2018届河北省武邑中学高三下学期期中考试数学(文)试题卷(解析版)

2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高三（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣x2+x+6＞0，x∈N}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）已知实数m，n满足（m+ni）（4﹣2i）=3i+5，则m+n=（）A．B．C．D．3．（5分）给出下列命题：①已知a，b∈R，“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件；②已知平面向量，，||＞1，||＞1“是“|+|＞1”的必要不充分条件；③已知a，b∈R，“a2+b2≥1”是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件；④命题P：“∃x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为¬p：“∀x∈R，都有e x＜x+1且lnx＞x﹣1”．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数是（）A．2 B．3 C．4 D．65．（5分）设函数f（x）=cos（φ），其中常数φ满足﹣π＜φ＜0．若函数g （x）=f（x）+f′（x）（其中f′（x）是函数f（x）的导数）是偶函数，则φ等于（）A．﹣B．C．D．6．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a，b，k分别为1，2，3，输出的，那么判断框中应填入的条件为（）A．n＜k B．n≥k C．n＜k+1 D．n≥k+17．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．018．（5分）已知k∈R，点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，则ab的最大值为（）A．15 B．9 C．1 D．﹣9．（5分）若不等式，所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使得x0+ay0+2≤0成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a≥110．（5分）北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（）A．25 B．32 C．60 D．10011．（5分）已知Rt△ABC，两直角边AB=1，AC=2，D是△ABC内一点，且∠DAB=60°，设（λ，μ∈R），则=（）A．B．C．3 D．12．（5分）已知函数f（x）的定义域为D，若对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的边长，则称f（x）为“三角形函数”．给出下列四个函数：①f（x）=lnx（e2≤x≤e3）；②f（x）=4﹣cosx；③；④．其中为“三角形函数”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（理科）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是．14．（5分）若（ax﹣1）5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是．15．（5分）已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为．16．（5分）若函数f（x）的图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1，y1，x2，y2使得|x1x2+y1y2|﹣的最大值为0，则称函数f （x）是“柯西函数”．给出下列函数：①f（x）=lnx（0＜x＜3）；②f（x）=x+（x＞0）；③f（x）=；④f（x）=．其中是“柯西函数”的为（填上所有正确答案的序号）．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=（a n﹣1），n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=log2a n，记数列{}的前n项和为T n．证明：≤T n．18．（12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如图：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于[170，180）（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[170，180）（单位：cm）的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．20．（12分）设抛物线y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，以F1，F2为焦点，离心率e=的椭圆与抛物线的一个交点为E（）；自F1引直线交抛物线于P，Q两个不同的点，设=．（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（Ⅱ）若λ∈[），求|PQ|的取值范围．21．（12分）已知函数，f'（x）为其导函数．（1）设，求函数g（x）的单调区间；（2）若a＞0，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为函数f（x）图象上不同的两点，且满足f（x1）+f（x2）=1，设线段AB中点的横坐标为x0，证明：ax0＞1．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线曲线C2的参数方程是，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系（极坐标系与直角坐标系xOy的长度单位相同）．若曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于极点O外的三点A，B，C．（Ⅰ）求证：|OB|+|OC|=|OA|（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|．（1）当m=1时，解不等式f（x）≥3；（2）若，且当x∈[m，2m]时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高三（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣x2+x+6＞0，x∈N}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{﹣1，0，1，2}【解答】解：∵集合A={x|﹣x2+x+6＞0，x∈N}={x|﹣2＜x＜3，x∈N}={0，1，2}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}．故选：B．2．（5分）已知实数m，n满足（m+ni）（4﹣2i）=3i+5，则m+n=（）A．B．C．D．【解答】解：由（m+ni）（4﹣2i）=（4m+2n）+（4n﹣2m）i=3i+5，得，解得m=，n=．∴m+n=．故选：A．3．（5分）给出下列命题：①已知a，b∈R，“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件；②已知平面向量，，||＞1，||＞1“是“|+|＞1”的必要不充分条件；③已知a，b∈R，“a2+b2≥1”是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件；④命题P：“∃x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为¬p：“∀x∈R，都有e x＜x+1且lnx＞x﹣1”．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：①由a＞1且b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如取a=﹣2，b=﹣3，因此“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件，正确；②平面向量，，||＞1，||＞1，取=（2，1），=（﹣2，0），则|+|=1，因此|+|＞1不成立．反之取，==，则||＞1，||＞1不成立，∴平面向量，，||＞1，||＞1“是“|+|＞1”的既不必要也不充分条件；③如图在单位圆x2+y2=1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件，因此正确；④命题P：“∃x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为¬p：“∀x∈R，都有e x＜x+1或lnx＞x﹣1”，因此不正确．其中正确命题的个数是2．故选：C．4．（5分）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）﹣log3|x|的零点个数是（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），故函数的周期为2．当x∈[0，1]时，f（x）=x，故当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x．函数y=f（x）﹣log3|x|的零点的个数等于函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，如图所示：显然函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有4个交点，故选：C．5．（5分）设函数f（x）=cos（φ），其中常数φ满足﹣π＜φ＜0．若函数g （x）=f（x）+f′（x）（其中f′（x）是函数f（x）的导数）是偶函数，则φ等于（）A．﹣B．C．D．【解答】解：函数f（x）=cos（φ），则f′（x）=﹣sin（φ），那么函数g（x）=f（x）+f′（x）=cos（φ）﹣sin（φ）=2cos（+φ+），∵g（x）是偶函数，∴φ+=kπ，k∈Z即φ=∵﹣π＜φ＜0．∴当k=0时，可得φ=，故选：A．6．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a，b，k分别为1，2，3，输出的，那么判断框中应填入的条件为（）A．n＜k B．n≥k C．n＜k+1 D．n≥k+1【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，b=2，k=3，n=1满足判断框内的条件，执行循环体，M=，a=2，b=，n=2满足判断框内的条件，执行循环体，M=，a=，b=，n=3满足判断框内的条件，执行循环体，M=，a=，b=，n=4由题意，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出，判断框中应填入的条件为n＜k+1？故选：C．7．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．8．（5分）已知k∈R，点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，则ab的最大值为（）A．15 B．9 C．1 D．﹣【解答】解：由题意，圆心（0.0）到直线的距离d=≤解得﹣3≤k≤1，又∵k2﹣2k+3＞0恒成立∴k的取值范围为﹣3≤k≤1，由点P（a，b）是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2﹣2k+3的公共点，得（a+b）2﹣a2﹣b2=2ab=3k2+2k﹣3=3（k+）2﹣，∴k=﹣3时，ab的最大值为9．故选：B．9．（5分）若不等式，所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使得x0+ay0+2≤0成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．a＜﹣1 C．a＞1 D．a≥1【解答】解：作出不等式，可行域如图：∵平面区域内存在点M（x0，y0），满足x0+ay0+2≤0，∴直线x+ay+2=0与可行域有交点，解方程组得B（0，2）．∴点B在直线x+ay+2=0下方．可得：0+2a+2≤0．解得a≤﹣1．故选：A．10．（5分）北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（）A．25 B．32 C．60 D．100【解答】解：根据题意，要“确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅”，则除6、15、24号之外的另外一组三人的编号必须都大于25或都小于6号，则分2种情况讨论选出的情况：①、如果另外三人的编号都大于等于25，则需要在编号为25、26、27、28、29、30的6人中，任取3人即可，有C63=20种情况，②、如果另外三人的编号都小于6，则需要在编号为1、2、3、4、5的5人中，任取3人即可，有C53=10种情况，选出剩下3人有20+10=30种情况，再将选出的2组进行全排列，对应江西厅、广电厅，有A22=2种情况，则“确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅”的选取种数为30×2=60种；故选：C．11．（5分）已知Rt△ABC，两直角边AB=1，AC=2，D是△ABC内一点，且∠DAB=60°，设（λ，μ∈R），则=（）A．B．C．3 D．