．∵等比数列{}n b 满足12364b b b =，∴24b =．∵12b =，∴212b q b ==，∴2n n b =．（2）由题知{}n c 的前20项2013192420S a a a b b b =+++++++()10221256102336221⋅-+=⋅+=-．18．解：（1）2()cos 2sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2cos 2cos sin 2sin 332xx x ππ-=-+122x =-∴函数()f x ，最小正周期为π．（2）∵11224B f B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴sin 2B =．∵B 为锐角，∴3B π=．∵sin sin sin acbA CB ==，∴2sin a A =，2sin cC =。

遂宁市2023届高三上学期一诊模拟考试理科数学总分: 150分一 单选题（5分*12） 1. 已知复数 z 满足z =1+i , 则i zz+3i=（ ）A.−35−35iB.−15+35iC.−35+35iD.15+35i 2. 人口普查是世界各国所广泛采取的一种调查方法，根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作.截止2021年6月，我国共进行了七次人口普查，下图是这七次人口普查的城乡人数和增幅情况，下列说法错误的是（ ）A.城镇人口数逐次增加B.历次人口普查中第七次普查城镇人口最多C.城镇人口比重逐次增加D.乡村人口数逐次增加3. 已知命题 p : “a >1”; 命题q : “函数f(x)=ax +cosx 单调递增”, 则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不必要又不充分条件4. 已知角 α的顶点与坐标原点O 重合, 始边与x 轴的非负半轴重合. 若角α终边上一点P 的坐标为(cos 2π3,sin 2π3),则sinαtanα=（ ） A.−32B.−√32C.√32D.325. 执行下侧所示的程序框图, 输出 S 的值为 （ ）A.30B.70C.110D.1406. 函数 y =x 28−ln|x|的图象大致为（ ）A. B. C. D.7. 已知离心率为 32的双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合,则C 的方程是 （ ）A.x 25−y 24=1 B.x 24−y 25=1 C.x 28−y 210=1 D.x 23−y 26=1 8. 已知 a =e 0.1,b =√3c =ln2, 则a,b,c 的大小关系为 （ ）A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.b >c >a9. 已知函数 f(x)=acos (x −π3)+√3sin (x −π3)是偶函数,g(x)=f (2x +π6)+1, 若关于x 的方程g(x)=m 在[0,7π12]有两个不相等实根, 则实数m 的取值范围是（ ） A.[0,3] B.[0,3) C.[2,3) D.[√2+1,3)10.已知函数 f(x)的定义域为R,f(2x −2)为偶函数,f(x −3)+f(−x +1)=0, 当x ∈[−2,−1]时,f(x)=1a x −ax −4(a >0且a ≠1), 且f(−2)=4. 则∑k=119|f(k)|=（ ） A.28B.32C.36D.4011. 某四棱锥的底面为正方形, 顶点在底面的射影为正方形中心, 该四棱锥所有顶点都在半径为 3 的球 O 上, 当该四棱锥的体积最大时, 底面正方形所在平面截球O 的截面面积是（ ） A.πB.4πC.8πD.9π12. 已知函数 f(x)=sinωx +cosωx , 其中ω>0. 给出以下命题:①若 f(x)在(0,π4)上有且仅有 1 个极值点, 则1<ω≤5;①若 f(x)在(π2,π)上没有零点, 则0<ω≤34或32≤ω≤74;①若 f(x)在区间(π2,3π4)上单调递增, 则0<ω≤13或52≤ω≤3.其中所有真命题的序号是（ ） A.①①B.①①C.①①D.①①①二 填空题（5分*4）2a 54 150 , 214. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A , 右焦点F(c,0), 若直线x =c 与该双曲线交于B 、C 两点,△ABC 为等腰直角三角形, 则该双曲线离心率为__________15. 若数列 {a n }对任意n ∈N ∗满足:a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =n , 则数列{an n+1}的前n 项和为__________16. 已知函数 f(x)=sin π2x , 任取t ∈R , 记函数f(x)在[t,t +1]上的最大值为M t , 最小值为m t ,设ℎ(t)=M t −m t , 则函数ℎ(t)的值域为__________ 三 解答题（共70分）17. （12分）第七次全国人口普查是对中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调查．某地区通过摸底了解到，某小区户数有1000户，在选择自主填报或人户登记的户数与户主年龄段（45岁以上和45岁及以下）分布如下2×2列联表所示：(1)将题中列联表补充完整；通过计算判断，有没有95%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系？(2)根据（1）中列联表的数据，在自主填报的户数中按照户主年龄段用分层抽样的方法抽取了6户．若从这6户中随机抽取3户进行进一步复核，记所抽取的3户中“户主45岁及以下”的户数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 附表及公式：其中 K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d), n =a +b +c +d .18. （12分）在 △ABC 中,a,b,c 分别为角A 、B 、C 的对边,c(acosB +bcosA)=a 2−b 2+bc . (1)求 A ;(2)若角 A 的平分线AD 交BC 于D , 且BD =2DC,AD =2√3, 求a .19. （12分）已知数列 {a n }的前n 项和为S n , 且S n+1=S n +a n +1, __________. 请在a 4+a 7=13;a 1,a 3,a 7成等比数列;S 10=65, 这三个条件中任选一个补充在上面题干中, 并解答下面问题. (1)求数列 {a n }的通项公式;(2)设数列 {a n 2n }的前n 项和T n , 求证:1≤T n <3.20. （12分）如图, 四棱锥 P −ABCD 中, 侧面PAD ⊥底面ABCD , 底面ABCD 为梯形,AB//DC , 且AP =PD =CD =2AB =2√3,∠APD =∠ADC =60∘. 作PH ⊥AD 交AD 于点H , 连结AC,BD 交于点(1)设 G 是线段PH 上的点, 试探究: 当G 在什么位置时, 有GF//平面PAB ; (2)求平面 PAD 与平面PBC 所成二面角的正弦值.21. （12分）已知函数 f(x)=lnx +ax +1(其中a ∈R ).(1) 讨论函数 f(x)的单调性;(2) 对任意 x ∈(0,+∞)都有f(x)≤xe x 成立, 求实数a 的取值范围.22. （10分）在直角坐标系 xOy 中, 曲线C 的参数方程为{x =1+cosαy =1+sinα(α为参数). 以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 直线l 的极坐标方程为ρcos (θ−π4)=√2. (1)求直线 l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程;(2)已知点 A 的直角坐标为(−1,3), 直线l 与曲线C 相交于E,F 两点, 求AE ∙|AF|的值. 23. （10分）已知函数 f(x)=|x −1|+2|x +1|. (1) 求不等式 f(x)<5的解集;(2) 设 f(x)的最小值为m . 若正实数a,b,c 满足a +2b +3c =m , 求3a 2+2b 2+c 2的最小值.答案1. D【解析】z=1+i, 故i zz̅+3i =i(1+i)1−i+3i=−1+i1+2i=(−1+i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1+3i5=15+35i.故选: D2. D【解析】根据给定的条形图，可得城镇人口在逐年增加，所以A正确；从给定的条形图象，可得再历次人口普查中第七次普查城镇人口最多的，所以B正确；从图表中的数据可得，七次人口普查中城镇人口比重依次为13.06，18.30，20.91，26.40，36.32，69.68，63.89，可知城镇人口比值逐次增加，所以C正确；由图表，可得乡村人口先增加后减少，所以D不正确.故选：D。

绵阳市高中2017级第一次诊断性考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{*|3}A x x =∈≤N ，{}2|40B x x x =-≤，则A B ⋂=A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．(0,3]D ．(3,4]2．若0b a <<，则下列结论不正确的是A ．11a b< B ．2ab a >C ．|a|+|b|>|a+b|D>3．下列函数中定义域为R ，且在R 上单调递增的是A ．2()f x x =B．()f x =C ．()ln ||f x x = D ．2()xf x e =4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32a =，33S =，则6a =A ．4B ．5C ．10D ．155．已知函数2()21xx f x =-，若()2f m -=，则()f m =A ．-2B ．-1C ．0D ．126．已知命题:p 函数2sin sin y x x=+，(0,)x π∈的最小值为:q 若向量a ，b ，c 满足a b b c ⋅=⋅，则a c =．下列命题中为真命题的是 A ．()p q ⌝∧B ．p q ∨C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝7．若0.613a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.83b -=，ln3c =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．