南开大学2000年数学分析考研试题

南开大学2000年数学分析考研试题

1. 设()()()

()()()()22sin ,,0,0,0,0,0x y xy x y x y f x y x y +⎧≠⎪

+=⎨⎪=⎩

，， 证明(),f x y 在点()0,0处连续，但不可微.

2. 设()f u 具有连续的导函数，且()lim 0u f u A →+∞

'=>，()0R >，

(){}222,:,,0D x y x y R x y =+≤≥ （1）证明 ()lim u f u →+∞

=+∞；

（2）求()22R Dd

I f x y dxdy '=+⎰⎰；

（3）求2

lim

R

R I R →+∞.

3.（1）叙述()f x 于区间I 上一致连续的定义； （2）设()f x ，()g x 都于区间I 上一致连续且有界， 证明()()()F x f x g x =也于I 上一致连续，

4.设函数列(){}n f x 于区间I 上一致收敛于()f x ，且存在数列{}n a ，使得当x I ∈时，总有()n n f x a ≤，证明()f x 于I 上有界.

5.设0n a >，()1,2,

n =，1

n

n k k S a ==∑，

证明（1）若1n

n n a S ∞

=∑收敛，则1

n n a ∞

=∑也收敛.

（2)如果1λ>，1n

n n a S λ∞

=∑收敛，问1

n n a ∞

=∑是否也收敛？说明理由.

6.设(),f x t 于[)[],,a c d +∞⨯上连续，(),a

f x t dx +∞

⎰

于[),c d 上一致收敛，证明

(),a

f x d dx +∞

⎰

收敛.

南开大学2000年数学分析考研试题解答

1.解：()0,00f =，

()22

,x y xy

f x y x y +⋅≤

+

()2

22212x y x y x y +⋅

+≤

+()12

x y ≤+， ()()

()(),0,0lim

,0,00x y f x y f →-=，于是(),f x y 在点()0,0处连续.

显然()0,00x f =，()0,00y f =，

0→时，

()()(

),0,00,0f x y f x f y ⎡⎤∆∆-∆+∆

sin x y x y ∆+∆∆⋅∆=

的极限不存

在，

所以(),f x y 在点()0,0处不可微. 2.（1）证明 由()lim 0u f u A →+∞

'=>，

存在0M >，当u M ≥时，有()2

A f u '≥

， ()()()()f u f u f M f M =-+ ()()()f u M f M ξ'=-+ ()()2

A

u M f M ≥

-+， 由此，可知()lim u f u →+∞

=+∞； （2）解 ()22R D

I f x y dxdy '=+⎰⎰

()220

R

d f r rdr π

θ'=⎰⎰()()21022

f R f π⎡

⎤=

⋅-⎣⎦； （3）解 ()()2220lim lim 4R R R f R f I R R π

→+∞→+∞-= ()22lim

42R f R R R

π

→+∞

'⋅=

()2lim 4

4

R f R A π

π

→+∞

'=

=

.

4.证明 由于(){}n f x 在I 上一致收敛于()f x ， 对1ε=，存在正整数N ，当n N ≥时，有

()()1n f x f x -≤，()x I ∈， ()()1N f x f x -≤，()x I ∈，

()()()()N N f x f x f x f x ≤-+1N a ≤+，()x I ∈， 即知()f x 在I 上有界. 5、

设0>n a ，n n a a a S +++= 21，

证明： （1）当1>α

时， ∑∞

=1n n

n

S a α

收敛；

（2） 当1≤α，且+∞=∞→n n S lim 时， ∑∞

=1n n

n

S a α发散。

（3） 当1≤α

，且∑∞

=1

n n a 收敛时，∑∞

=1n n n

S a α

收

敛。

证明 对任意正整数n ， 1--=n n n S S a ，

（00=S ），

因为0>n a ，所以n n S S <-1，

（1）当1>α时，利用不等式

dx x S S S S a n n S S n

n n n n ⎰-≤-=-111

ααα， 得 dx x dx x dx x S a N n n S S N n S S N

n n n ⎰⎰∑⎰∑∞+==≤=≤-12211111αααα，}{2∑=N n n

n

S a α有界，故∑∞

=1n n

n

S a α

收敛；