2020高考数学(理)全真模拟卷8(解析版)

2020学年高三数学模拟试题分类解析8不等式1．(2020届安徽皖南八校高三数学第二次联考)若,10,1,<<>-≥---b a b b a a x y y x 且成立则（ ）A ．0>+y xB ．0<+y xC ．0≥+y xD ．0≤+y x2．(安徽省合肥市2020年第三次教学质量检测数学)下列不等式中恒成立的个数有①)0(21≠≥+x x x ②)0(>>><c b a bca c ③),0,,(b a m b a ba mb m a <>>++ ④a a b b a 2||||≥-++A ．4B ．3C ．2D ．13．(安徽合肥工大附中2020届第四次月考文9）对一切实数x ，不等式01||2≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．)2,(--∞B ．[)+∞-,2C ．]2,2[-D ．[)+∞,03．(安徽合肥2020二检理10)若对所有正数x ，y ，不等式22y x a y x +≤+都成立，则a 的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．22D ．84、(安徽六校2020届4月联考文6)设a,b 是正实数，以下不等式：①ba ab2ab +>;②a>|a-b|-b;③a 2+b 2>4ab-3b 2;④2ab2ab >+恒成立的序号为（ ）。

A.①③ B.①④ C.②③ D .②④5、(2020年安徽高考仿真二10)设对任意实数x ∈[−1, 1]，不等式x 2+ax −3a ＜0总成立，则实数a 的取值范围是 A ．a ＞0 B ．a ＞0或a ＜−12C ．12a >D ．14a >。

2020届高考数学仿真模拟卷一一新课标版（文

23） 一、选择题：本大题共

一项是符合题目要求的. 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有

1.在复平面内，复数i (

1 i）

对应的点位

于 A.第一象限 B 第二象限 C .第三象限 .第四象限

2.设全集U R, A x|- x 0,x R},则 CRA

A. [1,2] (1,2] [1,2) (1,2

) 2 3.若 x - x

n 展开式中的第5项为常数，则

A. 10 B. 11 C. 12 D.

13 4.下列四个命题中的真命题为

1 4x0 3 5x0

C. xx R , x2 1 0

D

.

5.已知哥函数y f（x）的图象经过点 (2, 4),则 f（x）的解析式

为

A f(x) 2x B . f (x) . f(x)

2

x D

f(x

) 6.右图是一个几何体的三视图，则该几何体

的体积为 A. 6 B. 8 航（:至）和邈 盘？靡 C. 16 D. 24

7.若向量a , b满足| a | |b| 1,且 a

• b - b =3 ,则向量

a , 2

A. 30°

b的夹角为

（ B. 45° C. 60° D. 90° 8.在等差数列｛ an ｝中,

已知 a1 2, a2 a3 13,则 a4 a5 a6等于

A. 40 B. 42 C. 43 D. 45 9.

2x y 已知变量x, y满足x 2y x 0,

0, 3 0,则z log2(x y 5)的最大值为

A. 10. 已知m, n是两条不同直

线, 是两个不同平面下列命题中不 正确的是

A.若 m // C.若m

若关于x, y的方程组

A. a2 b2 1 B 12.偶函数

f ( x)

在(

在点 (5, f( 5))

则 m 〃 n B .若 m 〃 n , m ax by 1,人…将的

2 2 有头数解, 2 2 x y 1

)内可导，且f (1) 处切线的斜率为

卷02-2020高考数学（理）全真模拟试卷-各地优质试题重组卷（新课标版）注意事项：1.本卷满分150分，考试时间120分钟。

答题前，现将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷。

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合11M x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，{}2210N x x x =+-≤，则MN =（ ）A ．102x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭ C ．112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D ．{}01x x <≤ 2．（5分）已知复数z 在复平面上对应的点为（m ，1），若iz 为实数，则m 的值为（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．1或﹣13．（5分）已知函数()()1log 1a f x x =++（0a >且1a ≠），若2x ≥时，其值域为[)2,+∞，则实数a 等于（ ）AB C ．2D ．34．（5分）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且244,18S S ==，则6S 等于（ ）A ．50B ．42C ．38D ．365．（5分）已知正实数,a b 满足1a b +=，则11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值是（ ）A ．112B ．5C ．2+D ．36．（5分）设a ，b 均为单位向量，且它们的夹角为2π3，当a kb -取最小值时，实数k 的值为（ ）． A ．12- B ．1- C ．12D ．17．（5分）若某正四面体内切球的体积为43π，则正四面体外接球的表面积为（） A ．4πB ．16πC ．36πD ．64π8．（5分）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.0.618就是黄金分割比t =的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin18︒，则2=（ ）A ．4B 1C ．2D ．129．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．25B ．24C ．21D ．910．（5分）对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时的值域为[](),0ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若()2xf x e x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．()1,e ++∞B ．()2,e ++∞C ．1,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D ．,e e 2⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭11．（5分）抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 、Q 、R 在C 上，且PQR ∆的重心为F ，则PF QF+的取值范围为（ ） A ．993,,522⎛⎫⎛⎤ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ B ．994,,522⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C ．()93,44,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．[]3,512．（5分）如图所示，将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为( )A ．33B ．56C ．64D ．78二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023届海南省高三高考全真模拟卷（八）数学试卷(word版)一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知i是虚数单位，复数，则z的共轭复数为（）A．B．C．D．(★★) 3. 已知向量，，，，，则（）A．B．2C．4D．(★★★) 4. 古代最初的长度计量常常借助于人体的某一部分或某种动作来实现．《孔子家语》说：“布指知寸，布手知尺，舒肘知寻，斯不远之则也．”“布手知尺”是指中等身材人的大拇指和食指伸开之间的距离，相当于1尺，折合现代的长度约16厘米．古代一位中等身材的农民买到一个正四棱台形状的容器盛粮食，由于没有合适的测量工具，于是用自己的手按上述方式去测量，得到正四棱台的两底面边长分别为3尺和1尺，斜高（侧面梯形的高）为2尺，则按现代的方式计算，该容器的容积约为（）（1升＝1000立方厘米，）A．27升B．31升C．33升D．35升(★★) 5. 函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移1个单位长度后得到函数的图象，则（）A．B．C．D．1(★★★) 6. 我国实行个人所得税专项附加扣除制度，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等多项专项附加扣除．某单位老年、中年、青年员工分别有90人、270人、180人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取6人调查专项附加扣除的情况，再从这6人中任选2人，则选取的2人中恰有一名是中年员工的概率为（）A．B．C．D．(★★★★) 7. 已知，，，则（）A．B．C．D．(★★★★) 8. 已知抛物线C：的焦点为F，直线m与抛物线C切于点P，交x轴于点A．直线n经过点P，与x轴交于点B，与C的另一个交点为Q，若，则下列说法错误的是（）A．P A的中点在y轴上B．C．存在点P，使得D．的最小值为二、多选题(★★★) 9. 已知，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，设点P为C右支上一点，P点到直线的距离为d，过的直线l与双曲线C的右支有两个交点，则下列说法正确的是（）A．的最小值为2B．C．直线l的斜率的取值范围是D．的内切圆圆心到y轴的距离为1(★★★)11. 已知数列满足，且，等差数列的前n项和为，且，，若恒成立，则实数λ的值可以为（）A．－36B．－54C．－81D．－108(★★★) 12. 在直三棱柱中，，，，三棱锥的体积为，点M，N，P分别为AB，BC，的中点，则下列说法正确的是（）A．B．直线与直线PN为异面直线C．平面ABP⊥平面D．三棱柱外接球的体积为三、填空题(★★) 13. 已知α是第二象限的角，，则 ________ ．(★★★) 14. 的展开式中，项的系数为 __________ ．(★★★) 15. 已知直线，直线过点且与直线相互垂直，圆，若直线与圆C交于M，N两点，则 _________ ．(★★★) 16. 已知函数，过点作曲线的切线，则切线的条数为 _______________ ．四、解答题(★★★) 17. 已知数列满足（n≥2，），．(1)求证：数列为等比数列，并求的通项公式；(2)求数列的前n项和．(★★★) 18. 在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：已知△ABC中，点M在线段BC上，且，，，．(1)求的值；(2)求AM的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(★★★) 19. 白玉蜗牛营养价值、药用价值以及美容价值都极高，目前既是“世界四大名菜之一”，也是降血脂药物和珍贵的高级化妆品原料．此外，白玉蜗牛的外壳还可以用来制作手工艺品和加工成动物高蛋白补钙饲料．某白玉蜗牛养殖户统计了养殖以来7个季度的销售情况，如下表所示，若y与x线性相关．(1)根据前7个季度的统计数据，求出y关于x的经验回归方程；(2)预测该养殖户在第9个季度的销售额；(3)若该养殖户每季度的利润W与x，y的关系为，试估计该养殖户在第几季度所获利润最大．附：经验回归方程中的系数，．(★★★) 20. 如图所示，在五面体EF－ABCD中，底面ABCD为正方形，．(1)求证：；(2)若，点G为线段ED的中点，求直线DF与平面BAG所成角的正弦值．(★★★) 21. 已知椭圆C：过点，．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，且，，求直线l的方程．(★★★) 22. 已知．(1)求在上的最值；(2)若恒成立，求a的取值范围．。

