2014届高考复习专题 五 二次函数

第6讲幂函数与二次函数【2014年高考会这样考】1．求二次函数的解析式、值域与最值．2．运用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决问题．3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题.对应学生24考点梳理1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象与性质由幂函数y＝x、y＝x 12、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图象，可归纳出幂函数的如下性质：(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；(2)幂函数的图象都过点(1,1)；(3)当α>0时，幂函数的图象都过点(0,0)与(1,1)，且在(0，＋∞)上是单调递增；(4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)在(0，＋∞)上是单调递减．3．五种幂函数的比较(1)幂函数的图象比较(2)幂函数的性质比较]【助学·微博】 两种方法函数y ＝f (x )对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．(2)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)． 两个条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎨⎧ a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎨⎧a <0，b 2－4ac <0.三种形式 二次函数表达式(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(2)顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (其中a ≠0，顶点坐标为(－h ，k ))；(3)两根式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(其中a ≠0，x 1、x 2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标)．考点自测1.(人教A 版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )． A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12 答案 B2．(2011·浙江)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0，若f (α)＝4，则实数α等于( )．A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2解析 由⎩⎨⎧ α≤0，－α＝4或⎩⎨⎧α>0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B.答案 B3．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )．解析 由A ，C ，D 的图象知f (0)＝c <0.又abc >0，∴ab <0，∴对称轴x ＝－b2a >0，知，A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c >0，∴ab >0，∴对称轴x ＝－b 2a <0，∴B 错误． 答案 D4．(2012·湖北)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )． A.2π5 B.43 C.32 D.π2解析 观察函数图象可知二次函数f (x )的图象的顶点坐标为(0,1)，故可设f (x )＝ax 2＋1，又函数图象过点(1,0)，代入可得a ＝－1，所以f (x )＝－x 2＋1，所以S ＝⎠⎛1－1(1－x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 331－1＝43.答案 B5．(2012·江苏)已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，∴f (x )＝x 2＋ax ＋14a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a 2.又∵f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴m ＋m ＋6＝－a ， ∴m ＝－12a －3，∴c ＝f (m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －32＋a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －3＋14a 2＝9. 答案9对应学生26考向一 求二次函数的解析式【例1】►若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． [审题视点] 对于(1)，由f (0)＝1可得c ，利用f (x ＋1)－f (x )＝2x 恒成立，可求出a ，b ，进而确定f (x )的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得． 解 (1)由f (0)＝1得，c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎨⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝1b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．【训练1】 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8.试确定此二次函数．解 法一 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)， ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12.又根据题意知最大值为n ＝8， ∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8，∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1， 解之得a ＝－4.∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∴函数的解析式是f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.法二 依题意知：f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，a ≠0. 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max ＝8，即－9a ＋44＝8，解之，得a ＝－4.∴函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.考向二 二次函数的图象与性质【例2】►已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．[审题视点] 对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用． 解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15， 故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数的对称轴进行分析讨论求解． 【训练2】 求函数y ＝x 2－2ax －1在x ∈[0,2]时的值域． 解 由已知可得，函数y 的对称轴为x ＝a . ①当a <0时，y min ＝f (0)＝－1. y max ＝f (2)＝4－4a －1＝3－4a . 所以函数的值域为[－1,3－4a ]．②当0≤a ≤1时，y min ＝f (a )＝－(a 2＋1)，y max ＝f (2)＝3－4a ，所以函数的值域为[－(a 2＋1)，3－4a ]．③当1<a ≤2时，y min ＝f (a )＝－(a 2＋1)，y max ＝f (0)＝－1， 所以函数的值域为[－(a 2＋1)，－1]．④当a >2时，y min ＝f (2)＝3－4a ，y max ＝f (0)＝－1，所以函数的值域为[3－4a ，－1]． 考向三 幂函数的图象和性质 【例3】►已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的取值范围．[审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3<0，再结合m 是整数，及幂函数是偶数可得m 的值． 解 ∵函数f (x )在(0，＋∞)上递减， ∴m 2－2m －3<0，解得－1<m <3. ∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数的图象关于y 轴对称，∴m 2－2m －3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m ＝1.∵函数y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数， ∴(a ＋1)－13<(3－2a )－13等价于 a ＋1>3－2a >0， 或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a . 解得a <－1或23<a <32. 故a的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a <－1或23<a <32.本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．【训练3】 已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)，幂函数g (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14.(1)求f (x )，g (x )的解析式；(2)当x 为何值时，①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )． 解 (1)设f (x )＝x a ，∵其图象过点(2，2)，故2＝(2)a ， 解得α＝2，∴f (x )＝x 2.设g (x )＝x β，∵其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，∴14＝2β，解得β＝－2，∴g (x )＝x －2.(2)在同一坐标系下作出f (x )＝x 2与g (x )＝x －2的图象，如图所示．由图象可知：f (x )，g (x )的图象均过点(－1,1)与(1,1)． ∴①当x >1或x <－1时， f (x )>g (x )；②当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； ③当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．对应学生27方法优化2——如何解决二次函数与其它函数图象有公共点的问题 【命题研究】 通过对近三年高考试题的统计可以看出，本讲主要考查二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用，以及幂函数的图象及性质，重点考查数形结合与等价转化两种数学思想．以二次函数的图象为载体，利用数形结合的思想，解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值以及与此有关的参数范围的问题．【真题探究】► (2012·山东)设函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )． A ．当a <0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0B ．当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0D ．当a >0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0 [教你审题] 第1步 构造方程； 第2步 设出方程的根；第3步 由待定系数法确定方程的相关系数； 第4步 由对应系数相等确定x 1、x 2的关系式； 第5步 判断符号．[一般解法] 利用函数与方程思想求解．