【解答】解：如图以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），∠DAB=60°，设D点坐标为（m，），=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）⇒λ=m，μ=，则=．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）的定义域为D，若对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的边长，则称f（x）为“三角形函数”．给出下列四个函数：①f（x）=lnx（e2≤x≤e3）；②f（x）=4﹣cosx；③；④．其中为“三角形函数”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，f（x）=lnx（e2≤x≤e3），对于∀a，b，c∈[e2，e3]，f（a），f（b），f（c）∈[2，3]，∴f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的边长，故①是“三角形函数”；在②中，f（x）=4﹣cosx，对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）∈[3，5]，∴f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的边长，故②是“三角形函数”；在③中，，对于∀a，b，c∈（1，4），f（a），f（b），f（c）∈（1，2），∴f（a），f（b），f（c）为某个三角形的边长，故③是“三角形函数”；在④中，，对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）∈（0，1），∴f（a），f（b），f（c）不一定是某个三角形的边长，故④不是“三角形函数”．故选：C．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（理科）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是﹣3．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，将z=x﹣y整理得到y=x﹣z，要求z=x﹣y的最小值即是求直线y=x﹣z的纵截距的最大值，当平移直线x﹣y=0经过点A（0，3）时，x﹣y最小，且最小值为：﹣3，则目标函数z=x﹣y的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．14．（5分）若（ax﹣1）5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是2．=C5r（ax）5﹣r（﹣1）r=（﹣1）r a5﹣r C5r x5﹣r 【解答】解：二项展开式的通项T r+1令5﹣r=3可得r=2∴a3C52=80∴a=2故答案为：215．（5分）已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为4+2．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面是正方形，对角线长为2，侧棱PA⊥平面ABCD，且PA=2．∴正方形底面边长为，PB=PD=，PC=．正方形ABCD的面积为4；；在△PBC中，∵PB=，BC=，PC=2，∴PB2+BC2=PC2，可得BC⊥PB，则．∴该几何体的表面积为．故答案为：．16．（5分）若函数f（x）的图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1，y1，x2，y2使得|x1x2+y1y2|﹣的最大值为0，则称函数f （x）是“柯西函数”．给出下列函数：①f（x）=lnx（0＜x＜3）；②f（x）=x+（x＞0）；③f（x）=；④f（x）=．其中是“柯西函数”的为①④（填上所有正确答案的序号）．【解答】解：由柯西不等式得：对任意实数x1，y1，x2，y2，|x1x2+y1y2函数f（x）的图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1，y1，x2，y2使得|x1x2+y1y2|﹣≤0恒成立（当且仅当存在实数k，使得x1=kx2，y1=ky2取等号），若函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|x1x2+y1y2|﹣的最大值为0，则函数f（x）在其图象上存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得、共线，即存在点A、B与点O共线．对于①，f（x）=lnx（0＜x＜3）存在；对于②，f（x）=x+（x＞0）不存在；对于③，f（x）=不存在；对于④，f（x）=存在．故答案为：①④．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=（a n﹣1），n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=log2a n，记数列{}的前n项和为T n．证明：≤T n．【解答】解：（I）当n=1时，有，解得a1=4，=（a n﹣1﹣1），当n≥2时，有S n﹣1则，整理得a n=4a n﹣1，则数列{a n}是以q=4为公比，以4为首项的等比数列，∴；（II）证明：由（I）有，则，可得前n项和为T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣），易知数列{T n}为递增数列，∴，即≤T n．18．（12分）高二某班共有20名男生，在一次体验中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm）的茎叶图如图：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加校篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于[170，180）（单位：cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于[170，180）（单位：cm）的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）第一组学生身高的中位数为，第二组学生身高的中位数为；（2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A，，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为；（3）X的可能取值为0，1，2，3，，，，∴X的分布列为．19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，∴AD=DC，又AE=CF=，∴，则EF∥AC，又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC=6，∴AO=3，又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，∴OH==1，则DH=D′H=3，∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，则D′H⊥OH，又OH∩EF=H，∴D′H⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=5，AC=6，∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），，，设平面ABD′的一个法向量为，由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5．∴．同理可求得平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，则|cosθ|=．∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值为sinθ=．20．（12分）设抛物线y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，以F1，F2为焦点，离心率e=的椭圆与抛物线的一个交点为E（）；自F1引直线交抛物线于P，Q两个不同的点，设=．（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（Ⅱ）若λ∈[），求|PQ|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题设得：+=1，=，a2=b2+c2．解得a=2，b2=3，c=1．椭圆的方程为：=1．由抛物线的准线：x=﹣1．∴抛物线的方程是：y2=4x．（Ⅱ）记P（x1，y1），Q（x2，y2），=λy2．①=．得：y设直线PQ的方程为：y=k（x+1），与抛物线的方程联立，得：ky2﹣4y+4k=0（*）y1y2=4，②y1+y2=，③由①②③消去y1，y2，得：k2=，∴|PQ|=•=•，∴|PQ|2==﹣16=﹣16=﹣16，∵λ∈[），∴＞2，同时，令f（x）=x+，则f′（x）=1﹣=，当λ∈[）时，f′（x）＜0，∴f（x）≤=，因此≤，于是：0＜|PQ|2≤，那么：|PQ|∈．21．（12分）已知函数，f'（x）为其导函数．（1）设，求函数g（x）的单调区间；（2）若a＞0，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为函数f（x）图象上不同的两点，且满足f（x1）+f（x2）=1，设线段AB中点的横坐标为x0，证明：ax0＞1．【解答】（1）解：，，①a＞0时，g（x）定义域为（0，+∞），在上g'（x）＜0，故g（x）在上单调递减；在上g'（x）＞0，故g（x）在上单调递增．②a＜0时，g（x）定义域为（﹣∞，0），在上g'（x）＞0，故g（x）在上单调递增；在上g'（x）＜0，故g（x）在上单调递减．（2）证明：法一：，故f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．只需证：，即证（*）注意到，不妨设．令，则，，从而F（x）在上单减，故，即得（*）式．法而二：故f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．注意到且．设，则h（x）单调递增且图象关于中心对称．构造函数，，当时，g'（x）＞0，g（x）单增；当时，g'（x）＜0，g（x）单减，故，且等号仅在处取到．所以h（x）与f（x）图象关系如下：取h（x3）=f（x1），h（x4）=f（x2），则显然有x1＞x3，x2＞x4，从而x1+x2＞x3+x4，另外由三次函数h（x）的中心对称性可知，则有．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线曲线C2的参数方程是，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系（极坐标系与直角坐标系xOy的长度单位相同）．若曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于极点O外的三点A，B，C．（Ⅰ）求证：|OB|+|OC|=|OA|（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，，，则|=．（Ⅱ）当时，B，C两点的极坐标分别为，，化为直角坐标为，．C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为，所以m=2，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|．（1）当m=1时，解不等式f（x）≥3；（2）若，且当x∈[m，2m]时，不等式恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）当m=1时，f（x）=|x+1|+|2x﹣1|，则f（x）=，由f（x）≥3解得x≤﹣1或x≥1，即原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）；…（5分）（2）由，即，又x∈[m，2m]且，所以，且x＞0所以，即m≤x+2﹣|2x﹣1|；令t（x）=x+2﹣|2x﹣1|，则t（x）=，所以x∈[m，2m]时，t（x）min=t（m）=3m+1，所以m≤3m+1，解得，所以实数m 的取值范围是．…（10分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x=，令()u g x=，若()y f u=为增，()u g x=为增，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为减，()u g x=为减，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为增，()u g x=为减，则[()]y f g x=为减；若()y f u=为减，()u g x=为增，则[()]y f g x=为减．（2）打“√”函数()(0)af x x ax=+>的图象与性质()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x=的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I∈，都有()f x M≤；yxo（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

