离散系统的Z域分析.

完全响应
y ( n ) [ 0 . 45 ( 0 . 9 ) 0 . 5 ] u ( n ) 0 零输入响应
n 零状态响应
• (2) ∵Y(z)-0.9Y(z)+0.9y(1)=x(z) • Y(z)-0.9Y(z)+0.9=x(z) •
完全响应
取z变换
2
Z域、S域、频域之间的关系
F
连续时间 信号 x(t)

F
拉式变换 X(t)
L L
Z
Z

s j
傅氏变换
j s
z e j
X ( j
抽样
离散时间 信号 x(n)
Z变换
X(z)
e j z
X (e j )
DTFT
DTFT
IDTFT
h(n)




h(n)的波子波形， 零点只影响其幅度 N N A z 和相位 h(n) Z -1 A0 k A0(n) Ak ( pk )nu(n) k 1 k 1 z pk
N Ak z 1 Z k 0 z pk
Y ( z)
1 bz
1

1 bz
1

1 bz
1
完全 响应
1 n 1 n 1 n 1 y ( n) a b 2 b a b 零输入响应
零状态响应


• 例2 求 y(n)-0.9y(n-1)=x(n)的完全响应。 • 设x(n)= 0.05u(n), (1) y(-1)=0; (2) y(1)=1 • 解:z变换: Y(z)-0.9z-1Y(z)+0.9y(-1)=X(z) • Y(z)=X(z)/(1-0.9z-1)= 0.05z2/[(z-0.9)(z1)] • 部分分式：Y(z)/z = A/(z-0.9) + B/(z-1) • 解得 A=0.05z/(z-1)|z=0.9=-0.45 • B=0.05z/(z-0.9)|z=1=0.5 • Y(z)=-0.45z/(z-0.9) + 0.5z/(z-1) •
Y ( z) 1 z z( z 1) H ( z) 1 2 X ( z) 1 0.2 z 0.24z ( z 0.4)(z 0.6)
• 稳定因果系统:pk=0.4, pk=-0.6,都在单位圆 内,ROC:|z|>0.6,包括z=,s是稳定因果系统
• 求H(z)/z的部分分式： • H(z)=1.4z/(z-0.4)-0.4z/(z+0.6), |z|>0.6 • 取逆变换：y(n)=[1.4(.4)n-0.4(-0.6)n]u(n) • 若激励x(n)=u(n), 则X(z)=z/(z-1), |z|>1
2. 系统函数的零极点分布对系统特性的影响
• (1) 由zr,pk分布→h(n)性质:
• ∵ H(z)
M 1 • 1 z z Pk:实数, 共轭复数 r -1 r 1 h ( n ) Z G h(n)pi, Ak影响 N 1 1 p z 幅度。极点只决定 k k 1
z ( z 1) Y ( z) H ( z) X ( z) ( z 1)(z 0.4)(z 0.6) 展成部 2.08 z 0.93 z 0.15 z 分分式 Y ( z ) z 1 z 0.4 z 0.6 , z 1 n n 作逆变换 y(n) [2.08 0.93(0.4) 0.15(0.6) ]u(n)
k
z
k
[Y ( z )
l k r 1
y(l ) z x(m) z
1
l
] ]
br z [ X ( z )
m
m r
零输入 x(n)=0
a
k 0
N
k
z [Y ( z )
[ ak z
k 0 N
k
l k
k
y(l ) z
1 l k
a
k 0
N
N
k
y (n k ) br x(n r )
r 0
M
M
a
k 0
k
z Y ( z ) br z X ( z )
k r r 0
系统函数
Y ( z) H ( z) X ( z)
b a
k 0 r 0 N
M
r
z z
r
k
k
• 例 求差分方程所描述系统的系统函数和 单位脉冲响应。 • y(n)-ay(n-1)=bx(n) • 解 Y(z)-az-1Y(z)-ay(-1)=bX(z) • 如果系统处于零状态，则y(-1)=0, 于 是 • H(z)=b/(1-az-1)=bz/(z-a) • h(n)=banu(n)
y ( n ) [ 0 . 45 ( 0 . 9 ) 0 . 5 ] u ( n ) 0 . 9 u ( n )
n 零状态响应 零输入响应
n 1
10.2离散系统的系统函数
• 1. 系统函数与单位脉冲响应
差分方程 激励:因果序列 系统：零状态
N
M
m r
m x ( m ) z ]
1
X(n)因 果序列
k r a z Y ( z ) b z k r X ( z) k 0 r 0
r b z r k a z k k 0 r 0 N M
Y ( z) X ( z)
X ( z)H ( z)
零状态 响 应 完 全 响 应
yzs (n) Z [ X ( z) H ( z)]
-1
y(n) yzi (n) yzs (n)
求差分方程 y(n)-by(n-1)=x(n) 的响应？ 设 x(n)=anu(n), (1) y(-1)=0;(2)y(1)=2. 解 (1) 作z变换: Y(z)-bz-1Y(z)-by(-)=X(z), ∵y(-1)=0,∴Y(z)=X(z)/(1-bz1)=z2/[(z-a)(z-b)] 其极点在z=a, z=b,展成部分分式
1
l
]0
l
Y ( z)
零输入 响 应
y (l ) z ]
k
a
k 0
N
z
k
yzi (n) Z [Y ( z)], y(l )(N l 1)
-1
由起始状态y(l)产生
零状态 y(l)=0
-N l -1
k r a z Y ( z ) b z k r [ X ( z) k 0 r 0 N M


稳定系统的 H(z)的ROC 包括单位圆 ROC:a<|z| 稳定因果系 统同时满足
H ( z)
h( n) z

n
|z 1
n
h(n)

h(n) h(n)u (n)
a z , a 1
• 例 某系统的差分方程为 • y(n)+0.2y(n-1)-0.24y(n2)=x(n)+x(n-1) • (1)求H(z); (2)H(z)的ROC和稳定性:(3)求 h(n); (4)x(n)=u(n)时，求零状态响应y(n). • 解 取z变换: • Y(z)+0.2z-1Y(z)-0.24z-2Y(z)=X(z)+z1X(z) 1
第10章 离散系统的Z域分析
10.1 离散系统的Z变化分析法
10.2 离散系统Hale Waihona Puke Baidu系统函数
10.3 离散系统的频率响应
10.1 离散系统的Z变换分析法
• 1. 求解方法 一般 形式 取z 变换
a
k 0 N k 0
N
k
y (n k ) br x(n r )
r 0
M
a
M r 0
完全响应= 零状态响应
1 az bz Y ( z) a b z a z b 1 n 1 n 1 y ( n) a b u ( n) a b
• (2) ∵Y(z)-bz-1Y(z)-by(-1)=X(z) • Y(z)-bz-1Y(z)-2b=X(z) • ∴ X ( z ) 2b X ( z ) 2b
H(z)极点位置和 h(n)形状的关系
|pk|>1,极点 在圆外,幅 度随n增加
=T,同一 频率相同
单位圆 等幅
|pk<1,极点 在圆 内, 幅 度随n 减小
• (2) 系统的稳定性与因果性 • 离散时间系统稳定的充要条件
n
h( n) M , 或 h( n)
n n