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mjt-任意角的三角函数

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任意角的三角函数 -公开课课件

任意角的三角函数 -公开课课件

1 OP
OP0
5
tan y sin 4 x cos 3
定义推广：
设角 是一个任意角，P(x, y) 是终边上的任意一点，
点 P 与原点的距离 r x2 y2 0
那么① y 叫做 的正弦，即 sin y
r
r
②
x r
叫做
的余弦，即
cos x
r
③
y x
叫做
的正弦，即
tan y x 0
反过来请同学们自己证明.
归纳 总结
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一.
2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
3 .体现的数学思想： 划归的思想，数形结合的思想.
，
所以 sin 5 3 cos 5 1 tan 5 3
y
，
32
32
3
思考：若把角 5 改为 7 呢?
5
3
o
﹒
A
x
﹒B
3
sin 7 1 ,
6
6
2
cos 7 3 ,
6
2
tan 7 3
63
例2 已知角 的终边经过点 P0 (3,4)，求角 的正弦、余
弦和正切值 .
解:由已知可得 OP0 (3)2 (4)2 5
r 13
探究：
确定三角函数值在各象限的符号
y
（+ ） +
y
（ - ）（+ ）
（-
o
）（ -
）x
（
-
o
）（+
x ）
sin
cos

任意角的三角函数完整版课件

任意角的三角函数完整版课件

y
说 明：
④除以上两种情况外，对于确定的值
，比值 y 、 x 、 y 、 x 分别是一个确定的
rrxy 实数.
2. 三角函数的定义域、值域
函数
定义域 R
值域
[1, 1]
R
[1, 1]
{ | k , k Z } R
2
例题与练习 例1. 求下列各角的四个三角函数值：
(1) 0; (2) ; (3) 3 .
3
例4. 求证：若sin＜0且tan＞0 ，则 角是第三象限角，反之也成立.
4. 诱导公式 终边相同的角三角函数值相同
sin( 2k ) sin , cos( 2k ) cos , 其中k Z . tan( 2k ) tan ,
例5. 下列三角函数的值：
(1) cos 9 ;
4
所在的位置； x
②根据相似三角形的知识，对于确
定的角，四个比值不以点P(x, y)在的
终边上的位置的改变而改变大小；
说 明：
③当a k (k Z )时，的终边
2 在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都
等于0，所以tan y 无意义；同理当
x
x
k (k Z ) 时，cot x 无意义；
复习引入
初中是怎样定义锐角三角函数的?BBiblioteka ca A bC讲授新课
1. 三角函数定义
正弦、余弦、正切、都是以 角为自变量，以单位圆上点的坐 标或坐标的比值为函数值的函数， 我们把它们统称为三角函数.
说 明：
①的始边与轴的非负半轴重合， 的终边没有表明一定是正角或负角，以 及的大小，只表明与的终边相同的角
(2) tan( 11 ).
6
例6. 求函数 y cos x tan x cos x tan x

任意角的三角函数PPT优秀课件29(4份)

任意角的三角函数PPT优秀课件29(4份)
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
作业：
课本第20页 习题1.2 A组 6、8题.
谢谢大家
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
1.2.1任意角的三角函数
额敏县中学数学组加娜尔
1.2.1任意角的三角函数
• 一、教学目标 • 1、借助单位圆能够理解任意角的三角函数的定义 • 2、根据三角函数的定义能够理解其定义域，三角函数值的符合及诱导公式一 • 3、掌握并能初步运用公式一 • 4、让学生积极参与知识的形成过程，经历知识的发现过程 • 过程与方法 • 初中学生：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，引导学生
（3）因为