河北武邑中学2018届高三年级第二学期第一次质量检测考试数学试题（理）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}(){}2|560,|ln 1A x x x B x y x =--≤==-，则A B 等于（ ）A ．[]1,6-B ．(]1,6C ．[)1,-+∞D ．[]2,3 2.设复数z 满足()13i z i -=+，则z = （ ）A ．2 C ．3. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ） A ．215π B ．320π C ．2115π- D ．3120π- 4. 执行如右图所示的程序框图，则输出的s 的值是（ ）A ． 7B ． 6 C. 5 D ．35. 已知直线l 的方程为230ax y a +-+=，则“直线l 平分圆()()22231x y -++=的周长”是“1a =”的（ ）A ． 充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC的中点，16,2AB AC AE ED === ，则AE E B等于 （ ）A ． -14B ．-9 C. 9 D ．14 7. 已知12ea dx x=⎰，则()()4x y x a ++展开式中3x 的系数为（ ） A ．24 B ． 32 C. 44 D ．56 8.定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数()()sin 0cos xf x xωωω=>的图象向左平移23π个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是 （ ） A ．14 B ．34 C. 74 D ．549. 设,x y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，若目标函数3z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则a 的取值范围为（ ）A ．()6,3-B ．()6,3-- C. ()0,3 D ．(]6,0-10. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为16，左焦点为F ，M 是双曲线C的一条渐近线上的点，且,OM MF O ⊥为坐标原点，若16OMF S ∆=，则双曲线C 的离心率为（ ） A．11. 某简单凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图都是直角三角形，主视图是直角梯形，则其所有表面（含底面和侧面）中直角三角形的个数为（ ）A ． 1B ． 2 C. 3 D ．412.已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()2f x f x -=--，其导函数()f x '，当1x <-时，()()()()110x f x x f x '+++<⎡⎤⎣⎦，且()14f =，则不等式()18xf x -<的解集为 （ ）A ．(),2-∞-B ．()2,+∞ C. ()2,2- D ．()(),22,-∞-+∞第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1cos ,4,sin 2sin 4B b AC ===，则ABC ∆的面积 为 ．14.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253s s s s --的值为 ．15.已知140,0,1x y x y>>+=，不等式280m m x y ---<恒成立，则m 的取值范围是 ．（答案写成集合或区间格式）16.在四面体ABCD 中，02,60,90AB AD BAD BCD ==∠=∠=，二面角A BD C --的大小为150°，则四面体ABCD 外接球的半径为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知等比数列{}n a 的公比2310,8q a a a >=，且46,36,2a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2n nnb a =，求数列{}n b 的前{}n b 的前n 项和n T . 18. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF -和一个四棱锥P ABCD -组合而成，其中,,2AD AF PA PB PC PD AE AD AB ⊥======. （1）证明：AD ⊥平面ABFE ；（2）若四棱锥P ABCD -的高2，求二面角C AF P --的余弦值.19. 2017年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目，并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获A 等的概率都是0.75，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量X 表示他所选的三个科目中考试成绩获A 等的科目数，求X 的分布列和数学期望. 20.已知()2,0F 是抛物线()220y px p =>的焦点，F 关于y 轴的对称点为F '，曲线W 上任意一点Q 满足；直线FQ 和直线F Q '的斜率之积为34-. （1）求曲线W 的方程；（2）过()2,0F 且斜率为正数的直线l 与抛物线交于,A B 两点，其中点A 在x 轴上方，与曲线W 交于点C ，若F BF '∆的面积为1,S F CF '∆的面积为2S ，当时1779S S =，求直线l 的方程.21. 已知函数()()ln 11xx f x e ++=．（1）求()f x 的单调区间；（2）若()()21ln 12ln 120x x x x x ke ++++++-≤在1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，求正整数k 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为3cos 33sin x y φφ=⎧⎨=+⎩（φ为参数）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的普通方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin 6πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭5:6OM πθ=与圆C 的交点为O P 、，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1122f x x x m =--的最大值为4. （1）求实数m 的值； （2）若0,02m m x ><<求222x x +-的最小值.试卷答案一、选择题1-5: BDCBB 6-10: CADAA 11、12：AD二、填空题()1,9-三、解答题17.解：（1）∵2318a a a =，∴1418a a a =，∴48a =，又46,36,2a a 成等差数列，∴46272a a +=，∴266432,4,0a a q q a ===>，∴2q =，∴41822n n n a --== ； （2）2122122n n n n n n b n a --⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()1013211111123122222n n n T n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①()012211111111231222222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②① -②：1121111111222222n n n T n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112121112212n n n T n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=- ⎪⎝⎭- ，∴()21822n n T n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ . 18.（1）证明：直三棱柱ADE BCF -中，AB ⊥平面ADE ，所以AB AD ⊥， 又,AD AF AB AF A ⊥= ，所以AD ⊥平面ABFE ； （2）由（1）知AD ⊥平面ABFE ，以A 为原点，,,AB AE AD 方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -（如图所示），2AE AD ==，则()0,0,0A ，()2,2,0F ，()2,0,2C ，()1,2,1P -，()2,2,0AF = ，()2,0,2AC = ，()1,2,1AP =-，设平面ACF 的一个法向量()111,,m x y z =，则1111220220m AF x y m AC x z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取11x =，则111y z ==-，所以()1,1,1m =-- . 设平面AFP 的一个法向量()222,,n x y z = ，则2222222020n AF x y n AP x y z ⎧=+=⎪⎨=-+=⎪⎩，取21x =，则221,12y z =-=--.所以()1,1,3n =--，所以cos ,33m n m n m n===， 因为二面角C AF P --的平面角是锐角，所以所求二面角C AF P --的余弦值为33. 19.（1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ，则()3336119112020C P M C =-=-=， 所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为1920； （2）随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3，因为()()22121114111310,15480545448P X P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯===⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()221241313334392,354454803420P X C P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+⨯===⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以X 的分布列为所以()0123 2.380808080E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.解：（1）由题意可知：()2,0F '-，设曲线W 上任意一点坐标(),Q x y ，则：(),222FQ F Q y y k k x x x '==≠±-+，又34FQ F Q k k '=- ，∴3224y y x x =--+ ， 整理得：22143x y +=，所以曲线W 的方程为：()221243x y x +=≠±； （2）()2,0F 是抛物线22y px =的焦点，∴2,42pp ==，则抛物线的方程为28y x =， 设直线l 的方程为()()()()2,0,,,,B B C C y k x k B x y C x y =->，将直线l 的方程代入曲线W 方程，整理得：()2222431616120k x k x k +-+-=，∴2216243C k x k +=+，∴228643C k x k -=+，∴()212243C C k y k x k =-=-+，又因为1279S S =，可得：79FB FC = ，∴222241084,1293627k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 又因为B 在抛物线28y x =上，222284241083627129k k k k --⎛⎫= ⎪++⎝⎭，整理得：()()22951690kk +-=，又0k >，∴34k =，∴直线l 的方程为：3342y x =-， 注：如果设l 的方程为2x ty =+，计算量小21.解：（1）函数()f x 的定义域为()()()11ln 111,,xx x f x e--++'-+∞=， 由于()()100,y 1ln 11f x x '==--++在()1,-+∞上是减函数， 所以当10x -<<时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<； 所以()f x 的单调递增区间为()1,0-，单调递减区间为()0,+∞. （2）由()()21ln 12ln 120x x x x x ke++++++-≤在1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，整理得：()()212ln 11x x x k e ++++⎡⎤⎣⎦≥在1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立即可， 令()()()()()2112ln 112ln 11x x xx x x x h x e e e ++++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==，当1x >-时，12x ex +>+，以及在1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上()0h x >，得()()()ln 11x x h x f x e ++<=在1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立， 由（1）知()f x 的单调递增区间为()1,0-，单调递减区间为()0,+∞.所以有()()max 01f x f ==，即()()1h x f x <≤恒成立，所以正整数k 的最小值为1.22.解：（1）∵ 圆C 的参数方程为3cos 33sin x y φφ=⎧⎨=+⎩（φ为参数）∴圆C 的普通方程为()2239x y +-=；（2）化圆C 的普通方程为极坐标方程得6sin ρθ=，设()11,P ρθ，则由6sin 56ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1153,6πρθ==， 设()22,Q ρθ，则由2sin 656πρθπθ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得2254,6πρθ==，∴211PQ ρρ=-= 23.解：（1）由11112222x x m x x m m ⎛⎫--≤--= ⎪⎝⎭， 当且仅当11022x x m ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭且当1122x x m ≥-时取等号，此时()f x 取最大值4m =，即4m =±；（2）由（1）及0m >可知4m =，∴02x <<， 则()2211111122222222222x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=+=+=++-=++≥+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（当且仅当2x x -=，即1x =时，取“=”） ∴222x x +-的最小值为4.。

