1.3 不等式的解集及答案

1.3 不等式的解集
【课前小测】
1、 叫做方程的解。

例如： 是方程13=-x 的解。

【课堂练习】
1、请举出4个满足不等式13>-x 的x 的值：
8=x ， ， ， ， ，
2、能使不等式 的未知数的值，叫做不等式的解；例如8=x ，或 都是不等式13>-x 的解
3、不等式13>-x 的解有 个，这些解组成了不等式13>-x 的解集
4、求不等式解集的过程叫做 。

5、尝试求解不等式13>-x 的解集，并在数轴上把这些解表示出来。

6、下图中，表示1-<x 正确的是（
）
012-1-2
012-1-2
012-1-2 012-1-2
7、在数轴上表示下列不等式的解集。

① 0>x
② 3-≥x
12-1-2
012-1-2-3-4-5 ③ 2-<x
④ 4
1≤x B A
C
D
012-1-2-3-4-5
12-1-2
8、用不等式表示图中阴影部分内的解集：
0123-1-2 0123-1-2
012-1-2-3 12
-1-2-30
【知识归纳】
能使不等式 的未知数的值，叫做不等式的解；
叫做这个不等式的解集； 叫做解不等式。

【课后作业】
1、课本P12习题1.3
2、、不等式a x ≥-3的解集是1≥x ，则常数a 的值是 。

3、在数轴上表示下列不等式的解集。

① 1->x
② 1-≤x
012-1-2 012-1-2-3-4-5
4、用不等式表示图中阴影部分内的解集：
3。

数学一元一次不等式习题及答案《一元一次不等式》同步练习题(1)知识点:1.一元一次不等式:含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式2.解一元一次不等式的一般步骤:去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1.3.不等式解集及其数轴表示法⑴ 不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示.如:不等式x-2≤6的解集为x≤8.(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式有无限个解.如:同步练习:1.不等式14x-7(3x-8)<4x-4 3.已知关于x的不等式2x-a>- 3 的解集如图所示，则a的值是 ( )A. 0 B.1 C.-1 D.2 4.某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5 %，则至多可打 ( )A.6折 B.7折 C.8折 D.9折5.某旅行社某天有空房10间，当天接待了一个旅游团，当每个房间只住3人时，有一个房间住宿情况是不满也不空，若旅游团的人数为偶数，求旅游团共有多少人 ( )A.27 B. 28 C.29 D.30 填空题(每题4分，共16分)6.武汉市某一天的最低气温为-6℃，最高气温是5℃，如果设这天气温为t ℃，那么t应满足条件7.一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一题得4分，答错或者不答倒扣一份，在这次竞赛中。

小明获得优秀(90分或90分以上)，则小明至少答对了道题。

新课标第一网8.一组学生在校门口拍一张合影，已知冲一张底片需要0.6元，洗一张照片需要0.4元，每人都得到一张照片，每人平均分摊的钱不超过0.5元，那么参加合影的同学至少有人。

9.小王家鱼塘有可出售的大鱼和小鱼共800kg，大鱼每千克售价10元，小鱼每千克售价6元，若将这800kg鱼全部出售，收入可以超过6800元，则其中售出的大鱼至少有多少kg?若设售出的大鱼为x kg，则可列式为三、解答题10.已知某种彩电的出厂价为每台1800元，各种管理费约为出厂价的12%，则商家的零售价为每台多少元，才能保证毛利润不低于15% ?11.为了更好治理洋澜湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，期中每台的价格。

