空间直角坐标系坐标转换方法

坐标转换方法

空间直角坐标系如果其原点不动，绕着某一个轴旋转而构成的新的坐标系，这个过程就叫做坐标旋转。在旧坐标系中的坐标与在旋转后新坐标系中的坐标有一定的转换关系，这种转换关系可以用转换矩阵来表示。

如图5.7，直角坐标系XYZ，P点的坐标为（x, y, z），其相应的在XY 平面，XZ平面，YZ平面分别为M（x, y,0），Q（x,0, z）和N（0, y, z）。

图 5.7直角坐标系XYZ

设ϑ表示第j 轴的旋转角度，R j (ϑ) 表示绕第j 轴的旋转，其正方向是沿坐标轴向原点看去的逆时针方向。很明显当j 轴为旋转轴时，它对应的坐标中的j 分量是不变的。由于直角坐标系是对称的，下面我们以绕Z轴旋转为例推导其旋转变换矩阵，其它两个轴推导和它是一样的。

设图 5.7的坐标绕Z轴逆时针旋转θ角度，新坐标为X 'Y'Z'，如图5.8所示：

图 5.8 坐标绕Z 轴逆时针旋转θ角度

由于坐标中的z 分量不变，我们可以简化地在XY 平面进行分分析，如图

5.9所示：

图 5.9坐标绕Z 轴逆时针旋转θ 角度的XY 平面示意图

点 M X 和点M X ' 分别是M 点在X 轴和X '轴的投影。如图 5.9

cos cos()

sin sin()

X X X X x OM OM MOM OM y MM OM MOM OM ϕθϕθ==∠=-⎧⎨==∠=-⎩

（5-1） cos cos sin sin X X X X x OM OM MOM OM y MM OM MOM OM ϕ

ϕ

'''''==∠=⎧⎨'==∠=⎩

（5-2） 把（5-1）式按照三角函数展开得：

cos cos sin sin sin cos cos sin x OM OM y OM OM ϕθϕθ

ϕθϕθ=+⎧⎨=+⎩

（5-3） 把（5-2）式代入（5-3）式得：

cos sin sin cos x x y y x y θθ

θθ''=+⎧⎨''=-+⎩

（5-4） 坐标中的z 分量不变，即z = z'这样整个三维坐标变换就可以写成（用新坐标表

示旧坐标）

cos sin sin cos x x y y x y z z θθ

θθ''=+⎧

⎪''=-+⎨⎪'

=⎩

（5-5）

把式（5-5）用一个坐标旋转变换矩阵R Z (θ) 表示可以写成：

()Z x x y R y z z θ'⎡⎤⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥

'⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

（5-6） cos sin 0()sin cos 0001Z R θθθθθ⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

（5-7） 坐标系X 'Y'Z'是坐标系XYZ 绕Z 轴逆时针旋转θ 角度而来，从另一个角度来

看，也可以说坐标系XYZ 是坐标系X 'Y'Z'绕Z'轴逆时针旋转−θ角度而来，所以

根据（5-6）式有：

1

()()()Z z z

x x y R y R R z z θθθ-'⎡

⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥'=⇒=-⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

（5-8）