专题05 面积的最值问题(解析版)2021届中考数学压轴大题专项训练

压轴题05圆的综合目录题型一切线的判定题型二圆中求线段长度题型三圆中的最值问题题型四圆中的阴影部分面积题型五圆中的比值（相似）问题下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的题型一切线的判定解题模板：技巧：有切点，连半径，证垂直（根据题意，可以证角为90°，如已有90°角，可以尝试证平行） 没切点，作垂直，证半径（通常为证全等，也可以通过计算得到与半径相等）【例1】1．（2023-四川攀枝花-中考真题）如图，AB 为O 的直径，如果圆上的点D 恰使ADC B ∠=∠，求证：直线CD 与O 相切．【变式1-1】（2023-辽宁-中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，CE 平分ACB ∠交O 于点E ，过点E 作EF AB ∥，交CA 的延长线于点F ．求证：EF 与O 相切；【变式1-2】（2023-辽宁-中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C E ，在O 上，2CAB EAB ∠=∠，点F 在线段AB 的延长线上，且AFE ABC ∠=∠．(1)求证：EF与O相切；(2)若41sin5BF AFE=∠=，，求BC的长．【变式1-3】（2023-湖北鄂州-中考真题）如图，AB为O的直径，E为O上一点，点C为EB的中点，过点C作CD AE⊥，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．(1)求证：CD是O的切线；题型二圆中求线段长度解题模板：【例2】（2023-西藏-中考真题）如图，已知AB为O的直径，点C为圆上一点，AD垂直于过点C的直线，交O于点E，垂足为点D，AC平分BAD∠．(1)求证：CD 是O 的切线； (2)若8AC =，6BC =，求DE 的长．【变式2-1】（2023-内蒙古-中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，E 为⊙O 上的一点，点C 是AE 的中点，连接BC ，过点C 的直线垂直于BE 的延长线于点D ，交BA 的延长线于点P ．(1)求证：PC 为⊙O 的切线；(2)若PC =，10PB =，求BE 的长．【变式2-2】（2023-辽宁大连-中考真题）如图1，在O 中，AB 为O 的直径，点C 为O 上一点，AD 为CAB ∠的平分线交O 于点D ，连接OD 交BC 于点E ．(1)求BED ∠的度数；(2)如图2，过点A 作O 的切线交BC 延长线于点F ，过点D 作DG AF ∥交AB 于点G ．若AD =4DE =，求DG 的长．【变式2-3】（2023-湖北恩施-中考真题）如图，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，点O 为AB 的中点，连接CO 交O 于点E ，O 与AC 相切于点D ．(1)求证：BC是O的切线；(2)延长CO交O于点G，连接AG交O于点F，若AC FG的长．题型三圆中的最值问题解题模板：技巧精讲：1、辅助圆模型【例3】（2023-湖南长沙-三模）如图1：在O 中，AB 为直径，C 是O 上一点，3,4AC BC ==.过O 分别作OH BC ⊥于点H ，OD AC ⊥于点D ，点E 、F 分别在线段BC AC 、上运动（不含端点），且保持90EOF ∠=︒．(1)OC =______；四边形CDOH 是______（填矩形/菱形/正方形）； CDOH S =四边形______； (2)当F 和D 不重合时，求证：OFD OEH ∽；(3)⊙在图1中，P 是CEO 的外接圆，设P 面积为S ，求S 的最小值，并说明理由；⊙如图2：若Q 是线段AB 上一动点，且1QAQB n =∶∶，90EQF ∠=︒，M 是四边形CEQF 的外接圆，则当n 为何值时，M 的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案．【变式3-1】（2023-安徽-模拟预测）如图，半圆的直径4AB =，弦CD AB ∥，连接,,,AC BD AD BC ．(1)求证：ADC BCD △≌△；(2)当ACD 的面积最大时，求CAD ∠的度数．【变式3-2】（2023-四川-中考真题）如图1，已知线段AB ，AC ，线段AC 绕点A 在直线AB 上方旋转，连接BC ，以BC 为边在BC 上方作Rt BDC ，且30DBC ∠=︒．(1)若=90BDC ∠︒，以AB 为边在AB 上方作Rt BAE △，且90AEB ∠=︒，30EBA ∠=︒，连接DE ，用等式表示线段AC 与DE 的数量关系是 ；(2)如图2，在(1)的条件下，若DE AB ⊥，4AB =，2AC =，求BC 的长；(3)如图3，若90BCD ∠=︒，4AB =，2AC =，当AD 的值最大时，求此时tan CBA ∠的值．【变式3-3】（2023-陕西西安-模拟预测）【问题情境】如图1，在ABC 中，120A ∠=︒，AB AC =，BC =ABC 的外接圆的半径值为______； 【问题解决】如图2，点P 为正方形ABCD 内一点，且90BPC ∠=︒，若4AB =，求AP 的最小值； 【问题解决】如图3，正方形ABCD 是一个边长为的书展区域设计图，CE 为大门，点E 在边BC 上，CE =，点P 是正方形ABCD 内设立的一个活动治安点，到B 、E 的张角为120︒，即120BPE ∠=︒，点A 、D 为另两个固定治安点，现需在展览区域内部设置一个补水供给点Q ，使得Q 到A 、D 、P 三个治安点的距离和最小，试求QA QD QP ++的最小值．