a 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组1.1 不等关系基础巩固1. 在数学表达式①-3<0；②4x+5>0；③x=3；④x 2+x ； ⑤ x -4；⑥ x+2>x+1是不等式的有( )A.2个B.3个C.4个D.5个2. x 的2倍减7的查不大于-1,可列关系式为( )A.2x-7≥-1B. 2x-7<-1C. 2x-7=-1D. 2x-7≥-4 3.下列列出的不等关系式中, 正确的是( )A.a 是负数可表示为a>0B. x 不大于3可表示为x<3C. m 与4的差是负数,可表示为m-4<0D. x 与2的和非负数可表示为x+2>0 4. 代数式3x+4的值不小于0,则可列不等式为( )A. 3x+4<0B. 3x+4>0C. 3x+4≥0D. 3x+4<10 5.下列由题意列出的不等关系中, 错误的是( ) A.a 不是负数可表示为a>0 B. x 不大于3可表示为x ≤3C. m 与4的差是非负数,可表示为x-4≥0D.代数式 x 2+3大于3x-7,可表示为x 2+3>3x-7 6．“—x 不大于—2”用不等式表示为（ ）A .—x ≥—2B .—x ≤—2C .—x ＞—2D .—x ＜—2 7.下列按条件列出的不等式中，正确的是（ ）A .a 不是负数，则a ＞0B .a 与3的差不等于1，则a —3＜1C .a 是不小于0的数，则a ＞0D .a 与 b 的和是非负数，则a ＋b ≥0 8.用不等式表示“a 的5倍与b 的和不大于8”为 _______. 9.a 是个非负数可表示为_______. 10. 用适当的符号表示下列关系: （1）x 的31与x 的2倍的和是非正数；________________________________________ （2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；______________________________________ （3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；______________________________ （4）明天下雨的可能性不小于70%；__________________________________________ （5）小明的身体不比小刚轻._________________________________________________ 能力提升11．有理数a 与b 在数轴上的位置如图1—1（1）a 0； （2）b 0； （3）a b ；（4）a＋b0；（5）a－b0．12．一个两位数的十位数字是x，个位数字比十位数字小3，并且这个两位数小于40，用不等式表示数量关系．13．一个工程队原定在10天内至少要挖掘600m3的土方，在前两天共完成了120 m3后，又要求提前2天完成掘土任务，问以后每天至少要挖多少土方？（只列关系式）14．爸爸为小明存了一个3年期教育储蓄（3年期的年利率为2．7%），3年后希望取得5400元以上，他至少要存如多少元？（只列关系式）15.某校规定期中考试成绩的40%和期末考试成绩的60%的和作为学生成绩总成绩.该校骆红同学期中数学考了85分,她希望自己学期总成绩不低于90分,她在期末考试中数学至少应得多少分?(只列关系式)16.某次数学测验,共有16道选择题,评分方法是:答对一题得6分,不答或答错一题扣2分,某同学要想得分为60分以上,他至少应答对多少道题?(只列关系式)17．（1）用适当的符号填空①∣3∣＋∣4∣∣3＋4∣；②∣3∣＋∣－4∣3＋（－4）∣；③∣－3∣＋∣4∣∣－3＋4∣；④∣－3∣＋∣－4∣∣－3＋（－4）∣；⑤∣0∣＋∣4∣∣0＋4∣；（2）观察后你能比较∣a∣＋∣b∣和∣a＋b∣的大小吗？1.2不等式的基本性质基础巩固1.判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×” （1）不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ ） （2）如果a ＞b ，那么3－2a ＞3－2b.（ ） （3）如果a 是有理数，那么－8a ＞－5a.（ ） （4）如果a ＜b ，那么a 2＜b 2.（ ） （5）如果a 为有理数，则a ＞－a.（ ） （6）如果a ＞b ，那么ac 2＞bc 2.（ ） （7）如果－x ＞８，那么x ＞－8.（ ） （8）若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c.（ ） 2.若x ＞ｙ，则ax ＞ay ，那么a 一定为（ ） A ．a ＞０ B ．ａ＜０ C ．ａ≥0 D ．a ≤0 3.若m ＜ｎ，则下列各式中正确的是（ ）A ．m －3＞ｎ－3 B.3m ＞3n C.－3m ＞－3n D.1133m n->- 4.若a ＜0，则下列不等关系错误的是（ ） A ．a ＋5＜a ＋7 B.5a ＞7a C.5－a ＜7－a D.57a a > 5.下列各题中，结论正确的是（ ）A ．若a ＞0，b ＜0，则0ba> B ．若a ＞b ，则a －b ＞0 C ．若a ＜0，b ＜0，则ab ＜0 D ．若a ＞b ，a ＜0，则0ba<6.下列变形不正确的是（ ）A ．若a ＞b ，则b ＜aB ．－a ＞－b ，得b ＞aC ．由－2x ＞a ，得2a x >-D ．由2xy >-，得x ＞－2y 7.有理数b 满足︱b ︱＜3，并且有理数a 使得a ＜b 恒成立，则a 得取值范围是（ ） A ．小于或等于3的有理数 B ．小于3的有理数 C ．小于或等于－3的有理数 D ．小于－3的有理数 8.若a －b ＜0，则下列各式中一定成立的是（ ）A ．a ＞bB ．ab ＞0C ．0ba< D ．－a ＞－b 9.绝对值不大于2的整数的个数有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 10.若a ＜0，则－2b a +____－2b11.设a ＜b ，用“＞”或“＜”填空：a －1____b －1， a ＋3____b ＋3， －2a____－2b ，3a ____3b12.实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：a －b____0， a ＋b____0，ab____0，a 2____b 2，a 1____b1，︱a ︱____︱b ︱ 13.若a ＜b ＜0，则21（b －a ）____0 14.根据不等式的性质，把下列不等式表示为x ＞a 或x ＜a 的形式： （1）10x －１＞9x （2）2x ＋2＜3 （3）5－6x ≥2 能力提升15.某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5 元的价格购进同一种商品40件.如果商店销售这些商品时，每件定价为x 元，可获 得大于12％的利润，用不等式表示问题中的不等关系，并检验x ＝14（元）是否使 不等式成立？01234-1-2-3图3—101234-1-2-3图3—21.3 不等式的解集基础巩固1．在数轴上表示下列不等式的解集：（1）x ≥3； （2）x ≤－1；（3）x ＜0； （4）x ＞－1．2．写出图3—1和图3—2所表示的不等式的解集：（1）（2）3.下列不等式的解集,不包括-4的是( )A.X ≤-4B.X ≥-4C.X<-6D.X>-6 4.下列说法正确的是( )A.X=1是不等式-2X < 1的解集B.X=3是不等式-X < 1的解集C.X>-2是不等式-2X < 1的解集D.不等式-X<1的解集是X > —1 5.