排列组合问题的解题方法与技巧的总结完整版精选版

排列组合问题的解题方法与技巧的总结完整版 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

置，有3种，而其余学生的排法有 种，所以共有 ＝72种不同的排法.

例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3

名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的

出场安排共有 种.

解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有 种排法，而其余7名队员选出2名

安排在第二、四位置，有 种 排法，所以不同的出场安排共有＝252种.

五、多元问题--分类讨论法

对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。

例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个

新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）

A ．42

B ．30

C ．20

D ．12

解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有 种；2.相临：共有

种。故不同插法的种数为：26A + 22A 16A =42 ，故选A 。

例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地

区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答）

解：由题意，选用3种颜色时，C 43

种颜色，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色

方法有C 43A 33=24种4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，涂色方法有

C 21A 44=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故答案为72 六、混合问题--先选后排法

对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．

例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4

人，则不同的分配方案共有（）种

A. 种

C. 种

D.

解：本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有 种方法,分配到三个不

同的路口的不同的分配方案共有：

种，故选A。

例9．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）A．24种 B．18种 C．12种 D．6种

解：黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C

3

2种，在不同土质的三块土地上种植的方

法是A

3

3，

∴种法共有C

32A

3

3=18，故选B．

七．相同元素分配--档板分隔法

例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况本题考查组合问题。

解一：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有2

6

C种插法，即有15种分法。

2、解二：由于书相同，故可先按阅览室的编号分出6本，此时已保证各阅览室所分得的书不小于其编号，剩下的4本书有以下四种分配方案：①某一阅览室独得4本，有种分法；②某两个阅览室分别得1本和3本，有种分法；③某两个阅览室各得2本，有种分法；④某一阅览室得2本，其余两阅览室各得1本，有种分法.由加法原理，共有不同的分法3+=15种.

八．转化法:

对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解

。例11 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种

分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.

解：此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有种不同的放法,所以名额分配方案有种.

九．剩余法:

在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.

例12 袋中有5分硬币23个,1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法

分析此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.