b c a >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>8．已知x ，y 满足约束条件20,10,10,x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为A ．4B ．2C ．1D ．139．设函数()ln xf x ae x =-（其中常数0a ≠）的图象在点(1,(1)) f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为A ．1B ．2C ．1ae -D ．12ae -10．某数学小组到进行社会实践调查，了解到某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．同学们利用函数知识，设计了如下的函数模型，其中符合公司要求的是（参考数据：10001.0027.37≈，lg70.845≈）A ．0.25y x =B ． 1.002xy =C ．7log 1y x =+D ．tan 110x y ⎛⎫=-⎪⎝⎭11．函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且图象关于x π=-对称，则ω的值为 A ．23 B ．53C ．2D ．8312．在ABC ∆中，60A ︒∠=，A ∠的平分线AD 交边BC 于点D ，已知AD =且1()3AB AD AC λλ=-∈R ，则AB 在AD 方向上的投影为 A ．1B ．32C ．3 D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()(2)f x f x =+，当[0,2)x ∈时，()xf x e =，则(7)f =________． 14．已知向量(2,2)a =-，向量b 的模为1，且|2|2a b -=，则a 与b 的夹角为________．15．2019年10月1日，在庆祝新中国成立70周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参阅直升飞机以千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在北偏西30︒的方向上，1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75︒的方向上，仰角为30，则直升机飞行的高度为________千米．（结果保留根号）16．若函数21()(ln )2f x x m x x x =+--有且仅有1个零点，则实数m 的取值范围为________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知函数22()(cos sin )2sin f x x x x =--． （1）求函数()f x 的最小正周期与单调递减区间； （2）若()01f x =-，且0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，求0x 的值．18．（12分）已知数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，*n ∈N ，且11a =，47a =，数列{}n b 的前n 项和122n n S +=-．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设22log na n n cb =+，求数列{}nc 的前n 项和n T ．19．（12分）已知ABC ∆中三个内角A ，B ，Csin()1B A C =++． （1）求sin B ； （2）若2C A π-=，b 是角B的对边，b =ABC ∆的面积．20．（12分）已知函数ln 2()ln 2x f x x -=+．（1）求函数()f x 在区间[1,)+∞上的值域； （2）若实数1x ，2x 均大于1且满足()()1212f x f x +=，，求()12f x x 的最小值．21．（12分）已知函数2()xf x e ax =-，a ∈R ，(0,)x ∈+∞． （1）若()f x 存在极小值，求实数a 的取值范围；（2）若202e a <≤，求证：()(ln )f x ax x x >-．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos ,sin x y αααα⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（α为参数）．坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 36πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 的普通方程和极坐标方程； （2）设射线:3OM πθ=与曲线C 交于点A ，与直线l 交于点B ，求线段AB 的长．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()|||1|5()f x x m x m =-++-∈R ． （1）当2m =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()2f x ≥-，求实数m 的取值范围．绵阳市高中2017级第一次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1-5 ACDBB 6-10 DBCAC 11-12 AD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．e 14．4π 1516．12m =-或0m ≥选填详细解答：一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。

立体几何1．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学]若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．2B ．1C ．D ．【答案】B2．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】D 【解析】3．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 在正方体1111ABCD A B C D -中，动点E 在棱1BB 上，动点F 在线段11A C 上，O 为底面ABCD 的中心，若1,BE x A F y ==，则四面体O AEF -的体积 A ．与,x y 都有关 B ．与,x y 都无关 C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关【答案】B4．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]5．[四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试理科数学] 一个圆锥SC的高和底面直径相等，且这个圆锥SC和圆柱OM的底面半径及体积也都相等，则圆锥SC和圆柱OM的侧面积的比值为A．322B．23C．35D．45【答案】C6．[辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题]【答案】D【解析】7．[广东省三校（广州真光中学、深圳市第二中学、珠海市第二中学）2020届高三上学期第一次联考数学（理）试题] 在如图直二面角A­BD­C中，△ABD、△CBD均是以BD为斜边的等腰直角三角形，取AD的中点E，将△ABE 沿BE 翻折到△A1BE，在△ABE的翻折过程中，下列不可能成立的是A．BC与平面A1BE内某直线平行B．CD∥平面A1BEC．BC与平面A1BE内某直线垂直D．BC⊥A1B【答案】D8．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】D【解析】9．[陕西省汉中市2020届高三教学质量第一次检测考试理科数学试题] 圆锥的侧面展开图是半径为R 的半圆，则该圆锥的体积为________. 【答案】33πR 10．[辽宁省本溪高级中学2020届高三一模考试数学（理）试卷]【答案】4π11．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P ∥平面1A BM ，则1C P 的最小值是________．【答案】305【解析】 【分析】由面面平行找到点P 在底面ABCD 内的轨迹为线段DN ，再找出点P 的位置，使1C P 取得最小值，即1C P 垂直DN 于点O ，最后利用勾股定理求出最小值. 【详解】取BC 中点N ，连接11,,B D B N DN ，作CO DN ⊥，连接1C O ，因为平面1B DN ∥平面1A BM ，所以动点P 在底面ABCD 内的轨迹为线段DN ，当点P 与点O 重合时，1C P 取得最小值，因为11152225DN CO DC NC CO ⋅=⋅⇒==，所以221min 11130()155C P C O CO CC ==+=+=. 故1C P 的最小值是305. 【点睛】本题考查面面平行及最值问题，求解的关键在于确定点P 的位置，再通过解三角形的知识求最值.12．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为________．21【答案】【解析】【分析】根据三视图还原几何体，设球心为O，根据外接球的性质可知，O与PAB△和正方形ABCD中心的连线分别与两个平面垂直，从而可得到四边形OGEQ 为矩形，求得OQ和PQ后，利用勾股定理可求得外接球半径.【详解】由三视图还原几何体如下图所示：设PAB△的中心为Q，正方形ABCD的中心为G，外接球球心为O，则OQ⊥平面PAB，OG⊥平面ABCD，E为AB中点，∴四边形OGEQ为矩形，112OQ GE BC ∴===，2233PQ PE ==， ∴外接球的半径：22213R GE PQ =+=. 故答案为21. 【点睛】本题考查多面体外接球半径的求解，关键是能够根据球的性质确定球心的位置，从而根据长度关系利用勾股定理求得结果. 13．[湖南省衡阳县2020届高三12月联考数学（理）试题]【答案】【解析】14．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]【答案】1 315．[江苏省南通市2020届高三第一学期期末考试第一次南通名师模拟试卷数学试题]如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是平行四边形，平面ABP⊥平面BCP，90APB=，M为CP的中点．