不等式X-3>1的解集是( )A.X>2B. X>4C.X-2>D. X>-4 6.不等式2X<6的非负整数解为( )A.0,1,2B.1,2C.0,-1,-2D.无数个 7.用不等式表示图中的解集,其中正确的是( )A. X ≥-2B. X>-2C. X<-2D. X ≤-2 8.下列说法中,错误的是( )A.不等式X<5的整数解有无数多个B.不等式X>-5的负整数解有有限个C.不等式-2X<8的解集是X<-4D.-40是不等式2X<-8的一个解 9.-3X ≤9解集在数轴上可表示为( )10．如果不等式ax ≤2的解集是x ≥－4，则a 的值为 （ ）A ．a =21-B ．a ≤21-C ．a ＞21- D ．a ＜2111.不等式X-3<1的解集是_____________. 12.如图所示的不等式的解集是_____________.13.当X_______时,代数式2X-5的值为0,当X_______时,代数式2X-5的值不大于0. 14.在数轴上表示下列不等式的解集.（1）X>2.5； (2) X<-2.5； (3) X ≥3能力提升15.试求不等式X+3≤6的正整数解.16．写出适合不等式－2≤x ≤4的所有整数，即不等式－2≤x ≤4的整数解．其中哪些整 数同时适合不等式－2＜x ＜4？17．当x 取负数时，都能使不等式x －1＜0，能说不等式的解集是x ＜0吗？为什么？1.4 一元一次不等式基础巩固1.下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ） A ．4＞1 B ．3x －24＜4 C ．12x< D ．4x －3＜2y －7 2.与不等式321132x x -+<-有相同解集的是（ ） A ．3x －3＜（4x ＋1）－1 B ．3(x-3)＜2（4x ＋1）－1C ．2(x-3)＜3（2x ＋1）－6D ．3x －9＜4x －4 3.不等式13(19)762x x -<--的解集是（ ） A ．x 可取任何数 B ．全体正数 C ．全体负数 D ．无解4.关于x 的方程5－a(1－x)＝8x －(3－a)x 的解是负数，则a 的取值范围是( ) A ．a ＜－4 B ．a ＞5 C ．a ＞－5 D ．a ＜－55.若方程组3133x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解为x 、y ，且x ＋y ＞0，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞4B ．k ＞－4C ．k ＜4D ．k ＜－46.不等式2x －1≥3x 一5的正整数解的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47.不等式732122x x --+<的负整数解有（ ）. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8.若不等式（3a －2）x ＋2＜3的解集是x ＜2，那么a 必须满足( ) A ．a ＝56 B ．a ＞56 C ．、a ＜56 D ．a ＝－129.不等式10(x －4）＋x ≥－84的非正整数解是_____________ 10.若51)2(12>--+m xm 是关于x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为11.已知2R －3y ＝6，要使y 是正数，则R 的取值范围是_______________. 12.若关于x 的不等式(2n －3)x ＜5的解集为x ＞－31，则n ＝ 13.不等式12xx ->与65ax x ->的解集相同，则a =______. 能力提升14.若关于x 的不等式x －1≤a 有四个非负整数解，则整数a 的值为15.不等式3211(43)(76)1526x x x +--=--的非正整数解 _____.16.当k 时，代数式23(k-1)的值不小于代数式1-516k -的值.17.解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来: （1）3(1)4(2)3x x +<-- （2）215132x x -+-≤1（3）0.4150.52x x ---≤0.030.020.03x - （4）12534x x -+-＞－218.求不等式285-x ≤418-x 的非负数解.19.若关于x 的方程组⎩⎨⎧-=++=+134123p y x p y x 的解满足x >y ，求p 的取值范围.20.若2（x ＋1）－5＜3（x －1）＋4的最小整数解是方程13x －mx ＝5的解，求代数式2211m m --的值.1.5 一元一次不等式与一次函数基础巩固1.已知函数y ＝8x －11，要使y ＞0，那么x 应取( ) A ．x ＞811 B ．x ＜811C ．x ＞0D ．x ＜02.已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像，如图5—1所示，当x ＜0时，y 的取值范围是（ •） A ．y ＞0 B ．y ＜0 C ．－2＜y ＜0 D ．y ＜－23.已知y 1＝x －5，y 2＝2x ＋1．当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）． A ．x ＞5 B ．x ＜12C ．x ＜－6D ．x ＞－6 4.已知一次函数y kx b =+的图象如图5—2所示，当x ＜2时，y 的取值范围是（ ） A ．－2＜y ＜0B ．－4＜y ＜0C ．y ＜－2D ．y ＜05.一次函数y 1＝kx ＋b 与y 2＝x ＋a 的图象如图5—3，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x ＜3 时，y 1＜y 2中，正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．36.如图5—4，直线y kx b =+交坐标轴于A ，B 两点，则不等式0kx b +>的解集是（ ） A ．x ＞－2B ．x ＞3C ．x ＜－2D ．x ＜37.已知关于x 的不等式ax ＋1＞0（a ≠0）的解集是x ＜1，则直线y ＝ax ＋1与x 轴的交点是（ ）A ．（0，1）B ．（－1，0）C ．（0，－1）D ．（1，0）图5—33Oy 2=x＋ay 1=kx＋b图5—20 2 －4xy图5—18.直线1l ：1y k x b =+与直线2l ：2y k x =在同一平面直角坐标系中的图象如图5—5所示，则关于x 的不等式12k x b k x +>的解为（ ） A ．x ＞－1B ．x ＜－1C ．x ＜－2D ．无法确定9.若一次函数y ＝(m －1)x －m ＋4的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，则m 的取值范围是________.10.如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李的重量的关系为一次函数，由图5-6可知行李的重量只要不超过________千克，就可以免费托运.11.当自变量x 时，函数y ＝5x ＋4的值大于0；当x 时，函数y ＝5x ＋4的值小于0.12.已知2x －y ＝0，且x －5＞y ，则x 的取值范围是________．13.如图5-7，已知函数y ＝3x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式3x ＋b ＞ax －3的解集是_______________。