（结果精确到0.1m 1.7≈，214.3205≈）题型四 圆中的阴影部分面积【例4】（2024-西藏拉萨-一模）如图，等腰ABC 的顶点A ，C 在O 上， BC 边经过圆心0且与O 交于D 点，30B ∠=︒.(1)求证：AB 是O 的切线； (2)若6AB =，求阴影部分的面积【变式4-1】（2023-陕西西安-一模）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ．(1)若P 是CD 上的动点，连接BP ，FP ，求BPF ∠的度数；(2)已知ADF △的面积为O 的面积．【变式4-2】（2023-浙江衢州-中考真题）如图，在Rt ABC △中，90,ACB O ∠=︒为AC 边上一点，连结OB ．以OC 为半径的半圆与AB 边相切于点D ，交AC 边于点E ．(1)求证：BC BD =．(2)若,2OB OA AE ==．⊙求半圆O 的半径．⊙求图中阴影部分的面积．【变式4-3】（2023-辽宁阜新-中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 是O 上AB 异侧的两点，DE CB ⊥，交CB 的延长线于点E ，且BD 平分ABE ∠．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)若60ABC ∠=︒，4AB =，求图中阴影部分的面积．【变式4-4】（2023-山东枣庄-中考真题）如图，AB 为O 的直径，点C 是AD 的中点，过点C 做射线BD 的垂线，垂足为E ．(1)求证：CE 是O 切线；(2)若34BE AB ==，，求BC 的长；(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．题型五 圆中的比值（相似）问题 技巧精讲：【例5】（2024-陕西西安-模拟预测）如图，AB 为O 的直径， 点 D 为O 上一点， 过点 B 作O 切线交AD 延长线于点 C ，CE 平分ACB ∠，CE BD ，交于F ．(1)求证：BE BF =；(2)若O 半径为2，3sin 5A =，求DF 的长度． 【变式5-1】（2023-湖南湘西-二模）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，AD 平分CAB ∠，交BC 于点E ，连接BD ．(1)求证：BED ABD △△．(2)当3tan 4ABC ∠=，且10AB =时，求线段BD 的长．(3)点G 为线段AE 上一点，且BG 平分ABC ∠，若GE =，3BG =，求CE 的长．【变式5-2】（2024-陕西西安-一模）如图，AB 是O 的直径CD 与O 相切于点C ，与BA 的延长线交于点D ，连接BC ，点E 在线段OB 上，过点E 作BD 的垂线交DC 的延长线于点F ，交BC 于点G ．(1)求证：FC FG =；(2)若220AO AD ==，点E 为OB 的中点，求GE 的长．【变式5-3】（2024-陕西西安-一模）如图，AB 是O 的直径，点D 在直径AB 上（D 与,A B 不重合），CD AB ⊥且CD AB =，连接CB ，与O 交于点F ，在CD 上取一点E ，使EF 与O 相切．(1)求证：EF EC =；(2)若D 是OA 的中点，4AB =，求BF 的长．一、解答题1．（2024-云南-模拟预测）如图，四边形ABCD 内接于O ，对角线AC 是O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，F 为CE 的中点，连接BD ，DF ，BD 与AC 交于点P ．(1)求证：DF 是O 的切线；(2)若45DPC ∠=︒，228PD PB +=，求AC 的长．2．（2024-湖北黄冈-模拟预测）如图，PO 平分APD ∠，PA 与⊙O 相切于点A ，延长AO 交PD 于点C ，过点O 作OB PD ⊥，垂足为B ．(1)求证：PB 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为4，5OC =，求PA 的长．3．（2024-江苏淮安-模拟预测）如图，已知直线l 与O 相离，OA l ⊥于点A ，交O 于点 P ，点 B 是O 上一点，连接BP 并延长，交直线l 于点 C ，使得AB AC =．(1)判断直线AB 与O 的位置关系并说明理由；(2)4PC OA ==，求线段 PB 的长．4．（2024-四川凉山-模拟预测）如图，CD 是O 的直径，点P 是CD 延长线上一点，且AP 与O 相切于点A ，弦AB CD ⊥于点F ，过D 点作DE AP ⊥于点E ．(1)求证：∠∠EAD FAD =；(2)若4PA =，2PD =，求O 的半径和DE 的长．5．（2024-四川凉山-模拟预测）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，以AC 为直径的O 交AB 于点D ，E 为BC 的中点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30A ∠=︒，3DF =，求CE 长．