厦门大学2011年度（线性代数）期末考试试卷
一、填空题（每小题2分，共20分）
1.如果行列式2333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=---------33
3231232221
131211
222222222a a a a a a a a a 。 2.设2
3262193
21862131
-=D ，则=+++42322212A A A A 。 3.设1,,4321,0121-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A E ABC C B 则且有= 。 4.设齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则
=a 。
5.A 、B 均为5阶矩阵，2,2
1==B A ，则=--1A B T 。 6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A 。
7.设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为 。
8.若31212322212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型，则t 的范围
是 。
9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ 。
10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A 。
二、单项选择（每小题2分，共10分）
1.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321
321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（ ）
A .1或2
B . －1或－2
C .1或－2
D .－1或2.
2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为1,1,2,3-，则=A （ ）
A .5
B .-5
C .-3
D .3
3.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ ）
A .0=+
B A B .）
）B r A r ((= C .O A =或O B =
D .0=A 或0=B 4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是
（ ） A ．21+ββ B ．()21235
1ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ- 5. 若二次型32312123222166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2，
则=k （ ） A . 1 B .2 C . 3 D . 4
三、计算题 (每题9分，共63分)
1.计算n 阶行列式a
b b b a b b b a
D n
= 2. 设B A ,均为3阶矩阵，且满足B A E AB +=+2，若矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=101020101A ，
求矩阵B 。
3.已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=769,103,321321ααα和⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01,12,110321b a βββ；
已知3β可以由321,,ααα线性表示, 且321,,ααα与321,,βββ具有相同的秩,求a ,b 的值。
4. 已知向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0221,8451,6352,2130,421154321ααααα （1）求向量组54321,,,,ααααα的秩以及它的一个极大线性无关组；
（2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。
5. 已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+++=+++a x x x x x x x x x x x x 4321
432143219105363132
（1）a 为何值时方程组有解？（2）当方程组有解时求出它的全部解（用解的结构表示）.
6. 设矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2001,1141D P ，矩阵A 由关系式D AP P =-1确定，试求5A 7.将二次型3231212322213214222),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=化为标准形，并写出
相应的可逆线性变换。
四、证明题（7分）
已知3阶矩阵O B ≠，且矩阵B 的列向量都是下列齐次线性方程组的解 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+030202321
321321x x x x x x x x x λ，
（1）求λ的值；（2）证明：0=B 。
参考答案与评分标准
一. 填空题
1．-16； 2. 0；3.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21107； 4. 1； 5.-4； 6. ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=1212421216655A ； 7.λ1A ；8.35
35<<-t ； 9. 2π
； 10. 24。
二. 单项选择： 1. C ； 2. A ；3. D ； 4. B ； 5. C .
三.计算题：
1. a
b b
a b
b b n a a b b b a b b b a D n 111])1([-+==
4分 1
)]()1([00001])1([---+---+=n b a b n a b
a b a b
b b n a
9分 2. B A E AB +=+2
⇒E A B AB -=-2
⇒))(()(E A E A B E A +-=-
3分 因为⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-00101010
0E A 显然可逆
6分 则 ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
-=+⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=+=201030102101020101E E A B
9分
3. ,3/3/521000126093101713602931⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--b b b
b
3分 即5=b ，且2),,(321=αααr
5分 那么2),,(321=βββr ，则
6分 ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0150130121501301210111210a a b a ，即15=a
9分