1.3 不等式的解集A卷：基础题一、选择题1．下面说法正确的是（）A．x=3是不等式2x>3的一个解B．x=3是不等式2x>3的解集C．x=3是不等式2x>3的唯一解D．x=3不是不等式2x>3的解2．在数轴上表示x<－3的解集，下图中表示正确的是（）3．如图，数轴上表示的数的范围是（）A．－2<x<4 B．－2<x≤4C．－2≤x<4 D．－2≤x≤44．如图，在数轴上表示不等式2x－6≥0的解集，正确的是（）A B C D二、填空题5．a≥1的最小值是m，b≤8的最大值是n，则m+n=_____．6．班级组织有奖知识竞赛，小明用100元班费购买笔记本和钢笔共30件，•已知笔记本每本2元，钢笔每支5元，那么小明最多能买钢笔_____支．7．一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是______．8．不等式2x+3>9的解集是_____．三、解答题9．在数轴上表示下列不等式的解集：（1）x>12；（2）x≤－110．三个连续奇数之和不大于70，那么这三个奇数中最大奇数可能取的最大值是多少？11．如果方程组523,52m n am n a+=+⎧⎨+=-⎩的解满足m+n≤6，求a的取值范围．12．已知不等式3（x+5）－6>5与不等式5x+6a>4的解集相同，求a的值．B 卷：提高题一、七彩题1．（一题多解）当x 取哪些整数时，不等式x+2<12（x+5）与不等式3（x －2）+9>2x 同时成立？2．（一题多变题）已知│2x －24│+（3x －y －k ）2=0，若y<0，求k 的取值范围．（1）一变：y>0，求k 的取值范围；（2）二变：k>0，求y 的取值范围；（3）三变：k<0，求y 的取值范围．二、知识交叉题3．（科内交叉题）已知x=3是方程x=2x a －1的解，求不等式（10－a ）x<53的解集．三、实际应用题4．朱妞家计划用40000元装修新房，新房的使用面积为100平方米，卫生间和厨房共10平方米，厨房和卫生间装修的工料费为每平方米200元，•卫生间和厨房配套的卫生洁具和厨房厨具还要用去2000元，这种情况下，居室和客厅装修工料费x（元/•平方米）应满足什么样的条件，才不会超过预算．四、经典中考题5．（2007，青海，2分）不等式8－3x≥0的最大整数解是______．6．（2008，上海，4分）不等式x－3<0的解集是____．C卷：课标新型题1．（结论开放题）写出四个满足不等式3x－2≤5x+8的负整数解．2．（说理题）在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛试题共有25道，•每道题都给出4个选项，其中只有一个选项是对的，要求学生把正确选项写出来，每题选对得4分，不选或错选扣2分，如果一个学生在本次竞赛中，得分不低于60分，•那么他至少选对多少道题？3.请同学们讨论下列各题的说法对不对？如果不对，请说明理由．（1）x=3是不等式3x<11的一个解；（2）x=3是不等式3x<11的一个解集；（3）不等式3x<11的解集是x<3；（4）不等式3x<11的解集是x<11 3．参考答案A卷一、1．A 2．B 3．B4．B 点拨：不等式两边都加上6，得2x≥6，不等式两边都除以2，得x≥3．二、5．9 点拨：因为a≥1的最小值是m，所以m=1，因为b≤8的最大值是n，所以n=8，所以m+n=1+8=9．6．13 点拨：设能买钢笔x支，则买笔记本（30－x）本，依题意5x+2（30－x）≤100，解得x≤403，故最多可买钢笔13支．7．15 点拨：第三边的取值范围是4<x<10，所以第三边长的最小整数值为5，故这样的三角形的周长最小值是3+7+5=15．8．x>3 点拨：不等式2x+3>9的两边都减去3，得2x>6，不等式两边都除以2，得x>3．三、9．解：（1）如图1所示，（2）如图2所示．图1 图2点拨：在数轴上表示不等式的解集时应牢记：边界点含于解集用实心圆点，•不含于解集用空心圆圈；方向遵循“大于向右走，小于向左走”的原则．10．解：设这三个连续奇数分别为n－2，n，n+2，依题意，得n－2+n+n+2≤70，3n≤70，n≤2313，n的最大值为23，当n=23时，n+2=23+2=25．这三个奇数中最大奇数可能取的最大值是25．点拨：根据题意列出关于n的不等式，求出n的解集，当n取最大值时，求最大奇数的值．11．解：523(1)52(2)m n am n a+=+⎧⎨+=-⎩（1）+（2）得6（m+n）=4+2a，所以m+n=426a +=23a +，因为m+n≤6，所以23a +≤6，a≤16． 12．解：由3（x+5）－6>5得x>－43，由5x+6a>4得x>465a -， 由题意知－43=465a -，a=169． 点拨：本题是不等式与方程的综合综合，先解两个不等式，•根据两个不等式的解集相同得到方程，解这个方程求出a 的值．B 卷一、1．解法一：解不等式x+2<12（x+5）得2x+4<x+5，2x －x<5－4， 所以x<1．解不等式3（x －2）+9>2x 得3x －6+9>2x ，3x －2x>－3，所以x>－3．用数轴表示以上两个不等式的解集如图所示．所以x 取－2，－1，0时，两个不等式同时成立．解法二：解不等式x+2<12（x+5）得x+2<12x+52，x －12x<52－2，12x<12，x<1．解不等式3（x －2）+9>2x 得x>－3．用数轴表示以上两个不等式的解集如图所示，所以x 取－2，－1，0时，两个不等式同时成立．2．解：由非负数的性质，得2240,30,x x y k -=⎧⎨--=⎩，所以12,36.x y k =⎧⎨=-⎩， 因为y<0，所以36－k<0，所以k>36．（1）当y>0时，36－k>0，所以k<36．（2）由y=36－k 得k=36－y ，若k>0，则36－y>0，所以y<36．（3）若k<0，则36－y<0，所以y>36．点拨：本题考查非负数的性质及解简单的不等式．二、3．解：由x=2x a -－1得2x=x －a －2，因为x=3，所以a=－x －2=－3－2=－5，所以不等式（10－•a）x<53为（10+5）x<53，15x<53，x<19．点拨：本题是方程与不等式的综合运用，通过解方程求出a的值，把a•的值代入到不等式，然后求不等式的解集．三、4．解：由题意得（100－10x）+10×200+2000≤40000，所以x≤400，即每平方米最多用400元才不会超过预算．四、5．2 点拨：解这个不等式，得x≤223，所以不等式8－3x≥0的最大整数解是2．6．x<3C卷1．解：－1，－2，－3，－4．点拨：解不等式3x－2≤5x+8，得x≥－5，•所有满足题意的负整数解有－1，－2，－3，－4，－5．此题答案不唯一，任意写出四个即可．2．解：设该学生选对了x道题，则不选或错选（25－x）道题，由题意，得4x－2（25－x） ≥60，解得x≥1813，所以，该生至少选对19道题．点拨：此类题目必须算清得分与失分两层意思，并用含未知数的式子表示出来方能利用不等式的邻界点和题目实际求得结果．x不能取18，理由是18不在x≥1813的范围内．3.解：（1）这句话是正确的；（2）不正确，•因为不等式的解集是所有符合条件的解的集合，3只是其中之一；（3）不等式的解集是所有符合条件的解的集合，而x<3却丢掉了其中的一部分，所以说法（3）不正确，而（4）正确．。