由题意知函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)的图象有且仅有两个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，等价于方程1x ＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)有两个不同的根x 1，x 2，即方程ax 3＋bx 2－1＝0有两个不同非零实根x 1，x 2， 因而可设ax 3＋bx 2－1＝a (x －x 1)2(x －x 2)，即ax 3＋bx 2－1＝a (x 3－2x 1x 2＋x 21x －x 2x 2＋2x 1x 2x －x 2x 21)， ∴b ＝a (－2x 1－x 2)，x 21＋2x 1x 2＝0，－ax 2x 21＝－1，∴x 1＋2x 2＝0，ax 2>0，当a >0时，x 2>0，∴x 1＋x 2＝－x 2<0，x 1<0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2>0.当a <0时，x 2<0，∴x 1＋x 2＝－x 2>0，x 1>0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2<0.[优美解法]不妨设a <0，在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，如图所示，其中点A (x 1，y 1)关于原点的对称点C 也在函数y ＝1x 的图象上，坐标为(－x 1，－y 1)，而点B 的坐标(x 2，y 2)在图象上也明显的显示出来．由图可知，当a <0时，x 2>－x 1，所以x 1＋x 2>0，y 2<－y 1，所以y 1＋y 2<0，同理当a >0时，则有x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0，故选B.[答案] B[反思] 准确使用数形结合思想，起到事半功倍的效果．【试一试】 已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，6 C ．[3,12] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 解析 依题意得f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，f (－1)＝2b －c ，方程f ′(x )＝0的两个根满足x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则有⎩⎨⎧ f ′(－2)＝12－8b ＋c ≥0，f ′(－1)＝3－4b ＋c ≤0，f ′(1)＝3＋4b ＋c ≤0，f ′(2)＝12＋8b ＋c ≥0，在坐标平面bOc 内画出该不等式组表示的平面区域D 及直线2b －c ＝0，平移直线2b －c ＝0，当该直线经过平面区域D 内的点(0，－3)与(0，－12)时，f (－1)＝2b －c 分别取得最小值与最大值，最小值与最大值分别是3,12，选C.答案C 对应学生235A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·临州质检)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )．A ．y ＝1x (x ∈R ，且x ≠0)B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x (x ∈R )C ．y ＝x (x ∈R )D ．y ＝－x 3(x ∈R )解析 对于f (x )＝－x 3，∵f (－x )＝－(－x )3＝－(－x 3)＝－f (x )，∴f (x )＝－x 3是奇函数，又∵y ＝x 3在R 上是增函数，∴y ＝－x 3在R 上是减函数．答案 D2．(2013·怀远模拟)如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是 ( )．A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1 C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 3，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析 因为y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，故应为图①；y ＝x 2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B 正确．答案 B3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为 ( )．A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)解析 f (a )＝g (b )⇔e a －1＝－b 2＋4b －3⇔e a ＝－b 2＋4b －2成立，故－b 2＋4b －2>0，解得2－2<b <2＋ 2.答案 B4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析 f (a )＋f (1)＝0⇔f (a )＋2＝0⇔⎩⎨⎧ a >0，2a ＋2＝0或⎩⎨⎧a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝ －3.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. 解析 设f (x )＝x α，由f (4)f (2)＝3，得4α2α＝3，解得α＝log 23，故f (x )＝x log 23，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝2－log 23＝2log 213＝13. 答案 136．若二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4ac －164a＝0⇒⎩⎨⎧a >0，ac －4＝0. 答案 a >0，ac ＝4三、解答题(共25分)7．(12分)设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y＝f (x )的表达式是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18.求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式．解 设在[－1,1)上，f (x )＝x n ，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18在函数图象上，求得n ＝3. 令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)，∴f (x －2k )＝(x －2k )3.又f (x )周期为2，∴f (x )＝f (x －2k )＝(x －2k )3.即f (x )＝(x －2k )3(k ∈Z )．8．(13分)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)，∴f (x )在[1，a ]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a ]∴⎩⎨⎧ f (1)＝a ，f (a )＝1，即⎩⎨⎧1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2. (2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2.又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1，∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，∴f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3，又a ≥2，∴2≤a ≤3. B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·合肥八中月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋ax ，x ≤1，ax 2＋x ，x >1， 则“a ≤－2”是“f (x )在R 上单调递减”的( )． A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若a ≤－2，则－a 2≥1，且－12a ≤14<1，则f (x )分别在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上为减函数，又函数在x ＝1处的值相同，故f (x )在R 上单调递减，若f (x )在R 上单调递减，则a <0，且⎩⎪⎨⎪⎧ －12a ≤1，－a 2≥1，得a ≤－2.故选C.答案 C2．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析 由题意得f (0)＝c ≥1，f (1)＝a ＋b ＋c ≥1.当a 越大，y ＝f (x )的开口越小，当a 越小，y ＝f (x )的开口越大，而y ＝f (x )的开口最大时，y ＝f (x )过(0,1)，(1,1)，则c ＝1，a ＋b ＋c ＝1.a ＋b ＝0，a ＝－b ，－b 2a ＝12，又b 2－4ac >0，a (a －4)>0，a >4，由于a 为正整数，即a 的最小值为5.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋2)在(2，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围为________．解析 函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋2)在(2，＋∞)上为增函数，包含两个方面：函数g (x )＝x 2－ax ＋2在(2，＋∞)上恒正，以及其在(2，＋∞)上的单调性．由于g (x )＝x 2－ax ＋2开口向上，因此在(2，＋∞)上只能是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，g (2)≥0，a 2≤2，∴1<a ≤3.答案 (1,3]4．(2012·北京)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，则m 的取值范围是________．解析 当x <1时，g (x )<0，当x >1时，g (x )>0，当x ＝1时，g (x )＝0，m ＝0不符合要求；当m >0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m >0时不符合第①条的要求；当m <0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4，函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎨⎧ m <0，2m <－(m ＋3)，2m <－4，－(m ＋3)<1或⎩⎨⎧ m <0，－(m ＋3)<2m ，2m <1，－(m ＋3)<－4，解第一个不等式组得－4<m <－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)．答案 (－4，－2)三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f (x )＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f (2)<f (3)．(1)求k 的值并求出相应的f (x )的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (2)<f (3)，∴f (x )在第一象限是增函数．故－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k <2.又∵k ∈Z ，∴k ＝0或k ＝1.当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2，∴f (x )＝x 2.(2)假设存在q >0满足题设，由(1)知g (x )＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1,2]．∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．而4q 2＋14q －g (－1)＝4q 2＋14q －(2－3q )＝(4q －1)24q ≥0，∴g (x )max ＝4q 2＋14q ＝178，g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.解得q ＝2，∴存在q ＝2满足题意．6．(13分)设函数f (x )＝x 2＋|2x －a |(x ∈R ，a 为实数)．(1)若f (x )为偶函数，求实数a 的值；(2)设a >2，求函数f (x )的最小值．解 (1)∵函数f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即|2x －a |＝|2x ＋a |，解得a ＝0.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －a ，x ≥12a ，x 2－2x ＋a ，x <12a ，①当x ≥12a 时，f (x )＝x 2＋2x －a ＝(x ＋1)2－(a ＋1)，由a >2，x ≥12a ，得x >1，故f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12a ，＋∞时单调递增，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24； ②当x <12a 时，f (x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋(a －1)，故当1<x <a 2时，f (x )单调递增，当x <1时，f (x )单调递减，则f (x )的最小值为f (1)＝a －1.由于a 24－(a －1)＝(a －2)24>0，故f (x )的最小值为a －1.。

