浙江省高等数学竞赛试题(2002
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浙江省高等数学竞赛试题(2002.12.7)
一. 计算题(每小题5分,共30分)
1
.求极限lim x →。 2.求积分|1|D
xy dxdy -⎰⎰,11{(,)2,2}22D x y x y =≤≤≤≤。 3.设2x y
x e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解,求常数,,,a b c h 。 4.设()f x 连续,且当1x >-时,20()[()1]2(1)
x
x
xe f x f t dt x +=+⎰,求()f x 。 5.设211arctan
2n n k S k ==∑,求lim n n S →∞
。 6.求积分1
2121(1)x x x e dx x +
+
-⎰。 二. (15分)求平面221x y z +-=含在椭圆柱体22
149
x y +=内的面积。 三.
(20
分)证明:20)0x dx >。 四. (20分)设二元函数(,)f x y 有一阶连续的偏导数,且(0,1)(1,0)
f f =。证明:单位圆周上至少存在两点满足方程(,)(,)0y
f x y x f x y x y ∂∂-=∂∂。 五. (15分)设{},{}n n a b 为满足1,1n n a b n e
a e n +=+≥的两个实数列,已知0(1),n a n >≥且1n n a ∞=∑收敛。证明:1n n
n b a ∞=∑也收敛。