求证：∠=︒，BP BC（1）AP//平面BDM；（2）BM ACP⊥平面．【解析】（1）设AC 与BD 交于点O ，连接OM ， 因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点， 因为M 为CP 的中点，所以AP ∥OM ， 又AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ， 所以AP ∥平面BDM ．（2）平面ABP ⊥平面BCP ，交线为BP ， 因为90APB ∠=︒，故AP BP ⊥，因为AP ⊂平面ABP ，所以AP ⊥平面BCP ， 因为BM ⊂平面BCP ，所以AP ⊥BM ． 因为BP BC =，M 为CP 的中点，所以BM CP ⊥． 因为AP CP P =I ，AP CP ⊂，平面ACP ， 所以BM ⊥平面ACP .16．[河南省新乡市高三第一次模拟考试（理科数学）] 如图，在四棱锥ABCDV -中，二面角D BC V --为︒60，E 为BC 的中点. （1）证明：VE BC =；（2）已知F 为直线VA 上一点，且F 与A 不重合，若异面直线BF 与VE 所成角为︒60，求.VA VFABCDPMABCDPMO【解析】17．[四川省成都外国语学校2019-2020学年高三（上）期中数学试卷（理科）]如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，点E，F分别为BC，PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q．（1）已知平面PAB∩平面PCD=l，求证：AB∥l．（2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值． 【解析】 【分析】（1）证明AB ∥平面PCD ，然后利用直线与平面平行的性质定理证明AB ∥l ； （2）以点A 为原点，直线AE 、AD 、AP 分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面PCD 的法向量和直线AQ 的方向向量，然后利用空间向量的数量积求解直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值即可．【详解】（1）证明：∵AB ∥CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ． ∴AB ∥平面PCD ，∵AB ⊂平面PAB ，平面PAB ∩平面PCD =l ， ∴AB ∥l ；（2）∵底面是菱形，E 为BC 的中点，且AB =2， ∴13BE AE AE BC ==⊥,,， ∴AE ⊥AD ，又PA ⊥平面ABCD ，则以点A 为原点，直线AE 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()020,002,30,300D P C E,,,,,,,,，∴()0,1,1F ，()()()()3000,11310022AE AF DC DP ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r,,,,,,,,,,，设平面PCD 的法向量为(),,x y z =n ，有0PD ⋅=u u u r n ，0CD ⋅=u u u rn ，得()133=，，n ，设()1AQ AC AP λλ=+-u u u r u u u r u u u r，则()()321AQ λλλ=-u u u r ,,，再设(3,,)AQ mAE n m n n AF =+=u u u r u u u r u u u r，则()3321m n nλλλ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩，解之得23m n λ===，∴2223333AQ ⎛⎫=⎪⎝⎭u u u r ,,， 设直线AQ 与平面PCD 所成角为α，则3105sin cos ,AQ AQ AQα⋅>=<==u u u r u u u r u u u r n n n ，∴直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值为3105． 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的向量求法，合理构建空间直角坐标系是解决本题的关键，属中档题.18．[安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学（理)试题] 已知三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，D 是BC 的中点，160B BA ∠=︒，1B D AB ⊥.（1）求证：ABC △为直角三角形；（2）求二面角1C AD B --的余弦值． 【解析】（1）取AB 中点O ，连接OD ，1B O ，易知1ABB △为等边三角形，从而得到1B O AB ⊥，结合1B D AB ⊥，可根据线面垂直判定定理得到AB ⊥平面1B OD ，由线面垂直的性质知AB OD ⊥，由平行关系可知AB AC ⊥，从而证得结论；（2）以O 为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据空间向量法可求得平面1ADC 和平面ADB 的法向量的夹角的余弦值，根据所求二面角为钝二面角可得到最终结果. 【详解】（1）取AB 中点O ，连接OD ，1B O ，在1ABB △中，1AB B B =，160B BA ∠=︒，1ABB ∴△是等边三角形， 又O 为AB 中点，1B O AB ∴⊥，又1B D AB ⊥，111B O B D B =I ，11,B O B D ⊂平面1B OD ，AB ∴⊥平面1B OD ，OD ⊂Q 平面1B OD ，AB OD ∴⊥， 又OD AC ∥，AB AC ∴⊥， ∴ABC △为直角三角形.（2）以O 为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：令12AB AC AA ===，则()1,2,0C -，()1,0,0A -，()0,1,0D ，()1,0,0B ，()10,0,3B ，()11,0,3BB ∴=-u u u v ，()0,2,0AC =u u u v ，()1,1,0AD =u u u v，()1111,2,3AC AC CC AC BB =+=+=-u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v，设平面1ADC 的法向量为(),,x y z =m ，10230AD x y AC x y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=++=⎪⎩u u u v u u u u v m m ，令1x =，则1y =-，3z =，()1,1,3∴=-m ， 又平面ADB 的一个法向量为()0,0,1=n ，315cos ,5113∴<>==++m n ， Q 二面角1C AD B --为钝二面角，∴二面角1C AD B --的余弦值为15-.【点睛】本题考查立体几何中垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，涉及到线面垂直判定定理和性质定理的应用；证明立体几何中线线垂直关系的常用方法是通过证明线面垂直得到线线垂直的关系.19．[江西省宜春市上高二中2020届高三上学期第三次月考数学（理）试题]20．[黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题]21．[辽宁葫芦岛锦化高中协作校高三上学期第二次考试数学理科试题]【解析】22．[【全国百强校首发】四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学（理）试题] 如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD,2AB=,1BC=，2PC PD==，E为PB中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求二面角E AC D--的余弦值；（3）在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求PMPD的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）设BD交AC于点F，连接EF. 因为底面ABCD是矩形，所以F为BD中点 . 又因为E为PB中点，所以EF∥PD.因为PD ⊄平面,ACE EF ⊂平面ACE ，所以PD ∥平面ACE.（2）取CD 的中点O ，连接PO ，FO .因为底面ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥.因为PC PD =，O CD 为中点，所以,PO CD OF ⊥∥BC ，所以OF CD ⊥. 又因为平面PCD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面,PCD 平面PCD ∩平面ABCD =CD . 所以PO ⊥平面ABCD ，如图，建立空间直角坐标系O xyz -， 则111(1,1,0)(0,1,0)(1,1,0),(0,0,1),(,,)222A C B P E -，,， 设平面ACE 的法向量为(,,)x y z =m ，131(1,2,0),(,,)222AC AE =-=-u u u r u u u r ， 所以20,2,0,131.00222x y x y AC z y x y z AE -+=⎧⎧=⎧⋅=⎪⇒⇒⎨⎨⎨=--++=⋅=⎩⎩⎪⎩u u u v u u u v m m 令1y =，则2,1x z ==-，所以2,11=-（，）m .平面ACD 的法向量为(0,0,1)OP =u u u r ，则6cos ,OP OP OP⋅<>==-⋅u u u r u u u r u u u r m m |m |. 如图可知二面角E AC D --为钝角，所以二面角E AC D --的余弦值为66-. （3）在棱PD 上存在点M ，使AM BD ⊥.设([0,1]),(,,)PM M x y z PD=∈λλ，则,01,0PM PD D =-u u u u r u u u r λ（，）.因为(,,1)(0,1,1)x y z -=--λ，所以(0,,1)M --λλ. (1,1,1),(1,2,0)AM BD =---=--u u u u r u u u r λλ.因为AM BD ⊥，所以0AM BD ⋅=u u u u r u u u r .所以12(1)0λ--=，解得1=[0,1]2∈λ. 所以在棱PD 上存在点M ，使AM BD ⊥，且12PM PD =。

