(北师大版)§2_2.2_指数运算的性质

北师大版高中必修12.2指数运算的性质课程设计一、课程背景本课程设计以高中数学必修二内容为基础，重点针对指数运算的性质进行探索和分析。

通过对指数运算的基本概念、指数幂运算的性质、指数函数的基本性质等方面的学习，帮助学生深入理解指数运算的本质和规律，提高学生的数学素养和思维能力。

二、教学目标1.理解指数的基本概念，能够运用指数运算的基本法则进行计算。

2.掌握指数幂运算的各种性质，能够灵活运用指数幂运算进行解题。

3.理解指数函数的定义与性质，能够通过实例分析掌握指数函数的图像和特点。

4.能够通过解决实际问题，增强对数学概念的理解和应用能力。

三、教学内容1. 指数的基本概念1.1 指数的定义：什么是指数？指数的含义是什么？ 1.2 指数的运算法则：同底数幂的乘法规则、同底数幂的除法规则、幂的乘法规则、幂的除法规则、负指数的定义。

2. 指数幂运算的性质2.1 恒等式：a⁰=1，a¹=a，aⁿ×aᵐ=aⁿ⁺ᵐ，aⁿ÷aᵐ=aⁿ⁻ᵐ。

2.2 公式：(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ，(a×b)ⁿ=aⁿ×bⁿ。

2.3 应用题：如何用指数幂运算解决实际问题？3. 指数函数的基本性质3.1 指数函数的定义：y=aˣ (a>0,a≠1)。

3.2 指数函数的基本性质：单调性、奇偶性、图像特征。

3.3 应用题：如何通过指数函数解决实际问题？四、教学方法本课程设计采用“讲授+实践”的教学方法，即先通过讲解概念和原理，再通过多种实例分析和解题，以达到理解和掌握指数运算的目的。

五、学习建议本课程设计难度适中，但对于学生来说仍需认真学习。

建议学生在学习指数运算的基础概念时要重点理解指数的含义和规律，多掌握各种指数幂运算的技巧和应用方法，对于指数函数的定义和基本性质也要多加体会和思考，通过多种实例运用，提升自己的解题能力和创新思维。

六、教学评价本课程设计设计得简洁明了、条理清晰，能够很好地贯穿课堂的教学过程。

必修一 第三章 第 2 节第 2课时 指数运算的性质 学案一，学习目标（1）了解随着数的扩展,相应的运算性质也要延用和拓展 （2能够利用实数指数幂的运算性质进行运算、化简 二．学习重点: 实数指数幂的运算性质．学习难点：实数指数的运算与化简． 三、课前预习1.你知道有哪些正整数指数幂的运算性质？请填出下列结果：m,n N +∈（1）．mna a = ；（2）．m n (a )= （3）．n (ab)= ；（4）．当a 0≠时,有mn a a=2. 实数指数幂的运算性质： (1)a r a s＝ (2)(a r )s＝ (a>0，) (3)(ab)r＝ (a>0，b>0，)．（4） n n a a-=1 （a 0≠ ） （5） n mnm a a = (a>0)（6）当0,,,1a m n N n *>∈>m na-=四、堂中互动(先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可．) 例156b a 和mm 3用分数指数幂形式表示分别为 和 。

例2化简（式子中的字母都是正实数）（点拨：再利用幂的运算性质和乘法公式即可）（1）; （2）1(x y)(4y )α-αα（3）11112424(2x 3y )(2x 3y )--+- 例3:已知103,104αβ==,求10α+β,10α-β,210-α,510β （点拨： 利用幂的运算性质即可 ）例4．已知42121=+-aa ,求下列各式的值 （点拨：形如1x x a -+=的式子要两边平方）（1）1-+a a （2）22-+a a五、即学即练： 1.5x =3 5y =2则5x-2y=3、若1,0a b ><,且b ba a -+=,则b b a a --的值等于（ ）A 、6B 、2±C 、2-D 、24、2x+2-x=5 求4x+4-x与4x-4-x的值练案A 组基础达标1. 下列各式计算正确的是 （） A 1)1(0=-B a a a =⋅221C 8432=D 211333a aa -÷=2、44等于（ ） A 、16aB 、8aC 、4aD 、2a3.对任意实数x ，下列等式正确的是（ ）5. 计算（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷-6计算2932)-7，已知32121=+-a a ，求下列各式的值：（1）1-+a a ；（2）22-+a aaa a ab a b a 9.D 9.C .B 6.A )()31()(.2241612134---÷的结果是化简4．设5x ＝4,5y ＝2，则52x －y ＝________.B 组能力提高、探究创新8。

《指数运算的性质》◆教材分析从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数。

进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。

本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图像研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值。

◆教学目标【知识与能力目标】（1）在前面学习有理指数幂的运算的基础上引入了实数指数的概念及运算；（2）能够利用实数指数幂的运算性质进行运算、化简。

【过程与方法目标】（1）让学生了解指数幂的扩展,进一步体会数域的扩充对于数学知识的发展的重要意义；（2）随着数的扩展,相应的运算性质也要延用和拓展,引入指数函数。

【情感态度价值观目标】使学生通过学习无理指数幂的确定，了解数学中的无限逼近的思想,体会学习指数扩展的重要意义,增强学习数学的积极性和自信心。

【教学重点】无理指数幂的确定以及利用指数运算性质进行化简，求值。

【教学难点】无限逼近的思想。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分先回顾正整数指数幂的运算性质。

1. ()()m n m nm nmnn n na a a a aab a b +⋅===⋅2.当(),01,,m n n n m a n a a a ---⎧〉⎪≠=⎨⎪〈⎩m当m 时a 时，有当m=n 时当m n 时()nn n a a b b= 其中m ,n ∈N + 同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数(有理数)，有理数到实数。

并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数。

指数的运算性质2一．教学目标1．知识与技能：（1）掌握根式与分数指数幂互化；（2）能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值. 2．过程与方法：通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质.3．情感、态度、价值观（1）培养学生观察、分析问题的能力（2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.二．重点、难点：1．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值.2．难点：有理指数幂性质的灵活应用.三．学法与教具：1．学法：讲授法、讨论法.2．教具：投影仪四．教学设想：1．复习分数指数幂的概念与其性质2．例题讲解例1．（P60，例4）计算下列各式（式中字母都是正数）（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b-÷-（2）31884 () m n-（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的.整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.解：（1）原式=211115326236 [2(6)(3)]a b+-+-⨯-÷-=04ab =4a（2）原式=318884()() m n-=23m n-例2．（P61例5）计算下列各式（1）（2(a＞0）分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.解：（1）原式=111324 (25125)25-÷=231322 (55)5-÷=2131 3222 55---=1655-5-（2）原式=125222362132aa aa a--===⋅小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数.课堂练习：化简：（1）2932-（2（3）归纳小结：1．熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.2．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算.。