数列的基本性质和常用结论

数列的基本性质和常用结论

一、等差数列 1.等差数列的判定方法

（1）用定义：对任意的n ，都有1n n a a d +-=（d 为常数）⇔{}n a 为等差数列（定义法）

（2）122n n n a a a ++=+（n ∈*

N ）⇔{}n a 为等差数列（等差中项）

(3) n a =pn+q (p ， q 为常数且p ≠0)（即为关于n 的一次函数） ⇔{}n a 为等差数列

(4) 2

n S pn qn =+ (p ， q 为常数)（即为关于n 的不含常数项的二次函数） ⇔{}n a 为等差数列

2.常用性质

(1) 若数列{}n a ，{}n b 为等差数列，则数列{}n a k +，{}n k a ，{}n n a b ±，{}n ka b +(k ， b 为非零常数)

均为等差数列.

(2) 对任何m ，n ∈*

N ，在等差数列{}n a 中，有()n m a a n m d =+-，特别的，当m=1时，便得到等差数

列的通项公式。另外可得公差d=

11n a a n --，或d=n m

a a n m

-- (3) 若m+n=p+q (m ，n ，p ，q ∈*

N )，则n m a a +=p q a a +.特别的，当n+m=2k 时，得n m a a +=2k a

(4) {}n a 是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即

121321n n n i n i a a a a a a a a --+-+=+=+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+=⋅⋅⋅。

(5) 在等差数列{}n a 中，每隔k(k ∈*

N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公

差为(k+1)d(例如：1a ，4a ，7a ，10a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍为公差为3d 的等差数列)

(6) 如果{}n a 是等差数列，公差为d ，那么n a ，1n a -，⋅⋅⋅⋅⋅⋅2a ，1a 也是等差数列，其公差为d -. (7) 若数列{}n a 为等差数列，则记12k k S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，2122k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，

3221223k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，则k S ，2k k S S -，32k k S S -仍成等差数列，且公差为2k d

3.等差数列前n 项和公式：2111()(1)()2222

n n n a a n n d d

S na d n a n +-=

=+=+- 4.等差数列前n 项和n S 常用的基本性质：

（1）在等差数列{}n a 中，当项数为2n (n ∈*

N )时，1

,

n n S a

S S nd S a +-==奇偶奇偶(即中间两项之比)，

当项数为2n +1(n ∈*

N )时，11

,

n S n S S a S n

++-==

奇偶奇偶(即奇偶项数之比) (2).若等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和为,n n S T (n 为奇数)，则12112121121

12121()

22()22

n n n n n n n n a a n a a a S b b n b b b T ------++===++

(3)在等差数列{}n a 中.n S =a ，m S b =，则()n m n m

S a b n m

++=--，特别地， 当n m S S =时，0n m S +=， 当

n S =m ，m S =n 时()n m S n m +=-+

(4) 若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则数列{

}n

S n

也为等差数列. (5) 记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ：①若1a >0，公差d<0，则当1

0n n a a +≥⎧⎨≤⎩时，则n S 有最大值；②若1a <0，

公差d>0，则当10

n n a a +≤⎧⎨

≥⎩时，则n S 有最小值。求n S 最值的方法也可先求出n S ，再用配方法求解。

二、等比数列 1.等比数列的判定方法

（1）用定义：对任意的n ，都有1(0)n n n a qa a +=≠⇔

1

n n

a q a +=(q ≠0) ⇔{}n a 为等比数列（定义法） （2）2

11n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列（等比中项）

(3) 若数列通项公式为：1

(,0n n a aq a q -=是不为的常数)⇔{}n a 为等比数列（通项公式法）

2.常用性质

(1).若数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列1

{}n a ，{}n k a ，2{}n a ，21{}n a -，{}n n a b {}n n

a b (k 为非零常数) 均为等比数列.

(2) 对任何m ，n ∈*

N ，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=，特别的，当m=1时，便得到等比数列的通

项公式.因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性.

(3) 若m+n=p+q (m ， n ， p ， q ∈*

N )，则n m a a =p q a a .特别的，当n+m=2k 时，得n m a a =2k a

(4) {}n a 是有穷等比数列，则与首末两项等距离的两项之积都相等，且等于首末两项之积，即

121321n n n i n i a a a a a a a a --+-===⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅。

(5) 在等比数列{}n a 中，每隔k(k ∈*

N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等比数列，且公