江西省高安中学2018届高三第二次段考试题理科数学命题人：朱细秀 第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 4 x11.已知集合 A 二{x ・Z| 0} , B 二{x|2x 乞4}，则A "B=x+2 4 B.{0,1,2} C. A.{x| —1 _x _2} D.{-2, -1,0,1,2} 2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（1 , 1 x B. y = g x 1「X {-1,0,1,2}A. y C. y = tanx 3•函数 f(x) =3si n (― 3-2x ）的一个单调递增区间是（ 4. 5. 6. A .[ ----- ----- ][12，12 ] 下列说法正确的是（ 7 13 B.[——-^] [12 ， 12 ]) C. 5兀兀 D・F ]A. -x, y R,若x y^O,则x^1且y —1B. a R a - ：：：1”是“a ・T 的必要不充分条件 aC.命题“ x • R ，使得x 2 2x 0 ”的否定是D. -x _0 都有 2x x 2已知数列'a n'为等差数列，其前 A. 110 B.55 f （x ）是定义在R 上的偶函数, b = f (3), c 二 2 A. a :: b ::: c 卄 1 7.右 tan :-----“ -x R ，都有 x 2 2x 3 0” n 项和为 S n , 2a ? -a 8 = 5，则 Sn 为（） C.50 D.不能确定 f （x ）在（0,上单调递增, 2 f （log 3），则下列不等式成立的是（B. a :: c :: bC. c :: b ■ a D 1 a 二 f(log 3), .c ：： a ：： b3 —a J2Tt Tt .，则sin i 2a +工h 勺值为（ 4'2 ，.4（2 B.-5102 D.-10&圆O 的半径为3，一条弦AB=4,P 为圆O 上任意一点，则AB BP 的取值范围为（）A. (1,::)A. 1-16,0]B.0,16] C. [-20,4] D. [-4,20 ]的投影为()A .匕！B 空C. 乂D ・1313 6 13 10.已知函数 f (x)是函数f (x)的导函数，1 f(1)，对任意实数都有ef(x) - f (x) • 0，则不等式 f(x) :::i 的解集为()b 的夹角为 9.已知向量a , 120，且|a|=2 , |b|=3则向量2a 3b 在向量2a b 方向上11. 已知数列[为等差数列，若a"- a^ < 25恒成立，则印Va?的取值范围是A . [-10、2,10、、2]B . ^^2,5,2]C. [-10,10]D. [-5,5]12.函数f(x)"OS(2x—32 二 )4 cos 2x -2311二 19二3X (x [12 12 ])所有零点之和为A.3B.二、填空题(每题 5分，满分13.等比数列 加 的各项均为正数,4 二C.-3第n 卷(共90分)20分，将答案填在答题纸上)10且 a 1Q an - a g a 12 = 2e ，则 In a 1 In a 2 • I H ln a®C. (1,e)“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是___________ 万元.三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. (本小题满分10分)在直角坐标系xOy中，已知点A a,a ,B 2,3 ,C 3,2 .(i)若向量超AC 的夹角为钝角，求实数a的取值范围；(n)若a=1，点P x,y在：ABC三边围成的区域(含边界)上，OP = mAB nAC m, n R，求m - n 的最大值.18. (本小题满分12分)已知等差数列:a/?的前n项和为S n，已知a^7 , a3为整数，且 &的最大值为S5.(i)求订鳥的通项公式；(n)设0二豊，求数列＜：b n [的前n项和「.2n19. (本小题满分12分)x 兀已知函数f (x)二cos2x 4sin x sin2( ).(i)将函数f 2x的图像向右平移二个单位得到函数g x的图像，若「/ ],6 12 2 求函数g x的值域；(n)已知a,b,c分别为ABC中角代B,C的对边，且满足b = 2 , f(A)=』2 1 ,、3a =2bsin 代B(0,3)，求ABC 的面积.20. (本小题满分12分)P 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面E-PAB 丄平面 ABCD , PB=PC,. ABC =45：，点 E 是线段 PA 上 靠近点A 的三等分点.(I)求证：AB _ PC(n)若：PAB 是边长为2的等边三角形，求直线 DE 与平面PBC 所成角的正弦值.21. (本小题满分12分)已知正项数列的前n 项和为S n ，且2S n 二K -1 a n 2 .(I)求的通项公式；22. (本小题满分12分)已知函数 f x = xe T-a ln x x .(I)若函数f x 恒有两个零点，求 a 的取值范围； (n)若对任意x 0，恒有不等式f x -1成立.①求实数a 的值；②证明：x 2e x • x 2 l nx • 2si nx江西省高安中学2018届高三第二次段考试题理科数学参考答案(n)设数列n-1 2n na n的前n 项和为T n ,试比较T n 与J2n 1 18-n -2n-2n +1的大CB B B BCD C D A A C9兀l13.100 14.6 15.4.5 16.37.5ss417.解：(1)由晶=2 _a,3 _a , AC -3- a,2 - a ,ABjAC =2 a 1 2 -5a 6 :: 0,2 ::: a ::: 3 又 a =舟,AB 与卞C 夹角为二，所以a 訂 2,5 L 巴3 i ； ........................................................................................................ 5 分.2 2'(2)T OP = mAB nAC, x, y = m 1,2 i 亠 n 2,1 ,即 x = m 2n, y = 2m n ，解得 m-n 二y-x ，令 y_x=t ,由图知，当直线 y=x+t 过点B(2,3 )时，t 取得最大值1,故m-n 的最大值为1..10分■2】Ed 乞-13 , 3 4 d =29 75 11 -2n所以T n23 •…—，① 2 2 2 -1 十 9 7 5 11 —2 n 金 —T n — •… r-，② 2 2 2 2 21②式减①式得，-丄几2 n数列 ；的通项公式为a n =11 -2n(2) 因为 b.11「2n18.解：(1)由 a ? =7 , a 3为整数知等差数列Ya. ?的公差d 为整数.又 S n ^Ss ，故 a 5 -0 ,a6- 0 ,解得因此9 11 1 9 T 1丄…— 2g n 』11 —2nx \=cos 2x +4sin x sin 3JI24丿=cos2x 4sinx 1 - cos I X■ 2丿平面 PAB 平面 ABCD ，且面 PAB 面ABCD = AB ， PO _ 面ABCD：‘PB 二PC, Rt POB 也 Rt POC(HL), OB = OC又 ABC =45 , OC _ AB又PO CO=O,由①②，得AB _面POC ，又PC 面POC ，AB _ PC(n)T 「.：PAB 是边长为2的等边二角形，3整理得 因此T n2n _7=7 2n12分-1 - 2 sin x ， ............................................................ (1)平移可得g x = 2sin !2x _丄 x •—— 12 2 —"1， 3兀2兀& _ 6，3x J 时，g X min =0 ；当 X = 5 二时，g x max =312 12 •••所求值域为1.0,3 1 (2)由已知.、3a=2bsi nA 及正弦定理得：,3s in A=2si n Bsi nA , 二 sin B = ，T 0 cB £三，-B=—，由 f ( A ) = +1得 sin A = ，又 a = b < b ， 2 2 3 2 v 3 10分 由正弦定理得：a =空6， 311分 二S 应BC =^ab sin C =丄*：空6疋2疋皿 +忑 =3 +忑A2 234 312分20. (I)作 po _ AB 于 O①，连接OC19.解:P二PO 」3,OA =OB =OC =1如图建立空间坐标系，P(0,0, ..3),B(1,0,0)C(0,1,0)A(-1,0,0)设面PBC 的法向量为n = (x, y,z)pB =(1,0,「3), BC =(-1,1,0)n吁x —辰=0,令x‘,得n (3®n BC - -x y = 0AP =(1,0, ..3), AE =〔AP =(丄,0,-^), CB 二 DA =(1,-1,0)3 3 34a •' 3DE =DA AE =( — ,“,——),设DE 与面PBC 所成角为二 3 33三严 3 _ 3 16 1 3.3 3 1 .9 911分21. (1 )证明：当 n =1 时，20 = (a ( -1)G 2)；印 0,2当 n 一2时，2a n =2(S n - S n" =a 2 -a j ： ' a^a n j , (a n ' a n 」)(a n -a n 4 -1) = 0■■ a n ■ a n 40,・ a n -a n4 =1 • (4)分.数列；a n 是以2为首项1为公差的等差数列，.a n 二n • 123n ,n22 2 2 2 2 T n ： 21 3n ： >1 n ：「1 n 1c 2 (18 -n)—2n — 2 2 (n —17)~2~n 1sin v -| cos ：： n, DE | =| -D^- | = .3 7•••直线DE 与平面PBC 所成角的正弦值、3712分(2)解：.na nn(n 1) n 1 nT2n 118 _n) _2n _2 2I nc 〒2n ^(18_ n)_2n_2：：：0,. Tn :::c 十2n ^(18_ n)_2n_20,. T n22.【解析】(1) f x = xe x - a lnx-ax, x - 0，则f X = X 1 e x -a 1 1 = X 1e : l x 丿 V当a 乞0时，f x .0,故f x 单调递增，故不可能存在两个零点，不符合题意； .............................................................................. 2分 当a - 0时，「x =0有唯一解x =x 0，此时e x0x 0 = a ，贝yf x min =f 人 l=X0e " -alnx 0-ax 。