河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合},06|{2N x x x x A ∈>++-=，}2,1,0,1{-=B ，则=B A （ ） A ．}2,1{ B ．}2,1,0{ C ．}1,0{ D ．}2,1,0,1{- 2．已知实数n m ,满足53)24)((+=-+i i ni m ，则=+n m （ ） A ．59 B ．511 C ．49 D ．4113．给出下列命题：①已知R b a ∈,，“1>a 且1>b ”是“1>ab ”的充分条件；②已知平面向量,，“1||,1||>>”是“1||>+”的必要不充分条件； ③已知R b a ∈,，“122≥+b a ”是“1||||≥+b a ”的充分不必要条件； ④命题p ：“R x ∈∃0，使100+≥x ex 且1ln 00-≤x x ”的否定为p ⌝：“R x ∈∀，都有1+<x e x 且1ln ->x ”.其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．若定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则函数||log )(3x x f y -=的零点个数是（ ）A ．6个B ．4个C ．3个D ．2个 5．设函数)3cos()(ϕ+=x x f ，其中常数ϕ满足0<<-ϕπ.若函数)(')()(x f x f x g +=（其中)('x f 是函数)(x f 的导数）是偶函数，则ϕ等于（ ） A ．3π-B ．65π-C ．6π-D ．32π- 6．执行如图的程序框图，如果输入的k b a ,,分别为3,2,1，输出的815=M ，那么判断框中应填入的条件为（ ）A ．k n <B ．k n ≥C ．1+<k nD ．1+≥k n 7．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体编号为A ．08B ．07C ．02D ．018．已知R k ∈，点),(b a P 是直线k y x 2=+与圆32222+-=+k k y x 的公共点，则ab 的最大值为（ ） A.15B.9C.1D. 35-9．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x 所表示的平面区域存在点),(00y x ，使0200≤++ay x 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-≤aB ．1-<aC ．1>aD ．1≥a10．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A ．25 B ．32 C ．60 D ．10011．已知在ABC Rt ∆中，两直角边1=AB ，2=AC ，D 是ABC ∆内一点，且060=∠DAB ，设),(R ∈+=μλμλ，则=μλ（ ） A ．332 B ．33C ．3D ．32 12．已知函数)(x f 的定义域为D ，若对于)(),(),(,,c f b f a f D b a ∈∀分别为某个三角形的边长，则称)(x f 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①)(ln )(32e x e x xf ≤≤=；②x x f cos 4)(-=；③)41()(21<<=x x x f ；④1)(+=x xe e xf .其中为“三角形函数”的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x ，则y x z -=的最小值是 .14．若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 . 15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 .16．若函数)(x f 的图象上存在不同的两点),(11y x A ，),(22y x B ，其中2211,,,y x y x 使得222221212121||y x y x y y x x +⋅+-+的最大值为0，则称函数)(x f 是“柯西函数”. 给出下列函数：①)30(ln )(<<=x x x f ；②)0(1)(>+=x xx x f ；③82)(2+=x x f ；④82)(2-=x x f .其中是“柯西函数”的为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*),1(34N n a S n n ∈-=. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）令n n a b 2log =，记数列})1)(1(1{+-n n b b 的前n 项和为n T ，证明：2131<≤n T . 18．高二某班共有20名男生，在一次体检中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于)180,170[（单位：cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于)180,175[（单位：cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19．菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，6,2==AC AB ，点F E ,分别在CD AD ,上，45==CF AE ，EF 交BD 于点H ，将D E F ∆沿EF 折到EFD '∆位置，10'=OD .（1）证明：⊥H D '平面ABCD ； （2）求二面角C A D B --'的正弦值.20．设抛物线)0(42>=m mx y 的准线与x 轴交于1F ，抛物线的焦点2F ，以21,F F 为焦点，离心率21=e 的椭圆与抛物线的一个交点为)362,32(E ；自1F 引直线交抛物线于Q P ,两个不同的点，设F F 11λ=. （1）求抛物线的方程椭圆的方程； （2）若)1,21[∈λ，求||PQ 的取值范围. 21．已知函数21)ln(21)(2+--=ax a x x a x f . （1）设xx f x g 1)()(+=，求函数)(x g 的单调区间； （2）若0>a ，设))(,()),(,(2211x f x B x f x A 为函数)(x f 图象上不同的两点，且满足1)()(21=+x f x f ，设线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：10>ax . 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos t y t m x （t 为参数，πα<≤0），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，射线)44(πϕπϕθ<<-=，4πϕθ+=，4πϕθ-=分别与曲线C交于C B A ,,三点（不包括极点O ）. （1）求证：||2||||OA OC OB =+；（2）当12πϕ=时，若C B ,两点在直线l 上，求m 与α的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数|12|||)(-++=x m x x f . （1）当1=m ，解不等式3)(≥x f ； （2）若41<m ，且当]2,[m m x ∈时，不等式|1|)(21+≤x x f 恒成立，求实数m 的取值范围.数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．3- 14．2 15．23224++ 16．①④三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：(1)当1=n 时，有)1(34111-==a S a ，解得41=a ， 当2≥n 时，有)1(3411-=--n n a S ，则 )1(34)1(3411---=-=--n n n n n a a S S a 整理得41=-n na a ∴数列}{n a 是以4=q 为公比，以41=a 为首项的等比数列∴)(444*1N n a n n n ∈=⨯=-. （2）由（1）有n a b nn n 24log log 22===，则)12(1121(21)12)(12(1)1)(1(1+--=-+=-+n n n n b b n n∴)12)(12(1531311+-++⨯+⨯=n n T n )121121()5131()311[(21+--++-+-=n n)1211(21+-=n 易知数列}{n T 为递增数列， ∴211<≤n T T ，即2131<≤n T .18．(1) 第一组学生身高的中位数为1742176172=+， 第二组学生身高的中位数为5.1742175174=+； （2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A ，761)(2723=-=C C A P ，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为76； （3）X 的所有可能取值是0，1，2，3101)0(23252223===C C C C X P ，52)1(23251223221213=+==C C C C C C C X P ，3013)2(23251213122222=+==C C C C C C C X P ，151)3(23251222===C C C C X P X 的分布列为15153302521)(=⨯+⨯+⨯=X E . 19．解：(1)∵45==CF AE ， ∴CDCFAD AE =，∴AC EF //，∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD AC ⊥，∴BD EF ⊥，∴DH EF ⊥，∴H D EF '⊥ ∵6=AC ， ∴3=AO ；又5=AB ，OB AO ⊥，∴4=OB ，∴1=⋅=OD AOAEOH ，∴3'==H D DH ， ∴222|'||||'|H D OH OD +=，∴H D OH '⊥，又∵H EF OH = ， ∴⊥H D '平面ABCD .（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系：)0,3,1(),3,0,0('),0,3,1(),0,0,5(-A D C B ，)0,6,0(),3,3,1(),0,3,4(=-==，设平面'ABD 的一个法向量为),,(1z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0'011AD n n 得⎩⎨⎧=++-=+033034z y x y x ，取⎪⎩⎪⎨⎧=-==543z y x ， ∴)5,4,3(1-=n ，同理可得平面C AD '的法向量为)1,0,3(2=n ，∴25571025|59||||||cos |2121=⨯+==n n θ，∴25952sin =θ.20.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+211924942222a b a a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3422b a∴椭圆的方程为13422=+y x ∴点2F 的坐标为)0,1(，∴1=m ，∴抛物线的方程是x y 42=(2)由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为)0)(1(≠+=k x k y ， 由⎩⎨⎧=+=xy x k y 4)1(2消去x 整理得0442=+-k y ky （）∵直线PQ 与抛物线交于两点， ∴016162>-∆k ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则421=y y ①，ky y 421=+②， ∵F F 11λ=，)0,1(1-F ∴),1(),1(2211y x y x +=+λ ∴21y y λ=，③由①②③消去21,y y 得22)1(4+=λλk .