励志长廊：鸟欲飞高先振翅，人求上进先读书。

寒假作业之七 不等式的解集学习目标及导航预习课本10-11页内容，掌握11页议一议的数轴表示方法。

1．正确理解不等式解和解集的概念（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

如6、7、8都是x ＞5的解（2）不等式的解集：如6，7，8，9，10…都是x ＞5的解，不等式的解不唯一，因此把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集。

（3）解不等式：求不等式解集的过程叫解不等式。

2．利用数轴表示不等式的解集如下图，不等式x ＞5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示，在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈，表示5不在这个解集内.如下图，不等式x －5≤－1的解集x ≤4可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示，在数轴上表示4的点的位置上画实心圆点，表示4在这个解集内.题型归类：不等式的解和解集的概念：1．下列说法正确的是（ B ）A . x=3是不等式x+1>2的解集B . x=5是不等式-3x ＜6的一个解C . 不等式-4x>8的解集为x=-2 D. 不等式-6x<18的解集为x<-3不等式解集的表示方法：2．如图所示，在数轴上表示不等式x ≥－1的解集，正确的是( C ) 1．下列说法错误的是（ C ）A ． x=-3是不等式-4x ≤12的一个解B ． x=0.5不是不等式2 x+1>0的解C . x>4中的任何一个数都使x-1>0成立，因而x>4是x-1>0的解集学号： 预估时间： 40分钟○○ · ·1 0 -2-1 C 10 -2-1 1 0 -2-1 1 0 -2-1 DBAD. 不等式-6x<18的整数解有无数多个2.下列不等式的解集中，不包括-4的是（ C ）A. x ≤-4B. x ≥-4C. x ≤-5D. x ≥-53．不等式－3≤x <2的整数解的个数是（ B ）A.4个B.5个C.6个D.无数个4.（1）不等式31x -<的正整数解是 1，2，3 ；（2）不等式52x x <的解集是 x<0 ；（3）不等式215x +<的非负整数解为 0，1 ，215x +>的非负整数解有 无数 个；5.将下列不等式的解集分别表示在数轴上：（1）x ≤2 （2）2x+5<3x-2 （3)-1≤x ≤3图略 x>7，图略 图略6. 写出图（1），（2）所表示的不等式的解集：x ≥3-2≤x<47．若不等式（a+2）x>（a+2）的解集为x<1，则a 的取值范围为 a<-28.写出一个不等式，使它的解集满足下列条件：（1）它的正整数解为3，4，5 （2）它的非负整数解为0，1，2，3答案不唯一 3≤x<6 -5＜x ＜4选做题目：9．已知关于x 的不等式m-2x<3的解集如图所示，则m= 710. 如果不等式30x m -≤的正整数解是123，，，那么m 的取值范围是什么？并在数轴上表示出来．9＜m ≤12 图略(2) 4(1)。