1 / 26【2020年高考数学】三角形中的最值问题解题指导（一）第一篇 三角函数与解三角形专题06 三角形中的最值问题【典例1】【湖南省益阳市、湘潭市2020届高三9月调研考试】已知锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos a b Bc C-= （1）求角C 的大小．（2）求函数sin sin y A B =+的值域． 【思路引导】 （1）由2cos cos a b Bc C-=利用正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2C =，可求出C 的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域.2 / 26【典例2】【2020届海南省高三第二次联合考试】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22cos a c b C -=. (1)求sin 2A C B +⎛⎫+⎪⎝⎭的值； (2)若b =c a -的取值范围.【思路引导】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ，进而求得B 和A C +，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将c a -表示为2sin 2sin C A -，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据正弦型函数值域的求解方法，结合C 的范围可求得结果.3 / 26【典例3】【山西省平遥中学2020届高三上学期11月质检】 已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-．（1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值． 【思路引导】（1）利用正弦定理将角化为边可得222a b c bc =+-，再由余弦定理即可得A ； （2）由正弦定理2aR sinA=，可得a ，由基本不等式利用余弦定理可得222b c bc bc bc bc +-≥-=，从而由12S bscinA =可得解.4 / 26【典例4】【2020届河北省保定市高三上学期期末】已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，设(sin ,1cos )m B B =-，(2,0)n =. （1）若23B π=，求m 与n 的夹角θ； （2）若||1,m b ==，求ABC ∆周长的最大值.【思路引导】 （1）将23B π=代入可求得m .根据平面向量数量积的坐标运算求得m n ⋅,由数量积的定义即可求得cos θ,进而得夹角θ.（2）根据||1m =及向量模的坐标表示,可求得B .再由余弦定理可得22()4a cb +=.结合基本不等式即可求得a c +的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出a c +,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得a c +的取值范围,进而求得周长的最大值.5 / 26【典例5】【2020届吉林省长春市东北师大附中等六校高三联合模拟】 如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC =，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，3FAE π∠=，06EAB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭..（1）求AE ，AF （用θ表示）； （2）求EAF ∆的面积S 的最小值. 【思路引导】（1）根据1AB =，BC =，分别在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和AF即可；（2）由条件知13sin 232sin 23S AE AF ππθ=⋅⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后根据θ的范围，利用正弦函数的图象和性质求出S 的最小值.6 / 26【典例6】【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-. （1）求B ； （2）设b =ABC 的面积为S ，求2sin 2S C -的最大值.【思路引导】（1）用正弦定理化角为边后，再用余弦定理可求得角B ；（2）用正弦定理把边用角表示，即2sin a A =，2sin c C =，这样2sin 2sin sin 2S C ac B C-=-2sin 2sin sin 2A C C =⋅，又sin sin()sin()3A B C C π=+=+，2sin 2S C -就表示为C 的三角函数，由三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值．7 / 26【典例7】【福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查（期末)】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos c C -=⋅，c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围． 【思路引导】（1cos c C -⋅中的边化成角得到cos A =A 的值； （2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.8 / 261. 【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围.2. 【辽宁省葫芦岛市六校协作体2019-2020学年高三上学期11月月考】,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A +=.（1）若1,6b A π==，求sin B ； （2）已知3C π=，当ABC 的面积取得最大值时，求ABC 的周长.3. 【2019年云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值. 4. 【2020届湖南省常德市高三上学期期末】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos +=ac B b C A.（1）求A ； （2）若a =b c +的最大值.5. 【2020届江西省吉安市高三上学期期末】在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量(2cos ,)m C b =-，(1,cos cos )n a C c A =+，且//m n .（1）求角C 的大小；9 / 26（2）若c =ABC ∆的周长的取值范围.6. 【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（二)】如图，在四边形ABCD 中，A为锐角，2cos sin()6A A C C π⎛⎫+=-⎪⎝⎭.（1）求A C +；（2）设ABD △、CBD 的外接圆半径分别为1,r 2r ，若1211m r r DB+≤恒成立，求实数m 的最小值. 7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值．8. 【重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考】 在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知1cos 2b a Cc =+． (1)求角A ；(2)若·3AB AC =，求a 的最小值．9. 【吉林省吉林市普通中学2019-2020学年度高三第二次调研测】 已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ； （2）若24a S =，求c bb c+的最大值. 10. 【湖南省长沙市浏阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第六次月考】 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan (sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=． （1）求角B 的值； （2）若△ABC的面积为D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．10 / 2611. ABC ∆中，60,2,B AB ABC ==∆的面积为 （1）求AC ；（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为边,AB AC 上的点（不包括端点），且120EDF ∠=，求DEF ∆面积的最小值.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品【参考答案部分】【典例1】【湖南省益阳市、湘潭市2020届高三9月调研考试】已知锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos a b Bc C-=（1）求角C 的大小．（2）求函数sin sin y A B =+的值域． 【思路引导】 （1）由2cos cos a b Bc C-=利用正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2C =，可求出C 的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域. 解：（1）由2cos cos a b Bc C-=， 利用正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=， 可化为()2sin cos sin A C sin C B A =+=，1sin 0,cos 2A C ≠∴=0,,23C C ππ⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭.（2）sin sin 3y A sinB A sin A ππ⎛⎫=+=+-- ⎪⎝⎭1sin sin 226A A A A π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，11 / 262,032A B A ππ+=<<，62A ππ∴<<，2,3636A sin A ππππ⎤⎛⎫∴<+<∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，32y ⎛∴∈⎝. 