1．一个关注点
n a开方化简，要看 n 的奇偶性． 2．指数函数图像和性质的注意点 (1)指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图像和性质与 a 的取值有关，应分 a＞1 与 0＜a ＜1 来研究． (2)画指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)， －1，1a.
当 x＞1 时，y＝e－(x－1)为减函数，排除 A.
故选 B.
[答案] B
(2)函数 f(x)＝1－e|x|的图像大致是( )
[解析] f(x)＝1－e|x|是偶函数，图像关于 y 轴对称， 又 e|x|≥1，所以 f(x)的值域为(－∞，0]， 因此排除 B、C、D，只有 A 满足． [答案] A
3．指数函数的图像及性质
函数
y＝ax(a＞0，且 a≠1)
0＜a＜1
图像
a＞1
图像
在 x 轴___上__方_____，过定点__(_0_，__1_)___
特征 当 x 逐渐增大时，图像逐渐下降 当 x 逐渐增大时，图像逐渐上升
定义域
_____R_____
值域
___(_0_，__＋__∞_)___
＝－2x2y.
[答案] D
(2)2350＋2－2·214－12－(0.01)0.5.
1
1
[解析] 原式＝1＋14×492－11002＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1165.
[破题技法] 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化 成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式来表示，运用指数幂的运算 性质来解答．
C．0≤a＜1
D．a≥1
[解析] ∵f(x)＝32xx－ ，2x， ≥x1＜1， 若 f(f(a))＝2f(a)，则 f(a)≥1， 当 a＜1 时，3a－2≥1，∴3a≥3，∴a≥1 矛盾， 当 a≥1 时，2a≥1，显然成立，故选 D.
[答案] D
(2)不等式 2 ＜4 的解集为________．
5．对于函数 y＝af(x)和复合函数 y＝f(ax)的定义域、值域常利用换元法，其关键点： (1)函数 y＝af(x)的定义域与 f(x)的定义域相同． f(ax)的定义域：使 ax 在 f(x)的定义域内，解指数不等式． (2)y＝af(x)的值域：先确定 f(x)的值域，再根据指数函数的单调性确定 y＝af(x)的值 域． (3)y＝f(ax)的值域：先确定 ax 的值域、再利用 f(x)的性质确定 y＝f(ax)的值域．
[破题技法] 对于 y＝ax(a＞0，a≠1) 当 a∈(0，1)且 a 逐渐变大时，图像右端(第一象限逐渐变“高”)，图像逐渐接近 y＝1，当 a＝1 时，图像就是直线 y＝1. 当 a∈(1，＋∞)时，a 逐渐变大，在第一象限内图像逐渐接近于 y 轴． 总之，图像过定点(0，1)，在第一象限内，逆时针方向看，底数逐渐变大．
[解析] 不等式 2 ＜4 可转化为 2 ＜22，利用指数函数 y＝2x 的性质可得， x2－x＜2，解得－1＜x＜2，故所求解集为{x|－1＜x＜2}． [答案] {x|－1＜x＜2}
[破题技法] 1.形如 ax＞ab 的不等式，借助于函数 y＝ax 的单调性求解，如果 a 的 取值不确定，需分 a＞1 与 0＜a＜1 两种情况讨论． 2．形如 ax＞b 的不等式，注意将 b 转化为以 a 为底数的指数幂的形式，再借助于 函数 y＝ax 的单调性求解． 3．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数 a 的取值范围，并在 必要时进行分类讨论． 4．利用复合函数判断形如 y＝af(x)的单调性，它的单调区间与 f(x)的单调区间有关．
1．将本例(1)变为 y＝ 答案：[14，＋∞)
，其值域如何？
2．将本例(1)变为 y＝a
，其值域如何？
答案：当 0＜a＜1，值域为0，a12； 当 a＞1 时，值域为a12，＋∞
挖掘 2 比较指数幂的大小/ 互动探究
[例 2] (1)已知 f(x)＝2x－2－x，a＝79－14，b＝9715，c＝log279，则 f(a)，f(b)，f(c) 的大小关系为( )
调性，所以 a＞2，所以 M＝(a－1)0.2＞1，N＝1a0.1＜1，所以 M＞N，故选 D. [答案] D
挖掘 3 有关指数型的不等式求解/ 互动探究
[例 3] (1)函数 f(x)＝32xx－，2x，≥x1＜1，满足 f(f(a))＝2f(a)，a 的取值范围是(
)
A．a≥－23
B．23≤a＜1
您好，谢谢观看！
解不等式 4x＋2x＋1－8≥0. 解析：原不等式为(2x)2＋2×2x－8≥0， ∴(2x－2)(2x＋4)≥0，∵2x＞0 恒成立， ∴2x－2≥0，∴x≥1，解集为[1，＋∞)．
(2)设函数 f(x)＝x2－a 与 g(x)＝ax(a＞1 且 a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，
则 M＝(a－1)0.2 与 N＝1a0.1的大小关系是(
)
A．M＝N
B．M≤N
C．M＜N
D．M ＞N
[解析] 因为 f(x)＝x2－a 与 g(x)＝ax(a＞1 且 a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单
③0 的正分数指数幂等于______0____，0 的负分数指数幂__无__意__义____．
(2)有理数指数幂的运算性质： ①aras＝___a_r_＋_s____(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝____a_rs_____(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝____a_r_b_r ___(a＞0，b＞0，r∈Q)．
将本例(1)中的“x＜0，y＜0”去掉后，如何化简该式． 解析：4 16x8y4＝2|x2y|＝2－x22yx2yy≥y0＜0.
