2013年上海市秋季高考数学(理科)及部分解析一、填空题
(13上海)1．计算：
20
lim______ 313
n
n
n
→∞
+
=
+
【解答】根据极限运算法则，
201 lim
3133 n
n
n
→∞
+
=
+
．
b a
+
【解答】联立方程组得(1)1
ρρρ
-=⇒=，又0
ρ≥．
(13上海)8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，
则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）
【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为
2
5
2
9
13
1
18
C
C
-=．
(13上海)9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4
CBA π
∠=，若AB=4，BC =则Γ的两个焦点之间的距离为________
【解答】不妨设椭圆Γ的标准方程为22
214x y b +=，于是可算得(1,1)C ，得22221019)30|d +
+++++=1sin sin ,sin 2sin 2y x y x y +=+=
D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0
,)(||1)y y ≤作Ω
的水平截面，所得截面面积为48π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________
【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方
体，这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即Ω的体积值为22
1228216πππππ⋅⋅+⋅=+．
(13上海)14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1
()y f
x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，
若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =
【解答】根据反函数定义，当[0,1)x ∈时，()(2,4]f x ∈；[1,2)x ∈时，()[0,1)f x ∈，而()y f x =的定义域为[0,3]，故当[2,3
x ∈时，()f x 的取值应在集合(,0)[1,2](4,)-∞⋃⋃+∞，故若00()f x x =，只有02x =．
二、选择题
(13上海)15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|A x x x a B x x a =--≥=
≥-，若
A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ）
(A) (,2)-∞
(B) (,2]-∞
(C) (2,)+∞
(D) [2,)+∞
【解答】集合A 讨论后利用数轴可知，1
11a a ≥⎧⎨
-≤⎩或11a a a
≤⎧⎨-≤⎩，解答选项为B ．
(13上海)16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）
(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 【解答】根据等价命题，便宜⇒没好货，等价于，好货⇒不便宜，故选B ．
(13上海)17．在数列{}n a 中，21n
n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素
,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,
2i j ==
）则该矩阵元素能取到的不同数值的个
数为（ ）
(A)18
(B)28
(C)48
(D)63
【解答】,2
1i j
i j i j i j a a a a a +=⋅++=-，而2,3,,19i j +=，故不同数值个数为18个，
选A ．
(13上海)18．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d .若
,m M 分别为()(i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（ ）.
(A) 0,0m M =>
(B) 0,0m M <> (C) 0,0m M <=
(D)
0,0m M <<
【解答】作图知，只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>，其余均有0i r a d ⋅≤，故选D ． 三、解答题
(13上海)19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC
平行于平面DA C ，并求直线BC 到平面D AC 的距离. （1）若()y f x =在[,]43
-
上单调递增，求ω的取值范围；
（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移
6
π
个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值．
C 1