一、选择题1．已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤2或a ≥3B ．2≤a ≤3C ．a ≤－3或a ≥－2D ．－3≤a ≤－2[答案] A[解析] 由于二次函数的开口向上，对称轴为x ＝a ，若使其在区间(2,3)上是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即a ≤2或a ≥3.2．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1,2a ]，则( )A ．a ＝13，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 [答案] A[解析] 由f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0.又定义域为[a －1,2a ]，∴(a －1)＋2a ＝0，∴a ＝13.已知函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与a 的值有关[解析] 根据函数的图像开口向下，对称轴为x ＝14，又依题意得x 1<0，x 2>0，且x 1与x 2关于y 轴对称，则x 1到x ＝14的距离大于x 2到x ＝14的距离，即14－x 1>x 2－14，故f (x 1)<f (x 2)，选C.3．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是( )[答案] D[解析] 若a <0，则只能是A 或B 选项，A 中－b2a <0，∴b <0，从而c >0，与A 图不符；B 中－b2a >0，∴b >0，∴c <0，与B 图不符．若a >0，则抛物线开口向上，只能是C 或D 选项，当b >0时，有c >0与C 、D 图不符，当b <0时，有c <0，此时－b2a >0，f (0)＝c <0，故选D.4． “a <0”是“方程ax 2＋1＝0有一个负数根”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分必要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] ①∵a <0，ax 2＋1＝0，∴x 2＝－1a >0，∴ax 2＋1＝0有一个负根，∴充分性成立．②若ax 2＋1＝0有一个负根，那么x 2＝－1a >0，可得a <0，∴必要性成立．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图像大致是( )[答案] C[解析] 选项A 中，一次函数的斜率a >0，而二次函数的开口向下，相矛盾，排除A ，同理排除D.y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b 2a ，当a >0，b >0时，x ＝－b2a <0，∴排除B.当a <0，b <0时，x ＝－b2a <0，∴C 符合．5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[答案] C[解析] f (x )＝－(x －2)2＋4＋a .由x ∈[0,1]可知当x ＝0时，f (x )取得最小值－2，即a ＝－2，所以f (x )＝－(x －2)2＋2，当x ＝1时，f (x )取得最大值1.若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 C ．[0,3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3 [答案] B[解析] f (x )＝x 2－3x －4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－254，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，又f (0)＝－4. 由题意结合函数的图像可得⎩⎪⎨⎪⎧32≤mm －32≤32－0解得32≤m ≤3.6．函数y ＝(cos x －a )2＋1，当cos x ＝a 时有最小值，当cos x ＝－1时有最大值，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[－1,1]C ．(－∞，0]D ．[0,1][答案] D[解析] ∵函数y ＝(cos x －a )2＋1，当cos x ＝a 时有最小值，∴－1≤a ≤1， ∵当cos x ＝－1时有最大值，∴a ≥0，∴0≤a ≤1. 已知f (x )＝x 2＋x ＋c ，若f (0)>0，f (p )<0，则( ) A ．f (p ＋1)>0 B ．f (p ＋1)<0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不确定[答案] A[解析] 二次函数的对称轴为x ＝－12 由f (0)>0，知f (－1)>0.又f (p )<0，则必有－1<p <0，∴p ＋1>0，∴f (p ＋1)>0. 二、填空题7．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．[答案] [0,2][解析] 依题意知，函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且开口方向向上，f (0)＝f (2)，结合图像可知，不等式f (m )≤f (0)的解集是[0,2]．8．若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图像关于直线x ＝1对称，则b ＝________.[答案] 6[解析] 二次函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3的图像关于直线x ＝1对称，说明二次函数的对称轴为x ＝1，即－a ＋22＝1，所以a ＝－4.而f (x )是定义在[a ，b ]上的，即a ，b 关于x ＝1也是对称的，所以a ＋b2＝1，∴b ＝6.三、解答题9．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数．[分析] 由题目条件知二次函数过(2，－1)，(－1，－1)两点，且知其最大值，所以可应用一般式、顶点式或两根式解题．[解析] 方法1：利用二次函数一般式． 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7，∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 方法2：利用二次函数的顶点式． 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，∴m ＝12. 又根据题意函数有最大值y ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4.∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.方法3：利用二次函数的两根式．由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8， 解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x －7.一、选择题1．(文)已知二次函数y ＝f (x )的图像过原点且它的导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示的一条直线，则y ＝f (x )的图像的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] f (x )过原点，所以设二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ，(a ≠0)，f ′(x )＝2ax ＋b ，由导函数图像知，a <0，b >0，∴f (x )的顶点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－b 2a，－b 24a 在第一象限． (理)已知函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，又f (3＋x )＝f (3－x )，当1≤x ≤5时，f (x )＝x 2－bx ＋2，若m ＝f (ln 53)，n ＝f (ln8)，p ＝f (b3)，则m 、n 、p 的大小关系是( )A ．n <p <mB ．n <m <pC ．p <m <nD ．p <n <m[答案] A[解析] ∵f (3＋x )＝f (3－x )，∴f (1)＝f (5)． ∴1－b ＋2＝25－5b ＋2.∴4b ＝24，b ＝6. ∵0<ln 53<1，∴4<4＋ln 53<5.∴f (ln 53)＝f (4＋ln 53)．f (b 3)＝f (63)＝f (2)． 2＝lne 2<ln8<lne 3<3， ∴f (ln8)<f (b 3)<f (ln 53)，即n <p <m .2．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] D[解析] 由题意得f (0)＝c ≥1，f (1)＝a ＋b ＋c ≥1，当a 越大时，y ＝f (x )的开口越小，当a 越小时，y ＝f (x )的开口越大，而y ＝f (x )的开口最大时，y＝f(x)过(0,1)，(1,1)，则c＝1，a＋b＋c＝1，a＋b＝0，a＝－b，此时－b2a＝12，另外还要满足b2－4ac>0，a(a－4)>0，a>4，则a的最小值为5，故选D.二、填空题3．已知定义在区间[0,3]上的函数f(x)＝kx2－2kx的最大值为3，那么实数k的取值集合为________．[答案]{1，－3}[解析]∵f(x)＝kx2－2kx＝k(x－1)2－k(1)当k>0时，二次函数开口向上，当x＝3时，f(x)有最大值，f(3)＝k·32－2k×3＝3k＝3⇒k＝1；(2)当k<0时，二次函数开口向下，当x＝1时，f(x)有最大值，f(1)＝k－2k＝－k＝3⇒k＝－3.故k的取值集合为{1，－3}．4．若二次函数f(x)的导函数f′(x)＝2x＋2m，且f(0)＝m2－m，则f(x)＝__________；若x∈[－2,0]，存在f(x)≤0，则m的取值范围是________．[答案]f(x)＝x2＋2mx＋m2－m[0,4][解析]设f(x)＝x2＋2mx＋b.由f(0)＝m2－m求出b，∴f(x)＝x2＋2mx ＋m2－m.先求出[－2,0]内f(x)>0恒成立，m∈(－∞，0)∪(4，＋∞)，∴m ∈[0,4]． 三、解答题5．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在0≤x ≤1时有最大值2，求a 的值．[分析] 作出函数图像，因对称轴x ＝a 位置不定，故分类讨论对称轴位置以确定f (x )在[0,1]上的单调情况．[解析] 当对称轴x ＝a <0时，如图1所示． 当x ＝0时，y 有最大值，y max ＝f (0)＝1－a . ∴1－a ＝2，即a ＝－1，且满足a <0，∴a ＝－1.图1 图2当0≤a ≤1时，如图2所示．即当x ＝a 时，y 有最大值， y max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋1. ∴a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1±52.∵0≤a ≤1，∴a ＝1±52舍去．当a >1，如图3所示．图3由图可知，当x＝1时y有最大值，y max＝f(1)＝2a－a＝2，∴a＝2，且满足a>1，∴a＝2.综上可知，a的值为－1或2.6．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围．