4
是第四象限角，所以
sin 0
4
练习 确定下列三角函数值的符号
cos 16
5

sin( 4 )
3

tan(17 )
8

例3 求下列三角函数值：
（1）
cos 9
4
（2）
tan( 11 )
6

中职数学4.3 任意角的三角函数课件

中职数学4.3 任意角的三角函数课件

4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例5 已知cos＞0, 且tan ＜0, 试确定角 是第几象限角．
解 因为cos＞0, 所以角 可能是第一或第四象限角, 也
可能终边在 x 轴的正半轴上.
又因为tan＜0，所以角 可能是第二或第四象限角． 故满足cos＞0且tan＜0的角 是第四象限角．
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
0°角、180°角、270°角和360°角的正弦、余弦和正切值
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例4 判断下列各三角函数值的符号.
解 (1) 因为−325°＝35°−360°，所以－325°角是第一象限角， 故sin(−325°)＞0； (2)
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
4.3.2 单位圆与三角函数
练习
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
1. 判断下列三角函数值的符号：
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
30°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为_______. 60°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为_______. 120°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为______.
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例3 求90°角的正弦、余弦和正切. 解 90°角的终边与单位圆的角的交点坐标为(0,1) ， 所以 sin90°=1, cos90°=0, tan90°不存在.

任意角的三角函数-PPT课件

任意角的三角函数-PPT课件
作业：P23习题1.2A组 1、2、3
摩天轮有个美丽的传说，当摩天轮转到最高 点时许下的愿望一般能实现，你能求出小明 从最低点出发，当摩天轮逆时针转动第一次 到达最高点许愿时转过的角的正弦、余弦、 正切值吗?
6、回顾小结、建构网络
1、你学了什么？ 2、你学会了什么？ 3、你学的最好的地方？ 4、你还有哪些疑惑的地方？
解： 由已知得 x 2 y 3
op r 22 (3)2 13
y 3 3 13
sin r
13
ห้องสมุดไป่ตู้
13
x 2 2 13
cos
r 13 13
y3
tan
x2
5、归纳总结，提升认识
1.求 7 的正弦,余弦和正切值.
6
2.已知角α的终边上有一点P（2，-3），求 角α的正弦、余弦、正切值。
数学的定义要严谨， 数学的定义要科学，数学 的定义要合理， 数学概念也是有“生命的”.
问题3：随着摩天轮的转动，角度也不知不觉地推广到 了任意角，对任意角，其正弦函数sin如何定义？
探 究1
用点P(x,y)表示角α的函数，
y r
,
rx是, xy否
因为P 点在终边上的位置发生变化而变化？
y
OMP ∽ OMP
P
P1
结论:三个比值都不会
随点P在α终边上的位
置变化而改变.
o
M1 M x
探 究2
4、巩固提升，深化概念
求
5
3
的正弦,余弦和正切值.
解：设
5
3
与单位圆的交点为P
y
由已知得 OP=1
p(
1 2
,
3 2
)

任意角的三角函数(三角函数线)

任意角的三角函数(三角函数线)
1.2.1任意角的三角函数
一、任意角的三角函数的定义1:
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交 于点P(x,y)则:
y
y 叫α的正弦
sin α y
P(x, y)
x叫α的余弦
cos x
y x 叫α的正切 tan y
x
O
x
一、任意角的三角函数的定义2:
设是一个任意角,的终边上任意一点
y
P(x, y)
在,此时角α的正切值不存在.
A(1,0)
MO
x
三角函数线的意义：方向表示三角函数值T 符号，长度表示三角函数值的绝对值.
同学们实践：
α的终边 y
y α的终边
P
A
Mo
x
T P o MA x
(Ⅱ)
T
y
M
P α的终边
T
o
Ax
(Ⅲ)
y (Ⅰ)
MA
o
x
PT
α的终边 (Ⅳ)
例1.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
2
5
3
变式： 写出满足条件 1 ≤cosα＜ 3的角α
2
2
的集合.
2
y
3
1
6
-1 O
4
-1
3
1
x
11
6
(2k
|2,2kk
6
62＜k23α≤42≤k2αk＜23
，4或,2k 11
2k3 11 ，k 6Z
)k
Z
3
6
课堂 练习
1.已知是第三象限且cos 0 ，问 是第几象
限角？
2
2
2.若θ在第四象限，试判sin(cosθ)cos(sinθ)的符号

