二元一次方程组知识点汇总及练习(超详细)

二元一次方程组知识点梳理及经典练习

【知识点梳理】

知识点1：二元一次方程组的定义

1.二元一次方程

（1）定义：含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程（2）三个条件：①方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数.

②含有未知数的项的次数都是1.

③二元一次方程的左右两边都必须是等式.

（3）含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数均为1。

即若ax m+by n=c是二元一次方程，则a≠0，b≠0且m=1,n=1

2.二元一次方程组

（1）定义：由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组。

（2）三个条件：①方程组中有且只有两个未知数。

②方程组中含有未知数的项的次数为1。

③方程组中每个方程均为整式方程。

3.二元一次方程组的解

（1）定义：使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。

（2）常考题型：①根据定义判断

②已知方程组的解，求方程组待定系数。（将解代入方程）

③列方程组求相关字母的值。

知识点2：解二元一次方程组

1.代入消元法

（1）定义：通过代入消去一个未知数，将方程组转化为一个一元一次方程来解，这种解法叫做代入消元法。

（2）用代入消元法解二元一次方程组的步骤：

①从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.

②把①中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.

③解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.

④把所求得的一个未知数的值代入①中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.

例：解方程组：

278 38100

x y

x y

-=

⎧

⎨

--=⎩

2.加减消元法

（1）定义：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

（2）加减消元法解方程步骤：

①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，就用适

当的整数乘方程两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；•

②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

③解这个一元一次方程；

④将求出的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。

例1：解方程组：

例2：方程组

231

534

m n

m n

+=

⎧

⎨

+=

⎩中，n的系数的特点是，所以我们只要将两式，

•就可以消

去未知数，化成一个一元一次方程，达到消元的目的．

例3：用加减法解

341

236

x y

x y

+=

⎧

⎨

-=

⎩时，将方程①两边乘以，•把方程②两边乘

以，可以比

较简便地消去未知数．

*3.特殊方法

（1）加减-代入混合使用方法

例： 13x+14y=41

14x+13y=40

（2）换元法

例：(x+5)+(y-4)=8

(x+5)-(y-4)=4

（3）另类换元

例3：x:y=1:4

5x+6y=29

知识点3：二元一次方程组的实际应用

1.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：“找、设、列、解、答”（五步），即：

①找：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，找出能够表示题意两个等量关系；

②设：分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；

③列：根据这两个等量关系列出必需的代数式，从而列出方程组；

④解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

⑤答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.

2.列方程组解应用题中常用的基本等量关系

（1）行程问题：

①追击问题：行程问题重要的一种，特点是同向而行。这类问题较直观，画线段图便于理解和分析。

基本等量关系：路程=速度×时间，速度=路程÷时间，时间=路程÷速度。

直线追击:

环形追击：

②相遇问题：行程问题重要的一种，特点是相向而行。这类问题较直观，画线段图可帮

助理解与分析。等量关系：

③行船问题：船在静水中的速度+水速=船的顺水速度

船在静水中的速度-水速=船的逆水速度

顺水速度-逆水速度=2×水速

注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。

（2）工程问题：工作效率×工作时间=工作量

（3）商品销售利润问题：①利润=售价-成本（进价）

②利润率=（售价-进价）÷进价×100%=利润÷进价×100%

③利润=成本（进价）×利润率

④标价=成本（进价）×（1+利润率）

⑤实际售价=标价×打折率

（4）储蓄问题：①利息=本金×利率×期数×（1-利息税率）

②本息和=本金+利息=本金+本金×利率×期数×（1-利息税率）

③利息税=利息×利息税=本金×利率×期数×利息税率

④税后利息=利息×（1-利息税率）

（5）配套问题：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例

（6）增长率问题：①原量×（1+增长率）=增长后的量；②原量×（1-减少率）=减少后的量

（7）和差倍份问题：①较大量=较小量+多余量；②总量=倍数×倍量

（8）数字问题：自然数、奇数、偶数等。如当n为整数时，奇数可表示为2n+1（或2n-1），偶数可表示为2n等。有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数×10+个位数。（9）优化方案问题：从几种方案中选择最佳方案。如买不同套餐的东西、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。