第8讲用数轴表示不等式的解集及一元一次不等式组知识精要一、不等式的解集1、不等式解的全体叫做不等式的解集。

（注：一般情况下一元一次方程的解只有一个，一元一次不等式的解可以有无数个。

）2、不等式的解集可以再数轴上直观的表示出来。

如：在数轴上表示大于3的数的点应该数3所对应点的左边还是右边？(右边)因此我们可以在数轴上把x＞3直观地表示出来.画图时要注意方向(向右)和端点(不包括数3,在对应点画空心圆圈).如图所示:同样，如果某个不等式的解集为x≤-2,那么它表示x取那些数？此时在作x≤-2的数轴表示时，要包括-2的对应点,因而在该点处应画实心圆点.如图所示:引导学生总结出在数轴上表示不等式解集的要点：小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画实心圆点。

2、一元一次不等式组1、有几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

2、不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程叫做解不等式组。

4、解一元一次不等式组的一般步骤是:（1）求出不等式组中各个不等式的解集；（2）在数轴上表示各个不等式的解集；（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集。

【典型例题】例1. 解不等式3(1)5182x x x +-+>-【思路点拨】不等式中含有分母，应先根据不等式的基本性质2去掉分母，再作其他变形．去分母时，不要忘记给分子加括号．【答案与解析】解：去分母，得8x+3(x+1)＞8-4(x -5)， 去括号，得8x+3x+3＞8-4x+20， 移项，得8x+3x+4x ＞8+20-3，合并同类项，得15x ＞25，系数化为1．得．53x >∴不等式的解集为．53x >【总结升华】解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤异同见下表：ax ＝bax ＞bax ＜b解：当a ≠0时，；b x a=当a ＝0，b ≠0时，无解；当a ＝0，b ＝0时，x为任意有理数．解：当a ＞0时，；b x a>当a ＜0时，；b x a<当a ＝0，b ≥0时，无解；当a ＝0，b ＜0时，x 为任意有理数．解：当a ＞0时，；b x a<当a ＜０时，；b xa>当a ＝0，b ≤0时，无解；当a ＝0，b ＞0时，x 为任意有理数．【变式】(湖南益阳)解不等式，并把解集在数轴上表示出来．5113x x -->解：去分母得5x -1-3x ＞3，移项、合并同类项，得2x ＞4， 系数化为1，得x ＞2，解集在数轴上的表示如图所示．例2.某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表：一户居民每月用电量x （单位：度）电费价格（单位：元/度）0＜x≤200a 200＜x≤400b x ＞4000.92（1）已知李叔家四月份用电286度，缴纳电费178.76元；五月份用电316度，缴纳电费198.56元，请你根据以上数据，求出表格中a ，b 的值．（2）六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过300元，那么李叔家六月份最多可用电多少度？【思路点拨】（1）根据题意即可得到方程组，然后解此方程组即可求得答案；（2）根据题意列不等式，解不等式．【答案与解析】解：（1）根据题意得：，解得：．（2）设李叔家六月份最多可用电x 度，根据题意得：200×0.61+200×0.66+0.92（x﹣400）≤300，解得：x≤450．答：李叔家六月份最多可用电450度．【总结升华】考查了一元一次方程组与一元一次不等式的应用．注意根据题意得到等量关系是关键．例3. 解不等式组： ，并求出正整数解。