东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1.已知集合2{|2}A x y x ==-，集合2{|2}B y y x ==-，则有( )A. A B =B. AB =∅C. A B A ⋃=D. A B A =【★答案★】C 【解析】 【分析】首先根据二次函数的定义域和值域，分别求得集合A ，B ，判断两集合的关系，最后分析选项得出结果.【详解】2{|2}A x y x R ==-=，2{|2}[2,)B y y x ==-=-+∞，所以B A ⊆， 故A B A ⋃=， 故选：C.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有二次函数的定义域和值域，两集合的关系，属于基础题目.2.若复数满足(2)5i z +=，则在复平面内与复数z 对应的点Z 位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【★答案★】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，再根据复数的几何意义可得★答案★. 【详解】由(2)5i z +=得52z i=+5(2)1052(2)(2)5i i i i i --===-+-， 所以复数z 对应的点Z 的坐标为(2,1)-，其位于第四象限. 故选：D.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的几何意义，属于基础题.3.某地区甲､乙､丙､丁四所高中分别有120，150，180，150名高三学生参加某次数学调研考试，为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案:方案①；从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析:方案②:丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试看进行分析．完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是（ ） A. 分层抽样法､系统抽样法 B. 分层抽样法､简单随机抽样法 C. 系统抽样法､分层抽样法 D. 简单随机抽样法､分层抽样法【★答案★】B 【解析】 【分析】根据分层抽样和简单随机抽样的定义进行判断即可. 【详解】①四所学校，学生有差异，故①使用分层抽样； ②在同一所学校，且人数较少，所以可使用简单随机抽样. 故选：B.【点睛】本题考查的是抽样方法的选取问题，属于基础题.（1）系统抽样适用于总体容量较大的情况.将总体平均分成若干部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，在起始部分抽样时采用简单随机抽样；（2）分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的.将总体分成互不交叉的层，然后分层进行抽取，各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样；（3）简单随机抽样适用于样本容量较小的情况，从总体中逐个抽取. 4.“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【★答案★】A 【解析】 【分析】根据x 轴正半轴上的角的余弦值也大于0以及充分条件、必要条件的定义可得★答案★. 【详解】当θ为第一或第四象限角时，cos 0θ>，所以“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的充分条件，当cos 0θ>时，θ为第一或第四象限角或x 轴正半轴上的角，所以“θ为第一或第四象限角”不是“cos 0θ>”的必要条件，所以“θ为第一或第四象限角”是“cos 0θ>”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查了三角函数的符号规则，考查了充分必要条件的概念，属于基础题. 5.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()4123S a a =+，则公比q 的值为（ ） A. 2B. 3C. 5D. 2【★答案★】D 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式求和公式即可得出． 【详解】解：4123()S a a =+，1q ≠． ∴411(1)3(1)1a q a q q -=+-，10a ≠213q ∴+=化为：22q =，解得2q =． 故选：D ．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若34AF xAB AD =+，则x =( )A.34B.23C.12D.14【★答案★】C 【解析】 【分析】以,AB AD 为基底，利用向量的中点公式，以及三角形法则即可表示出AF ， 由34AF xAB AD =+，根据平面向量基本定理，可知对应项系数相等，即求解． 【详解】因为F 为DE 的中点，所以()12AF AD AE =+，而1122 AE AB BE AB BCAB AD=+=+=+，即有11132224AF AD AB AD AB AD⎛⎫=++=+⎪⎝⎭，又34AF xAB AD=+，所以12x=．故选：C．【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，以及向量的中点公式，三角形法则的应用，属于基础题．7.人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音. 一般地，如果强度为x的声音对应的等级为()f x dB，则有12()10lg110xf x-=⨯，则90dB 的声音与60dB的声音强度之比( )A. 100B. 1000C.1100D.11000【★答案★】B【解析】【分析】设90dB与60dB的声音强度分别为12,x x，根据1()90f x=，2()60f x=计算即可求解.【详解】设90dB的声音与60dB的声音强度分别为12,x x，则1()90f x=，即11210lg90110x-=⨯，解得3110x-=.由2()60f x=，即21210lg60110x-=⨯，解得6210x-=.因此所求强度之比为316210100010xx--==.故选：B【点睛】本题考查了对数的运算法则，对数函数的应用，考查函数在实际问题中的应用，属于容易题.8.如图，在以下四个正方体中，使得直线AB与平面CDE垂直的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【★答案★】B 【解析】 【分析】①根据ABC 是正三角形，利用异面直线所成的角结合线面垂直的定义判断；②根据正方形对角线相互垂直，利用线面垂直的判定定理判断；③根据AB 与CE 的夹角为60，再由线面垂直的定义判断；④易知CE ⊥平面ABD ，得到AB CE ，同理AB ED ⊥，再利用线面垂直的判定定理判断.【详解】①因为ABC 是正三角形，所以AB 与AC 的夹角为60，又因为//AC ED ，所以AB 与ED 的夹角为60，故错误；②因为正方形对角线相互垂直，所以AB CE ，,AB ED ED CE E ⊥⋂=，AB ⊥平面CDE ，故正确；③由①知AB 与CE 的夹角为60，故错误；④因为,,CE AD CE BD BD AD D ⊥⊥⋂=，所以CE ⊥平面ABD ，则ABCE ，同理AB ED ⊥，又ED CE E ⋂=，所以AB ⊥平面CDE ，故正确.故选：B【点睛】本题主要考查直线与平面垂直的判定与性质，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.9.已知圆2216x y +=与抛物线22(0)y px p =>的准线l 交于A ，B 两点，且||215AB =，P 为该抛物线上一点，PQ l ⊥于点Q ，点F 为该抛物线的焦点.若PQF △是等边三角形，则PQF △的面积为（ ） A. 43 B. 4C. 23D. 2【★答案★】A 【解析】 【分析】首先由条件可得出2p =，然后由PQF △是等边三角形，焦点F 到准线l 的距离为2可得出PQF △的边长为4，然后算出★答案★即可.【详解】由215AB =可得圆心()0,0到l 的距离为16151-=，即12p=，即2p = 所以抛物线的方程为24y x =因为PQF △是等边三角形，焦点F 到准线l 的距离为2 所以PQF △的边长为4 所以144sin 60432PQF =⨯⨯⨯︒=△S 故选：A【点睛】设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，弦长为AB ，则有2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭10.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”. 为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为( ) A.710B.760C.2760D.4760【★答案★】B 【解析】 【分析】由题意基本事件总数66720n A ==，其中“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排分“数”在第一节和第二节两类，“礼”和“乐”相邻用捆绑法即可求解.【详解】由题意知基本事件总数66720n A ==，“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻可以分两类安排：①“数”排在第一位，“礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼，乐相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，有336A =种情况，故有42648⨯⨯=种②“数”排第二位， “礼”和“乐”两门课程相邻排课，则礼，乐相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，剩下的3个全排列，安排在其他三个位置，有336A =种情况，则有32636⨯⨯=种情况，由分类加法原理知满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排共有483684+=种情况，所以满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为84772060P ==. 故选：B【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．11.已知P 为双曲线22:13x C y -=上位于右支上的动点，过P 作两渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则||AB 的最小值为( )A.8116B.278C.94D.32【★答案★】D 【解析】 【分析】由题意，,,,P A B O 四点共圆，求||AB 的最小值，只需要求出圆的直径的最小值，从而求得结果. 【详解】由题意，,,,P A B O 四点共圆， 要使取||AB 的最小值，只需圆的直径OP 最小，即P 为右顶点时满足条件，且3OP =，因为2213x y -=的渐近线为33y x =±，所以60AOB ∠=︒， 所以有3sin 60AB =︒，解得32AB =，故选：D.【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的性质，四点共圆的条件，弦的最值，属于简单题目.12.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2f x f x π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，且在0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，则ω的值可能是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【★答案★】C 【解析】 【分析】通过给出的等式，可以判断出函数的对称性，进而能求出周期，结合选项，作出判断． 【详解】函数()()sin f x x ωϕ=+ 满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 关于(,0)4π对称，同时又满足()2f x f x π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，所以函数又关于4πx =-对称，设周期为T ,21()()4442n T n Z πππ-=--=∈,而221()T n n Z πωω=⇒=-∈显然ω是奇数， 当ω=3时，()sin(3)f x x ϕ=+，()f x 关于(,0)4π对称，33()44k k Z k ππϕπϕπ+=∈⇒=-而2πϕ<，4πϕ=，()sin(3)4f x x π=+ 5(0,)(3)(,)8448x x ππππ∈⇒+∈，显然不单调；当ω=5时，()sin(5)f x x ϕ=+，()f x 关于(,0)4π对称，55()44k k Z k ππϕπϕπ+=∈⇒=-，而2πϕ<，4πϕ=-，()sin(5)4f x x π=-， 3(0,)(5)(,)8448x x ππππ∈⇒-∈-，显然单调，故本题选C ．【点睛】本题考查了正弦函数的对称性、周期,熟记推到周期和对称轴的表达式是关键.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（共4小题，每题5分，共20分，将★答案★填在答题纸上.）13.等差数列{}n a 中，10a =，公差0d ≠，n S 是其前n 项和，若10k a S =，则k =________. 【★答案★】46 【解析】 【分析】利用等差数列的基本量计算． 【详解】由题意10110910452S a d d ⨯=+=，1(1)(1)k a a k d k d =+-=-，所以(1)45k d d -=，又0d ≠，所以46k =． 故★答案★为：46．【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，用首项1a 和公差d 表示项与前n 项和是解题的基本方法．14.已知实数x ，y 满足约束条件404x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则22(1)x y ++的最小值为________.【★答案★】13 【解析】 【分析】画出可行域，则22(1)x y ++表示可行域内的点(),x y 到定点()1,0P -的距离.数形结合可求距离的最小值.【详解】画出可行域，如图所示则22(1)x y ++表示可行域内的点(),x y 到定点()1,0P -的距离. 解方程组40x y x y +=⎧⎨-=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩，设()2,2M .由图可知，()2222min(1)(21)213x y MP ++==++=.故★答案★为：13.【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.15.圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1，若圆锥的底面半径为3，则圆锥SD 的内切球的表面积为________. 【★答案★】12π 【解析】 【分析】首先求出母线l ，设内切球的半径为R ，则利用轴截面，根据等面积可得R ，即可求出该圆锥内切球的表面积．【详解】解：依题意，圆锥SD （其中S 为顶点，D 为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1， 所以()()2:2:1rl rππ=，因为3r =，所以6l =设内切球的半径为R ，则利用轴截面，根据等面积可得2211663(666)22R ⨯⨯-=⨯++，3R ∴=，∴该圆锥内切球的表面积为()24312ππ⨯=，故★答案★为：12π【点睛】本题考查该圆锥内切球的表面积，考查学生的计算能力，确定内切球的半径是关键，属于中档题．16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数[]y x =，x ∈R 称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数. 设{}[]x x x =-，则函数(){}21f x x x x =--的所有零点之和为________.【★答案★】1- 【解析】 【分析】令()0f x =，显然0x ≠，可得出{}121x x=+，将问题转化为函数{}2y x =与函数11y x =+的图象交点的横坐标之和，可知两个函数的图象都关于点()0,1，数形结合可得出结果.【详解】()01f =-，令()0f x =，可得{}121x x=+，则函数()y f x =的零点，即为函数{}2y x =与函数11y x=+的图象交点的横坐标， 作出函数{}2y x =与函数11y x=+的图象如下图所示：由图象可知，两函数除以交点()1,0-之外，其余的交点关于点()0,1对称， 所以，函数()y f x =的所有零点之和为1-. 