拉普拉斯变换求解微分方程典型范例

Laplace 变换在微分方程(组)求解例

引言

Laplace 变换是由复变函数积分导出的一个非常重要的积分变换，它在应用数学中占有很重要的地位，特别是在科学和工程中，有关温度、电流、热度、放射现象等方面都有广泛的应用.为了研究本文提出的各种问题，我们给出了Laplace 变换的概念以及一些性质.

Laplace 变换的定义 设函数f(x)在区间[)0+∞，上有定义，如果含参变量s 的无穷积分()+0st e f t dt ∞

-⎰对s 的某一取值围是收敛的.则称

()F s =()+0st e f t dt ∞-⎰

为函数的Laplace 变换，()f t 称为原函数，()F s 称为象函数，并记为()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦.

性质1 (Laplace 变换存在定理)如果函数()f t 在区间[)0,+∞上逐段连续，且存在数0M >，00s ≥，使得对于一切0t ≥有0()s t f t Me <,则当0s s >时，()F s 存在.

性质2 (线性性质)设函数和满足Laplace 变换存在定理的条件，则在它们象函数定义域的共同部分上有

()()()()L f t g t L f t L g t αβαβ+=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦

其中α和β是常数.

性质3 （原函数的微分性质）如果()f t '，()f t ''，，()()n f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件，则

()()()0L f t sL f t f '=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

或更一般地，有

()()()()()()()112000n n n n n L f t s L f t s f s f f ---⎡⎤'=----⎡⎤⎣⎦⎣⎦.

性质4 （象函数的微分性质）如果()()L f t F s =⎡⎤⎣⎦,则

()()()+0st F s te f t dt L tf t ∞

-'=-=-⎡⎤⎣⎦⎰

或一般地有

()()()()()()011n n

n n st n F s t e f t dt L t f t +∞

-⎡⎤=-=-⎣⎦⎰. 主要结论及推导

对于Laplace 变换式，在积分号下对s 求导，得到

()()()0st F s t f t e dt +∞

-'=-⎰ （*）

即

()()()L t f t F s '-=⎡⎤⎣⎦

再对（*）式求导，可得

()()2L t f t F s ''⎡⎤=⎣⎦

在一般情况下，对于任一正整数n ，有

()()()1n n n

n d L f t F s ds ⎡⎤-=⎣⎦ 即

()()()1n

n

n n d L t f t L f t ds ⎡⎤=-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 从而

()()()1n

n

n m m n d L t f t L f t ds ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦ （1） 对性质3及（1）式，可得

()()L x t X s =⎡⎤⎣⎦

()()()0L x t sX s x '=-⎡⎤⎣⎦

()()()()200L x t s X s sx x '''=--⎡⎤⎣⎦

()()()dX s d L tx t L x t ds ds

=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()()()0d d d L tx t L x t sX s x sX s ds ds ds ''=-=--=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣

⎦ ()()X s sX s '=-+⎡⎤⎣⎦

()()()()()200d d L tx t L x t s X s sx x ds ds '''''⎡⎤=-=---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣

⎦ ()()20d s X s sx ds

⎡⎤=--⎣⎦()()()220sX s s X s x '⎡⎤=-+-⎣⎦ 1、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程

例 1 求方程331x x x x ''''''+++=的满足初始条件()()()000x x x '''==的解.

解 对方程两端进行Laplace 变换得()()321331s s s X s s

+++= 由此得

()32331s s s X s s

+++= 把上式右端分解成分式

()()()23

11111+11X s s s s s =---++ 对上式两端各项分别求出其原函数，再求和.即得原微分方程的解为

()()2211112122

t t t t X t e te t e t t e ----=---=-++ 例 2 求微分方程322t y y y e -'''-+=满足初始条件()02y =,()01y '=-的特解.

解 设()()L y t Y s =⎡⎤⎣⎦，对微分方程两端取Laplace 变换得

()()()()()()22321

s Y s sy s y s sY s y s Y s s '⎡⎤----+=⎡⎤⎣⎦⎣⎦+ 考虑到初始条件得

()()2232271

s s Y s s s -+=

+-+ 于是 ()()()2

217

255433112132s s Y s s s s s s s --==+-+--+-+ 对上述方程两端取Laplace 逆变换,得

()()11112111711744311323

3t t t y t L Y s L L L e e e s s s -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+-=+-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 于是得到方程的解为

()217433

t t t y t e e e ---=+- 2、 利用Laplace 变换求解常系数微分方程组

例3 求解初值问题()()2400,01dx x y

dt dy x y dt x y ⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪==⎪⎩

的解. 解 设()()()0st X s L x t e x t dt +∞-==⎡⎤⎣⎦⎰，()()()0st Y s L y t e y t dt +∞

-==⎡⎤⎣⎦⎰ 对方程组取Laplace 变换，得到

()()()()()()()()

02+04sX s x X s Y s sY s y X s Y s -=⎧⎪⎨-=-+⎪⎩ 即

()()()()(

)()2041s X s Y s X s s Y s --=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 从而有