2.2.2不等式的解集课标要求 1.了解不等式(组)解集的概念，会求简单的一元一次不等式(组)的解集.2.了解绝对值不等式的概念，会求形如|x|≤m，|x|≥m的绝对值不等式的解集. 素养要求 1.通过求不等式(组)的解集，提升数学运算素养.2.通过学习绝对值不等式及其解法，提升直观想象及数学运算素养.一、集合的基本概念1.思考解不等式时常用不等式的哪些性质？提示不等式的性质；常用以下四条性质：性质1a>b⇒a＋c>b＋c性质2a>b，c>0⇒ac>bc性质3a>b，c<0⇒ac<bc推论1a＋b>c⇒a>c－b2.填空(1)不等式的解集不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.(2)不等式组的解集对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.温馨提醒(1)求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解).(2)不等式组中若有一个不等式的解集为∅，则不等式组的解集为∅；每一个不等式的解集均不是∅，不等式组的解集也可能是∅.3.做一做(1)不等式4x－511<1的正整数解的个数为________.答案 3(2)不等式组⎩⎨⎧－2x －5≥0，2x －32≥0的解集为________.答案 ∅二、绝对值不等式1.思考 方程|x |＝3的解是什么？你能给出|x |>3的解集吗？解绝对值不等式的基本思路是什么？提示 方程|x |＝3的解是x ＝±3.结合y ＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0－x ，x <0的图像求得|x |>3的解集为{x |x >3，或x <－3}.去绝对值号，进行等价转化，再解不含绝对值号的不等式. 2.填空 (1)绝对值不等式的概念一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式. (2)两种简单的绝对值不等式的解集①关于x 的不等式|x |>m (m >0)的解为x >m 或x <－m ，解集为(－∞，－m )∪(m ，＋∞)；②关于x 的不等式|x |<m (m >0)的解为－m <x <m ，解集为(－m ，m ). (3)数轴上两点之间的距离公式及线段中点的坐标公式①一般地，如果实数a ，b 在数轴上对应的点分别为A ，B ，即A (a )，B (b )，则线段AB 的长为AB ＝|a －b |，这就是数轴上两点之间的距离公式.②如果线段AB 的中点M 对应的数为x ，即M (x )，则x a ＋b2；这就是数轴上的中点坐标公式.温馨提醒 (1)|ax ＋b |≤c 和|ax ＋b |≥c 型不等式的解法 |ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； |ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(2)|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想.3.做一做 若A ，B 两点在数轴上的坐标分别为A (2)，B (－4)，则AB ＝________，线段AB 的中点M 的坐标为________. 答案 6 －1题型一 解不等式组例1 解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥－7＋x 2，3（x ＋1）≤5x －1.解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥－7＋x 2，①3（x ＋1）≤5x －1，②①式两端同时乘以2，得2x ＋2≥－7－x ， 然后两端同时加上x －2，得3x ≥－9， 不等式3x ≥－9两端同时乘以13，得x ≥－3， 同理，解不等式②得x ≥2， 所以不等式组的解集是[2，＋∞). 思维升华 一元一次不等式组的解法 (1)分开解：分别解每个不等式，求出其解集.(2)集中判：根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到，确定不等式组的解集.(或把不等式的解集在数轴上表示出来，数形结合确定不等式组的解集)训练1 解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3（x －1）<2x ，①x 3－1＋x 2<1.②解 由①得x <3， 由②得x >－9.所以原不等式组的解集为(－9，3). 题型二 含一个绝对值的不等式的解法 例2 求下列绝对值不等式的解集： (1)|3x －1|≤6；(2)3≤|x －2|<4.解 (1)因为|3x －1|≤6⇔－6≤3x －1≤6， 即－5≤3x ≤7，从而得－53≤x ≤73，所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53≤x ≤73. (2)因为3≤|x －2|<4，所以3≤x －2<4或－4<x －2≤－3， 即5≤x <6或－2<x ≤－1.所以原不等式的解集为：{x |－2<x ≤－1，或5≤x <6}. 思维升华 绝对值不等式的解题策略：等价转化法 (1)形如|x |<a ，|x |>a (a >0)型不等式： |x |<a ⇔－a <x <a . |x |>a ⇔x >a 或x <－a .(2)形如a <|x |<b (b >a >0)型不等式： a <|x |<b (0<a <b )⇔a <x <b 或－b <x <－a . 训练2 不等式|2x ＋1|>3的解集是( ) A.{x |x <－2，或x >1} B.{x |－2<x <1} C.{x |x <－2，或x ≥1} D.{x |－2≤x <1} 答案 A解析 由|2x ＋1|>3，得2x ＋1>3或2x ＋1<－3，因此x <－2或x >1，所以原不等式的解集为{x|x<－2，或x>1}.题型三解含有两个绝对值的不等式例3 解不等式|x－1|＋|x－2|≤5.解法一①当x≤1时，原不等式变为1－x＋2－x≤5，∴－1≤x≤1；②当1<x≤2时，原不等式变为x－1＋2－x≤5，1≤5恒成立，∴1<x≤2；③当x>2时，原不等式变为x－1＋x－2≤5，∴2<x≤4，综上，原不等式的解集为[－1，4].法二如图，设数轴上与1，2对应的点分别为A，B，那么A，B两点间的距离为1，因此区间[1，2]上的数都是不等式的解.设在A左侧有一点A1到A，B两点的距离和为5，A1对应数轴上的x，所以1－x＋2－x＝5，得x＝－1.同理，设B点右侧有一点B1到A，B两点的距离和为5，B1对应数轴上的x，所以x－1＋x－2＝5，得x＝4.从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于5，点A1的左侧或点B1的右侧的任何点到A，B的距离之和都大于5，所以原不等式的解集是[－1，4].思维升华 1.去绝对值号，利用零点分段法分类讨论求解.2.利用绝对值的几何意义解决含有两个绝对值的不等式|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c比较直观，但只适用于数据较简单的情况.训练3 (1)求不等式|x－1|＋|x－2|>2的解集；(2)已知数轴上A(x)，B(－1)，且线段AB的中点到C(1)的距离大于5，求x的取值范围.解 (1)法一 设A (1)，B (2)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则|x －1|＋|x －2|>2⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32>1⇔x－32<－1或x －32>1⇔x <12或x >52，∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.法二 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，1－x ＋2－x ＞2或⎩⎪⎨⎪⎧1<x <2，x －1＋2－x >2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －1＋x －2>2，解得x <12或无解或x >52，∴x <12或x >52.