故★答案★为：1-.【点睛】本题考查函数的零点之和，一般转化为两函数的交点问题，解题时要注意函数图象对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在 ①22cos cos 20B B +=，②cos 31b A acosB +=+，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题.已知在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC∆的面积为S ，若2224S b c a =+-，6b =，求ABC 的面积S 的大小.【★答案★】332+ 【解析】 【分析】先根据2224S b c a =+-，6b =，222cos 2b c aA bc+-=求出4A π=，若选择①，根据二倍角的余弦公式求出3B π=，根据正弦定理求出2a =，根据两角和的正弦公式求出sin B ，再根据三角形的面积公式求出面积即可；若选择②,根据余弦定理角化边可得31c =+，再根据三角形的面积公式求出面积即可.【详解】因为2224S b c a =+-，222cos 2b c a A bc+-=，1sin 2S bc A =，所以2sin 2cos bc A bc A =.显然cos 0A ≠，所以tan 1A =，又(0,)A π∈，所以4A π=.若选择①，由22cos cos 20B B +=得,21cos 4B = 又(0,)2B π∈,∴3B π=，由sin sin a bA B=，得26sin 22sin 32b A a B ⨯===.又sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+212362sin cos cos sin 22224A B A B +=+=⨯+⨯=， 所以133sin 22S ab C +==. 若选择②,cos 31bcos A a B +=+，则222222222222cos cos 312222b c a a c b b c a a c b b A a B b a c bc ac c c+-+-+-+-+=+=+==+所以11233sin 6(31)2222S bc A +==⨯⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.18.《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布(60,169)N ． （1）求物理原始成绩在区间(47,86)的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望． （附：若随机变量()2~,N ξμσ，则()0.682P μσξμσ-<<+=，(22)0.954P μσξμσ-<<+=，(33)0.997P μσξμσ-<<+=）【★答案★】（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间()47,86分为()47,60和()60,86两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间()47,86内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]的概率为25，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，由此可得X 的分布列和数学期望．【详解】（Ⅰ）因为物理原始成绩()260,13N ξ~， 所以(4786)(4760)(6086)P P P ξξξ<<=<<+≤<11(60136013)(6021360213)22P P ξξ=-<<++-⨯≤<+⨯ 0.6820.95422=+0.818=．所以物理原始成绩在（47，86）的人数为20000.8181636⨯=（人）． （Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为25． 所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0,1,2,3，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， 所以()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，()2132354155125P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭， ()2232336255125P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．所以X 的分布列为X0 1 2 3P27125 54125 36125 8125所以数学期望()26355E X =⨯=． 【点睛】（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布．19.如图，在四边形ABCD 中，,,BC CD BC CD AD BD =⊥⊥，以BD 为折痕把ABD △折起，使点A 到达点P 的位置，且PC BC ⊥.（1）证明：PD ⊥平面BCD ；（2）若M 为PB 的中点，二面角P BC D --等于60°，求直线PC 与平面MCD 所成角的正弦值.【★答案★】（1）证明见解析（2）34【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；（2）由题意知，60PCD ∠=︒，取BD 的中点O ，连接,OM OC ，易知,,OM OC BD 两两垂直，以O 为原点建立如图所示的坐标系O xyz -，设1OB =，平面MCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，求出向量n，则向量,PC n所成角的余弦值的绝对值即为所求.【详解】（1）证明：因为,,BC CD BC PC PC CD C⊥⊥=∩，所以BC⊥平面PCD，又因为PD⊂平面PCD，所以BC PD⊥.又因为,PD BD BD BC B⊥=∩，所以PD⊥平面BCD.（2）因为,PC BC CD BC⊥⊥，所以PCD∠是二面角P BC D--的平面角，即60PCD∠=︒，在Rt PCD中，tan603PD CD CD=︒=，取BD的中点O，连接,OM OC，因为,BC CD BC CD=⊥,所以OC BD⊥,由（1）知，PD⊥平面BCD，OM为PBD△的中位线，所以,OM BD OM OC⊥⊥，即,,OM OC BD两两垂直，以O为原点建立如图所示的坐标系O xyz-，设1OB=，则6(0,1,6),(1,0,0),(0,1,0),0,0,,(1,1,6),(1,1,0)2P C D M CP CD⎛⎫=-=-⎪⎪⎝⎭，61,0,2CM⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，设平面MCD的一个法向量为(,,)n x y z=，则由0,0,n CDn CM⎧⋅=⎨⋅=⎩得0,60,2x yx z-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令2z=，得(3,3,2)n=，所以3cos,4||||CP nn CPCP n⋅〈〉==，所以直线PC 与平面MCD 所成角的正弦值为34. 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理、二面角的平面角的判定和利用空间向量法求线面角的正弦值；考查空间想象能力、运算求解能力和转化与化归能力；熟练掌握线面垂直的判定定理和性质定理是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.20.已知函数()()ln f x x ax a R =+∈，()2e x g x x x =+-.（1）求 函数()f x 的单调区间；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点. 如果函数()()()F x f x g x =-存在两个不同的不动点，求实数a 的取值范围.【★答案★】（1）当0a ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当0a <时，()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞ ；（2）1a e >+. 【解析】 【分析】（1）先确定函数的定义域，再求导，讨论a 的取值，得到函数的单调区间； （2）依题意可得()()2ln 0xF x x x ax x ex =-++->，()F x 存在两个不动点，所以方程()0F x =有两个实数根，即2ln e x x x a x-+=有两个解， 令()()2n 0e l x x xh x x x +-=>，利用导数研究函数的单调性、极值，即可求出参数的取值范围； 【详解】解：（1）()f x 的定义域为()()()110,0ax f x a x x x++∞=+='>，， 对于函数1y ax =+，①当0a ≥时，10y ax =+>在0x >恒成立.()0f x '∴>在()0,∞+恒成立.()f x ∴在()0,∞+为增函数；② 当0a <时，由()0f x '>，得10x a<<-； 由()0f x '<，得1x a>-；()f x ∴在1(0,)a -为增函数，在1(,)a-+∞减函数.综上，当0a ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞当0a <时，()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞ （2）()()()()2ln 0xF x f x g x x x ax x ex =-=-++->，()F x 存在两个不动点，∴方程()0F x =有两个实数根，即2ln e x x x a x-+=有两个解， 令()()2n 0e l x x x h x x x +-=>，()()()()()()2211ln 1ln 11e e x x x x x x x x x h x x x++-+-+++-='=， 令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()()0h x h x '<，单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0h x h x '>，单调递增；()()1e 1h x h ∴≥=+， 设()ln I x x x =-,则'1()1I x x=-,max ()(1)10I x I =≤-<,即0x >时,ln x x < 将ln x x <两边取指数,则e x x <当0x +→时,2211()1x e x x x x h x x x x x+-+->>=+-→+∞当x →+∞时 , 2()x x xh x x x+->=→+∞当1a e >+时，()F x 有两个不同的不动点【点睛】本题考查了函数的单调性的求法，利用导数研究函数的零点，属于中档题． 21.已知长度为4的线段的两个端点,A B 分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足3BP PA ，记动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设曲线C 与y 轴的正半轴交于点D ，过点D 作互相垂直的两条直线，分别交曲线C 于点M ，N 两点，连接MN ，求DMN ∆的面积的最大值. 【★答案★】（1）2219x y +=；（2）278【解析】 【分析】（1）设动点P 和点A ，B 的坐标，利用向量数乘关系结合||4AB =容易求得方程；（2）联立直线与曲线方程， 利用弦长公式可得2218|DM |119k k k =++，22181|DN |9k k +=+则221162()1||||12829()DMNk k S DM DN k k∆+==++，设1k t k +=，则2t ≥，再利用基本不等式计算可得；【详解】（1）解：设,,,0,0,P x y A m B n .3BP PA ，,,33,3x y n m x ym x y ，即333x m xy n y =-⎧⎨-=-⎩.434m x n y⎧=⎪∴⎨⎪=⎩. 又||4AB =，2216m n ∴+=. 从而221616169x y .∴曲线C 的方程为2219x y +=.（2）由题意可知，直线DM 的斜率存在且不为0.故可设直线DM 的方程为1y kx =+，由对称性，不妨设0k >，由221990y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，消去y 得22(19)180k x kx ++=， 则2218|DM |119kk k =++，将式子中的0k >换成1k -，得：22181|DN |9k k +=+. 1|DM ||DN |2DMNS ∆==222211811812199k k k k k ++++342162()9829k k k k +=++221162()1829()k k k k +=++， 设1k t k+=，则2t ≥. 故2162964DMNt S t ∆==+1621622764829649t t≤=⨯+，取等条件为649t t =即83t =， 即183k k +=，解得473k ±=时，DMN S 取得最大值278. 【点睛】本题考查了曲线方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，基本不等式的应用，属于中档题． 请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4－4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为32cos ,22sin x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数）. 以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线L 的极坐标方程为()704πθρ=≥. （1）求曲线C 的极坐标方程与射线L 的直角坐标方程；（2）若射线L 与曲线C 交于A ，B 两点，求22OA OB OB OA ⋅+⋅.【★答案★】（1）26cos 4sin 90ρρθρθ-++=，()0y x x =-≥；（2）452.【解析】 【分析】（1）消参即可容易求得曲线C 的普通方程，结合公式即可由极坐标方程求得直角坐标方程； （2）联立74πθ=与26cos 4sin 90ρρθρθ-++=，即可求得12ρρ，12ρρ+，则问题得解. 【详解】（1）由32cos ,22sin ,x y αα=+⎧⎨=-+⎩得()()22324x y -++=，即226490x y x y +-++=，故曲线C 的极坐标方程为26cos 4sin 90ρρθρθ-++=. 射线L 的直角坐标方程为()0y x x =-≥. （2）将74πθ=代入26cos 4sin 90ρρθρθ-++=，得222649022ρρρ-⨯-⨯+=，即25290ρρ-+=， 则1252ρρ+=，129ρρ=，所以()()221212452OA OB OB OA OA OB OA OB ρρρρ⋅+⋅=⋅⋅+=+=.【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，ρ的几何意义，根与系数的关系，属于中档题. 选修4-5: 不等式选讲23.已知0a ≠，函数()1f x ax =-，()2g x ax =+. （1）若()()f x g x <，求x 的取值范围；（2）若()()2107af xg x +≥⨯-对x ∈R 恒成立，求a 的最大值与最小值之和.【★答案★】（1）当0a >时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（2）1. 【解析】 【分析】（1）两边平方求解绝对值不等式，对参数a 进行分类讨论，则问题得解；（2）利用绝对值三角不等式，即可容易求得()()f x g x +的最小值，再求解绝对值不等式，即可求得a 的最大值和最小值，利用对数运算，求解即可. 【详解】（1）因为()()f x g x <，所以12ax ax -<+， 两边同时平方得22222144a x ax a x ax -+<++， 即63ax >-， 当0a >时，12x a >-；当0a <时，12x a<-. 故当0a >时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭（2）因()()()()12123f x g x ax ax ax ax +=-++≥--+=，当且仅当()()120ax ax -+≤时取得等号.所以()()f x g x +的最小值为3， 所以21073a⨯-≤，则321073a -≤⨯-≤，解得lg 2lg5a ≤≤，故a 的最大值与最小值之和为lg 2lg5lg101+==.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，涉及绝对值三角不等式，对数运算，属综合中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

