一元线性回归分析

12．9 一元线性回归以前我们所研究的函数关系是完全确定的，但在实际问题中，常常会遇到两个变量之间具有密切关系却又不能用一个确定的数学式子表达，这种非确定性的关系称为相关关系。

通过大量的试验和观察，用统计的方法找到试验结果的统计规律，这种方法称为回归分析。

一元回归分析是研究两个变量之间的相关关系的方法。

如果两个变量之间的关系是线性的，这就是一元线性回归问题。

一元线性回归问题主要分以下三个方面：（1）通过对大量试验数据的分析、处理，得到两个变量之间的经验公式即一元线性回归方程。

（2）对经验公式的可信程度进行检验，判断经验公式是否可信。

（3）利用已建立的经验公式，进行预测和控制。

12．9．1 一元线性回归方程 1．散点图与回归直线在一元线性回归分析里，主要是考察随机变量y 与普通变量x 之间的关系。

通过试验，可得到x 、y 的若干对实测数据，将这些数据在坐标系中描绘出来，所得到的图叫做散点图。

例1 在硝酸钠（NaNO 3）的溶解度试验中，测得在不同温度x （℃）下，溶解于100解 将每对观察值（x i ，y i ）在直角坐标系中描出，得散点图如图12.11所示。

从图12.11可看出，这些点虽不在一条直线上，但都在一条直线附近。

于是，很自然会想到用一条直线来近似地表示x 与y 之间的关系，这条直线的方程就叫做y 对x 的一元线性回归方程。

设这条直线的方程为yˆ=a+bx 其中a 、b 叫做回归系数（y ˆ表示直线上y 的值与实际值y i 不同）。

图12.11下面是怎样确定a 和b ，使直线总的看来最靠近这几个点。

2．最小二乘法与回归方程在一次试验中，取得n 对数据（x i ，y i ），其中y i 是随机变量y 对应于x i 的观察值。

我们所要求的直线应该是使所有︱y i －yˆ︱之和最小的一条直线，其中i y ˆ=a+bx i 。

由于绝对值在处理上比较麻烦，所以用平方和来代替，即要求a 、b 的值使Q=21)ˆ(i ni iyy-∑=最小。

数据分析知识：数据分析中的一元线性回归模型一元线性回归模型是一种建立变量之间关系的常见方法，其中一个变量（自变量）被用来预测另一个变量（因变量）。

这种模型可以提供有关两个变量关系的数量量化和可视化信息。

在数据分析中，一元线性回归模型被广泛应用于数据建模、预测、探索因果关系等领域。

一元线性回归模型的基本形式为y = a + bx，其中y是因变量，x 是自变量，a是截距，b是斜率。

这个方程表示了自变量对因变量的影响。

斜率b表示每增加一个单位自变量，因变量y会增加多少，截距a 则是因变量在自变量为零时的取值。

通过收集x和y之间的数据并运行线性回归模型，可以得到最佳拟合线的斜率和截距，从而得到x和y 之间的关系。

线性回归模型的优点在于它非常直观和易于理解，并且可以为数据提供定量的关系描述。

此外，线性回归模型还可以用于预测未来的数据趋势，以及评估不同变量对数据的影响。

例如，一元线性回归模型可以用于预测销售额随着广告投资增加的变化情况，或者研究气温和销售量之间的关系。

该模型基于许多假设，如自变量和因变量之间存在线性关系，数据无误差，误差服从正态分布等。

这些假设条件可能并不总是适用于与数据分析相关的所有情况，因此有时需要使用其他模型，如非线性回归或多元回归模型。

应用一元线性回归模型主要有以下几个步骤：（1）确定自变量和因变量。

根据研究或问题确定需要分析的两个变量。

（2）数据收集。

为了开展一元线性回归模型，必须收集有关自变量和因变量的数据。

实际应用中，数据可以从不同来源获得，如调查、实验或社交媒体。

（3）数据清理和准备。

在应用模型之前，必须对数据进行清理和准备以满足模型假设的条件。

如果数据存在缺失值或异常值，则需要进行处理。

此外，数据需要进一步进行标准化和缩放。

（4）应用模型。

使用适当的统计软件分析数据并应用线性回归模型。

每个软件都有所不同，但通常包括输入自变量和因变量、选择线性回归模型、运行分析和结果呈现等步骤。

用Excel进行一元线性回归分析回归分析是一种用于探究两个或两个以上变量之间关系的统计方法。

它可以帮助我们确定两个变量之间是正相关还是负相关，以及它们之间的强度。

其中一元线性回归分析是最简单和最常见的一种回归分析。

在本文中，我们将介绍如何使用Excel进行一元线性回归分析。

改方法适合于初学者。

如果您已经熟悉回归分析，请跳过以下步骤开始实践：步骤1：收集数据在进行任何统计分析之前，您需要收集尽可能多的数据。

例如，如果您想要探究销售量与广告预算之间的关系，您需要收集每个销售周期广告预算和销售量的数据。

步骤2：打开Excel并输入数据打开Excel并输入数据。

在本例中，我们将使用以下数据：广告预算销售量2 103 124 145 206 227 248 289 3010 32步骤3：创建散点图散点图是可视化分析数据的最基本的图表类型之一，它由散布在二维坐标系中的点组成。