∴||PQ 22221221222121616)11(4))[(11())(11(k k ky y y y ky y k-+=-++=-+=441616k k -=，即=2||PQ 441616k k -，将22)1(4+=λλk 代入上式得， =2||PQ 16)21(16)12(16)4(222224-++=-++=-+λλλλλλλ，∵λλλ1)(+=f 在)1,21[∈λ上单调递减，∴)21()()1(f f f ≤<λ，即2512≤+<λλ， ∴<041716)21(2≤-++λλ， ∴217||0≤<PQ ，即||PQ 的取值范围为]217,0(. 21．解：(1) 21)ln(2)(2+-=ax a x a x g ,xax a x a a x g )2(2)('2-=-= ①0>a 时， )(x g 定义域为),0(+∞当)2,0(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)2,0(a上单调递减； 当),2(+∞∈a x 时，0)('>x g ，故)(x g 在),2(+∞a上单调递增； ②0<a 时，)(x g 定义域为)0,(-∞当)2,(a x -∞∈时，0)('>x g ，故)(x g 在)2,(a-∞上单调递增； 当)0,2(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)0,2(a上单调递减.（2）10>ax 2121212x ax a x x ->⇔>+⇔0)1(21)('222≥-=-+=a xx ax a x f ，故)(x f 在定义域),0(+∞上单调递增， 只需证：1)()1(2=+x f x f ，21)1(=af ，不妨设2110x ax <<< axa x x a ax x ax a a x f x a f x F ln 21)2ln(221)2(1)()2()(22--+-----=-+-=则0)2()1(4222)2(1)('2232222≤---=-+---=ax x ax ax a x a ax a x x F ax 1≥∀， 从而)(x F 在),1[+∞a 上单调递减，故0)1()(2=<aF x F ，即（）式. 22.解：(1)证明：依题意，ϕcos 4||=OA ，)4cos(4||πϕ+=OB ，)4cos(4||πϕ-=OC ，则=+||||OC OB ++)4cos(4πϕ||2cos 24)4cos(4OA ==-ϕπϕ（2）当12πϕ=时，C B ,两点的极坐标分别为)6,32(),3,2(ππ-，化为直角坐标)3,1(B ，)3,3(-C ， 经过点C B ,的直线方程为)2(3--=x y ， 又直线l 经过点)0,(m ，倾斜角为α，故2=m ，32πα=. 23.解：(1) 当1=m 时，|12||1|)(-++=x x x f ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤---<-=)21(3)211(2)1(3)(x x x x x x x f由3)(≥x f 解得1-≤x 或1≥x ，即原不等式的解集为),1[]1,(+∞--∞ . （2）|1|)(21+≤x x f ，即|1||12|21||21+≤-++x x m x ，又]2,[m m x ∈且41<m 所以410<<m ，且0>x 所以|12|21|1|221--+≤+x x m x 即|12|2--+≤x x m 令|12|2)(--+=x x x t ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<+=)21(3)210(13)(x x x x x t ，所以]2,[m m x ∈时， 13)()(min +==m m t x t ， 所以13+≤m m ，解得21-≥m ， 所以实数m 的取值范围是)41,0(.欢迎访问“高中试卷网”——。

河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合},06|{2N x x x x A ∈>++-=，}2,1,0,1{-=B ，则=B A （ ） A ．}2,1{ B ．}2,1,0{ C ．}1,0{ D ．}2,1,0,1{- 2．已知实数n m ,满足53)24)((+=-+i i ni m ，则=+n m （ ） A ．59 B ．511 C ．49 D ．4113．给出下列命题：①已知R b a ∈,，“1>a 且1>b ”是“1>ab ”的充分条件；②已知平面向量,，“1||,1||>>”是“1||>+”的必要不充分条件； ③已知R b a ∈,，“122≥+b a ”是“1||||≥+b a ”的充分不必要条件； ④命题p ：“R x ∈∃0，使100+≥x ex 且1ln 00-≤x x ”的否定为p ⌝：“R x ∈∀，都有1+<x e x 且1ln ->x ”.其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．若定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则函数||log )(3x x f y -=的零点个数是（ ）A ．6个B ．4个C ．3个D ．2个 5．设函数)3cos()(ϕ+=x x f ，其中常数ϕ满足0<<-ϕπ.若函数)(')()(x f x f x g +=（其中)('x f 是函数)(x f 的导数）是偶函数，则ϕ等于（ ） A ．3π-B ．65π-C ．6π-D ．32π- 6．执行如图的程序框图，如果输入的k b a ,,分别为3,2,1，输出的815=M ，那么判断框中应填入的条件为（ ）A ．k n <B ．k n ≥C ．1+<k nD ．1+≥k n 7．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体编号为A ．08B ．07C ．02D ．018．已知R k ∈，点),(b a P 是直线k y x 2=+与圆32222+-=+k k y x 的公共点，则ab 的最大值为（ ） A.15B.9C.1D. 35-9．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x 所表示的平面区域存在点),(00y x ，使0200≤++ay x 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-≤aB ．1-<aC ．1>aD ．1≥a10．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A ．25 B ．32 C ．60 D ．10011．已知在ABC Rt ∆中，两直角边1=AB ，2=AC ，D 是ABC ∆内一点，且060=∠DAB ，设),(R ∈+=μλμλ，则=μλ（ ） A ．332 B ．33C ．3D ．32 12．已知函数)(x f 的定义域为D ，若对于)(),(),(,,c f b f a f D b a ∈∀分别为某个三角形的边长，则称)(x f 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①)(ln )(32e x e x xf ≤≤=；②x x f cos 4)(-=；③)41()(21<<=x x x f ；④1)(+=x xe e xf .其中为“三角形函数”的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x ，则y x z -=的最小值是 .14．若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 .15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 .16．若函数)(x f 的图象上存在不同的两点),(11y x A ，),(22y x B ，其中2211,,,y x y x 使得222221212121||y x y x y y x x +⋅+-+的最大值为0，则称函数)(x f 是“柯西函数”. 给出下列函数：①)30(ln )(<<=x x x f ；②)0(1)(>+=x xx x f ；③82)(2+=x x f ；④82)(2-=x x f .其中是“柯西函数”的为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*),1(34N n a S n n ∈-=. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）令n n a b 2log =，记数列})1)(1(1{+-n n b b 的前n 项和为n T ，证明：2131<≤n T . 18．高二某班共有20名男生，在一次体检中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于)180,170[（单位：cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于)180,175[（单位：cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19．菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，6,2==AC AB ，点F E ,分别在CD AD ,上，45==CF AE ，EF 交BD 于点H ，将D E F ∆沿EF 折到EF D '∆位置，10'=OD .（1）证明：⊥H D '平面ABCD ； （2）求二面角C A D B --'的正弦值.20．设抛物线)0(42>=m mx y 的准线与x 轴交于1F ，抛物线的焦点2F ，以21,F F 为焦点，离心率21=e 的椭圆与抛物线的一个交点为)362,32(E ；自1F 引直线交抛物线于Q P ,两个不同的点，设F F 11λ=. （1）求抛物线的方程椭圆的方程； （2）若)1,21[∈λ，求||PQ 的取值范围. 21．已知函数21)ln(21)(2+--=ax a x x a x f . （1）设xx f x g 1)()(+=，求函数)(x g 的单调区间； （2）若0>a ，设))(,()),(,(2211x f x B x f x A 为函数)(x f 图象上不同的两点，且满足1)()(21=+x f x f ，设线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：10>ax . 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos t y t m x （t 为参数，πα<≤0），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，射线)44(πϕπϕθ<<-=，4πϕθ+=，4πϕθ-=分别与曲线C交于C B A ,,三点（不包括极点O ）. （1）求证：||2||||OA OC OB =+；（2）当12πϕ=时，若C B ,两点在直线l 上，求m 与α的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数|12|||)(-++=x m x x f . （1）当1=m ，解不等式3)(≥x f ； （2）若41<m ，且当]2,[m m x ∈时，不等式|1|)(21+≤x x f 恒成立，求实数m 的取值范围.数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．3- 14．2 15．23224++ 16．①④三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：(1)当1=n 时，有)1(34111-==a S a ，解得41=a ， 当2≥n 时，有)1(3411-=--n n a S ，则 )1(34)1(3411---=-=--n n n n n a a S S a 整理得41=-n na a ∴数列}{n a 是以4=q 为公比，以41=a 为首项的等比数列∴)(444*1N n a n n n ∈=⨯=-. （2）由（1）有n a b nn n 24log log 22===，则)12(1121(21)12)(12(1)1)(1(1+--=-+=-+n n n n b b n n∴)12)(12(1531311+-++⨯+⨯=n n T n )121121()5131()311[(21+--++-+-=n n )1211(21+-=n 易知数列}{n T 为递增数列，∴211<≤n T T ，即2131<≤n T .18．(1) 第一组学生身高的中位数为1742176172=+， 第二组学生身高的中位数为5.1742175174=+； （2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A ，761)(2723=-=C C A P ，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为76； （3）X 的所有可能取值是0，1，2，3101)0(23252223===C C C C X P ，52)1(23251223221213=+==C C C C C C C X P ，3013)2(23251213122222=+==C C C C C C C X P ，151)3(23251222===C C C C X P X 的分布列为15153302521)(=⨯+⨯+⨯=X E . 19．解：(1)∵45==CF AE ， ∴CDCFAD AE =，∴AC EF //， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD AC ⊥，∴BD EF ⊥，∴DH EF ⊥，∴H D EF '⊥ ∵6=AC ，∴3=AO ；又5=AB ，OB AO ⊥，∴4=OB ，∴1=⋅=OD AOAEOH ，∴3'==H D DH ， ∴222|'||||'|H D OH OD +=，∴H D OH '⊥，又∵H EF OH = ， ∴⊥H D '平面ABCD .