6．（2024-山东泰安-一模）如图，AB CD ，是O 的两条直径，过点C 的O 的切线交AB 的延长线于点E ，连接AC BD ，．(1)求证：ABD CAB ∠=∠；(2)若B 是OE 的中点，12AC =，求O 的半径．7．（2024-福建南平-一模）如图1，点D 是ABC 的边AB 上一点．AD AC =，CAB α∠=，O 是BCD △的外接圆，点E 在DBC 上（不与点C ，点D 重合），且90CED α∠=︒-．(1)求证：ABC 是直角三角形；(2)如图2，若CE 是⊙O 的直径，且2CE =，折线ADF 是由折线ACE 绕点A 顺时针旋转α得到． ⊙当30α=︒时，求CDE 的面积；⊙求证：点C ，D ，F 三点共线．8．（2023-四川甘孜-中考真题）如图，在Rt ABC △中，=90ABC ∠︒，以BC 为直径的O 交AC 边于点D ，过点C 作O 的切线，交BD 的延长线于点E ．(1)求证：=DCE DBC ∠∠；(2)若=2AB ，=3CE ，求O 的半径．9．（2023-湖北黄石-中考真题）如图，AB 为O 的直径，DA 和O 相交于点F ，AC 平分DAB ∠，点C 在O 上，且CD DA ⊥，AC 交BF 于点P ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)求证：2AC PC BC ⋅=；(3)已知23BC FP DC =⋅，求AF AB的值．10．（2023-辽宁鞍山-中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，过点D 作DF BC ⊥，交BC 的延长线于点F ，交BA 的延长线于点E ，连接BD ．若180EAD BDF ∠+∠=︒．(1)求证：EF 为O 的切线．(2)若10BE =，2sin 3BDC ∠=，求O 的半径．11．（2023-湖南湘西-中考真题）如图，点D ，E 在以AC 为直径的O 上，ADC ∠的平分线交O 于点B ，连接BA ，EC ，EA ，过点E 作EH AC ⊥，垂足为H ，交AD 于点F ．(1)求证：2AE AF AD =⋅；(2)若sin 5ABD AB ∠==，求AD 的长． 12．（2023-辽宁沈阳-中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上的一点（点C 不与点A ，B 重合），连接AC 、BC ，点D 是AB 上的一点，AC AD =，BE 交CD 的延长线于点E ，且BE BC =．(1)求证：BE 是O 的切线；(2)若O 的半径为5，1tan 2E =，则BE 的长为______ ．13．（2023-黑龙江大庆-中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是圆上的一点，CD AD ⊥于点D ，AD 交O 于点F ，连接AC ，若AC 平分DAB ∠，过点F 作FG AB ⊥于点G ，交AC 于点H ，延长AB ，DC 交于点E ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)求证：AF AC AE AH ⋅=⋅；(3)若4sin 5DEA ∠=，求AH FH的值．14．（2023-四川雅安-中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径的O 与AC 交于点D ，点E 是BC 的中点，连接BD ，DE ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若2DE =，1tan 2BAC ∠=，求AD 的长；(3)在（2）的条件下，点P 是O 上一动点，求PA PB +的最大值．15．（2023-辽宁营口-中考真题）如图，在ABC 中，AB BC =，以BC 为直径作O 与AC 交于点D ，过点D 作DE AB ⊥，交CB 延长线于点F ，垂足为点E ．(1)求证：DF 为O 的切线；(2)若3BE =，4cos 5C =，求BF 的长．。

专练11四边形中的最值问题1.综合与实践（1）任意一个四边形ABCD通过剪裁，都可以拼接成一个三角形，方法如下：如图1，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，连接EH，P是线段EH的中点，连接PF，PG，沿线段EH，PF，PG剪开，将四边形ABCD分成①，②，③，④四部分，按如图2所示的方式即可拼成一个无缝隙也不重叠的△P′MN．关于在拼接过程中用到的图形的变换，说法正确的是（）A.①→①是轴对称B.②→②是平移C.③→③是中心对称D.④→④是中心对称（2）如图3，连接EF′，F′C′，C′H，判断四边形EF′C′H的形状，并说明理由．（3）若△P′MN是一个边长为4的等边三角形，则四边形EF′C′H的对角线F′H+C′E的最小值为________．【答案】（1）C（2）四边形F′C′HE是平行四边形．理由：由题意可知，P′F′=F′M，P′C′=C′N，MN，F′C′∥EH，∴F′C′=12∵PH=HN，PE=EM，MN，∴EH=12∴F′C′=EH，∴四边形F′C′HE是平行四边形．（3）2√7【解析】（1）观察图象可知②→②，③→③是中心对称，①→①，④→④是平移．故答案为：C．