不定积分总结
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不定积分
一、原函数
定义1 如果对任一I x ∈,都有
)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。 例如:x x cos )(sin =',即x sin 是x cos 的原函数。 2
211)1ln([x
x x +='++,即)1ln(2x x ++是
2
11x
+的原函数。
原函数存在定理:如果函数)(x f 在区间I 上连续,则)(x f 在区间I 上一定有原函数,即存在区间I 上的可导函数)(x F ,使得对任一I x ∈,有)()(x f x F ='。
注1:如果)(x f 有一个原函数,则)(x f 就有无穷多个原函数。
设)(x F 是)(x f 的原函数,则)(])([x f C x F ='+,即C x F +)(也为)(x f 的原函数,其中C 为任意常数。
注2:如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数,则)(x F 与)(x G 之差为常数,即C x G x F =-)()((C 为常数)
注3:如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数,则C x F +)((C 为任意常数)可表达)(x f 的任意一个原函数。
二、不定积分
定义2 在区间I 上,)(x f 的带有任意常数项的原函数,成为)(x f 在区间I 上的不定积分,记为⎰dx x f )(。
如果)(x F 为)(x f 的一个原函数,则
C x F dx x f +=⎰)()(,(C 为任意常数)
三、不定积分的几何意义
图 5—1
设)(x F 是)(x f 的一个原函数,则)(x F y =在平面上表示一条曲线,称它为
)(x f 的一条积分曲线.于是)(x f 的不定积分表示一族积分曲线,它们是由)
(x f 的某一条积分曲线沿着y 轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的.显然,族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x 的点处有互相平行的切线,其斜率都等于)(x f .
在求原函数的具体问题中,往往先求出原函数的一般表达式C x F y +=)(,再从中确定一个满足条件 00)(y x y = (称为初始条件)的原函数)(x y y =.从几何上讲,就是从积分曲线族中找出一条通过点),(00y x 的积分曲线.
四、不定积分的性质(线性性质)
[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰
()() kf x dx k f x dx =⎰⎰k (为非零常数)
五、基本积分表
∫ a dx = ax + C,a和C都是常数
∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C,其中a为常数且a ≠ -1 ∫ 1/x dx = ln|x| + C
∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C,其中a > 0 且a ≠ 1
∫ e^x dx = e^x + C
∫ cosx dx = sinx + C
∫ sinx dx = - cosx + C
∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
∫ ta nx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C
∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C
= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C
= - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C
∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C
= (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C
= - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C
∫ sec^2(x) dx = tanx + C
∫ csc^2(x) dx = - cotx + C
∫ secxtanx dx = secx + C
∫ cscxcotx dx = - cscx + C
∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + C ∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + C ∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + C ∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + C
∫ √(x^2 - a^2) dx = (x/2)√(x^2 - a^2) - (a^2/2)ln|x + √(x^2 - a^2)| + C ∫ √(x^2 + a^2) dx = (x/2)√(x^2 + a^2) + (a^2/2)ln|x + √(x^2 + a^2)| + C ∫ √(a^2 - x^2) dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + C
六、第一换元法(凑微分)
设)(u F 为)(u f 的原函数,即)()(u f u F =' 或 ⎰+=C u F du u f )()( 如果 )(x u ϕ=,且)(x ϕ可微,则
)()]([)()()()()]([x x f x u f x u F x F dx
d
ϕϕϕϕϕ'='=''= 即)]([x F ϕ为)()]([x x f ϕϕ'的原函数,或
)
()(])([])([)]([)()]([x u x u du u f C u F C x F dx x x f ϕϕϕϕϕ==⎰⎰=+=+='
因此有
定理1 设)(u F 为)(u f 的原函数,)(x u ϕ=可微,则 )
(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=' (2-1)
公式(2-1)称为第一类换元积分公式。
()
[()]()[()]()[()]u x f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ==='⎰⎰⎰11()()()[()]u ax b f ax b dx f ax b d ax b f u du a a =++=++=⎰⎰⎰