（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系：)0,3,1(),3,0,0('),0,3,1(),0,0,5(-A D C B ，)0,6,0(),3,3,1('),0,3,4(=-==AC AD AB ，设平面'ABD 的一个法向量为),,(1z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n AB n 得⎩⎨⎧=++-=+033034z y x y x ，取⎪⎩⎪⎨⎧=-==543z y x ， ∴)5,4,3(1-=n ，同理可得平面C AD '的法向量为)1,0,3(2=n ，∴25571025|59||||||cos |2121=⨯+==n n θ，∴25952sin =θ. 20.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+211924942222a b a a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3422b a∴椭圆的方程为13422=+y x ∴点2F 的坐标为)0,1(，∴1=m ，∴抛物线的方程是x y 42=(2)由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为)0)(1(≠+=k x k y ，由⎩⎨⎧=+=xy x k y 4)1(2消去x 整理得0442=+-k y ky （） ∵直线PQ 与抛物线交于两点， ∴016162>-∆k ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则421=y y ①，ky y 421=+②， ∵F F 11λ=，)0,1(1-F ∴),1(),1(2211y x y x +=+λ ∴21y y λ=，③由①②③消去21,y y 得22)1(4+=λλk . ∴||PQ 22221221222121616)11(4))[(11())(11(k k ky y y y ky y k-+=-++=-+=441616k k -=，即=2||PQ 441616k k -，将22)1(4+=λλk 代入上式得， =2||PQ 16)21(16)12(16)4(222224-++=-++=-+λλλλλλλ，∵λλλ1)(+=f 在)1,21[∈λ上单调递减，∴)21()()1(f f f ≤<λ，即2512≤+<λλ， ∴<041716)21(2≤-++λλ， ∴217||0≤<PQ ，即||PQ 的取值范围为]217,0(. 21．解：(1) 21)ln(2)(2+-=ax a x a x g ,xax a x a a x g )2(2)('2-=-= ①0>a 时， )(x g 定义域为),0(+∞当)2,0(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)2,0(a上单调递减； 当),2(+∞∈a x 时，0)('>x g ，故)(x g 在),2(+∞a上单调递增； ②0<a 时，)(x g 定义域为)0,(-∞当)2,(a x -∞∈时，0)('>x g ，故)(x g 在)2,(a-∞上单调递增； 当)0,2(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)0,2(a上单调递减. （2）10>ax 2121212x ax a x x ->⇔>+⇔0)1(21)('222≥-=-+=a xx ax a x f ，故)(x f 在定义域),0(+∞上单调递增， 只需证：1)()1(2=+x f x f ，21)1(=af ， 不妨设2110x ax <<< axa x x a ax x ax a a x f x a f x F ln 21)2ln(221)2(1)()2()(22--+-----=-+-=则0)2()1(4222)2(1)('2232222≤---=-+---=ax x ax ax a x a ax a x x F ax 1≥∀， 从而)(x F 在),1[+∞a上单调递减，故0)1()(2=<aF x F ，即（）式. 22.解：(1)证明：依题意，ϕcos 4||=OA ，)4cos(4||πϕ+=OB ，)4cos(4||πϕ-=OC ，则=+||||OC OB ++)4cos(4πϕ||2cos 24)4cos(4OA ==-ϕπϕ（2）当12πϕ=时，C B ,两点的极坐标分别为)6,32(),3,2(ππ-，化为直角坐标)3,1(B ，)3,3(-C ， 经过点C B ,的直线方程为)2(3--=x y ， 又直线l 经过点)0,(m ，倾斜角为α，故2=m ，32πα=. 23.解：(1) 当1=m 时，|12||1|)(-++=x x x f ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤---<-=)21(3)211(2)1(3)(x x x x x x x f由3)(≥x f 解得1-≤x 或1≥x ，即原不等式的解集为),1[]1,(+∞--∞ . （2）|1|)(21+≤x x f ，即|1||12|21||21+≤-++x x m x ，又]2,[m m x ∈且41<m 所以410<<m ，且0>x 所以|12|21|1|221--+≤+x x m x 即|12|2--+≤x x m令|12|2)(--+=x x x t ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<+=)21(3)210(13)(x x x x x t ， 所以]2,[m m x ∈时， 13)()(min +==m m t x t ， 所以13+≤m m ，解得21-≥m ， 所以实数m 的取值范围是)41,0(.欢迎访问“高中试卷网”——。

河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1）A2）A3．给出下列命题：.其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34）A．6个 B．4个 C．3个 D．2个5）A6应填入的条件为（ ）A ．k n <B ．k n ≥C ．n 7．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体编号为A ．08B ．07C ．02D ．018．最大值为（ ）A.159．）A10．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ）A ．25B ．32 C ．60 D ．10011．） A．3 D12.给出下列四个函数：其中为“三角形函数”的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13的最小值是 .1480的值是 .15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 . 16.给出下列函数：其中是“柯西函数”的为 .三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17（1（218．高二某班共有20名男生，在一次体检中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm的7名男生中随机选出2名男生参加篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3cm）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于cm.19．（1（2.20（1）求抛物线的方程椭圆的方程；（2.21（1（2请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22．选修4-4：坐标系与参数方程，以坐标原点为极点，.（1（2.23．选修4-5：不等式选讲（1（2）.数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.1314．2 1516．①④三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：(1)（2）由（118．(1)（2）记“这2名男生至少有1∴这2名男生至少有1（30，1，2，3，，19．解：(1)（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系：20.解：(1)(2)*）∴21．解：.（2*）式.22.解：(1)（223.解：(1)（2。

2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若z1=（1+i）2，z2=1﹣i，则等于（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i2．（5分）若P（﹣2，﹣）是极坐标系中的一点，则Q（2，）、R（2，）、M（﹣2，）、N（2，2kπ﹣）（k∈Z）四点中与P重合的点有（）个．A．1B．2C．3D．43．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为16，则图中判断框内①处应填（）A．4B．3C．2D．54．（5分）两个变量y与x的回归模型中，分别计算了4组数据的相关系数r如下，其中拟合效果最好的是（）A．第一组B．第二组C．第三组D．第四组5．（5分）已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数=2，=1.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．y=3x﹣4.5B．y=﹣0.4x+3.3C．y=0.6x+1.1D．y=﹣2x+5.56．（5分）年劳动生产率x（千元）和工人工资y（元）之间回归方程为=10+80x，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均（）A．增加10元B．减少10元C．增加80元D．减少80元7．（5分）演绎推理“因为指数函数y=a x（a＞0且a≠1）是增函数，而函数是指数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．以上都不是8．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并由回归分析法分别求得相关指数R与残差平方和m如下表：则哪位同学的试验结果体现A，B两变量更强的线性相关性（）A．甲B．乙C．丙D．丁9．（5分）定义运算=ad﹣bc，若z1=（i为虚数单位）且复数z满足方程|z﹣z1|=4，那么复数z在复平面内对应的点P组成的图形为（）A．以（﹣1，﹣2）为圆心，以4为半径的圆B．以（﹣1，﹣2）为圆心，以2为半径的圆C．以（1，2）为圆心，以4为半径的圆D．以（1，2）为圆心，以2为半径的圆10．（5分）若下列关于x的方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+2ax﹣2a=0，x2+（a﹣1）x+a2=0（a为常数）中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是（）A．（）B．（）C．（]∪[﹣1，+∞）D．（]∪[0，+∞）11．（5分）空间四边形SABC中，各边及对角线长都相等，若E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．（5分）已知A、B、C、D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=2，则该球的表面积为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知复数满足（3﹣4i）=4﹣3i，则|z|=．14．（5分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．15．（5分）函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0，则a=，b=．16．（5分）在公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即V=kD3，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V=kD3中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式V=kD3求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为a）、等边圆柱（底面圆的直径为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么k1：k2：k3=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若sinB=2sinA，求a、b的值．18．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），曲线C2的方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．19．（12分）某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；（Ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程= x+；（Ⅲ）试根据（Ⅱ）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．（相关公式：，=﹣x）20．（12分）如图，多面体ABC﹣B1C1D是由三棱柱ABC﹣A1B1C1截去一部分后而成，D是AA1的中点．（1）若AD=AC=1，AD⊥平面ABC，BC⊥AC，求点C到面B1C1D的距离；（2）若E为AB的中点，F在CC1上，且，问λ为何值时，直线EF∥平面B1C1D？