2020年普通高等学校招生全国统一考试最新高考信息卷理 科 数 学（八）注意事项：、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数34i2i 5a z -=+-的实部与虚部之和为1，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．1C ．4D ．3【答案】A【解析】由题意可得，()()()2i 234i34i 34i 2i 5555a a a a z +++---=+=+=-Q ，因为实部与虚部之和为1，2341255a a a +-∴+=⇒=，实数a 的值为2，故选A ． 2．下列说法错误的是（ ）A ．“若2x ≠，则2560x x -+≠”的逆否命题是“若2560x x -+=，则2x =”B ．“3x >”是“2560x x -+>”的充分不必要条件C ．“x ∀∈R ，2560x x -+≠”的否定是“0x ∃∈R ，200560x x -+=”D ．命题：“在锐角ABC △中，sin cos A B <”为真命题 【答案】D【解析】依题意，根据逆否命题的定义可知选项A 正确；由2560x x -+>得3x >或2x <，∴“3x >”是“2560x x -+>”的充分不必要条件，故B 正确；因为全称命题的否定是特称命题，所以C 正确；锐角ABC △中，ππ022π2A B A B +>⇒>>->， sin sin cos π2A B B ⎛⎫∴>-= ⎪⎝⎭，∴D 错误，故选D ．3．“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思是：有一个正方形的池塘，池塘的边长为一丈，有一颗芦苇生长在池塘的正中央．露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，芦苇有多长？其中一丈为十尺．若从该芦苇上随机取一点，则该点取自水上的概率为（ ）A ．1213B ．113C ．314D ．213【答案】B【解析】设水深为x 尺，根据勾股定理可得()22215x x +=+，解得12x =，可得水深12尺，芦苇长13尺，根据几何概型概率公式可得，从该芦苇上随机取一点，该点取自水上的概率为113P =，故选B ． 4．如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．43C ．163D ．8【答案】A【解析】三视图还原为三棱锥A BCD -，如图所示，由三视图可知：4BC =，2AO CO BO DO ====，22AB AC BD CD AD =====平面ABC ⊥平面BCD ，AO ⊥平面BCD ，则三棱锥A BCD -的体积为118422323A BCD V -=⨯⨯⨯⨯=，故选A ．5．已知双曲线的两个焦点为()110F -，、)210F ，，M 是此双曲线上的一点，且满足120MF MF =⋅u u u u r u u u u r ，122MF MF ⋅=u u u u r u u u u r，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为（ ）A ．3B ．13C ．12D ．1【答案】D【解析】120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r Q ，12MF MF ∴⊥u u u u r u u u u r ，221240MF MF ∴+=u u u u r u u u u r ，()212MF MF ∴-u u u u r u u u u r2211222402236MF MF MF MF =-⋅+=-⨯=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，12263MF MF a a ∴-==⇒=u u u u r u u u u r，又10c =，22222119x b c a y ⇒=-=⇒-=，其渐近线方程为13y x =±，∴焦点到它的一条渐近线的距离为1030110d -⨯==，故选D ．6．已知函数()13sin 222f x x x =，把函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得到的曲线向左平移π6各单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的对称中心是（ ） A ．2π,0π6k ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z B ．2π,0π2k ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈ZC ．π,0π2k ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z D ．π,0π4k ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z 【答案】C 【解析】()13sin 2cos 22f x x x =+Q ，()sin π23f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，sin 23πy x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭图象的横坐标伸长到原来的2倍，可得πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6各单位长度，可得sin cos 2πy x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭的图象，()cos g x x ∴=，函数()g x 的对称中心为π,0π2k ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z ，故选C ． 7．秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输人n ，x 的值分別为4，5，则输出ν的值为（ ）A ．211B ．100C ．1048D ．1055【答案】D【解析】执行程序框图，输入4n =，5x =，则1v =，3i =，0i ≥，进入循环， 得1538v =⨯+=，312i =-=；0i ≥，故进入循环，得85242v =⨯+=，211i =-=； 0i ≥，故进入循环，得4251211v =⨯+=，110i =-=；0i ≥，故进入循环，得211501055v =⨯+=，011i =-=-，此时，不满足0i ≥，故结束循环，输出1055v =，故选D ．8．在ABC △中，120A ∠=︒，3AB AC -⋅=u u u r u u u r ，点G 是ABC △的重心，则AG u u u r的最小值是（ ） A ．23B 6C 2D ．53【答案】B【解析】设BC 的中点为D ，因为点G 是ABC △的重心，所以()()22113323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，再令AB c =u u u r，AC b =u u u r ，则cos12036AB AC bc bc ⋅=⋅︒=-⇒=u u u r u u u r ，()()()22222111226269993AG AB AB AC AC c b bc ∴=+⋅+=+-≥-=u u u u u r u u u r u u r u u u r u ur ，6AG ∴≥u u u r ，当且仅当6b c ==时取等号，故选B ． 9．已知函数()()2,,,df x a b c d ax bx c=∈++R 的图象如图所示，则下列说法与图象符合的是（ ）A ．0,a >，0b >，0c <，0d >B ．0a <，0b >，0c <，0d >C ．0a <，0b >，0c >，0d >D ．0a >，0b <，0c >，0d >【答案】B【解析】由图象可知，1x ≠且5x ≠，20ax bx c ++≠Q ，可知20ax bx c ++=的两根为1，5，由韦达定理得126b x x a +=-=，125cx x a⋅==，a ∴，b 异号，a ，c 同号，又()00df c=<Q ，c ∴，d 异号，只有选项B 符合题意，故选B ． 10．在ABC △中，已知2224a b c S +-=（S 为ABC △的面积），若2c =22a b -的取值范围是（ ） A ．(2 B ．()1,0-C ．(2-D ．(2,2-【答案】C【解析】222222144sin 2sin 2a b c S a b c ab C ab C +-=⇒+-=⨯=Q222sin 2a b c C ab +-⇒=，cos si πn 4C C C ∴=⇒=，2sin sin sin 2a b c A B C====Q，2sin a A ∴=，2sin b B =，又3π2sin 2sin 2sin 2sin 4a A B A B A A ⎛⎫===- ⎪⎝⎭Qsin cos π4A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，π3π04442ππA A <<⇒-<-<Q，π14A ⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭，1a ∴-<<故选C ．11．当n 为正整数时，定义函数()N n 表示n 的最大奇因数．如()33N =，()105N =，L ，()()()()()1232n S n N N N N =++++L ，则()5S =（ ）A ．342B ．345C ．341D ．346【答案】A【解析】()()2N n N n =Q ，()2121N n n -=-， 而()()()()()123...2n S n N N N N =++++，()()()()()()()()135...2124...2n nS n N N N N N N N ⎡⎤∴=++++-++++⎣⎦， ()()()()()1135...21123...2n n S n N N N N -⎡⎤∴=++++-+++++⎣⎦， ()()()()()11212121422n nn S n S n n S n S n -+-∴=⨯+-≥⇒--=，又()()()112112S N N =+=+=，()()()()()()()()()234515443...2144445S S S S S S S S S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴-=-+-++-=+++⇒⎣⎦⎣⎦⎣⎦23424444=++++342=，故选A ．12．已知e 为自然对数的底数，设函数()21ln 2f x x ax b x =-+存在极大值点0x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值()00f x <，则下列结论中正确的是（ ） A．存在0x =()012ef x <- B．存在0x =()20e f x >-C ．b 的最大值为3eD ．b 的最大值为22e【答案】C【解析】依题，()b f x x a x '=-+，()0,x ∈+∞，()21bf x x''=-，当0b ≤时，()1f x ''>，0x ∴>，()f x '递增，()f x 不可能有极大值点（若有极值也是极小值），0b ∴>，此时()0f x '=有解，即200bx a x ax b x-+=⇒-+=有两个不等的正根， 得：)21212400 00a b x x a a b x x b ∆=->+=>⇒>>⋅⎧⎪⎨⎪⎩=>，由()102a f x x '=⇒=，22a x =，)0a b >>Q，212a x x ∴>=，分析得()f x 的极大值点为01x x =，2a a a -+==<=Q(0x ∴∈，()f x ∴在()00,x 递增，在()02,x x 递减，当0x x =，()f x 取得极大值()0f x ，又()200000'00bf x x a x b ax x =⇒-+=⇒+=，()()222000000011ln ln 22f x x ax b x x x b b x =-+=-++Q ， 即()20001ln 2f x x b b x =--+，令()21ln 2g x x b x b =-+-，(x ∈，原命题转化为()0g x <恒成立，()()22000b x bg x x x x b x x-+'∴=-+=><<<<，()g x ∴在(上递增，()211ln 022g x gb b b b b ∴<=-+=-+≤，3323e e2bb b∴≤⇒≤⇒≤，所以b的最大值为3e，C对、D错，又x<Q不存在极大值点x A，B，故选C．第Ⅱ卷卷包括必考题和选考题两部分。