【典例2】【2020届海南省高三第二次联合考试】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且22cos a c b C -=. (1)求sin 2A C B +⎛⎫+⎪⎝⎭的值； (2)若b =c a -的取值范围.【思路引导】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ，进而求得B 和A C +，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将c a -表示为2sin 2sin C A -，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据正弦型函数值域的求解方法，结合C 的范围可求得结果.解：（1）由正弦定理可得：2sin sin 2sin cos A C B C -=A B C π++= ()sin sin A B C ∴=+()2sin sin 2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C C B C B C C B C ∴+-=+-=即2cos sin sin B C C =()0,C π∈ sin 0C ∴≠ 1cos 2B ∴=()0,B π∈ 3B π∴= 23AC π∴+=2sin sin 232A C B π+⎛⎫∴+==⎪⎝⎭（2）由（1）知：sin sin 3B π==2sin sin sin a c bA CB ∴==== 2sin cC ∴=，2sin a A =()2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin c a C A C B C C B C B C∴-=-=-+=--12 / 262sin sin sin 2sin 3C C C C C C π⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭23A C π+=203C π∴<< ,333C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭(2sin 3C π⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，即c a -的取值范围为(【典例3】【山西省平遥中学2020届高三上学期11月质检】 已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-．（1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值． 【思路引导】（1）利用正弦定理将角化为边可得222a b c bc =+-，再由余弦定理即可得A ； （2）由正弦定理2aR sinA=，可得a ，由基本不等式利用余弦定理可得222b c bc bc bc bc +-≥-=，从而由12S bscinA =可得解. 解：（1）设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． 根据sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-，可得222a b c ba b c bc c a b c-+=⇒=+-+-， 所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又因为0A π<<，所以3A π=．（2）22sin 2sin sin 3a R a R A A π=⇒=== 所以2232b c bc bc bc bc =+-≥-=，所以11sin 322S bc A =≤⨯=（b c =时取等号）． 【典例4】【2020届河北省保定市高三上学期期末】已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，设(sin ,1cos )m B B =-，(2,0)n =.13 / 26（1）若23B π=，求m 与n 的夹角θ； （2）若||1,m b ==，求ABC ∆周长的最大值.【思路引导】 （1）将23B π=代入可求得m .根据平面向量数量积的坐标运算求得m n ⋅,由数量积的定义即可求得cos θ,进而得夹角θ.（2）根据||1m =及向量模的坐标表示,可求得B .再由余弦定理可得22()4a cb +=.结合基本不等式即可求得a c +的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出a c +,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得a c +的取值范围,进而求得周长的最大值.解：（1）23B π=,所以33,22m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,因为(2,0)n =, 202m n ⋅=⨯+=∴ ,又||22m ⎛== ⎝⎭⎭||2n =,31cos 2||||23m n m n θ⋅==⋅∴,3πθ∴=,（2）因为||1m =,即2||sin 1m B ===,所以3B π=,方法1.由余弦定理,得2222cos b a c ac B =+-.2222()()3()324a ca c a c ac a c ++⎛⎫=+-≥+-⋅=⎪⎝⎭,即2()34a c +≥,即a c +≤（当且仅当a c =时取等号） 所以ABC ∆周长的最大值为方法2.由正弦定理可知,2sin sin sin a c bA C B===,14 / 262sin ,2sin a A c C ==∴,23A C π+=,所以22sin 2sin 3sin 36a c A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又203A π<<,5666A πππ<+<,1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,a c +∈∴,所以当3A π=时,a c +取最大值所以ABC ∆周长的最大值为【典例5】【2020届吉林省长春市东北师大附中等六校高三联合模拟】 如图，在矩形ABCD 中，1AB =，BC =，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，3FAE π∠=，06EAB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭..（1）求AE ，AF （用θ表示）； （2）求EAF ∆的面积S 的最小值. 【思路引导】（1）根据1AB =，BC =，分别在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和AF即可；（2）由条件知13sin 232sin 23S AE AF ππθ=⋅⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后根据θ的范围，利用正弦函数的图象和性质求出S 的最小值.解：（1）在Rt ABE ∆中，1AB =，所以1cos cos AB AE EAB θ==∠，在Rt ADF ∆中，AD =236DAF EAB πππθ∠=--∠=-，15 / 260cos 6cos 6ADAF DAFπθθ⎫∴==<<⎪∠⎝⎭- ⎪⎝⎭； （2）13sin 234cos cos 6S AE AF ππθθ=⋅==⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭32sin 23πθ===⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为06πθ<<，所以22333πππθ<+<2sin 223πθ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，当232ππθ+=时，即当12πθ=时，S取最小值(32.【典例6】【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-. （1）求B ； （2）设b =ABC 的面积为S ，求2sin 2S C -的最大值.【思路引导】（1）用正弦定理化角为边后，再用余弦定理可求得角B ；（2）用正弦定理把边用角表示，即2sin a A =，2sin c C =，这样2sin 2sin sin 2S C ac B C-=-2sin 2sin sin 2A C C=⋅，又sin sin()sin()3A B C C π=+=+，2sin 2S C -就表示为C 的三角函数，由三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值． 解：（1）由正弦定理()()()a c c a b a b -=+-，222a c b ac +-=，由余弦定理2221cos 22a c b B ac +-==，3B π=；（2）由正弦定理2sin sin sin a c bA C B====，2sin a A =，2sin c C =， 2sin 2sin sin 2S C ac B C -=-16 / 262sin 2sin sin 2sin sin 2A C C A C C =⋅=-2)sin sin 23sin cos sin 2C B C C C C C C =+-=+-31cos 2sin 2sin 22sin 2222222C C C C C =-+-=-+sin 213C π⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭当且仅当512C π=时等号成立，故最大值为1. 【典例7】【福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查（期末)】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos c C -=⋅，c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围． 【思路引导】（1cos c C -⋅中的边化成角得到cos A =A 的值； （2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.