任意角三角函数的定义与概念

任意角三角函数的定义与概念
任意角三角函数，指的是相对于普通三角函数，其定义范围不限于角度范围0-360度，而是可以用一元函数来表示任意角度。

这类函数具有广阔的实用价值，主要是用于弧度转换和空间数学，以及各种数学运算上的应用。

任意角三角函数通常分为两大类：第一类是根据任意角度的定义而求得的三角函数，例如正弦函数、余弦函数和正切函数；第二类是由任意角度下的矩形三角函数推得的新函数，例如反正切函数、反余弦函数和反正弦函数。

这些函数可以用与任意角度相关的参数表示，也可以用其他参数表示。

正如三角函数有其独特的性质一样，任意角三角函数也有其特有性质。

首先，它们的最大值和最小值均为1，而其他三角函数则没有这种特征。

其次，与普通三角函数不同的是，任意角三角函数的定义域是一个整体，即角度值可以从0到2π
自由变化，不会受任何限制。

此外，它们在求解特定参量的相应值时，只需要将相应的值与参量的弧度值求积即可。

例如，在给定参量θ时，求出sinθ,cosθ与tanθ，只需要将θ当做弧度值并做乘法运算即可。

任意角三角函数在实际应用中也有其重要用处，可以分析圆周运动中的变换关系，计算图形坐标并解决复杂的数学问题。

而三角函数方程在太阳能发电、通信信号处理、人工智能、重力力学等领域都有所应用。

以上就是任意角三角函数的定义与概念。

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tan y x 0
x
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P在角的
终边上的位置无关.
【探究2】三角函数在各个象限的符号
sin cos tan
y
y
y
ox
ox
ox
一全正、二正弦、三正切、四余弦
例题
例1、确定下列三角函数值的符号：
1
cos
2500
2
sin
4
3 tan 6720 4 tan 11 3
转化为求 0到2 或0角到3的60三角函数值 .
例5 求下列三角函数值：
（1）
cos 9
4
（2） tan( 11 )
6
解：（1）cos 9
cos(
2 )
cos
2
4
4
42
（2）tan( 11 ) tan( 2 ) tan tan 3
6
6
6
63
练习 求下列三角函数值
tan 19
OM a
o
﹒ Mx
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
﹒ P(a,b)
O
M M
OMP ∽ OMP
sin MP
OP
M P OP
cos OM OM
x
OP OP
tan MP M P
OM OM
一、任意角的三角函数的定义2:
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交 于点P(x,y)则:
sin 2 2 5 ,cos 1 5 , tan 2 2
55
55
1
2当角的终边在第三象限时，
在角的终边上取点1, 2，则r 12 22 5
sin 2 2 5 ,cos 1 5 , tan 2 2
55
55
1
？ 如果两个角的终边相同，那么这两个角
的同一三角函数值有何关系？
3
3
1 tan( 31 ) 4
练习：求值
cos
11
3
sin
71
6
tan
19
3
解：cocsos 1143
3sin
si7n1612tan
19
6
3
tan
6
3
cos
sin
tan
36 3
1 1 3 1 3 22
函数y=
cos cos
+
tan x tan x
的值域是
2, 0, 2 .
M1
x
[ 2k , 5 2k ]
6
6
-1
(k Z)
例:在单位圆中作出符合条件的角的终边:
2cos 1
2
y
1
3
-1 O
2k
3
,2k
5
3
k
Z -1
1
x1 x
2
5
3
变式： 写出满足条件 1 ≤cosα＜ 3的角α
2
2
的集合.
2
y
3
1
6
-1 O
4
-1
3
1
x
11
6
(2k
|2,2kk
6
62＜k23α≤42≤k2αk＜23 2，4k3或,21k1，k116Z
强化训练
1、角的终经过点P(2,3)，则有( C )
A、sin 2 13 B、cos 13
13
2
C、sin 3 13 D、tan 3
13
2
2、若角的终边在直线y 2x上，则sin 等于( C )
A、 1 B、 5 C、 2 5 D、 1
5
5
5
2
3、的终边经过P(-b,4)，且cos 3，则b的值为_3____
y
P(x, y)
1
x
oM
？ 如果两个角的终边相同，那么这两个角
的同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan （其中 k z）