全国统一考试标准模拟信息卷数学理科（八）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数12i 34i++（其中i 为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知实数a ＞1，集合A ＝{x ∈R |x 2-(1+a )x +a ≤0}，213|;22B y y x x x A ⎧⎫=∈=−+∈⎨⎬⎩⎭R ，当A ＝B 时，a 等于 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．已知直线y ＝kx +m 与圆x 2+y 2＝4相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，O 为坐标原点，则OA OB ⋅等于 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，当20202019220202019S S =+时，则a 2020-a 2019等于 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．函数2()1f x x =−+x ＝1处的切线与双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的一条渐近线垂直，则此双曲线的离心率为 （ ）ABC ．2D ．36．要得到函数()cos 22f x x x =的图像，只需将函数()sin 22g x x x =+的图像 （ ）A ．向左平移π2个单位长度 B ．向左平移π4个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度 7．设正数x ，y ，z 满足x +2y +z ＝1，则1x y x y y z++++的最小值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知函数132(0)()log (0)x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数y ＝f [f (x )]-1的零点个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．如果某射手每次射击击中目标的概率为0.8，每次射击的结果互相独立，那么他在10次射击中，最有可能击中目标的次数是 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．910．一个样本容量为10的样本数据的平均数为13，虽然它们各不相同，但从小到大排列能组成等差数列{a n }，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的中位数是 （ ）A ．11B ．12C ．13D ．1411．已知底面是边长为2的正方形的四棱锥的俯视图如图所示，在该四棱锥中：①至少有两组侧面互相垂直；②侧面中可能存在三个直角三角形；③不可能存在四组互相垂直的侧面；④四个侧面可能都是等腰三角形．其中正确的命题个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 成等差数列，16CA AB ⋅=−，sin B ＝cos A sin C ，当点P 在线段AB 上运动，且满足||||CA CB CP x y CA CB =⋅+⋅，则xy 的最大值等于 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 13．已知211n x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中x -4的系数为a n ，则23420201111a a a a +++…+等于________． 14．设点A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上关于中心O 的对称点，点P 是椭圆上不与点A 、B 重合的任意点，则直线PA 与直线PB 的斜率之积为________．15．已知定义在R 上的函数f (x )满足：∀x ∈R ，f (x +2)＝f (x -2)恒成立，且g (x )＝f (x +4)为奇函数．则：f (2019)+f (2020)+f (2021)+f (2022)＝________．1615 m 的圆型铁板的圆心O 和正△ABC 的中心重合，D 、E 、F 为圆O 上的点，且△DBC 、△ECA 、△FAB 分别是以BC 、CA 、AB 为底边的等腰三角形．现通过精密切割与剪拼，以△ABC 为底面，以△DBC 、△ECA 、△FAB 为侧面，使得D 、E 、F 三点重合记为点V ，构成三棱锥V -ABC ．当△ABC 的边长变化时，所得的三棱锥V -ABC 的体积的最大值为________．（单位：m 3）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．AB 为半圆O 的直径，且AB ＝2．点C 是圆弧上不与点A 、B 重合的动点，以AC 为一边在△ABC 外作正△ACD ，设∠ABC ＝θ，四边形ABCD 的面积为S ．求S ＝f (θ)的最大值，以及取最大值时的2θ的正切值．18．某职业技能证书合格考试指定三门课程，有两种考试方案：方案一：参加所有三门课程的考试，至少有两门课程考试及格为职业技能证书合格考试通过． 方案二：在这三门课程的考试中，随机选取两门考试，这两门考试都及格为职业技能证书合格考试通过．假设某考生对这三门课程考试及格的概率分别为a 、b 、c 且a ，b ，c ∈(0，1)，且这三门课程的考试是否合格相互之间没有影响．（1）分别求此考生用方案一和方案二时考试通过的概率；（2）试比较此考生在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并给出证明．19．在底面是菱形的四棱锥P -ABCD 中，∠BAD ＝120°，PA ＝AC ＝a ，2PB PD a ==，点E 在PD 上，且PE ＝2ED ．（1）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面ACE ，并证明你的结论；（2）求二面角E -AC -D 的大小．20．（1）过抛物线x 2＝4y 的焦点F ，且斜率为34的直线交此抛物线于A 、B 两点，点A 在第一象限内．已知圆C 关于y 轴对称，且圆C 与抛物线在A 处有相同的切线，求圆C 的标准方程；（2）过抛物线x 2＝4y 的对称轴上一点P (0，m )（其中m ＞0）作直线与此抛物线交于M 、N 两点，O 为抛物线的顶点，若2QP OP =，MP PN λ=，求证：对于∀m ＞0，()PQ QM QN λ⊥−恒成立．21．已知函数f (x )＝(x -1)2·e ax ，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．（1）讨论函数f (x )的单调性和极值；（2）求函数f (x )在区间[0，1]上的最大值．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．【4—4：坐标系和参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为：2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A 、B 为曲线C 上的两点，且OA ⊥OB ，设射线OA ：θ＝α，其中π02α<<． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求|OA |·|OB |的最小值．23．【4—5：不等式选讲】已知函数f(x)＝a-(|x+1|+|x-1|)，(x∈R)．（1）当a＝2时，求f(x)≥0的解集；（2）若函数g(x)＝x2-2x-a+1与y＝f(x)的图像恒有公共点，求a的取值范围．。