解：（1cos c C -=⋅sin cos B C A C -=，又sin sin[()]sin()B A C A C =π-+=+，cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-=sin sin 0A C C -=， 因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以cos A =0A π<<，所以4A π=. （2）由（1）知4A π=，根据题意得0242C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得42C ππ<<. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c b C B=，所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b CC Cπ++===+，因为()42C ππ∈，，所以tan (1,)C ∈+∞，所以(24)b ∈，.17 / 26因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+， 所以221()4AD AC AB =+21(48)4b b =++21(2)14b =++，因为(24)b ∈，，所以AD的取值范围为.1. 【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围. 【思路引导】（1）根据题意，由余弦定理求得1cos 2C =，即可求解C 角的值； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得62A ππ<<，利用三角函数的图象与性质，即可求解.解：（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==，又∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3ab A Bπ===,a Ab B == ∴sin )a b A B +=+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+-⎪⎥⎝⎭⎦ 2cos A A =+4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，18 / 26又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，即，则2363A πππ<+<，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，综上+a b的取值范围为.2. 【辽宁省葫芦岛市六校协作体2019-2020学年高三上学期11月月考】,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A +=.（1）若1,6b A π==，求sin B ； （2）已知3C π=，当ABC 的面积取得最大值时，求ABC 的周长.【思路引导】（1）根据正弦定理，将()sin 4sin 8sin a A B A +=，化角为边，即可求出a ，再利用正弦定理即可求出sin B ；（2）根据3C π=，选择in 12s S ab C =，所以当ABC 的面积取得最大值时，ab 最大，结合（1）中条件48a b +=，即可求出ab 最大时，对应的,a b 的值，再根据余弦定理求出边c ，进而得到ABC 的周长．解：（1）由()sin 4sin 8sin a A B A +=，得()48a a b a +=， 即48a b +=.因为1b =，所以4a =.由41sin sin6B=π，得1sin 8B =. （2）因为48a b +=≥=， 所以4ab ≤，当且仅当44a b ==时，等号成立. 因为ABC的面积11sin 4sin 223S ab C π=≤⨯⨯= 所以当44a b ==时，ABC 的面积取得最大值， 此时22241241cos 133c π=+-⨯⨯⨯=，则c =， 所以ABC的周长为519 / 263. 【2019年云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）若D 为AC 的中点，且1BD =，求ABC S ∆的最大值. 【思路引导】（1）利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值，结合角B 的范围可得出角B 的大小；（2）由中线向量得出2BD BA BC =+，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出ac 的最大值，再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积的最大值. 解：（1）由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由()0,A π∈知sin 0A >，则1sin cos sin 62B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，化简得sin B B =，tan B ∴=. 又()0,B π∈，因此，3B π=；（2）如下图，由1sin 2ABC S ac B ∆==，又D 为AC 的中点，则2BD BA BC =+， 等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+， 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥，20 / 26则43ac ≤，当且仅当a c =时取等号，因此，ABC ∆43=4. 【2020届湖南省常德市高三上学期期末】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos +=ac B b C A.（1）求A ； （2）若a =b c +的最大值.【思路引导】（1）根据正弦定理即正弦的和角公式,将表达式化为角的表达式.即可求得A .（2）利用正弦定理,表示出b c +,结合三角函数的辅助角公式及角的取值范围,即可求得b c +的最大值. 解：（1）∵cos cos 2cos +=ac B b C A,由正弦定理得sin sin cos sin cos 2cos +=AC B B C A从而有()sin sin sin sin 2cos 2cos +=⇒=A AB C A A A , ∵sin 0A ≠,∴1cos 2A =,∵0A π<<,∴3A π=；（2）由正弦定理得：2sin sin sin a b cA B C===, ∴2sin ,2sin b B c C ==,则()22sin sin 2sin 2sin 3⎛⎫+=+=+-⎪⎝⎭b c B C B B π3sin 6B B B π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,∵203B π<<,∴5666B πππ<+<, ∴当3B π=时,b c +取得最大值5. 【2020届江西省吉安市高三上学期期末】在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量(2cos ,)m C b =-，(1,cos cos )n a C c A =+，且//m n .（1）求角C 的大小； （2）若c =ABC ∆的周长的取值范围.21 / 26【思路引导】（1）根据向量平行列出方程，再利用正弦定理进行边角转化，然后求出角C 的大小； （2）根据余弦定理求出+a b 的取值范围，再根据三角形边的几何性质求出周长的取值范围. 解：（1）由//m n 得22cos 2cos cos a C c A C b +=-， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 得2cos (sin cos sin cos )sin C A C C A B +=-， 即2cos sin()sin C A C B +=-，因为在三角形中sin()sin 0A C B +=≠，则1cos 2C =-，又(0,)C π∠∈，故23C π∠=； （2）在ABC ∆中，因c =23C π∠=，由余弦定理得2223c a b ab =++=， 即22()332a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时取等号，解得2a b +≤，又由三角形性质得a b c +>=2a b +≤，则2a b c <++≤，即ABC ∆的周长的取值范围为(+. 6. 【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（二)】如图，在四边形ABCD 中，A为锐角，2cos sin()6A A C C π⎛⎫+=-⎪⎝⎭.（1）求A C +；（2）设ABD △、CBD 的外接圆半径分别为1,r 2r ，若1211mr r DB+≤恒成立，求实数m 的最小值. 【思路引导】(1)根据三角函数的和差角公式与三角函数值求解即可. (2)根据正弦定理参变分离,再利用A 的取值范围求解 解：（1）由题, 2cos sin()A A C +=22 / 263sin[()]sin[()]sin(2)sin sin 2A A C A A C A C C C C ++--+=++=-,即1sin(2)sin 22A C C C +=-sin(2)sin 3A C C π⎛⎫⇒+=- ⎪⎝⎭,因为23A C C π+>-.故23A C C π+≠-.所以2233A C C A C πππ++-=⇒+=. （2）122sin 2sin BD BD m A C r r ≥+=+22sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭12sin 2cos 2sin 22A A A ⎛⎫=+⨯-⨯- ⎪⎝⎭3sin A A =6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故当62A ππ+=时6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭有最大值所以m ≥即实数m的最小值为7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值． 【思路引导】（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+，再根据A B C π++=，即可得到sin sin 2sin A B C +=，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1）2a bc +=，利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得cos C 的最小值. 