（3）如图4，过点O作直线l∥MN，作F′T⊥MN于点T，连接TC′交直线l于点O′，连接F′O′，此时F′O′+O′C′的值最小，最小值=TC′的长．∵在Rt△MTF′中，MF′=C′F′=2，∠TMF′=60°，∴TF′=2⋅sin60°=√3．∵C′F′∥MN，∴∠C′F′T=∠F′TM=90°，∴C′T=√F′T2+C′F′2=√3+4=√7，∴F′H+C′E的最小值=2C′T=2√7．2.阅读下面材料，并解决问题：（1）如图1，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数；为了解决本题，我们可以将ΔABP绕顶点A逆时针旋转到ΔACP′处，此时ΔACP′≌ΔABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=________；（2）基本运用：请你利用第（1）题的思想方法，解答下面问题：如图2，在ΔABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F为BC上的点，且∠EAF=45°．求证：EF2=BE2+FC2；（3）能力提升：在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=4．①如图3，将ΔADE绕点D逆时针旋转90°得到ΔDCF，连结EF．a．把图形补充完整（无需写画法）；b．求EF2的取值范围；②如图4，求BE+AE+DE的最小值．【答案】（1）150°（2）证明：如图，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到ΔACE′．由旋转的性质得，AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°．∵∠EAF=45°，∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC－∠EAF=90°－45°=45°，∴∠EAF=∠E′AF．在ΔEAF和ΔE′AF中，{AE=AE′∠EAF=∠E′AFAF=AF，∴ΔEAF≌ΔE′AF(SAS)，∴E′F=EF．∵∠CAB=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠E′CF=45°+45°=90°，由勾股定理得，E′F2=CE′2+FC2 ，即EF2=BE2+FC2 ．（3）解：①a．如图，ΔDCF即为所求．b．方法一：∵2√2≤DE≤4，ΔFDE是等腰直角三角形，∴EF2=2DE2 ，∴16≤EF2≤32．方法二：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AB=4，∠B=90°，∠DAE=∠ACD=45°，∴AC=√AB2+BC2=4√2．∵ΔADE绕点D逆时针旋转90°得到ΔDCF，∴∠DCF=∠DAE=45°，AE=CF，∴∠ECF=∠ACD+∠DCF=90°．设AE=CF=x，EF2=y，则EC= 4√2−x，∴y=(4√2−x)2+x2=2x2−8√2x+32(0<x≤4√2)，即y=2(x−2√2)2+16．∵2>0，∴当x=2√2时，y有最小值，最小值为16，当x=42时，y有最大值，最大值为32，∴16≤EF2≤32．②如图，将ΔABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连结EG，DF．作FH⊥AD，交DA的延长线于点H．由旋转的性质可知：AF=AB=4，ΔAEG是等边三角形，∴AE=EG．∵DF≤FG+EG+DE，BE=FG，∴AE+BE+DE的最小值为线段DF的长．在Rt ΔAFH中，∠FAH=30°，AF=2，AH=√42−22=2√3，∴FH=12在Rt ΔDFH中，DF=√(2√3+4)2+22=2√6+2√2，∴BE+AE+ED的最小值为2√6+2√2．【解析】（1）解：150°【解法提示】∵ΔACP′≌ΔABP，∴AP′=AP=3，CP′=BP=4，∠AP′C=∠APB．由题意知旋转角∠PAP′=60°，∴ΔAPP′为等边三角形，∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°．易证ΔPP′C为直角三角形，且∠PP′C=90°，∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°．3.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ADM．（1）如图1，当直线AN经过点C时，求DM的长．（2）如图2，连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积．（3）如图3，当射线BN交线段CD于点E时，求DE的最大值．【答案】（1）解：当AN经过点C时，即A，N，C三点共线∵AB=4，AD=3∴CN=AC−AN=5−3=2∵将△ADM沿直线AM对折∴DM=MN设DM=MN=a，CM=4−a，在Rt△MNC中，CM2=MN2+CN2，(4−a)2=a2+4，∴a=32∴DM=32（2）解：过N作PQ//AD交CD于点P，交AB于Q结合题意，得：∠MNP+∠PMN=90∘∠MNP+∠ANQ=90∘∴∠PMN=∠ANQ∵∠ANM=∠AQN=90∘∴△MNP∽△NAQ∴NPAQ =MPNQ=MNAN=13设MP=m，则NQ=3m，NP=3−3m，AQ=9−9m 在Rt△ANQ中，AN2=NQ2+AQ29=9m2+(9−9m)2解得：m=1（舍）或m=45∴S△ABN=12×AB⋅NQ=12×4×125=245（3）解：∵AD=AN=3∴N在以A为圆心，半径为3的圆弧上运动如图，当BE与圆只有一个交点时，DE取最大值，此时∠ANB=90∘在△ANB和△BCE中{∠ABN=∠CEB∠ANB=∠C=90∘AN=BC∴△ANB≌△BCE∴CE=NB=√AB2−AN2=√7∴DE=4−√7．