[解析](1)∵f(x)＋2x>0的解集为(1,3)，∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，即f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a. ①由f(x)＋6a＝0，得ax2－(2＋4a)＋9a＝0. ②∵方程②有两个相等的根，∴Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15.由于a <0，故舍去a ＝1，将a ＝－15代入①，得f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a＝a ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a . 由a <0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a>0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＋4a ＋1a >0，a <0，解得a <－2－3或－2＋3<a <0.故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．7．设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，求证：(1)a >0且－2<b a <－1；(2)方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根．[证明] (1)因为f (0)>0，f (1)>0，所以c >0,3a ＋2b ＋c >0.由条件a ＋b ＋c ＝0，消去b ，得a >c >0；由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c ，得a ＋b <0,2a ＋b >0.故－2<b a <－1.(2)抛物线f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c 的顶点坐标为(－b 3a ，3ac －b 23a )，在－2<b a <－1的两边乘以－13，得13<－b 3a <23.又因为f (0)>0，f (1)>0，而f (－b 3a )＝－a 2＋c 2－ac 3a <0，所以方程f (x )＝0在区间(0，－b 3a )与(－b3a ，1)内分别有一实根．故方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根．。

word- 1 - / 1 B5 二次函数【数学理卷·2015届某某省某某市十二县（市）高三上学期期中联考（201411）】17. (本小题满分12分)已知函数b ax ax x g ++-=12)(2（0>a ）在区间]3,2[上有最大值4和最小值1． 设xx g x f )()(=． （1）求a 、b 的值；（2）若不等式02)2(≥⋅-x x k f 在]1,1[-∈x 上有解，某某数k 的取值X 围.【知识点】二次函数在闭区间上的最值；函数的零点与方程根的关系．B5 B9【答案】【解析】(1)⎩⎨⎧==01b a (2)]1,(-∞解析：（1）a b x a x g -++-=1)1()(2，因为0>a ，所以)(x g 在区间]3,2[上是增函数，故⎩⎨⎧==4)3(1)2(g g ，解得⎩⎨⎧==01b a ． ………………5分（2）由已知可得21)(-+=x x x f ，所以02)2(≥⋅-x x k f 可化为x x x k 22212⋅≥-+， 化为k x x ≥⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+2122112，令x t 21=，则122+-≤t t k ，因]1,1[-∈x ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21t ， 记=)(t h 122+-t t ，因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21t ，故1)(max =t h ， 所以k 的取值X 围是]1,(-∞．……12分【思路点拨】（1）由函数a b x a x g -++-=1)1()(2，0>a ，所以)(x g 在区间]3,2[上是增函数，故⎩⎨⎧==4)3(1)2(g g ，由此解得a 、b 的值．（2）不等式可化为x x x k 22212⋅≥-+，故有122+-≤t t k ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21t ，求出=)(t h 122+-t t 的最大值，从而求得k 的取值X 围．。

2014届高三数学一轮复习精讲精练：2.6二次函数（2）若2a =时，求)(x f 的最小值． 分析：去绝对值．解：（1）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=-此时，)(x f 为偶函数． 当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a aa f ，此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．（2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=212 3)(22x x x x x x x f由于)(x f 在),2[+∞上的最小值为3)2(=f ，在)2,(-∞内的最小值为43)21(=f ． 故函数)(x f 在),(∞-∞内的最小值为43． 点评：注意分类讨论；分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值． 例2.函数()f x 212ax x a =+-()a R ∈在区间[2,2]的最大值记为)(a g ，求)(a g 的表达式．分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况．解：∵直线1x a =-是抛物线()f x 212ax x a =+-的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：（1）当0>a 时，函数()y f x =，[2,2]x ∈的图象是开口向上的抛物线的一段， 由10x a=-<知()f x 在[2,2]x ∈上单调递增，故)(a g (2)f =2+=a ；（2）当0=a 时，()f x x =，[2,2]x ∈，有)(a g =2； （3）当0<a 时，，函数()y f x =，[2,2]x ∈的图象是开口向下的抛物线的一段，若1x a =-]2,0(∈即22-≤a 时，)(a g (2)2f == 若1x a=-]2,2(∈即]21,22(--∈a 时，)(a g 11()2f a a a=-=--， 若1x a =-),2(+∞∈即)0,21(-∈a 时，)(a g (2)f =2+=a ．综上所述，有)(a g =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-≤<---->+)22(2)2122(,21)21(2a a a a a a ．点评：解答本题应注意两点：一是对0a =时不能遗漏；二是对0a ≠时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向，对称轴的位置及()y f x =在区间[2,2]上的单调性． 【反馈演练】 1．函数[)()+∞∈++=,02x c bx xy 是单调函数的充要条件是b ≥．2．已知二次函数的图像顶点为(1,16)A ，且图像在x 轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为2215y x x =-++． 3. 设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列四图之一：则a 的值为 （ B ）A ．1B ．－1C ．251-- D ．251+-4．若不等式210xax ++≥对于一切1(0,)2x ∈成立，则a 的取值范围是5[,)2-+∞． 5.若关于x 的方程240xmx -+=在[1,1]-有解，则实数m的取值范围是(,5][5,)-∞-⋃+∞．6.已知函数2()223f x x ax =-+在[1,1]-有最小值，记作()g a ．（1）求()g a 的表达式； （2）求()g a 的最大值． 解：（1）由2()223f x x ax =-+知对称轴方程为2a x =， 当12a ≤-时，即2a ≤-时，()(1)25g a f a =-=+； 当112a-<<，即22a -<<时，2()()322a a g a f =-=-；当12a ≥，即2a ≥时，()(1)52g a f a ==-；综上，225,(2)()3,(22)252,(2)a a ag a a a a +≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩．（2）当2a ≤-时，()1g a ≤；当22a -<<时，()3g a ≤；当2a ≥时，()1g a ≤．故当0a =时，()g a 的最大值为3．7. 分别根据下列条件,求实数a 的值：（1）函数2()21f x x ax a =-++-在在[0,1]上有最大值2； （2）函数2()21f x ax ax =++在在[3,2]-上有最大值4． 解：（1）当0a <时，max()(0)f x f =，令12a -=，则1a =-；当01a ≤≤时，max()()f x f a =，令()2f a =，152a ±∴=；当1a >时，max()(1)f x f =，即2a =．综上，可得1a =-或2a =． （2）当0a >时，max()(2)f x f =，即814a +=，则38a =；当0a <时，max()(1)f x f =-，即14a -=，则3a =-．综上，38a =或3a =-．8. 已知函数2(),()f x x a x R =+∈．（1）对任意12,x x R ∈，比较121[()()]2f x f x +与12()2x xf +的大小； （2）若[1,1]x ∈-时，有()1f x ≤，求实数a 的取值范围．解：（1）对任意1x ，2x R ∈，212121211[()()]()()224x x f x f x f x x ++-=-≥故12121[()()]()22x xf x f x f ++≥． （2）又()1f x ≤，得1()1f x -≤≤，即211x a -≤+≤，得2max 2min (1),[1,1](1),[1,1]a x x a x x ⎧≥--∈-⎪⎨≤-+∈-⎪⎩，解得10a -≤≤．。

第六节二次函数与幂函数[知识能否忆起]一、常用幂函数的图象与性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)二、二次函数1．二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函数的图象和性质a>0a<0图象图象①对称轴：x＝－b2a ；②顶点：⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a[小题能否全取]1．若f (x )既是幂函数又是二次函数，则f (x )可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝5x 2C ．f (x )＝－x 2D ．f (x )＝x 2解析：选D 形如f (x )＝x α的函数是幂函数，其中α是常数．2．(教材习题改编)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析：选A 在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1,3.3．(教材习题改编)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－120C.⎝⎛⎭⎪⎫120，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0得a >120.4．(教材习题改编)已知点M ⎝⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为________． 解析：设幂函数的解析式为y ＝x α，则3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33α，得α＝－2.故y ＝x －2. 答案：y ＝x －25．如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6.则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5. 答案：51.幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 2．与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.