在Excel中，我们可以使用内置的图表功能轻松创建一个散点图。

以下是创建散点图的步骤：•选择您的数据，包括表头和数据。

•单击“插入”选项卡并选择“散点图”图标。

•选择您想要的散点图类型。

在本例中，我们将使用标准散点图。

•Excel将创建散点图，如下所示：散点图散点图步骤4：添加回归线回归线可以告诉我们散点图中两个变量之间的趋势。

我们可以使用Excel内置的“添加趋势线”功能轻松地为散点图添加一条回归线。

以下是添加回归线的步骤：•单击散点图上的任何数据点，使整个图表处于活动状态。

•单击“设计”选项卡中的“添加图表元素”。

•选择“趋势线”并选择“线性趋势线”选项。

•Excel会将一条回归线添加到您的散点图中。

回归线回归线步骤5：获取回归分析结果现在，我们已经创建了一个散点图，并为它添加了回归线，可以开始查看回归分析结果。

以下是如何获取回归分析结果的步骤：•鼠标右键单击回归线，并选择“添加标签”。

•选择想要的标签选项。

在这里，我们选择“显示方程式和 R2 值”。

8.2.1一元线性回归模型教学设计一、课时教学内容本节的主要内容是一元线性回归模型，它是线性回归分析的核心内容，也是后续研究两变量间的相关性有关问题的基础.通过散点图直观探究分析得出的直线拟合方式不同，拟合的效果就不同，它们与实际观测值均有一定的偏差.在经历用不同估算方法描述两个变量线性相关关系的过程中，解决用数学方法刻画从整体上看各观测点到拟合直线的距离最小的问题，让学生在此基础上了解更为科学的数据处理方式——最小二乘法，有助于他们更好地理解核心概念“经验回归直线”，并最终体现回归方法的应用价值.就统计学科而言，对不同的数据处理方法进行“优劣评价”是“假设检验”的萌芽.了解最小二乘法思想，将其与各种估算方法进行比较，体会它的相对科学性，既是统计学教学发展的需要，又是在体会此思想的过程中促进学生对核心概念进一步理解的需要.最小二乘法思想作为本节课的核心思想，由此得以体现，而回归思想和贯穿统计学科的随机思想，也是本节课需要渗透的.二、课时教学目标1.结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义2.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．三、教学重点、难点1．教学重点：一元线性回归模型的基本思想，经验回归方程，最小二乘法.2．难点：回归模型与函数模型的区别，随机误差产生的原因与影响.四、教学过程设计环节一创设情境，引入课题问题1如何求经验回归方程？提示：求经验回归方程的一般步骤如下：(1)画出散点图，依据问题所给的数据在平面直角坐标系中描点，观察点的分布是否呈条状分布，即是否在一条直线附近，从而判断两变量是否具有线性相关关系；(2)当两变量具有线性相关关系时，求系数的最小二乘估计书"，写出经验回归方程；(3)进行残差分析，分析模型的拟合效果，不合适时，分析错因，予以纠正.【师生互动】教师让学生举手回答问题，并及时给予纠正.【设计意图】复习上节课所学知识，为本节课解决与线性回归分析有关的实际问题做好铺垫。

一元线性回归在公司加班制度中的应用院（系）：专业班级：学号姓名：指导老师：成绩：完成时间：一元线性回归在公司加班制度中的应用一、实验目的掌握一元线性回归分析的基本思想和操作，可以读懂分析结果，并写出回归方程，对回归方程进行方差分析、显著性检验等的各种统计检验 二、实验环境SPSS21.0 windows10.0 三、实验题目一家保险公司十分关心其总公司营业部加班的程度，决定认真调查一下现状。

经10周时间，收集了每周加班数据和签发的新保单数目，x 为每周签发的新保单数目，y 为每周加班时间（小时），数据如表所示y3.51.04.02.01.03.04.51.53.05.01. 画散点图。

2. x 与y 之间大致呈线性关系？3. 用最小二乘法估计求出回归方程。

4. 求出回归标准误差σ∧。

5. 给出0β∧与1β∧的置信度95%的区间估计。

6. 计算x 与y 的决定系数。

7. 对回归方程作方差分析。

8. 作回归系数1β∧的显著性检验。

9. 作回归系数的显著性检验。

10.对回归方程做残差图并作相应的分析。

11.该公司预测下一周签发新保单01000x =张，需要的加班时间是多少？12.给出0y的置信度为95%的精确预测区间。

13.给出()E y的置信度为95%的区间估计。

四、实验过程及分析1.画散点图如图是以每周加班时间为纵坐标，每周签发的新保单为横坐标绘制的散点图，从图中可以看出，数据均匀分布在对角线的两侧，说明x和y之间线性关系良好。

2.最小二乘估计求回归方程用SPSS 求得回归方程的系数01,ββ分别为0.118,0.004，故我们可以写出其回归方程如下：0.1180.004y x =+3.求回归标准误差σ∧由方差分析表可以得到回归标准误差：SSE=1.843 故回归标准误差：2=2SSEn σ∧-，2σ∧=0.48。

4.给出回归系数的置信度为95%的置信区间估计。

由回归系数显著性检验表可以看出，当置信度为95%时：0β∧的预测区间为[-0.701,0.937], 1β∧的预测区间为[0.003,0.005].0β∧的置信区间包含0，表示0β∧不拒绝为0的原假设。