解：（1）由题意知，sin sin sin sin 2()cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B A B+=+， 化简得：2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+ 即2sin()sin sin A B A B +=+，因为A B C π++=， 所以sin()sin()sin A B C C π+=-=，从而sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得2a b c +=. （2）由（1）知，2a bc +=，23 / 26所以222222()3112cos ()22842a b a b a b c b a C ab ab a b ++-+-===+-≥， 当且仅当a b =时，等号成立，故cos C 的最小值为12.8. 【重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考】 在ABC △中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知1cos 2b a Cc =+． (1)求角A ；(2)若·3AB AC =，求a 的最小值． 【思路引导】（Ⅰ）利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出cosA 的值，可得A 的值．解：(1) ∵ABC 中，cos 2cb a C -=， ∴由正弦定理知，1sin sin cos sin 2B AC C -=，∵πA B C ++=，∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+， ∴1sin cos cos sin sin cos sin 2A C A C A C C +-=， ∴1cos sin sin 2A C C =， ∴1cos 2A =，∴π3A =．(2) 由 (1)及·3AB AC =得6bc =，所以222222cos 6266a b c bc A b c bc =+-=+--= 当且仅当b c =时取等号，所以a9. 【吉林省吉林市普通中学2019-2020学年度高三第二次调研测】 已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ； （2）若24a S =，求c bb c+的最大值. 【思路引导】24 / 26（1）由诱导公式和二倍角公式可得sin bc A ，从而得三角形面积；（2）由余弦定理得2222cos 2sin b c bc A a bc A +-==，从而可把22c b b c b c bc++=用角A 表示出来，由三角函数性质求得最大值．解：（1）在ABC ∆中，A B C π++=，∴B C A +=π-∵()sin 220cos 0bc A B C ++=∴2sin cos 20cos 0bc A A A ⋅-= ∵2A π≠，∴cos 0A ≠∴1sin 52S bc A == （2）∵24a S =∴222cos 2sin b c bc A bc A +-= ∴222sin 2cos b c bc A bc A +=+∴222sin 2cos 4c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭ ∴当4A π=时，c bb c+取最大值 10. 【湖南省长沙市浏阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第六次月考】 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan (sin 2cos )cos 2222A C A Ca b a +=． （1）求角B 的值； （2）若△ABC的面积为D 为边AC 的中点，求线段BD 长的最小值．【思路引导】 （1）根据tan(sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=，化简可得cos sin 2A C a b A +=，进一步得到1cos 22B =，然后求出B 的值；（2）由（1）的角B 及三角形面积公式可得ac 的值，因为D 为边AC 的中点，所以1()2BD BA BC =+，利用向量的模和基本不等式可求BD 的取值范围，即可得到BD 的最小值. 解：（1）由tan(sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=，得sin (sin 2cos )cos cos 22222A C A A Ca b a +=，25 / 26即(coscos sin sin )2sin cos 222222A C A C A A a b -=，即cos sin 2A Ca b A +=. 由正弦定理得sin cossin sin 2A C AB A +=，因0,sin 0,sin 02BA A π<<≠≠， 所以cossin 2A C A +=，则sin sin 2sin cos 222B B BB ==， 所以1cos (0)2222B B π=<<， 所以23B π=，即23B π=. （2）由△ABC的面积为1sin 2ac B =12ac =.因为D 为边AC 的中点，所以1()2BD BA BC =+，所以2221(2)4BD BA BC BA BC =++，即222111(2cos )(2)3444BD c a ac B ac ac ac =++≥-==，当且仅当a c ==“=”，所以3BD ≥，即线段BD. 11. ABC ∆中，60,2,B AB ABC ==∆的面积为 （1）求AC（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为边,AB AC 上的点（不包括端点），且120EDF ∠=，求DEF ∆面积的最小值. 【思路引导】 （1）利用1sin 2ABCAB B SBC =⋅⋅⋅求出BC ，再利用余弦定理求AC 即可； （2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，在BDE 中，利用正弦定理表示出DE ，在CDF 中，利用正弦定理表示出DF ，再将DEF的面积表示出来，利用三角函数的性质求其最小值. 解：（1）因为60,2,B AB ==所以11sin 222ABCAB BC B BC B S C =⋅⋅⋅=⨯=， 又ABCS=4BC =，由余弦定理得：2222212cos 24224122ACAB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 所以AC =26 / 26（2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，则60CDF θ︒∠=-，在BDE 中，由正弦定理得：sin sin BD DEBED B=∠，即()2sin 60θ︒=+，所以()sin 60DE θ︒=+， 在CDF 中，由正弦定理得：sin sin CD DFCFD C=∠，由（1）可得22260,,30B BC AC AB C ︒=∴=+=，则()21sin 902DFθ︒+=，所以1cos DF θ=，所以()13sin 24sin 60cos DEFSDE DF EDF θθ︒=⋅⋅⋅∠=+⋅==，当15θ︒=时，()()min sin 2601,6DEP S θ︒+===-故DEF 的面积的最小值为6-.。

理科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,3,4}A =，则UA =A ．{5,6}B ．{1,2,3,4}C ．{2,5,6}D ．{2,3,4,5,6}2．若复数1(2)i m m ++-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是A ．()1,-∞-B ．()2,1-C ．()+∞,2D ．()(),12,-∞+∞3．已知向量()()2,4,,2-==b a m ，且()()b a b a -⊥+，则实数=mA ．4-B ．4C ．2±D ．4±4．733x x ⎛+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项是A ．189B ．63C ．42D ．215．已知323ln 31343,e ,2===cba ，则A ． a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<6．函数1ln )(+=x xx f 的图象大致是A B C D7．设曲线1cos ()sin x f x x+=在3π=x 处的切线与直线1y ax =+平行，则实数a 等于A ．1-B ．23C ．2-D ．28．“关注夕阳，爱老敬老”，某企业从2012年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，下表记录了该企业第x 年（2012年是第一年）捐赠的现金数y （万元）：x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5若由表中数据得到y 关于x 的线性回归方程是35.0ˆ+=mx y，则可预测2019年捐赠的现金大约是A ．5.95万元B ．5.25万元C ．5.2万元D ．5万元9．执行如图所示的程序框图，如果输入2019=n ，则输出的=SA ．40394038B ． 40392019C ．40372018D ．4037403610．若9人已按照一定顺序排成三行三列的方阵，从中任选3人，则至少有两人位于同行或同列的概率是 A ．1314 B ．47C ．37D ．11411．已知112ω>，函数)4π+ω2sin(=)(x x f 在区间π3π(,)22内没有最值，则ω的取值范围A ．11[,]62B ．511,1224⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．15,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,112⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，若两定点,A B 满足2OA OB ==，1OA OB ⋅=，则点集{}|,2,,R P OP OA OB λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是. A ．42 B ．43 C ．62 D ．83二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。