[注意] 当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．幂函数的图象与性质典题导入[例1] 已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________. [自主解答] ∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1. [答案] －1由题悟法1．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．以题试法1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：选B 由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R ，当x >0时，图象是向下凸的，结合选项知选B.(2)(2013·某某模拟)若a <0，则下列不等式成立的是( )A ．2a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >(0.2)aB ．(0.2)a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>2aC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >(0.2)a >2a D ．2a >(0.2)a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a解析：选B 若a <0，则幂函数y ＝x a 在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >0.所以(0.2)a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >2a .求二次函数的解析式典题导入[例2] 已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1. (1)求f (x )解析式；(2)若g (x )与f (x )图象关于原点对称，求g (x )解析式．[自主解答] (1)由于f (x )有两个零点0和－2， 所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a ， 由于f (x )有最小值－1，所以必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a ＝－1，解得a ＝1.因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x .(2)设点P (x ，y )是函数g (x )图象上任一点，它关于原点对称的点P ′(－x ，－y )必在f (x )图象上， 所以－y ＝(－x )2＋2(－x )， 即－y ＝x 2－2x ，y ＝－x 2＋2x ，故g (x )＝－x 2＋2x .由题悟法求二次函数的解析式常用待定系数法．合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法．以题试法2．设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)，且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f (x )的草图； (3)写出函数f (x )的值域．解：(1)设顶点为P (3,4)且过点A (2,2)的抛物线的方程为y ＝a (x －3)2＋4，将(2,2)代入可得a ＝－2， 则y ＝－2(x －3)2＋4，即x >2时，f (x )＝－2x 2＋12x －14. 当x <－2时，即－x >2.又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝－2×(－x )2－12x －14， 即f (x )＝－2x 2－12x －14.所以函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式为f (x )＝－2x 2－12x －14.(2)函数f (x )的图象如图，(3)由图象可知，函数f (x )的值域为(－∞，4]．二次函数的图象与性质典题导入[例3] 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)某某数a 的取值X 围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数．[自主解答] (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]． 所以f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，故f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.故a 的取值X 围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．本例条件不变，求当a ＝1时，f (|x |)的单调区间． 解：当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，则f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，故f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．由题悟法解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法．以题试法3．(2012·某某调研)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________．解析：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 当a >1时，y max ＝a ；当0≤a ≤1时，y max ＝a 2－a ＋1； 当a ＜0时，y max ＝1－a .根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1. 答案：2或－1二次函数的综合问题典题导入[例4] (2012·某某月考)已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，某某数b 的取值X 围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，某某数m 的取值X 围． [自主解答] (1)∃x ∈R ，f (x )<bg (x )⇒∃x ∈R ，x 2－bx ＋b <0⇒(－b )2－4b >0⇒b <0或b >4.故b 的取值X 围为(－∞，0)∪(4，＋∞)． (2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4.①当Δ≤0，即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎪⎨⎪⎧m2≤0，－255≤m ≤255⇒－255≤m ≤0.②当Δ>0，即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)．若m2≥1，则x 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1，F 0＝1－m 2≤0⇒m ≥2；若m2≤0，则x 2≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0，F 0＝1－m 2≥0⇒－1≤m ≤－255.综上所述，m 的取值X 围为[－1,0]∪[2，＋∞)．由题悟法二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关“三个二次”的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．以题试法4．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，某某数m 的取值X 围． 解：(1)由f (0)＝1，得c ＝1.即f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，则a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1， 由－m －1>0得，m <－1.因此满足条件的实数m 的取值X 围是(－∞，－1)．1．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：x 1 12 f (x )122则不等式f (|x |)≤2的解集是( )A ．{x |0<x ≤2}B ．{x |0≤x ≤4}C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |－4≤x ≤4}解析：选D 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22⇒α＝12，即f (x )＝x 12，故f (|x |)≤2⇒|x |12≤2⇒|x |≤4，故其解集为{x |－4≤x ≤4}．2．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：选D ∵a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0， ∴a >0，c <0.∴图象开口向上与y 轴交于负半轴．3．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1aD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b ) 解析：选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a .4．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( )A ．f (－3)<c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<c <f (－3)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3)<cD ．c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3)解析：选D 由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称，则f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (2)＝f (0)＝c . 5．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值X 围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]解析：选D 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)≤0，x ∈[0,1]，所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.6．若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－52B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，＋∞解析：选B 设f (x )＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f (1)<0，即1－2m ＋4<0，解得m >52.7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增； ③它们的图象关于直线y ＝x 对称； ④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)； ⑥两个函数的图象都是抛物线型． 其中正确的有________．解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较． 答案：①②⑤⑥8．(2012·西城二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f (x －1)<x 的解集为________．解析：因为f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，所以b ＝0，则f (x )＝x 2＋1，解不等式(x －1)2＋1<x ，即x 2－3x ＋2<0得1<x <2.答案：0 {x |1<x <2}9．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________． 