备战2020高考全真模拟卷2数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设0x >,若()2x i +是纯虚数（其中i 为虚数单位）,则x =（ ） A ．±1 B ．2 C ．-1 D ．1【答案】D 【解析】()2x i +,所以210,01x x x -=>⇒=,选D.2．已知R 为实数集，集合{|lg(3)}A x y x ==+，{|2}B x x =≥，则()R C A B ⋃=（ ） A ．{|3}x x >- B ．{|3}x x <- C ．{|3}x x ≤- D ．{|23}x x ≤<【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据集合的并集补集运算即可. 【详解】因为{|lg(3)}{|3}A x y x x x ==+=>-， 所以AB {|3}x x =>-，()R C A B ⋃={|3}x x ≤-，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的并集、补集运算，属于中档题. 3．函数22,1()2sin()1,112x x f x x x π⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则[(2)]f f =（ ）A ．-2B ．-1 C．2D ．0【答案】B 【解析】0(2)2sin(2)10,[(2)]22112f f f π=⨯-==-=- ， 故选B .4．对于问题“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,5，解关于x 的不等式20cx bx a ++>”，给出如下一种解法：由20ax bx c ++>的解集为()2,5，得2110a b c x x ⎛⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为11,52⎛⎫ ⎪⎝⎭，即关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集为11,52⎛⎫⎪⎝⎭.类比上述解法，若关于x 的不等式0x ax b+<+的解集为()1,3，则关于x 的不等式1log 301log 3xxa b +<+的解集为（ ）A ．()3,27B ．()3,9C ．()1,27D ．()1,9【答案】A 【解析】 【分析】把题设中两个一元二次不等式的代数结构关系与对应的解集关系类比推广到两个分式不等式的代数结构关系与对应的解集关系即可得到要求的解集. 【详解】将关于x 的不等式1log 31log 3x x a b +<+变形可得1log 301log 3x x a b +<+， 从而由条件可得113log 3x <<.利用对数换底公式有31log 3x <<， 即333log3log log 27x <<，于是所求不等式的解集为()3,27，故选A.【点睛】类比推理中有一类是解题方法上的类比推理，即原有的解题方法是建立在代数式的合理变形的基础上，因此对我们需要解决的问题，如果它们也有代数式上类似的变形，那么解决问题的手段应该是相同的，从而使得新问题得到解决 .5．如图，在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( )A ．e3 B ．43e- C ．33e- D ．13e - 【答案】B 【解析】 【分析】根据定积分的应用，得到阴影部分的面积为1=x S e dx ⎰阴影，再由题意得到矩形OABC 的面积，最后由与面积有关的几何概型的概率公式，即可求出结果. 【详解】由题意，阴影部分的面积为11=10x xS e dx ee ==-⎰阴影，又矩形OABC 的面积为=3OABCS矩形，所以在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为4=3OABC OABCS S e P S --=阴影矩形矩形.故选B 【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，以及定积分的应用，熟记微积分基本定理以及几何概型的概率计算公式即可，属于常考题型.6．函数()()2244log x x f x x -=-的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】∵()()()()2244log x x f x x f x --=--=-，∴()f x 为奇函数，排除A ，C ；∵21112log 3224f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1224f⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且1142f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴排除D ，故选B .7．已知向量()1,1a =， ()24,2a b +=，则向量,a b的夹角的余弦值为（ ）3.1010A3.1010B -2.2C2.D -【答案】C【解析】()()4,222,0b a =-=，故2cos ,22a b a b a b⋅〈〉====⋅⋅.8．执行如图所示的程序框图，则可以输出函数的为（ ）A ．()sin f x x =B ．()x f x e =C ．()ln 2f x x x =++D ．2()f x x =【答案】C 【解析】分析：先根据流程图确定输出函数为非奇函数且有小于零的函数值,再结合选择项的函数判断得结果.详解：因为由流程图确定输出函数为非奇函数且有小于零的函数值,又因为()sin f x x =为奇函数，()xf x e =恒大于零，()2f x x =恒非负，()ln 2f x x x =++满足函数为非奇函数且有小于零的函数值,所以选C.点睛：本题考查流程图以及函数奇偶性、函数值域等性质，考查基本求解能力.9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个“九儿问甲歌”问题：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则3456719a a a a a a a ++++--=（ ） A ．46 B ．69 C ．92 D ．138【答案】B 【解析】由题意得数列成等差数列，公差为-3，所以9111998(3)20735;2S a a =+⨯⨯⨯-=∴=3456719a a a a a a a ++++--=131269.a d +=选B.10．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c =，ABC∆的面积为2244a b +-，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．B 1C ．D 1【答案】D【分析】由余弦定理，结合三角形面积公式可得tan 14CCπ，再由余弦定理结合基本不等式求出ab 的最大值，从而可得结果. 【详解】 ∵2c =，22222444ABC a b a b c S ∆+-+-==2cos 1sin 42ab C ab C ==. ∴tan 14CCπ，由余弦定理得2222242cos c a b ab C a b ==+-=+2ab ≥，∴4ab ≤=+∴(11sin 4222ABC S ab C ∆=≤⨯+⨯1=. 故选：D . 【点睛】余弦定理的应用一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.11．已知函数322()3f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则椭圆22221x y m n +=的离心率为（ ）A ．3B ．9C ．3或9D ．29【解析】对函数()f x 求导得2()36f x x mx n '=++，由题意得(1)0{(1)0f f '-=-=，，即2130{360m n m m n -+-+=-+=，，解得1{3m n ，==或2{9m n ，，== 当1{3m n ，==时22()3633(1)0f x x x x =++=+≥'，故2{9m n ，，==所以椭圆22221x y m n +=的离心率为77e =，故选B ．12．已知正六棱锥 PABCDEF 的所有顶点都在一个半径为1的球面上，则该正六棱锥体积的最大值为（ ）A 83B 163C ．839D ．323【答案】B 【解析】 【分析】首先过P 作PM ⊥平面ABCDEF ，取O 为球心，设 AB a =，PM h =.然后计算出正六棱锥的体积()232V h h =-.设()()232f x x x x =-，利用导数求出设()f x 最大值即可得到正六棱锥体积的最大值. 【详解】过P 作PM ⊥平面ABCDEF ，取O 为球心，设 AB a =，PM h =. 在Rt AOM 中有()2211h a -+=，即222a h h =-. 正六棱锥的体积()22111336233222V Sh a h h h ==⨯⨯⨯=-. 设()()232f x x x x =-. 由()233'30f x x x ==得43x =. ()f x 在40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.所以当43x =时()f x 取得最大值16327. 所以正六棱锥体积的最大值为16327.故选：B 【点睛】本题主要考查了正六面体的外接球和体积，将体积的最大值用导数的方法求解是解决本题的关键，属于难题.第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考数学模拟试题 第1页（共8页） 2020年高考数学模拟试题 第2页（共8页） 绝密★启用前 冲刺2020年高考全真模拟演练（八） 数学（理） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 姓名_____________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：高中全部内容. 第I卷（选择题 60分) 一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合2{|90}Axx，则(RAð )