考点二 指数函数的图像及应用 挖掘 1 由解析式辨识图像/ 自主练透 [例 1] (1)(2020·河北武邑中学调研)函数 y＝e－|x－1|的大致图像是( )
[解析] 当 x＝1 时，y＝1，排除 C、D.
A．f(b)<f(a)<f(c)
B．f(c)<f(b)<f(a)
C．f(c)<f(a)<f(b)
D．f(b)<f(c)<f(a)
[解析] 易知 f(x)＝2x－2－x 在 R 上为增函数，又 a＝79－14＝9714>9715＝b>0，c＝ log279<0，则 a>b>c，所以 f(c)<f(b)<f(a)．选 B. [答案] B
(3)(2020·浙江镇海中学检测)不论 a 为何值，函数 y＝(a－1)2x－a2恒过定点，则这个
定点的坐标是( )
A．(1，－12)
B．(1，12)
C．(－1，－12)
D．(－1，12)
[解析] y＝(a－1)2x－a2＝a(2x－12)－2x，令 2x－12＝0，得 x＝－1，故函数 y＝
(a－1)2x－a2恒过定点(－1，－12)． [答案] C
3．指数函数的图像与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图像，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为 c＞d＞1＞a＞b.
规律：在 y 轴右(左)侧图像越高(低)，其底数越大．
4．指数函数图像的对称规律 函数 y＝ax 的图像与 y＝a－x 的图像关于 y 轴对称，y＝ax 的图像与 y＝－ax 的图像 关于 x 轴对称，y＝ax 的图像与 y＝－a－x 的图像关于坐标原点对称．
②n
a，n为奇数， an＝|a|＝a－，aa，≥a0＜，0，
n为偶数.
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念：
①正分数指数幂：amn ＝__n__a_m_____(a＞0，m，n∈N＋，且 n＞1)；
②负分数指数幂：a
1 m ＝____a_n_____＝ 1 (a＞0，m，n∈N＋，且 n＞1)；
n am
挖掘 2 利用图像研究问题/ 互动探究 [例 2] (1)函数 f(x)＝ax－b 的图像如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的 是( ) A．a＞1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0
[解析] 由 f(x)＝ax－b 的图像可以观察出，函数 f(x)＝ax－b 在定义域上单调递减，所 以 0＜a＜1. 函数 f(x)＝ax－b 的图像是在 f(x)＝ax 的图像的基础上向左平移得到的，所以 b＜0， 故选 D. [答案] D
第二章 函数、导数及其应用
第四节 指数与指数函数
1．根式 (1)根式的概念
[基础梳理]
①若___x_n_＝__a___，则 x 叫作 a 的 n 次方根，其中 n＞1 且 n∈N＋.式子n a叫作根式， 这里 n 叫作根指数，a 叫作被开方数．
②a 的 n 次方根的表示：
(2)根式的性质
①(n a)n＝a(n∈N＋)．
[破题技法] 与指数函数有关图像问题的求解方法 (1)已知函数解析式判断其图像，一般是取特殊点，判断选项中的图像是否过这些 点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通 过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应 注意分类讨论．
在例 2(2)中，将曲线变为 y＝|2x－1|，与直线 y＝b 有且只有一个公共点，则 b 的取 值范围是________． 解析：y＝|2x－1|其图像如图所示， 要使 y＝b 与曲线只有一个公共点必须 b≥1 或 b＝0，当 b ＝0 或 b≥1 时，y＝b 与曲线只有一个公共点．