解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12，令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2，则t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －232＋23.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34. 答案：3410．如果幂函数f (x )＝x －12p 2＋p ＋32(p ∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．求p 的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．解：∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴－12p 2＋p ＋32>0，即p 2－2p －3<0.∴－1<p <3.又∵f (x )是偶函数且p ∈Z ， ∴p ＝1，故f (x )＝x 2.11．已知二次函数f (x )的图象过点A (－1,0)、B (3,0)、C (1，－8)． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在x ∈[0,3]上的最值； (3)求不等式f (x )≥0的解集．解：(1)由题意可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)， 将C (1，－8)代入得－8＝a (1＋1)(1－3)，得a ＝2. 即f (x )＝2(x ＋1)(x －3)＝2x 2－4x －6. (2)f (x )＝2(x －1)2－8，当x ∈[0,3]时，由二次函数图象知，f (x )min ＝f (1)＝－8，f (x )max ＝f (3)＝0.(3)f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1，或x ≥3}．12．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－m ·x 在[2,4]上单调，求m 的取值X 围． 解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数， 故⎩⎪⎨⎪⎧f 3＝5，f2＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f 3＝2，f 2＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2.g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2，∵g (x )在[2,4]上单调， ∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.1．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13B.12 C.34D ．1 解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.2．(2012·某某质检)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值X 围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－23．(2013·滨州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0，－f x ，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值X 围． 解：(1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2.则f (x )＝(x ＋1)2.则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x >0，－x ＋12，x <0.故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2，故－2≤b ≤0.1．比较下列各组中数值的大小． (1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)4.125，3.8－25，(－1.4)35；(4)0.20.5,0.40.3.解：(1)函数y ＝3x 是增函数，故30.8>30.7. (2)y ＝x 3是增函数，故0.213<0.233.(3)4.125>1,0<3.8－25<1，而(－1.4)35<0，故4.125>3.8－25>(－1.4)35.(4)先比较0.20.5与0.20.3，再比较0.20.3与0.40.3，y ＝0.2x 是减函数，故0.20.5<0.20.3；y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数，故0.20.3<0.40.3.则0.20.5<0.40.3.2．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 当－b2a <0时，ab >0，从而c >0，可排除A ，C ；当－b2a >0时，ab <0，从而c <0，可排除B ，选D.3．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)试讨论函数f (x )的单调性；(2)若13≤a ≤1，且f (x )在[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )，求g (a )的表达式；(3)在(2)的条件下，求证：g (a )≥12.解：(1)当a ＝0时，函数f (x )＝－2x ＋1在(－∞，＋∞)上为减函数； 当a >0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向上，对称轴为x ＝1a，故函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1a 上为减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞上为增函数；当a <0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向下，对称轴为x ＝1a，故函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1a 上为增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞上为减函数．(2)∵f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a 2＋1－1a，由13≤a ≤1得1≤1a ≤3，∴N (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1－1a . 当1≤1a <2，即12<a ≤1时，M (a )＝f (3)＝9a －5，故g (a )＝9a ＋1a－6；当2≤1a ≤3，即13≤a ≤12时，M (a )＝f (1)＝a －1，故g (a )＝a ＋1a－2.∴g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1a －2，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，9a ＋1a －6，a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.(3)证明：当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12时，g ′(a )＝1－1a 2<0，∴函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上为减函数；当a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，g ′(a )＝9－1a 2>0， ∴函数g (a )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上为增函数，∴当a ＝12时，g (a )取最小值，g (a )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12.故g (a )≥12.。

2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：二次函数1对称轴例1.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ） A.x=1 B.x=-2 C.x=3 D.x=-32.若抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是,2-=x 则=b a （ ） A.2 B.21 C.4 D.41函数图像1.如图1所示二次函数c bx ax y ++=2的图象，则有（ ）图-1 图-2A.a+b+c <0B.a+b+c=0C.a+b+c >0D.a+b+c 的符号不定 2.如图2是抛物线c bx ax y ++=2的图象，则下列完全符合条件的是（ ） A.a <0，b <0，c >0，b2<4ac B.a <0，b >0，c <0，b2<4ac C.a <0，b >0，c >0，b2>4ac D.a >0，b <0，c <0，b2>4ac 练习1．抛物线7)1(82-+--=m x m x y 的顶点在x 轴上，则m 的值等于 . 2.若函数x ay =的图象经过点（1，-2），那么抛物线3)1(2++-+=a x a ax y 的性 质说得全对的是（ ）开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与正半y 轴相交 开口向下，对称轴在y 轴左侧，图象与正半y 轴相交 开口向上，对称轴在y 轴左侧，图象与负半y 轴相交 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与负半y 轴相交3.抛物线4)3(22+-=x y 向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为 （ ）A.6)4(22+-=x yB.2)4(22+-=x yC.2)2(22+-=x yD.2)3(32+-=x y 二次函数单调性例．函数2([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是 （ ） ()A 0b ≥()B 0b ≤()C 0b >()D 0b <分析：对称轴2b x =-，∵函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞是单调函数，∴对称轴2bx =-在区间[0,)+∞的左边，即02b -≤，得0b ≥．变式 1已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的X 围是（ ）（A ）25)1(≥f (B)25)1(=f (C)25)1(≤f (D)25)1(>f2已知函数y ＝) 3x 1 ( ax 4x 2≤≤-是单调递增函数, 则实数a 的取值X 围是 ( ) A. ]21 ,(-∞ B. ]1 ,(-∞ C. ]23 ,21[ D. ),23[∞+韦达定理一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x1，x2，那么a bx x -=+21，a c x x =21 (2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P ， x1x2=q例 求23290x x +-=的两个根的（1）倒数和（2）平方和。

