韦达定理及其应用同步练习题
一、知识要点
1、若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。则a
b x x -=+21， a
c x x =∙21，；补充公式a
x x ∆=-21 2、以1x ，2x 为两根的方程为()021212=∙+++x x x x x x
3、用韦达定理分解因式()()2122x x x x a a c x a b x a c bx ax --=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
++=++ 二、例题
1、 不解方程说出下列方程的两根和与两根差：
（1）01032=--x x （2）01532=++x x （3）0223422
=--x x
2、 已知关于x 的方程02)15(2
2=-++-k x k x ，是否存在负数k ，使方程的两个实
数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k 的值；若不存在，说明理由。
3、 已知方程0252=-+x x ，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各
根的平方的倒数。
4、 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-2
12111xy y x
5、 分解因式：
（1）=--2532x x （2）=-+1842
x x
三、练习
1、 在关于x 的方程()()07142
=-+--m x m x 中，（1）当两根互为相反数时m 的值；（2）当一根为零时m 的值；（3）当两根互为倒数时m 的值
2、 求出以一元二次方程0232=-+x x 的两根的和与两根的积为根的一元二次方程。
3、 解方程组⎪⎩⎪⎨
⎧==+23xy y x
4、 分解因式
（1）6542--x x
= （2）=--2222y xy x 四、聪明题
1、 已知一元二次方程022=+-c bx ax 的两个实数根满足221=-x x ，a ，b ，
c 分别是ABC ∆的A ∠，B ∠，C ∠的对边。（1）证明方程的两个根都是正根；（2）若c a =，求B ∠的度数。
2、在ABC ∆中，︒=∠90C ，斜边AB=10，直角边AC ，BC 的长是关于x 的方程0632=++-m mx x 的两个实数根，求m 的值。
韦达定理的应用：
1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数
2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值
3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中
字母系数的值
4.已知两数的和与积，求这两个数
5.已知方程的两根x1，x2，求作一个新的一元二次
方程x2 –(x1+x2) x+ x1x2 =0
6.利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c
= a(x- x1)(x- x2)
题1：
（1）若关于x的一元二次方程2x2+5x+k=0
的一根是另一根的4倍，则k= ________
（2）已知：a,b是一元二次方程x2+2000x+1=0
的两个根，求：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
= __________
解法一：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
= （1+2000a+a2 +6a)（1+2000b+b2 +5b) = 6a•5b=30ab
解法二：由题意知
∵a2 +2000a+1=0；b2 +2000b+1=0
∴a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b
∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
=（2006a - 2000a)（2005b - 2000b)
=6a•5b=30ab
∵ab=1，a+b=-200
∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
= （ab +2006a+a2)（ab +2005b+b2)
=a(b +2006+a) •b( a +2005+b)
=a(2006-2000) •b(2005-2000) =30ab
解法三：由题意知
∵a2 +2000a+1=0；b2 +2000b+1=0
∴a2 +1=- 2000a; b2 +1=- 2000b
∴（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)
=（2006a - 2000a)（2005b - 2000b)
=6a•5b=30ab
题2：
已知:等腰三角形的两条边a,b是方程
x2-（k+2）x+2 k =0的两个实数根,另
一条边c=1，
求:k的值。
一、直接应用韦达定理
例2 已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．
分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．
解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．
由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．
故ab＋a＋b＝－2．
二、先恒等变形，再应用韦达定理
若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b 形式的式子，则可考虑应用韦达定理．
例3 若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．
证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．
由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．
∵ x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．
则z2≤0，又∵z为实数，
∴z2＝0，即△＝0．
于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．
由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理