4.[阅读]如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=4，BC=3，∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ[θ，a].[理解]若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ[45°，4]；[尝试]（1）若点D与OA的中点重合，则这个操作过程为FZ[________，________]；（2）若点D恰为AB的中点（如图2），求θ=________；（3）经过FZ[45°，a]操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，试解决下列问题：①求出a的值；②点P，Q分别为边OA上的两个动点，且点Q始终在点P右边，PQ=1，连接CP，QE，在P，Q两点的运动过程中，PC+PQ+QE是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）45°；8（2）30°（3）①如图3：过点B作BH⊥OA于点H，∠COA=90°，∠COF=45°∴∠FOA=45°∵点B与点E关于直线1对称∴∠OFA=∠OFB=90°∴∠OAB=45°∴∠HBA=90-45°=45°=∠HAB∴BH=AH∵OC⊥OA，BH⊥OA∴.OC//BH∵BC//OA.∴四边形BCOH是平行四边形∴BH=CO=4，OH=BC=3∴OA=OH+AH=OH+BH=3+4=7∴a的值为7；②如图4：过点B作BH⊥OA于点H，过点F作OA的对称点Q，连接AQ、EQ、OB∴∠QAO=∠FAO=45°，QA=FA ， ∴∠QAF=90°在Rt △BHA 中，AB= √BH 2+AH 2=√42+42=4√2 在Rt △OFA 中，∠AFO=90°，∠AOF=∠OAF=45° ∴AF=OF=√2=7√22∴AQ=AF= 7√22在R △OCB ，OB= √OC 2+BC 2=√42+32=5在Rt △OFB 中，BF=AB-AF=5- 7√22由折叠可得：BF=EF= 4√2 - 7√22= √22∴AE=AF-EF= 7√22- √22= 3√2在Rt △QAE 中: EQ 2=AE 2+AQ 2=(3√2)2+(7√22)2=852根据两点之间线段最短可得,当点E 、P 、Q 三点共线时，PE+PF=PE+PQ 最短，最小值为线段EQ 长 ∴PE+PF 的最小值的是 √852=√1702【解析】（1）点D 与OA 的中点重合，如图1:由折叠得：∠COP=∠DOP=45°，∠C=∠ODP=90°∴CP=FD∵OP=OP∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL）∴OD=OC=4∵D为OA的中点∴OA=a=8则这个操作过程为FZ[45°，8]；故答案为：45°，8；（ 2 ）如图2:延长MD、OA交于点N∵∠AOC=∠BCO=90°∴∠AOC+∠BCO= 180°∴BC//OA∴∠B=∠DAN在△BDM和△ADN中∠B=∠DAN ,BD=AD, ∠BDM=∠ADN∴△BDM≌△ADN（ASA）∴DM=DN∵∠ODM=∠OCM=90°∴OM=ON.∴∠MOD=∠NOD由折可得∠MOD=∠MOC=θ∴∠COA=3θ=90°∴θ=30°5.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM 绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；（3）当AM＋BM＋CM的最小值为√3+1时，求正方形的边长.【答案】（1）证明：∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠BMA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）（2）解：①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小.理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形.∴BM＝MN.∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长（3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.设正方形的边长为x，则BF＝√32x，EF＝x2.在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2 ，∴（x2）2＋（√32x＋x）2＝(√3+1)2解得，x＝√2（舍去负值）.∴正方形的边长为√2.6.