第五节 二次函数与幂函数[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．二次函数的解析式(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h ，k )，则其解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； (3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x 1，x 2，则其解析式为f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．2．二次函数的图象和性质上递减[探究] 1.ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)与ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件分别是什么？其几何意义如何？提示：(1)ax 2＋bx ＋c >0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，其几何意义是抛物线恒在x 轴上方；(2)ax 2＋bx ＋c <0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0，其几何意义是抛物线恒在x 轴下方．3．幂函数的定义形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． 4．五种幂函数的图象5．五种幂函数的性质[探究] 2.为何幂函数在第四象限没有图象？幂函数的图象最多出现在几个象限内？ 提示：幂函数y ＝x α，当x >0时，根据幂运算，幂函数y ＝x α>0恒成立，所以幂函数在第四象限没有图象；幂函数的图象最多只能出现在两个象限内．3．函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 在区间(0,1)上图象的上、下位置与幂指数的大小有什么关系？提示：在区间(0,1)上幂指数越大其图象越靠下．[自测·牛刀小试]1．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝－(x －1)2＋1 C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－1解析：选D 由图象开口向上且关于直线x ＝1对称，可排除A 、B 选项；由图象过点(0,0)可排除C 选项．2．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎪⎫120，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0解析：选C ∵函数f (x )＝ax 2＋x ＋5在x 轴上方，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－20a <0，即a >120.3．(教材习题改编)已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．(1,2]D ．(1,2)解析：选B 如图，由图象可知m 的取值范围[1,2]．4．(教材习题改编)如图中曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析：选B 由幂函数图象及其单调性之间的关系可知，曲线C 1，C 2，C 3，C 4所对应的n 依次为2，12，－12，－2.5．(教材习题改编)下列函数是幂函数的序号是________． ①y ＝2x ；②y ＝2x －1；③y ＝(x ＋2)2；④y ＝3x 2； ⑤y ＝1x.解析：y ＝3x 2＝x 23，y ＝1x ＝x －12故④⑤为幂函数．答案：④⑤[例1] 已知二次函数f (x )同时满足以下条件： (1)f (1＋x )＝f (1－x )； (2)f (x )的最大值为15；(3)f (x )＝0的两根的立方和等于17. 求f (x )的解析式．[自主解答] 依条件，设f (x )＝a (x －1)2＋15(a <0)， 即f (x )＝ax 2－2ax ＋a ＋15.令f (x )＝0，即ax 2－2ax ＋a ＋15＝0， 则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝1＋15a.而x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2) ＝23－3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15a ＝2－90a.即2－90a＝17，则a ＝－6.故f (x )＝－6x 2＋12x ＋9.在本例条件下，若g (x )与f (x )的图象关于坐标原点对称，求g (x )的解析式． 解：设p (x ，y )是函数g (x )图象上的任意一点，它关于原点对称的点p ′(－x ，－y )必在f (x )的图象上．则－y ＝－6(－x )2＋12(－x )＋9， 即y ＝6x 2＋12x －9.故g (x )＝6x 2＋12x －9. ———————————————————二次函数解析式的求法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：1．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．解：∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)． 又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)·(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.[例2] (2013·盐城模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． [自主解答] (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1.又∵x ∈[－4,6]，∴函数f (x )在[－4,2]上为减函数，在[2,6]上为增函数． ∴f (x )max ＝f (－4)＝(－4－2)2－1＝35，f (x )min ＝f (2)＝－1.(2)∵函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3的对称轴为x ＝－a ， 且f (x )在[－4,6]上是单调函数， ∴－a ≥6或－a ≤－4，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．——————————————————— 解决二次函数图象与性质时的注意点(1)分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等．2抛物线的开口，对称轴位置定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论.2．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－m ·x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f 3＝5，f 2＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f 3＝2，f 2＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2.g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2，∵g (x )在[2,4]上单调， ∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.[例3] 已知幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫18，24，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1<x 2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x 1f (x 1)>x 2f (x 2)；②x 1f (x 1)<x 2f (x 2)； ③f x 1x 1>f x 2x 2；④f x 1x 1<f x 2x 2. 其中正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．②③[自主解答] 法一：依题意，设f (x )＝x α，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫18α＝24，即⎝ ⎛⎭⎪⎫18α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1812，所以α＝12，于是f (x )＝x 12. 由于函数f (x )＝x 12在定义域[0，＋∞)内单调递增，所以当x 1<x 2时，必有f (x 1)<f (x 2)，从而有x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，故②正确；又因为f x 1x 1，f x 2x 2分别表示直线OP 、OQ 的斜率，结合函数图象，容易得出直线OP 的斜率大于直线OQ 的斜率，故f x 1x 1>f x 2x 2，所以③正确．法二：设f (x )＝x α，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫18α＝24即⎝ ⎛⎭⎪⎫18α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1812，所以α＝12，所以f (x )＝x 12.设g (x )＝xf (x )＝x 32，因为g (x )＝x 32在定义域内是增函数，当x 1<x 2时，必有x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，所以②正确；设h (x )＝f x x即h (x )＝x 12-，因为h (x )＝x 12-在定义域内是减函数，所以当x 1<x 2时，f x 1x 1>f x 2x 2，所以③正确． [答案] D ———————————————————幂函数y ＝x α图象的特征(1)α的正负；α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸． (3)幂函数的图象最多只能出现在两个象限内．(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．3．幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <3B ．0C ．1D ．2解析：选C 从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3<0，即－1<m <3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．4．当0<x <1时，f (x )＝x 1.1，g (x )＝x 0.9，h (x )＝x －2的大小关系是________．解析：如图所示为函数f (x )，g (x )，h (x )在(0,1)上的图象，由此可知h (x )>g (x )>f (x )．答案：h (x )>g (x )>f (x )1类最值——二次函数在给定区间上的最值二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，且只能在区间的端点或顶点处取得．对于“轴变区间定”和“轴定区间变”两种情形，要借助二次函数的图象特征，抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合函数的单调性进行分类讨论求解．2种思想——数形结合与分类讨论思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次不等式根的大小等．5种方法——二次函数对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝x 1＋x 22.(2)对于二次函数y ＝f (x )定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝a (a 为常数)．(3)对于二次函数y ＝f (x )定义域内所有x ，都有f (x ＋2a )＝f (－x )，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝a (a 为常数)．注意：(2)(3)中，f (a ＋x )＝f (a －x )与f (x ＋2a )＝f (－x )是等价的． (4)利用配方法求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴方程为x ＝－b2a.(5)利用方程根法求对称轴方程．若二次函数y ＝f (x )对应方程f (x )＝0的两根为x 1，x 2，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝x 1＋x 22.数学思想——分类讨论在求二次函数最值中的应用二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的最值情况进行分类讨论．[典例] (2013·青岛模拟)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值． [解] (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a＝－1a.②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.[题后悟道]二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (不妨设a >0)在区间[m ，n ]上的最大或最小值如下： (1)当－b2a∈[m ，n ]，即对称轴在所给区间内时，f (x )的最小值在对称轴处取得，其值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ，f (x )的最大值在离对称轴较远的端点处取得，它是f (m )，f (n )中的较大者．