2013年广东高考数学文科试题及答案
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 锥体的体积公式：1
3
V Sh =
．其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈，2{|20,}T x x x x R =-=∈，则S T = （ ） A 、{0} B 、{0,2} C 、{2,0}- D 、{2,0,2}- 【解析】：先解两个一元二次方程，再取交集，选A ；
2、函数lg(1)
()1
x f x x +=
-的定义域是（ ） A 、(1,)-+∞ B 、[1,)-+∞ C 、(1,1)(1,)-+∞ D 、[1,1)(1,)-+∞ 【解析】：对数真数大于零，分母不等于零，选C ；
3、若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5
【解析】：复数的运算、复数相等，4,3x y ==-，模为5，选D . 4、已知51
sin(
)25πα+=，那么cos α=（ ） A 、25- B 、15- C 、15 D 、25
【解析】：考查三角函数诱导公式，51sin(
)sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫
+=+=+== ⎪⎝⎭
，选C ； 5、执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是（ ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、7 【解析】选C ；本题只需细心按程序框图运行一下即可.
6、某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是（ ） A 、
16 B 、13 C 、2
3
D 、1 【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则111
=112=323
V ⋅⋅⋅⋅，选B.
7、垂直于直线1y x =+且与圆2
2
1x y +=相切于第一象限的直线方程是
A
、0x y += B 、10x y ++= C 、10x y +-= D
、0x y += 【解析】本题考查直线与圆的位置关系，直接由选项判断很快，圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于
图 1
图 2
俯视图
侧视图
正视图
第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，
求得k =
8、设为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A 、若//l α，//l β，则//αβ B 、若l α⊥，l β⊥，则//αβ C 、若l α⊥，//l β，则//αβ D 、若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 【解析】基础题，在脑海里把线面可能性一想，选B 就对了. 9、已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于
2
1
，则C 的方程是 A 、14322=+y x B 、13
422=+y x C 、12422=+y x D 、1342
2=+y x
【解析】基础题，1,2,c a b ===，选D.
10、设 a 是已知的平面向量且≠0 a ，关于向量
a 的分解，有如下四个命题：
①、给定向量 b ，总存在向量 c ，使=+
a b c ；
②、给定向量 b 和 c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+
a b c ；
③、给定单位向量 b 和正数μ，总存在单位向量 c 和实数λ，使λμ=+
a b c ；
④、给定正数λ和μ，总存在单位向量 b 和单位向量 c ，使λμ=+
a b c ；
上述命题中的向量 b ， c 和
a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
【解析】本题是选择题中的压轴题，主要考查平面向量的基本定理和向量加法的三角形法则. 利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的； 以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的； 利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题；
综上，本题选B ；
【选择题小结】：今年的选择题很基础，希望学生考个好成绩！
二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）
11、设数列{}n a 是首项为，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= 【解析】基础题：15
12、若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a = ．
【解析】本题考查切线方程、方程的思想.依题意：'
'1112,210,2
x y ax y a a x ==-
=-=∴= 13、已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤≤-≥+-1110
3y x y x ，则z x y =+的最大值是
．
【解析】画出可行域如图，最优解为()1,4，故填 5 ； （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14、（坐标系与参数方程选做题）
已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ．
【解析】本题考了备考弱点.讲参数方程的时候，参数的意义要理解清楚.先化成直角坐标方程
()
2
211x y -+=，易的则曲线C 的参数方程为1cos sin x y θ
θ=+⎧⎨
=⎩
（θ为参数） 15、（几何证明选讲选做题）
如图3，在矩形ABCD
中，AB =3BC =，BE AC ⊥，垂足为E ，则ED = ．
【解析】本题对数值要敏感，由AB =3BC =，可知60BAC ∠=
从而30AE CAD =∠=
，DE ==
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、（本小题满分12分）
已知函数(),12f x x x R π⎛
⎫=
-∈ ⎪⎝⎭．(1) 求
3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；(2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭，求
6f πθ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
． 【解析】
(1)133124f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-==
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（2）33cos ,,252πθθπ⎛⎫
=
∈ ⎪⎝⎭
，4sin 5θ==-，
1cos cos sin sin 64445f ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎫∴--=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭．
【解析】基础题，两角差的余弦公式不要记错了.
图 3