故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.(2)AB 的中点M ⎝⎛⎭⎪⎫x －12， 由题意⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12－1>5，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32>5，∴|x －3|>10，x －3<－10或x －3>10， 即x <－7或x >13，∴x 的取值范围是(－∞，－7)∪(13，＋∞). [课堂小结]1.解不等式的过程中要不断地使用不等式的性质.求不等式组解集时常利用数轴求交集.2.含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集x ≠0}一、基础达标1.代数式1－m 的值大于－1，又不大于3，则m 的取值范围是( ) A.(－1，3] B.[－3，1) C.[－2，2) D.(－2，2]答案 C解析 由题意知－1<1－m ≤3， ∴－2≤m <2.2.(多选)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －13>1，x >m ，m ∈N 的解集为(2，＋∞)，则m 的值可以是( )A.0B.1C.2D.3答案 ABC解析 由2x －13>1，得x >2.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x >m ，m ∈N 的解集为(2，＋∞)，∴m ≤2，又m ∈N ， 故m ＝0，1，2.3.若方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝1＋m ，2x ＋y ＝3中，未知数x ，y 满足x ＋y >0，则m 的取值范围是( )A.(－4，＋∞)B.[－4，＋∞)C.(－∞，－4)D.(－∞，－4] 答案 A解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1＋m ，2x ＋y ＝3得⎩⎨⎧x ＝5－m3，y ＝2m －13.由x ＋y >0，得5－m 3＋2m －13>0， 解得m >－4.4.设不等式|x －a |<b 的解集为(－1，2)，则a ，b 的值分别为( ) A.1，3 B.－1，3 C.－1，－3 D.12，32答案 D解析 由|x －a |<b ，得a －b <x <a ＋b . 由题意(a －b ，a ＋b )＝(－1，2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，a ＋b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝32.5.对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，则k 的取值范围为( ) A.(－∞，3) B.(－∞，－3) C.(1，3] D.(－∞，－3] 答案 B解析 |x ＋1|，|x －2|的几何意义分别为数轴上的点X 到表示－1和2的点的距离，|x ＋1|－|x －2|的几何意义为两距离之差，由图可得其最小值为－3，故选B.6.已知数轴上，A (x )，B (1)，且AB ＝72，则x 的值为________. 答案 92或－52解析 由题意|x －1|＝72，∴x －1＝±72， ∴x ＝92或x ＝－52.7.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －13－5x －12≤1，5x －2<3（x ＋2）的所有正整数解的和为________.答案 6解析 解原不等式组，得不等式组的解集是－511≤x ＜4，所以不等式组的正整数解是1，2，3，故它们的和为1＋2＋3＝6. 8.不等式|x ＋1|>|5－x |的解集是________. 答案 (2，＋∞)解析 两边平方得(x ＋1)2>(5－x )2， 即x 2＋2x ＋1>25－10x ＋x 2，∴x >2. 9.已知数轴上，A (－1)，B (x )，C (6). (1)若A ，B 关于点C 对称，求x 的值；(2)若线段AB 的中点到C 的距离小于5，求x 的取值范围. 解 (1)由数轴上中点坐标公式得6＝－1＋x2， ∴x ＝13.(2)AB 的中点为－1＋x2， 由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12－6<5，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －132<5，|x －13|<10， ∴－10<x －13<10，3<x <23， 即x 的取值范围是(3，23). 10.解不等式3<|2x －3|<5. 解 ∵3<|2x －3|<5，∴3<2x －3<5或－5<2x －3<－3，即3<x <4或－1<x <0.故原不等式的解集为(－1，0)∪(3，4). 二、能力提升11.(多选)|2x －1|>1的充分不必要条件可以是( ) A.x >1 B.x <0 C.x >1或x <0 D.0<x <1答案 AB解析 由|2x －1|>1得2x －1>1，或2x －1<－1，解得x >1或x <0，故选AB. 12.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1＋x <a ，x ＋92＋1≥x ＋13－1有解，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－36，＋∞)解析 解不等式1＋x ＜a ，得x ＜a －1.解不等式x ＋92＋1≥x ＋13－1，得x ≥－37.因为不等式组有解，所以a －1＞－37， 即a ＞－36.13.解不等式|x －1|＋|x ＋2|<5. 解 法一 记A (1)，B (－2)，则AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，|x －1|＋|x ＋2|<5⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<52，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12<52， ∴－52<x ＋12<52，－3<x <2，故原不等式的解集为(－3，2). 法二 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）<5或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）<5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）<5，解得－3<x ≤－2或－2<x <1或1≤x <2，∴－3<x <2.故原不等式的解集为(－3，2).三、创新拓展14.已知不等式|x ＋2|－|x ＋3|＞m ，求出满足下列条件的m 的取值范围.(1)不等式有解；(2)不等式解集为R ；(3)不等式解集为∅.解 法一 因|x ＋2|－|x ＋3|的几何意义为数轴上任意一点P (x )与两定点A (－2)，B (－3)距离的差.即|x ＋2|－|x ＋3|＝P A －PB .由图像知(P A －PB )max ＝1，(P A －PB )min ＝－1.即－1≤|x ＋2|－|x ＋3|≤1.(1)若不等式有解，m 只要比|x ＋2|－|x ＋3|的最大值小即可，即m ＜1， m 的范围为(－∞，1).(2)若不等式的解集为R ，即不等式恒成立，m 只要比|x ＋2|－|x ＋3|的最小值还小，即m ＜－1，m 的范围为(－∞，－1).(3)若不等式的解集为∅，m 只要不小于|x ＋2|－|x ＋3|的最大值即可，即m ≥1，m 的范围为[1，＋∞).法二 由|x ＋2|－|x ＋3|≤|(x ＋2)－(x ＋3)|＝1，|x ＋3|－|x ＋2|≤|(x ＋3)－(x ＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1).(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1).(3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞).。