(2)当－b2a∉[m ，n ]，即给定的区间在对称轴的一侧时，f (x )在[m ，n ]上是单调函数．若－b 2a <m ，f (x )在[m ，n ]上是增函数，f (x )的最小值是f (m )，最大值是f (n )；若n <－b2a ，f (x )在[m ，n ]上是减函数，f (x )的最小值是f (n )，最大值是f (m )．[变式训练]1．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．解：∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．而－2<a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1.2．(2013·玉林模拟)是否存在实数a ，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．解：f (x )＝x 2－2ax ＋a ＝(x －a )2＋a －a 2. 当a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝1＋3a ＝－2，f 1＝1－a ，解得a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝a －a 2＝－2，f 1＝1－a ＝2，解得a ＝－1.当0<a ≤1时，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝a －a 2＝－2，f －1＝1＋3a ＝2，a 不存在．当a >1时，f (x )在[－1,1]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝1＋3a ＝2，f 1＝1－a ，a 不存在．综上可知a ＝－1.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．已知点⎝⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数解析：选A 设f (x )＝x α，由已知得⎝⎛⎭⎪⎫33α＝3， 解得α＝－1，因此f (x )＝x －1，易知该函数为奇函数．2．(2013·临沂模拟)已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )解析：选D ∵a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，∴a >0，c <0，∴y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，且与y 轴的交点(0，c )在负半轴上．3．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (1＋x )＝f (－x )，则下列不等式中成立的是( ) A ．f (－2)<f (0)<f (2) B ．f (0)<f (－2)<f (2) C ．f (0)<f (2)<f (－2) D ．f (2)<f (0)<f (－2)解析：选C ∵f (1＋x )＝f (－x )， ∴(x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝x 2－bx ＋c . ∴x 2＋(2＋b )x ＋1＋b ＋c ＝x 2－bx ＋c . ∴2＋b ＝－b ，即b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋c ，其图象的对称轴为x ＝12.∴f (0)<f (2)<f (－2)．4．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( ) A ．－b2aB ．－b aC ．cD.4ac －b 24a解析：选C ∵f (x 1)＝f (x 2)且f (x )的图象关于x ＝－b 2a 对称，∴x 1＋x 2＝－b a. ∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝a ·b 2a 2－b ·b a ＋c ＝c .5．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c ，若f (0)＞0，f (p )＜0，则必有( ) A ．f (p ＋1)＞0 B ．f (p ＋1)＜0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定解析：选A 函数f (x )＝x 2＋x ＋c 的对称轴为x ＝－12，又因为f (0)＞0，f (p )＜0，故－1＜p ＜0，p ＋1＞0，所以f (p ＋1)＞0.6．(2013·温州模拟)方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B ．(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－235解析：选C 令f (x )＝x 2＋ax －2，由题意，知f (x )图象与x 轴在[1,5]上有交点，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f 5≥0.解得－235≤a ≤1.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2＝4b ，所以x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＝－a ，m m ＋6＝a 24－c ，解得c ＝9.答案：98．若二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c 的值域是[0，＋∞)，则a ＋c 的最小值为________． 解析：由已知a >0，4ac －44a ＝0，∴ac ＝1，c >0.∴a ＋c ≥2ac ＝2.当且仅当a ＝c ＝1时，取等号， ∴a ＋c 的最小值为2. 答案：29．已知函数y ＝mx 2＋m －3x ＋1的值域是[0，＋∞)，则实数m 的取值范围是________．解析：当m ＝0时，y ＝－3x ＋1，显然成立． 当m ≠0时，要使y ∈[0，＋∞)，只要⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m －32－4×m ×1≥0，解得0＜m ≤1或m ≥9.综上m 的取值范围是[0,1]∪[9，＋∞)． 答案：[0,1]∪[9，＋∞)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且f (x )>－2x 的解集为{x |1<x <3}，方程f (x )＋6a ＝0有两相等实根，求f (x )的解析式．解：设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)(a <0)， 则f (x )＝ax 2－4ax ＋3a －2x ，f (x )＋6a ＝ax 2－(4a ＋2)x ＋9a ，Δ＝(4a ＋2)2－36a 2＝0，16a 2＋16a ＋4－36a 2＝0,20a 2－16a －4＝0， 5a 2－4a －1＝0，(5a ＋1)(a －1)＝0， 解得a ＝－15，或a ＝1(舍去)．因此f (x )的解析式为f (x )＝－15x 2－65x －35.11．已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有最大值－5，求a 的值及函数表达式f (x )．解：∵f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ，∴抛物线顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－4a . ①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )取最大值－4－a 2.令－4－a 2＝－5，得a 2＝1，a ＝±1<2(舍去)； ②当0<a 2<1，即0<a <2时，x ＝a2时，f (x )取最大值为－4a .令－4a ＝－5，得a ＝54∈(0,2)；③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]内递减，∴x ＝0时，f (x )取最大值为－4a －a 2，令－4a －a 2＝－5，得a 2＋4a －5＝0，解得a ＝－5，或a ＝1，其中－5∈(－∞，0]． 综上所述，a ＝54或a ＝－5时，f (x )在[0,1]内有最大值－5.∴f (x )＝－4x 2＋5x －10516或f (x )＝－4x 2－20x －5.12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0，－f x ，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，∵f (－1)＝a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x >0，－x ＋12，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在x ∈(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在x ∈(0,1]上恒成立，根据单调性可得1x－x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2，所以－2≤b ≤0.故b 的取值范围为[－2,0]1．已知函数f (x )＝ax 2－(3－a )x ＋1，g (x )＝x ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )至少有一个为正数，则实数a 的取值范围是( )A ．[0,3)B ．[3,9)C ．[1,9)D ．[0,9)解析：选D 据题意只需转化为当x ≤0时，ax 2－(3－a )x ＋1>0恒成立即可．结合f (x )＝ax 2－(3－a )x ＋1的图象，当a ＝0时验证知符合条件．当a ≠0时必有a >0，当x ＝3－a 2a ≥0时，函数在(－∞，0)上单调递减，故要使原不等式恒成立，只需f (0)>0即可，解得0＜a ≤3；当x ＝3－a 2a <0时，只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a 2a >0即可，解得3<a <9，综上所述可得a 的取值范围是0≤a ＜9.2．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？解：∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1.3．已知f (x )＝x 2＋3x －5，x ∈[t ，t ＋1]，若f (x )的最小值为h (t )，写出h (t )的表达式．解：如图所示，函数图象的对称轴为x ＝－32，(1)当t ＋1≤－32，即t ≤－52时，h (t )＝f (t ＋1)＝(t ＋1)2＋3(t ＋1)－5，即h (t )＝t 2＋5t －1⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≤－52.(2)当t ≤－32<t ＋1，即－52＜t ≤－32时，h (t )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－294.(3)当t >－32时，h (t )＝f (t )＝t 2＋3t －5.综上可得，h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋5t －1⎝⎛⎭⎪⎫t ≤－52，－294⎝ ⎛⎭⎪⎫－52<t ≤－32，t 2＋3t －5⎝ ⎛⎭⎪⎫t >－32.4．设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)，且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f (x )的草图；(3)写出函数f (x )的值域．解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，所以y＝－2(x－3)2＋4，即x>2时，f(x)＝－2x2＋12x－14.又f(x)为偶函数，当x<－2，即－x>2时，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，即f(x)＝－2x2－12x－14.故函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为f(x)＝－2x2－12x－14.(2)函数f(x)的图象如图：(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]．。