A．(3,) B．(,3) C．[3，3] D．()3,3 2．已知i是虚数单位，复数21ii（ ） A．132i B．132i C．134i D．134i 3．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，

劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为（ ） A．49 B．59 C．23 D．79 4．已知向量(1,0)mr，(3nr，)y，若mr与nr的夹角为3，则(y ) A．0 B． C．2 D．3 5．设等比数列{}na的前n项和为nS，且639SS，764a，则1(a ) A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知()fx是定义在R上的偶函数，且(5)(3)fxfx，如果当[0,4)x时，2()log(2)fxx，则

2020年普通高等学校招生伯乐马模拟考试（八） 理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2log 1A x x =<，集合{B y y ==，则A B =（ ）A. (),2-∞B. (],2-∞C. ()0,2D. [)0,+∞【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合A,B ，再求交集即可【详解】解：{}()2log 10,2A x x =<=，{[)0,B y y ===+∞，()0,2A B ∴⋂=.故选：C ，【点睛】此题考查集合的交集运算，考查对数不等式的解法，属于基础题 2. 已知z C ∈且满足()113z i i +=+，则z =（ ）C. 5D. 10【答案】A 【解析】 【分析】设(),z x yi x y R =+∈，代入计算求得复数z ，再求复数的模可得选项.【详解】设(),z x yi x y R =+∈，由题意得，()113x yi i i ++=+，2x ∴=，1y =-， 所以2z i =-，z ∴==故选：A.【点睛】本题考查复数的四则运算，复数的模，属于基础题. 3. 若抛物线2y mx =的焦点到顶点的距离为12，则m =（ ） A. 2 B. 4C. 2±D. 4±【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的定义可得焦点到顶点的距离为2p，从而可得答案 【详解】解：由题意得12m=，2m =±. 故选：C【点睛】此题考查抛物线的定义，属于基础题.4. 已知41()4x =，144y =，14log 5z =，则（ ）A. z x y <<B. x y z <<C. x z y <<D. y z x <<【答案】A 【解析】 【分析】变形441()44x -==，利用指对数函数单调性及中间量比较大小可得解.【详解】441()44x -==，由指数函数4xy =单调性得14040444-<<<，则01x y <<<144log 5log 50z ==-<所以z x y << 故选：A【点睛】本题考查利用指对数函数单调性比较大小，属于基础题. 5. 若,a b ∈R ，0ab >，21a b+=，则14ab -+的最大值为（ ）A.14B.1516 C. 1D.1716【答案】D 【解析】 【分析】直接根据基本不等式求最值． 【详解】解：∵0ab >，21a b +=， ∴0a >，0b >，∴14ab ab -+()141414ab ab =⋅-+2111714216⎛⎫≤⨯+= ⎪⎝⎭，当且仅当21164a b ab +=⎧⎪⎨=⎪⎩时，取“=”，故选：D ．【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，属于基础题．6. 在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，122CD DA AB ===，则AC AB ⋅=（ ）A. 3B. 3C. 23D. 12【答案】D 【解析】 【分析】由平面几何知识得出梯形中的边角关系，再运用向量的加法运算转化向量，代入运用向量的数量积定义运算可得选项.【详解】作出图示如下图所示，作,DH AB CM AB ⊥⊥，因为122CD DA AB ===，所以1AH BM ==，所以30ADH ∠=，60DAH ∠=，所以3DH CM ==，又在Rt AMC 中，3AM =，所以()223323AC =+=，()2212AC AB AC AC CB ACAC CB AC ⋅=⋅+=+⋅==.故选：D .【点睛】本题考查平面几何图形中的向量的数量积运算，关键在于根据平面几何知识得出边角的关系，再运用向量的线性表示转化向量，运用向量的数量积运算，属于基础题.7. 三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ，若3SA AB BC AC ====，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. 18πB.212πC. 21πD. 42π【答案】C 【解析】【分析】先利用正弦定理计算出△ABC 的外接圆直径2r ，再结合三棱锥的特点，得出球心的位置：过△ABC 外接圆圆心的垂线与线段SA 中垂面的交点.再利用公式()22()2SA R r =+可计算出该三棱锥的外接球直径，最后利用球体表面积公式可得出答案．【详解】解：由于AB ＝BC ＝AC ＝3，则△ABC 是边长为3的等边三角形，由正弦定理知，△ABC 的外接圆直径为3223sin3r π==，由于SA ⊥底面ABC ，所以，△ABC 外接圆圆心的垂线与线段SA 中垂面的交点为该三棱锥的外接球的球心，所以外接球的半径()2221()22SA R r =+=， 因此，三棱锥S ﹣ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝4π×214＝21π． 故选C ．【点睛】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出球心的位置，考查计算能力，属于中等题． 8. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0>ω，,2πϕπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的部分图象如图所示，且f （x ）在[0,2]π上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为-1），则ω的取值范围是（）A. 713,1212⎛⎤⎥⎝⎦ B. 713,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 1117,1212⎛⎤⎥⎝⎦ D. 1117,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件先求出ϕ得值，结合()f x 在[0,2]π上恰有一个最大值和一个最小值，求出满足条件的表达式，即可求解．【详解】由题意知，根据函数()sin()f x x ωϕ=+，的部分图象，因为3(0)2f =，且,2πϕπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以23ϕπ=，又因为[0,2]x π，所以2222333x πππωπω≤+≤+， 所以5272232ππππω≤+<，所以11171212ω≤<. 故选D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，结合函数一个周期内的最大值和最小值对应的范围求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 9. 《易经》是中国传统文化中的精髓.下图是易经先天八卦图（记忆口诀：乾三连、坤六断、巽下断、震仰盂、坎中满、离中虚、艮覆碗、兑上缺），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阳线和二根阴线的概率为（ ）A.114B.17C.314D.328【答案】C 【解析】 【分析】先求得从八卦中取两卦的方法数，然后将两卦的六根线中恰有四根阳线和二根阴线情况是两类，求得各自的方法数，从而求得所求概率.【详解】从八卦中取两卦2828C =，两卦的六根线中恰有四根阳线和二根阴线情况是两类：一类是一卦有三根阳线，另一卦有一个阳线和二根阴线，共有3种取法；另一类是两卦都是两阳一阴，也是三种取法，所以所求概率为632814=. 故选：C.【点睛】本题主要考查数学文化及古典概型，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属基础题.10. 已知函数()2,1ln ,1x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，()()g x f x ax a =-+，若()g x 恰有1个零点，则a 的取值范围是（ ）A. 0,B. (],2-∞C. []1,2D. [)1,+∞【答案】D 【解析】 【分析】()g x 恰有1个零点，等价于()y f x =与y ax a =-的图像恰有一个交点，而直线y ax a =-恒过()1,0点，结合图可得答案【详解】()g x 恰有1个零点即()y f x =与y ax a =-的图像恰有一个交点，y ax a =-恒过()1,0点， 由ln y x =得'1y x=，所以曲线ln y x =在点()1,0处的切线的斜率为1， 由2yx x 得'21y x =-，所以曲线2yx x 在点()1,0处的切线的斜率为1，所以结合图像可知，()g x 恰有1个零点当且仅当1a ≥.故选：D【点睛】此题考查函数与方程的应用，考查分段函数，考查数形结合的思想，属于基础题.11. 已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的一个右焦点为F ，以坐标原点O 为圆心，过点F 的圆O 与双曲线E 相较于四个点（M 为其中一个交点），圆O 与双曲线E 的一条渐近线交于A ，B 两点，若△ABF 的面积为32，△OMF 的面积为8，则E 的渐近线方程为（ ） A. 3y x =± B. 12y x =±C. 2y x =±D. 33y x =±【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线的另一个焦点为1F ，由双曲线的对称性及圆的性质，得四边形1AFBF 是矩形， 由222b y x a x y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩得A 点坐标求得32bc =，由22222221x y c x y ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩得M 点纵坐标及△OMF 的面积为8求得211822OMF M S c y b =⋅==△，从而求出,a b 值得解【详解】设双曲线的另一个焦点为1F ，由双曲线的对称性及圆的性质，四边形AFBF '是矩形，所以1ABF AFF S S =△△，即222b y x ax y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，x a y b =±⎧⎨=±⎩， 132AFF S bc ∴==△，由22222221x y c x y ab ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩得，2b yc =±， 所以211822OMF M S c y b =⋅==△， 216b ∴=，4b ∴=，所以43a =，C 的渐近线方程为3y x =±.故选：D【点睛】本题考查双曲线及圆的知识求渐近线方程，属于基础题.12. 方程()()()sin 211,1x a a -=∈-在()0,π的解为()1212,x x x x <，则()12sin x x -=（ ） A. 21a -- B. 21a -C. aD. 2a【答案】A【解析】 【分析】先根据x 的范围求得()211,21x π-∈--，结合函数图象对称性得121242x x π+=+，将2x 换掉求得()()121sin cos 21x x x -=--，然后根据范围结合同角三角函数的基本关系式及诱导公式求得结果.【详解】因为0πx <<，所以()211,21x π-∈--，又因为1x ，2x 是()sin 21x a -=的两根，结合图像可知12212122x x π-+-=或122121322x x π-+-=即2112x x π=+-或21312x x π=+-，当2112x x π=+-时，()()1211sin sin 21cos 212x x x x π⎛⎫-=--=-- ⎪⎝⎭，又因为12x x <，2112x x π=+-，所以11042x π<<+，所以1211,2x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()21cos 211x a -=-，所以()212sin 1x x a -=--；当21312x x π=+-时，()()12113sin sin 21cos 212x x x x π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，又因为12x x <，21312x x π=+-，所以131042x π<<+，且121x π->所以1321,2x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以()21cos 211x a -=--，所以()212sin 1x x a -=--.综上两个情况都有()212sin 1x x a -=--， 故选：A.【点睛】本题主要考查正弦函数的对称性及诱导公式、同角三角函数的基本关系式，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.二、填空题：13. 已知tan 3α=，则cos 22απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】35【解析】 【分析】利用诱导公式以及正弦的倍角公式，将目标式化为含正切的代数式，代值即可求得结果. 【详解】由tan 3α=，得2222sin cos 2tan 63cos 2sin 22sin cos 1tan 195παααααααα⎛⎫+=-=-=-=-=- ⎪+++⎝⎭.故答案为：35-.【点睛】本题考查用诱导公式以及倍角公式化简求值，属综合基础题.14. ()5211x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x -的系数为______.【答案】-40 【解析】 【分析】利用乘法分配律及二项展开式的通项公式即可求得系数.【详解】521x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式15522rr r r rr T C C x x -+⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()5211x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x -系数为2233552240C C ⨯-⨯=-.故答案为：-40【点睛】本题考查二项展开式指定项系数的求解问题，关键是熟练掌握二项展开式的通项公式. 15. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23A π=，7a =，若ABC ∆，则其周长是________. 【答案】15 【解析】【分析】根据余弦定理到2249b c bc ++=，根据面积公式到15bc =，计算得到答案. 【详解】根据余弦定理：222222cos 49a b c bc A b c bc =+-=++=.根据面积公式：1si n 2S bc A ===，故15bc = 故()22264b c b c bc bc +=+++=，故8+=b c ，故周长为15. 故答案为：15.【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，意在考查学生计算能力和应用能力.16. 已知正三棱柱111ABC A B C -中14AB AA ==，点M ，N 分别是侧面11ABB A 和11ACC A 内的动点，过点M 在侧面11ABB A 内作平行于1AA 的直线分别交AB ，11A B 于点E ，1E ，过点N 在侧面11ACC A 内作平行于1AA 的直线分别交AC ，11A C 于点F ，1F ，BC ，11B C 的中点分别为G ，1G ，则多面体111EFG E FG -侧面积的最小值为______. 【答案】24 【解析】 【分析】根据题意，多面体侧面积最小只需三角形EFG 周长最小即可，根据对称性，结合题意即可容易求得结果. 【详解】多面体111EFG E FG -为三棱柱，确定其侧面积的最小值只需确定底面EFG 周长的最小值即可.在底面ABC 中，设G 关于AB 和AC 对称点分别为Q ，R ，连接QR ，则当E ，F ，Q ，R 共线时，EFG 周长最小，最小值为6. 所以多面体111EFG E FG -的体积的最小值为24. 故答案为：24.【点睛】本题考查多面体体积的计算，注意确定临界情况即可，属基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题17. