全微分方程的不定积分解法及其证明
一个一阶微分方程写成
P (x,y ) dx + Q (x,y ) dy = 0 ⑴
形式后，如果它的左端恰好是某一个函数u= u (x,y ) 的全微分：
du (x,y ) = P (x,y ) dx + Q (x,y ) dy
那么方程⑴就叫做全微分方程。这里
5u
5x
= P (x,y ），
5u
5y
= Q (x,y )
方程⑴就是du (x,y ) = 0,其通解为：
u (x,y ) = C(C 为常数）
可见，解全微分方程的关键在于求原函数u (x,y ）。因此，本文将提供一种求原函数u (x,y ) 的简捷
方法，并给出证明。
1引入记号
为了表述方便，先引入记号如下：
设M (x,y ) 为一个含有变量x,y 项的二元函数，定义：
⑴“M (x
q
,y ) ”表示M (x,y ) 减去它里面含有变量x 的项;
⑵“M (x,y
q
）”表示M (x,y ) 减去它里面含有变量y 的项；
注意：常数项看作既不含变量x 也不含变量y 的项。
现举一例如下：
设：M (x,y ) = xy + x ey+ x
1- x
+ sinx+ co sx co sy + y 2+ 1
按记号定义有：
M (x
q
,y ) = M (x,y ) - (x y + x ey +
x
1 - x
+ sinx + co sx co sy ) = y 2 + 1
M (x,y
q
）= M (x,y ) - (x y + x ey + co sx co sy + y 2) =
x
1 - x
+ sinx + 1
2u (x,y ) 的简捷求法
引理设开区域G 是一个单连通域，函数P (x,y ),Q (x,y ) 在G 内具有一阶连续偏导数，则
P (x,y ) dx + Q (x,y ) dy 在G 内为某一函数u (x,y ) 的全微分的充分必要条件是等式
5P
5y
=
5Q
5x