公式作用：可以把求任意角的三角函数值，
任意角的三角函数
新课 导入
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
a
Ob M y
x
新课 导入
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中:
OM a
sin MP b
OP r
MP b OP r a2 b2
cos OM a
OP r
y
﹒Pa, b
tan MP b
小结
3.公式一(诱导公式)
sin( k 2 ) sin
cos( k 2 ) cos
tan( k 2 ) tan (k z)
▪ 应用
（1）判断符号
把角化到00
~
3600
（2）求值
几个特殊角的三角函数值
角α 0o
角α
的弧 度数
0
sinα 0
cosα 1
tanα 0
30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
数值.
6
解:
在直角坐标系中,作
AOB
7
6
,
易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为
B(
3 2
,
12).
sin 7 1 ;
62
cos
7
6
3 2
;
tan
7
6
3 3
.
┓
y
o Ax
B
例题
例 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边:⑴s Nhomakorabean 1 ;
2
(2)sin 1 ;
角的终边
2
y
1
P
y1 2
-1 O
5
4、已知角的终边在y x上，则sin cos ____2___
5、若sin tan 0,则的终边在( D )
A、第一象限
B、第四象限
C、第二或第三象限 D、第一或第四象限
6、下列各三角函数值中，取负值的是( B ) A、sin(-6600 ) B、tan1600 C、cos(-7400 ) D、sin(4200 ) cos5700
tan y1 y . x1 x
y
P(x, y)
P1(x1, y1)
o
M1
Mx
定义推广：
设角 是一个任意角，P(x, y) 是终边上的任意一点，
点 P 与原点的距离 r x2 y2 0
那么① y 叫做 的正弦，即 sin y
r
r
②
x r
叫做
的余弦，即
cos x
r
③
y x
叫做
的正弦，即
)k
Z
3
6
【探究】如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与 单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?
前面我们已经知道,三角函数的值与点P (x, y)在终 边上的位置无关，仅与角α的大小有关.
点P到原点O的距离 r x2 y2
sin y1
1
y
y
x2 y2
; r
cos x1
1
xx x2 y2 r ;
y cos
y tan
定义域
R R
{ | k , k Z}
2
例1.求 5的正弦、余弦和正切值.
3
解:
在直角坐标系中,作
AOB
5
3
,
易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为
y
B(
1 2
,
3 2
).
sin
5
3
3 2
;
cos
5
3
1 2
;
tan
5
3
3.
o
┓
Ax
B
利用三角函数的定义求 7 的三个三角函
解：由已知可得：
r x2 y2 122 52 13
于是，sin y 5
r 13
tan y 5
x 12
cos x 12
r 13
3、已知角的终边在直线y 2x上，求角的sin,cos, tan的值.
解：1当角的终边在第一象限时，
在角的终边上取点1, 2，则r= 12 22 5
例.已知角α 终边经过点P0(-3, -4),求角α 的正 弦、余弦和正切值.
解: ∵x＝ -3, y＝- 4,
y
r (3)2 (4)2 5.
sin
y r
4 5
4 5
;
O
x
cos
x r
3 5
3 5
;
P0
tan
y x
4 3
4 3
.
巩固 提高
练习 1、已知角 的终边过点 P12,5 ，
求 的三个三角函数值.
6 4 32
3 2
2
0 1 1 1
2
3
2
2
2
0
0 3
21
2
2
2
1 0 1
31
3
3 不存在 0 不存在 0
y
y 叫α的正弦
sin α y
P(x, y)
x叫α的余弦
cos x
y x 叫α的正切 tan y
x
O
x
一、任意角的三角函数的定义:
思考：对于一个任意给定的角α，按照上述定义，
对应的sinα，cosα，tanα的值是否存在？是否
惟一？
y
P(x, y)
O
x