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，2410a a +=，159a a =，15a a <. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）23n n a -=；（2）()111213412n n S n -=-⨯+. 【解析】 分析】（1）利用等比数列的基本量转化已知条件，解方程求得首项和公比，则问题得解； （2）根据（1）中所求得到n b ，再用错位相减法即可求得结果. 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为2410a a +=，159a a =，所以311411109a q a q a a q ⎧+=⎨⋅=⎩，311311109a q a q a q a q ⎧+=∴⎨⋅=⎩. 因为各项均为正数，所以解得12713a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，或1133a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 又因为15a a <，所以{}n a 是递增的等比数列， 所以113a =，3q = 所以数列{}n a 的通项公式为23n n a -=. （2）由（1）知23n n b n -=⨯. 则10121323333n n S n --=⨯+⨯+⨯++⨯，①在①式两边同时乘以3得，012131323333n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯，② ①-②得10121233333n n n S n ----=++++-⨯，即()111332313n n n S n ---=-⨯-，所以()111213412n n S n -=-⨯+. 【点睛】本题考查等比数例基本量的计算，以及用错位相减法求数列的前n 项和，属综合基础题.18. 如图1，平面四边形ABPC 中，ABC 和PBC 均为边长为3BC 将PBC 折起，使32PA = 2.（1）求证：平面PBC ⊥平面ABC ； （2）求二面角A PB C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【解析】 【分析】（1）取BC 的中点O ，连接OP ，OA ，则由已知可得AO BC ⊥，OP BC ⊥且3==OA OP ，从而得222OP OA AP +=，所以OP OA ⊥，所以可得OP ⊥平面ABC ，进而由面面垂直的判定定理可证得平面PBC ⊥平面ABC ；（2）因为,,OA OB OP 两两垂直，所以以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求二面角A PB C --的余弦值 【详解】（1）取BC 的中点O ，连接OP ，OA ， 因为ABC 和PBC 均为边长为23的等边三角形， 所以AO BC ⊥，OP BC ⊥且3==OA OP ，因为32AP =，所以222OP OA AP +=，所以OP OA ⊥，又因为⋂=OA BC O ，OA ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以OP ⊥平面ABC ， 又因为OP ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABC .（2）以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,3P ，()0,3,0B，()3,0,0A ，()0,3,3=-BP ，()3,3,0BA =-，设平面PBA 的法向量为(),,n x y z =，则00n BP n BA ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即330330y z x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令1z =，则平面PBA 的一个法向量为()1,3,1n =， 依题意，平面PBC 的一个法向量()1,0,0m =， 所以5cos ,5m n m n m n⋅==， 由图可得A PB C --为锐二面角， 故二面角A PB C --的余弦值为5.【点睛】此题考查了面面垂直的判定，考查二面角的求法，考查推理能力和计算能力，属于中档题 19. 某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：产品的性能指数在[)50,70的适合托班幼儿使用（简称A 类产品），在[)70,90的适合小班和中班幼儿使用（简称B 类产品），在[]90,110的适合大班幼儿使用（简称C 类产品），A ，B ，C ，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解年营销费用x （单位：万元）对年销售量y （单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用i x ，和年销售量()1,2,3,4,5i y i =数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.表中ln i i u x =，ln i i y υ=，5115i i u u ==∑，5115i i υυ==∑.根据散点图判断，by a x =⋅可以作为年销售量y （万件）关于年营销费用x （万元）的回归方程.（i ）建立y 关于x 的回归方程；（ii ）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？ （收益=销售利润-营销费用，取 4.15964e =）. 参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u u u υυυ，其回归直线u υαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆnii i nii uu uuυυβ==--=-∑∑，ˆˆu αυβ=-. 【答案】（1）每件产品的平均销售利润为4元（2）（i ）1464y x =（ii ）该厂应投入256万元营销费. 【解析】 【分析】（1）分别求出三类产品的频率，求出分布列及其数学期望即可；（2）（i ）利用公式求出相关系数，即可求出回归方程；（ii ）设年收益为z 万元，求出z ，设14t x =，()4256f t t t =-，求出函数的导数，根据函数的单调性即可求出z 的最大值.【详解】（1）设每件产品的销售利润为ξ元，则ξ的所有可能取值为1.5，3.5，5.5， 由直方图可得，A ，B ，C 三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4， 所以，()1.50.15P ξ==，()3.50.45P ξ==，()5.50.4P ξ==， 所以随机变量ξ的分布列为：所以， 1.50.15 3.50.45 5.50.44E ξ=⨯+⨯+⨯=， 故每件产品的平均销售利润为4元；（2）（i ）由by a x =⋅得，()ln ln ln ln by a xa b x =⋅=+，令ln u x =，ln y υ=，ln c a =，则c bu υ=+，由表中数据可得，()()()515210.41ˆ0.251.61ii i ii uu buuυυ==--===-∑∑， 则24.8716.30ˆˆ0.25 4.15955cbu υ=-=-⨯=， 所以，ˆ 4.1590.25u υ=+， 即14.1594ˆln 4.1590.25ln ln yx e x ⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭， 因为 4.15964e=，所以14ˆ64y x =，故所求的回归方程为1464y x =；（ii ）设年收益为z 万元，则()14256z E y x x x ξ=⋅-=-， 设14t x =，()4256f t t t =-，则()()332564464f t t t '=-=-，当()0,4t ∈时，()0f t '>，f t 在()0,4单调递增， 当()4t ,∈+∞时，()0f t '<，ft 在()4,+∞单调递减，所以，当4t =，即256x =时，z 有最大值为768，即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题，求回归直线方程的步骤：（1）依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；（2）计算211,,,n n i i i i i x y x x y 的值；（3）计算回归系数,a b ；（4）写出回归直线方程y bx a =+.20. 已知O 为坐标原点，F 为椭圆22:149x y C +=的上焦点，椭圆C 上一点A在第一象限，且OA =（1）求直线AF 的方程；（2）直线l 的方向向量a 与AF 共线，直线l 交椭圆C 于M ，N ，求OMN 面积的最大值. 【答案】（1）12y x =-+；（2）3. 【解析】 【分析】（1）设()()0000,0,0A x y x y >>，利用OA =A 在椭圆上列式，可解得0x ，0y ，再根据两点式可得直线AF 的方程；（2）根据直线l 的方向向量a 与AF 共线，可设直线1:2MN y x m =-+，联立直线与椭圆，求得弦长||MN 和原点到直线MN 的距离，进而求得OMN 的面积，再根据基本不等式可求得最大值. 【详解】（1）设()()0000,0,0A x y x y >>，因OA=，①又因为点A 在椭圆上，所以2200149x y+=，②由①②解得005x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩A的坐标为⎝⎭，又因为F的坐标为(， 所以直线AF的方程为12y x =-（2）直线l 的方向向量a 与AF 共线，所以//l AF ，因为直线1:2AF y x =-+ 所以设直线1:2MN y x m =-+，()11,M x y ，()22,N x y ，由2214912x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得，22522180x mx m -+-=， 由22420(218)0m m ∆=-->，得m <<由韦达定理得，1225m x x +=，2122185m x x -=，所以12MN x =-==5=⋅又因为O 到直线MN的距离d ==，所以12OMN S MN d =⋅△35==22310352m m +-≤⋅= 当且仅当2210m m =-，即m = 所以OMN 面积的最大值为3.【点睛】本题考查了直线的方向向量，考查了弦长公式，点到直线的距离公式，三角形面积公式，考查了基本不等式求最值，考查了运算求解能力，属于中档题. 21. 已知函数()()()ln 1f x x a x ax =++-，f x 为()f x 的导数.（1）若2a =，求函数()y f x ='的零点； （2）在（1）的条件下，判断()f x 的单调性； （3）若2a =-，10x -<<，求证：()()21xf x x e ->-.【答案】（1）f x 的零点为0（2）()f x 在定义域()1,-+∞是增函数（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）代入a 的值，求出()f x 的导数'()f x ，再求出'()f x 的导数，判断'()f x 的单调性，即可求出'()f x 的零点；（2）由（1）可直接判断函数()f x 的单调性；（3）将问题转化为证明212xx e x -<-+，构造函数2()2x x h x e x -=+，根据函数的单调性证明即可. 【详解】（1）由题可知()f x 的定义域为()1,-+∞， 当2a =时，()()()2ln 12f x x x x =++-，()()()2ln 12ln 111x xf x x x x x +'=++-=+-++，令()()F x f x '= 则()()()2211111x F x x x x '=-=+++， 当()1,0x ∈-时，()0F x '<，所以f x 在1,0单调递减，当()0,x ∈+∞时，()0F x '>，所以f x 在0,单调递增，所以()()00f x f ''≥=， 所以fx 的零点为0；（2）由（1）知()()00f x f ''≥=， 即()f x 在定义域()1,-+∞是增函数； （3）()()21xf x x e->-即()()2ln 12xx x xe--+>-，由（2）知，()()()2ln 12f x x x x =++-在()1,-+∞单调递增， 所以，当()1,0x ∈-时，()()2ln 120x x x ++-<，即()2ln 102xx x +<<+， 所以当()1,0x ∈-时，()()()222ln 12x x x x x --+>+，所以要证明原不等式成立，只需证明22x x e x --<-+， 即证明212xx e x -<-+， 设()22xx h x e x -=+，则()()2202'=>+x x e h x x ， 所以()h x 在1,0单调递增，所以()()01h x h <=-，所以原不等式成立，综上，当2a =-，()1,0x ∈-时，()()21xf x x e->-.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的零点、讨论函数的单调性以及证明不等式的恒成立问题，是一道综合题，体现了数学的转化思想.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4—4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+.（1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）若C 上恰有2个点到l，求l 的斜率.【答案】(1) l 的普通方程为tan y x α=, C 的直角坐标方程为2214x y +=(2) ±【解析】 【分析】(1)分类讨论cos α，消去参数t ，得到l 的普通方程，利用x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩，及22413sin ρθ=+得到 C 的直角坐标方程；(2):l y kx =，根据题意可知C 上恰有2个点到l等价于C 上的点到l，利用椭圆的参数方程及点到直线距离，即可得到l 的斜率. 【详解】（1）当cos 0α=，即()2k k Z παπ=+∈时，l 的普通方程为0x =当cos 0α≠，即()2k k Z παπ≠+∈时，l 的普通方程为tan y x α=由x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩，及22413sin ρθ=+，得2244x y += 即C 的直角坐标方程为2214xy += （2）依题意，设:l y kx =所以C 上恰有2个点到lC 上的点到l设C 上任一点()2cos ,sin P ββ，则P 到l 的距离d==（其中sin ϕ=，cos ϕ=当()sin 1βϕ+=±时，max d ==解得：2k=±，所以l 的斜率为2±【点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式{ x cos y sin ρθρθ==， 222{?x y y tan xρθ+==等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本题这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．[选修4—5：不等式选讲]23. 已知函数()|2||4|f x x x =++-.(1)求不等式()3f x x ≤的解集；(2)若()|1|f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围. 【答案】(1)[)2,+∞；(2)(],2-∞. 【解析】 【分析】（1）通过讨论x 的范围，分为4x >，2x <-，24x -≤≤三种情形，分别求出不等式的解集即可； （2）通过分离参数思想问题转化为331111k x x ≤++---，根据绝对值不等式的性质求出最值即可得到k 的范围.【详解】(1)当4x >时，原不等式等价于243x x x ++-≤，解得2x ≥-，所以4x >， 当2x <-时，原不等式等价于243x x x ---+≤，解得25x ≥，所以此时不等式无解， 当24x -≤≤时，原不等式等价于243x x x +-+≤，解得2x ≥，所以24x ≤≤ 综上所述，不等式解集为[)2,+∞. (2)由()1f x k x ≥-，得241x x k x ++-≥-，当1x =时，60≥恒成立，所以R k ∈； 当1x ≠时，24131333111111x x x x k x x x x ++--++--≤==++-----.因为3333111121111x x x x ⎛⎫⎛⎫++-≥++-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当且仅当3311011x x ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭即4x ≥或2x -≤时，等号成立，≤；所以k2-∞.综上k的取值范围是(],2【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题.。