21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：（t 为参数，0≤a＜π），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ=6sinθ．（I）（i）当时，写出直线l的普通方程；（ii）写出曲线C的直角坐标方程；（II）若点P（1，2），设曲线C与直线l交于点A，B，求最小值．22．（12分）已知函数f（x）=x2ln|x|．（1）判断函数f（x）的奇偶性并求当x＞0时函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=kx﹣1有实数解，求实数k的取值范围．2017-2018学年河北省衡水市武邑中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若z1=（1+i）2，z2=1﹣i，则等于（）A．1+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣1﹣i【解答】解：∵z1=（1+i）2=2iz2=1﹣i，∴=故选：B．2．（5分）若P（﹣2，﹣）是极坐标系中的一点，则Q（2，）、R（2，）、M（﹣2，）、N（2，2kπ﹣）（k∈Z）四点中与P重合的点有（）个．A．1B．2C．3D．4【解答】解：P（﹣2，﹣）是极坐标系中的一点，可以化为：P（2，）．则Q（2，）、R（2，）、M（﹣2，）、N（2，2kπ﹣）（k∈Z）四点都与P重合，因此与点P重合的点有4个．故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为16，则图中判断框内①处应填（）A．4B．3C．2D．5【解答】解：当判断框中的条件是a≤3时，∵第一次循环结果为b=2，a=2，第二次循环结果为b=4，a=3，d第三次循环结果为b=16，a=4不满足判断框中的条件，输出的结果是16满足已知条件，故选：B．4．（5分）两个变量y与x的回归模型中，分别计算了4组数据的相关系数r如下，其中拟合效果最好的是（）A．第一组B．第二组C．第三组D．第四组【解答】解：两个变量y与x的回归模型中，相关系数为r，则|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越小，相关程度越小，由第一组模型的相关系数|r|最大，其模拟效果最好．故选：A．5．（5分）已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数=2，=1.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．y=3x﹣4.5B．y=﹣0.4x+3.3C．y=0.6x+1.1D．y=﹣2x+5.5【解答】解：根据变量x与y负相关，排除选项A、C；由线性回归方程过样本中心点知，1.5=﹣2×2+5.5，满足y=﹣2.5x+5.5；∴线性回归方程可能是y=﹣2x+5.5．故选：D．6．（5分）年劳动生产率x（千元）和工人工资y（元）之间回归方程为=10+80x，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均（）A．增加10元B．减少10元C．增加80元D．减少80元【解答】解：由题意，年劳动生产率x（千元）和工人工资y（元）之间回归方程为=10+80x，故当x增加1时，y要增加80元，∴劳动生产率每提高1千元时，工资平均提高80元，故C正确．故选：C．7．（5分）演绎推理“因为指数函数y=a x（a＞0且a≠1）是增函数，而函数是指数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．以上都不是【解答】解：∵当a＞1时，指数函数y=a x是一个增函数，当0＜a＜1时，指数函数y=a x是一个减函数∴指数函数y=a x（a＞0，a≠1）是减函数这个大前提是错误的，从而导致结论出错．故选：A．8．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并由回归分析法分别求得相关指数R与残差平方和m如下表：则哪位同学的试验结果体现A，B两变量更强的线性相关性（）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，残差平方和越小，相关性也越强；四个选项中甲的相关系数绝对值最大，且甲的残差平方和最小；所以，甲的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性．故选：A．9．（5分）定义运算=ad﹣bc，若z1=（i为虚数单位）且复数z满足方程|z﹣z1|=4，那么复数z在复平面内对应的点P组成的图形为（）A．以（﹣1，﹣2）为圆心，以4为半径的圆B．以（﹣1，﹣2）为圆心，以2为半径的圆C．以（1，2）为圆心，以4为半径的圆D．以（1，2）为圆心，以2为半径的圆【解答】解：由题意可得，z1==i2018﹣2i=（i4）504•i2﹣2i=﹣1﹣2i，由|z﹣z1|=4，得|z﹣（﹣1﹣2i）|=4，可知复数z在复平面内对应的点P组成的图形为以（﹣1，﹣2）为圆心，以4为半径的圆．故选：A．10．（5分）若下列关于x的方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+2ax﹣2a=0，x2+（a﹣1）x+a2=0（a为常数）中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是（）A．（）B．（）C．（]∪[﹣1，+∞）D．（]∪[0，+∞）【解答】解：不妨假设三个方程都没有实数根，则有，解得﹣＜a＜﹣1，故三个方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根时，实数a的取值范围为：（]∪[﹣1，+∞）．故选：C．11．（5分）空间四边形SABC中，各边及对角线长都相等，若E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：求EF与SA所成的角，可把SA平移，使其角的顶点在EF上，为此取SB的中点G，连结GE、GF、BE、AE．由三角形中位线定理得GE=BC，GF=SA，且GF∥SA，所以∠GFE就是EF与SA所成的角．若设此空间四边形边长为a，那么GF=GE=a，EA=a，EF==a，因此△EFG为等腰直角三角形，∠EFG=45°，所以EF与SA所成的角为45°．故选：B．12．（5分）已知A、B、C、D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=2，则该球的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、D扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AD=2AB=2，△ABC是正三角形，所以AE=，AO=．所求球的表面积为：4π（）2=π．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知复数满足（3﹣4i）=4﹣3i，则|z|=1．【解答】解：由（3﹣4i）=4﹣3i，得，则|z|=||=||=．故答案为：1．14．（5分）已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．【解答】解：椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为：815．（5分）函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0，则a=1，b=1．【解答】解：函数的导数为f′（x）=﹣，可得y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=﹣b=a﹣b，切线方程为x+2y﹣3=0，可得a﹣b=﹣，且f（1）=b=1，解得a=b=1，故答案为：1，1．16．（5分）在公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即V=kD3，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V=kD3中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式V=kD3求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为a）、等边圆柱（底面圆的直径为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么k1：k2：k3=：：1．【解答】解：∵V1=πR3=π（）3=a3，∴k1=，∵V2=aπR2=aπ（）2=a3，∴k2=，∵V3=a3，∴k3=1，∴k1：k2：k3=：：1，故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若sinB=2sinA，求a、b的值．【解答】解：（1），由，得∴函数f（x）的单调递增区间为．（2）由f（C）=0，得，又∵0＜C＜π，∴，．又sinB=2sinA，由正弦定理得①；由余弦定理得，即a2+b2﹣ab=3，②由①②解得a=1，b=2．18．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数），曲线C2的方程为，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线θ=（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|．【解答】（满分12分）解：（I）∵曲线C1的参数方程为（其中α为参数），∴曲线C1的普通方程为：x2+（y﹣2）2=7．∵曲线C2的方程为，∴把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线C2得直角坐标方程，得：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，∴曲线C2的极坐标方程为ρ2（cos2θ+3sin2θ）=3．………………………．（6分）（II）∵射线θ=（ρ＞0）与曲线C1，C2分别交于A，B两点，∴依题意可设A（），B（）．∵曲线C1的极坐标方程为：ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0，将（ρ＞0）代入曲线C1的极坐标方程得ρ2﹣2ρ﹣3=0，解得ρ1=3．同理将（ρ＞0）代入曲线C2的极坐标方程得ρ2=．∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣．……………………………………………（12分）19．（12分）某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据（Ⅰ）请画出上表数据的散点图；（Ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程= x+；（Ⅲ）试根据（Ⅱ）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．（相关公式：，=﹣x）【解答】解：（Ⅰ）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图．（Ⅱ）∵6×2+8×3+10×5+12×6=158，，∴b==0.7，a=4﹣0.7×9=﹣2.3故线性回归方程为y=0.7x﹣2.3（Ⅲ）由回归直线方程预测y=0.7×9﹣2.3=4，记忆力为9的同学的判断力约为4．20．（12分）如图，多面体ABC﹣B1C1D是由三棱柱ABC﹣A1B1C1截去一部分后而成，D是AA1的中点．（1）若AD=AC=1，AD⊥平面ABC，BC⊥AC，求点C到面B1C1D的距离；（2）若E为AB的中点，F在CC1上，且，问λ为何值时，直线EF∥平面B1C1D？【解答】解：（1）∵多面体ABC﹣B1C1D是由三棱柱ABC﹣A1B1C1截去一部分后而成，D是AA1的中点．AD⊥平面ABC，BC⊥AC，∴BC⊥面DACC1，则BC⊥CD，∵BC∥B1C1，∴CD⊥B1C1，又∵AD=AC=1，D是AA1的中点，∴，DC1=，可得，即CD⊥C1D，∴CD⊥面DC1B1，∴点C到面B1C1D的距离等于CD=，（2）当λ=4时，直线EF∥平面B1C1D，理由如下：设AD=1，则BB1=2，取DB1的中点H，连接EH，可得AD∥EH∥CC1，∵EH是梯形DABB1的中位线，∴，当C1F=EH=时，四边形C1FEH为平行四边形，即EF∥HC1，∵HC1⊂面B1C1D，∴直线EF∥平面B1C1D．此时且=4，21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：（t 为参数，0≤a＜π），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ=6sinθ．（I）（i）当时，写出直线l的普通方程；（ii）写出曲线C的直角坐标方程；（II）若点P（1，2），设曲线C与直线l交于点A，B，求最小值．【解答】（满分12分）解：（I）（i）当α=时，直线l的参数方程为：，∴直线l的普通方程为x﹣y+1=0．（ii）∵曲线C的极坐标方程ρ=6sinθ．∴ρ2=6ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9．…………（6分）（II）将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，∵△=4（cosα﹣sinα）2+4×7＞0，设t1，t2是方程的两根，则．又直线l过点P（1，2），结合t的几何意义得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|===2．∴==≥，∴的最小值为．……（12分）22．（12分）已知函数f（x）=x2ln|x|．（1）判断函数f（x）的奇偶性并求当x＞0时函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=kx﹣1有实数解，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠0}，且f（﹣x）=（﹣x）2ln|﹣x|=x2lnx=f（x），∴f（x）为偶函数．当x＞0时，．若，则f′（x）＜0，f（x）递减；若，则f′（x）＞0，f（x）递增．得f（x）的递增区间是，递减区间是．（3）由f（x）=kx﹣1，得：．令．当x＞0，，显然g'（1）=0．当0＜x＜1时，g'（x）＜0，g（x）为减函数；当x＞0时，g'（x）＞0，g（x）为增函数．∴x＞0时，g（x）min=g（1）=1．又g（﹣x）=﹣g（x），可知g（x）为奇函数，∴x＜0时，g（x）max=g（﹣1）=﹣1．∴g（x）的值域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．∴若方程f（x）=kx﹣1有实数解，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．。

武邑中学2018届高三上学期期中考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合}70|{<<=x x A ，}1725|{<<=x x B ，则B A I 中整数元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．62.设R x ∈，i 为虚数单位，且R i x i ∈-++111，则=x ( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．23.已知向量),1(x =，)4,(x =，则2-=x 是“a 与b 反向”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.设a ，),1()1,0(+∞∈Y b ，定义运算：⎩⎨⎧>≤=Θb a a b a b b a b a ,log ,log ，则=ΘΘ)42(8( ) A ．-3 B ．31 C.4log 3 D ．35.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( )A ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且750=a B ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且750=c C.a ，b ，c 依次成公比为21的等比数列，且750=a D ．a ，b ，c 依次成公比为21的等比数列，且750=a 6.若函数1)1()(+--=x a e x f x 在（0，1）上递减，则a 取值范围是( )A ．),1(+∞+eB ．),1[+∞+e C.),1(+∞-e D ．),1[+∞-e7.某几何的三视图如图所示，其中每个视图中的四个小正方形的边长都相等，若该几何体的体积为212，则该几何体的表面积为( )A ．36B ．42 C. 48 D ．648.定义在R 上的奇函数x a x f x x sin 422)(--⋅=-的一个零点所在区间为( )A ．)0,(a -B ．),0(a C.)3,(a D ．)3,3(+a9.设变量x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤-≥-≥+2303010y x x x y x ，则y x z -=的取值范围为( ) A ．[2，6] B ．（－∞，10] C.[2，10] D ．（－∞，6]10.在正四棱锥ABCD P -中，已知异面直线PB 与AD 所成的角为︒60，给出下面三个命题，1p :若2=AB ，则此四棱锥的侧面积为344+；2p :若E ，F 分别为PC ，AD 的中点，则EF //平面PAB ；3p ：若P ，A ，B ，C ，D 都在球O 的表面上，则球O 的表面积是四边形ABCD 面积的π2倍.在下列命题中，为真命题的是（ ）A ．32p p ∧B ．)(21p p ⌝∨ C. 31p p ∧ D ．)(32p p ⌝∧11.函数)2cos 2(sin )(x x x f +=在],[ππ-上的图象为（ ）12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤<=1,3310,00,3)(x x x x x x f ，若函数)()(3x f x x g λ+=恰有3个零点，则λ的取值范围为（ ）A ．),49(+∞B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∞49)0,(Y C.)49,0( D ．),49()0,(+∞-∞Y 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数)4ln(44)(++-=x x f x 的值域为 ．14.设向量，满足2||=+，5||||22=+则=⋅ ．15.若函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的图象相邻的两个对称中心为)0,65(-，)0,61(，将)(x f 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21，得到)(x g 的图象，则=)(x g ． 16.设n S 为数列{}n a 的前项n 和，)2(2321≥⋅=--n a a n n ，且2123a a =，则=+n n a S ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，1sin 5=A .（1）若4=c ，ABC ∆的面积为2，且A 为钝角，求a ；（2）若A c a cos 2=，求C sin .18.设n S 为数列{}n a 的前项n 和，2n S n =，数列{}n b 满足32a b =，21+=+n n b b .（1）求n a 及n b ；（2）记><n 表示n 的个位数字，如<6174>=4，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧><⋅><n n b a 1的前20项和. 19. 已知向量)1,sin 2(x a =，)1),6cos(2(π+=x b ，函数R x x f ∈⋅=)(.（12=，)0,(π-∈x ，求x ； （2）求)(x f 在)2,0[π上的值域；（3）将)(x f 的图象向左平移6π个单位得到)(x g 的图象，设x x x g x h 2)1()(2-+-=，判断)(x h 的图象是否关于直线1=x 对称，请说明理由.20. 如图,在三棱锥ACD P -中,BD AB 3=,⊥PB 底面ACD ，AD BC ⊥，10=AC ，5=PC ，且102cos =∠ACP . （1）若E 为AC 上一点，且AC EF ⊥，证明：平面⊥PBE 平面PAC .（2）若Q 为棱上一点，且BQ //平面PAC ，求三棱锥ACD Q -的体积.21. 已知函数)(2ln )(2R a a x a x x f ∈+-=.（1）讨论在上的单调性；（2）是否存在实数a ，使得)(x f 在),0(+∞上的最大值为||ln 243a a a -+，若存在，求满足条件的a 的个数；若不存在，请说明理由.22.已知函数a x x x f +-=3)(3的图象与x 轴相切，且切点在x 轴的正半轴上.（1）若函数mx x f x g +=)()(在),3(a -上的极小值不大于1-m ，求m 的取值范围.（2）设)3)(()2()(≤--=k x kf e x x F x ，证明：)(x F 在),0[+∞上的最小值为定值.试卷答案一、选择题1-5: BBCDD 6-10:BCCDA 11、12：AA二、填空题13.]1,4(- 14.21-15.)62sin(ππ-x 16.n 23⋅ 三、解答题17.解：（1）由ABC ∆的面积为2得252sin 21==b A bc ，5=∴b 37)52(58165cos 2222=-⨯-+=-+=∴A bc c b a ，37=∴a （2）A c a n cos 2=Θ，A C A cos sin 2sin =∴，0sin 2tan >=∴C A1sin 5=A Θ，552cos =A ，21tan =∴A ，从而41sin =C 18. 解：（1）当2≥n 时，121-=-=-n S S a n n n ，由于111==S a 也满足12-=n a n ，则12-=n a n .532==a b Θ，21=-+n n b b ，31=∴b ，是首项为3，公差为2的等差数列，12+=∴n b n .（2）12-=n a n Θ，{n a ∴的前5项依次为1，3,5,7,9. 12+=n b n Θ，{}n ∴的前5项依次为3,5,7,9，1. 易知，数列{n a 与{nb 的周期均为5， ⎭⎬⎫⎩⎨⎧><⋅><∴n n b a 1的前20项和为)191971751531311(4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 920)919821(4]91)917171515131311(21[4=+⨯⨯=+-+-+-+-⨯⨯=.19. 解：（1）21sin 42=+=x Θ，41sin 2=∴x ，21sin ±=x . 又)0,(π-∈x ，6π-=∴x 或65π-. （2）1)sin 21cos 23(sin 41)6cos(sin 4)(+-=++=x x x x x x f π )62sin(21)2cos 1(2sin 31sin 22sin 32π+=+--=+-=x x x x x . )2,0[π∈x Θ,]67,6[62πππ∈+∴x ,]1,21()62sin(-∈+∴πx , 故)(x f 在)2,0[π上的值域为]2,1(-.（1）x x x f x 2cos 2)22sin(2)6()(g =+=+=ππΘ，1)1()22cos()(2--+-=∴x x x h . )(1)1()22cos(1)1()22cos()2(22x h x x x x x h =--+-=--+-=-Θ，)(x h ∴的图象关于直线1=x 对称.20. 20.（1）证明：由⊥PB 底面ACD ，得AC PB ⊥.又AC BE ⊥，B PB BE =I ，故⊥AC 平面PBE .⊂∴AC 平面PAC ，平面⊥PBE 平面PAC .（2）解：1310225215cos 2222=⨯⨯-=∠⋅⋅-+=ACP PC AC PC AC AP Θ， 13=∴AP ，则⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+21313510222222PB BC AB PB AB PB BC BC AB ，，， BQ Θ//平面PAC ，⊂BQ 平面PAD ，平面I PAC 平面PA PAC =， PA BQ //∴，3==BD AB QD PQ . 过Q 作PB QH //，交AD 于H ，则2141==PB QH . 413=+=+=BD AB AD Θ，3114212131=⨯⨯⨯⨯=∴-ACD Q V . 21. 解：（1）)1(1)('2>-=x xx a x f 当0=a 时，)(x f 在),1(+∞上递增.当12≥a 时即1≤a 或1≥a 时，0)('<x f ，)(x f ∴在),1(+∞上递减. 当11<<-a 且0≠a 时，令0)('=x f 得21a x =. 令0)('>x f 得211a x <<；令0)('<x f 得21a x >. )(x f ∴在)1,1(2a 上递增，在),1(2+∞a 上递减.综上，当0=a 时，)(x f 在),1(+∞上递增；当1≤a 或1≥a 时，)(x f 在),1(+∞上递减； 当11<<-a 且0≠a 时，)(x f 在)1,1(2a 上递增；在),1(2+∞a 上递减. （2）易知0≠a ，)(x f 在)1,1(2a 上递减，在),1(2+∞a 上递减，1||ln 22211ln )1()(22max --=+-==∴a a a a a f x f .||ln 241||ln 223a a a a a -+=--∴，即0123=++a a ， 设012)(3=++=a a x g ，易知)(x g 为增函数，且0)1(<-g ，0)0(>g ， )(x g ∴的唯一零点在)0,1(-上，∴存在a ，且a 的个数为1.22.解：（1）33)(2-=x x f ＇Θ，0)(=∴x f ＇得1±=x ， 由题意可得02)1(=-=a f ，解得2=a . （2）2)3(23)(33+-+=++-=x m x mx x x x g ，33)(2-+=m x x g ＇当03≥-m 时，)(x g 无极值； 当03<-m ，即3<m 时，令0)(<x g ＇得3333m x m -<<--； 令0)(>x g ＇得33m x --<或.33m x ->)(x g ∴在33m x -=处取得极小值， 当233≥-m ，即9-≤m ，)(x g 在（-3,2）上无极小值， 故当39<<-m 时，)(x g 在（-3,2）上有极小值 且极小值为12)333(33)33(-≤+-+--=-m m m m m g ， 即3333)3(2-≤--m m m . 3<m Θ，2333≥-∴m ，415-≤∴m . 又39<<-m ，故]415,9(--∈m . （2）证明：)23()2()(3+---=x x k e x x F x ，0≥x ， )33()1()('2---=x k e x x F x)33)(1(k kx e x x ---=设k kx e x p x 33)(--=，k e x p x 3)('-=， 0≥x Θ，1≥x e ，又31≤k Θ，13≤∴k ， 0)('≥∴x p ，)(x p ∴在),0[+∞上递增， 031)0()(≥-=≥∴k p x p ，令0)('>x F 得1>x ；令0)('<x F 得10<≤x . e F x F -==∴)1()(min 为定值.。