定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将ΔBCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E 的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，点B到直线AD的距离为BE．①求BE的长．②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求ΔMNC周长的最小值．【答案】（1）解：如图1由旋转的性质得：∠F=∠BEC，∠ABF=∠CBE，BF=BE∵∠BEC+∠BED=180°，∠CBE+∠ABE=90°，∴∠F+∠BED=180°，∠ABF+∠ABE=90°即∠FBE=90°，故满足“直等补”四边形的定义，∴四边形BEDF为“直等补”四边形；（2）解：①∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC，∴∠A+∠BCD=180°，∠ABC=∠D=90°，如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，则∠F=∠AEB=90°，∠BCF+∠BCD=180°，BF=BE∴D、C、F共线，∴四边形EBFD是正方形，∴BE=FD，设BE=x，则CF=x-1，在Rt△BFC中，BC=5，由勾股定理得：x2+(x−1)2=25，即x2−x−12=0，解得：x=4或x=﹣3(舍去)，∴BE=4②如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5,则NP=NC，MT=MC,∴△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT，过P作PH⊥BC，交BC延长线于H，∵∠F=∠PHC=90°,∠BCF=∠PCH,∴△BCF∽△PCH,∴BCPC =BFPH=CFCH,即52=4PH=3CH，解得：CH=65,PH=85,在Rt△PHT中，TH= 5+5+65=565,PT=√PH2+HT2=8√2,∴ΔMNC周长的最小值为8√2．7.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝4 √3，E为对角线AC上的动点（点E不与A，C重合），连接BE，将射线EB绕点E逆时针旋转120°后交射线AD于点F．（1）如图1，当AE＝AF时，求∠AEB的度数；（2）如图2，分别过点B，F作EF，BE的平行线，且两直线相交于点G．①试探究四边形BGFE的形状，并求出四边形BGFE的周长的最小值；②连接AG，设CE＝x，AG＝y，请直接写出y与x之间满足的关系式，不必写出求解过程．【答案】（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∠BAC＝∠DAC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∴∠EAF＝30°，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝75°，∵∠BEF＝120°，∴∠AEB＝120°﹣75°＝45°．（2）①如图2中，连接DE．∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，AE＝AE，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴BE＝DE，∠ABE＝∠ADE，∵∠BAF+∠BEF＝60°+120°＝180°，∴∠ABE+∠AFE＝180°，∵∠AFE+∠EFD＝180°，∴∠EFD＝∠ABE，∴∠EFD＝∠ADE，∴EF＝ED，∴EF＝BE，∵BE∥FG，BG∥EF，∴四边形BEFG是平行四边形，∵EB＝EF，∴四边形BEFG是菱形，∴当BE⊥AC时，菱形BEFG的周长最小，此时BE＝AB•sin30°＝2 √3，∴四边形BGFE的周长的最小值为8 √3．②如图2﹣1中，连接BD，DE，过点E作EH⊥CD于H．∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝BA，∠ABD＝60°，∵BG∥EF，∴∠EBG＝180°﹣120°＝60°，∴∠ABD＝∠GBE，∴∠ABG＝∠DBE，∵BG＝BE，∴△ABG≌△DBE（SAS），∴AG＝DE＝y，在Rt△CEH中，EH＝12EC＝12x．CH＝√32x，∴DH＝|4 √3﹣√32x|，在Rt△DEH中，∵DE2＝EH2+DH2 ，∴y2＝14x2+（4 √3﹣√32x）2 ，∴y2＝x2﹣12x+48，∴y＝√x2−12x+48（0＜x＜12）．8.如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6cm，BD＝8cm，分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E．（1）判断四边形BOCE的形状并证明；（2）点G从点A沿射线AC的方向以2cm/s的速度移动了t秒，连接BG，当S△ABG＝2S△OBG时，求t的值．（3）如图2，长度为3cm的线段GH在射线AC上运动，求BG＋BH的最小值．【答案】（1）结论：四边形BOCE是矩形．理由：∵BE∥OC，EC∥OB，∴四边形OBEC是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴四边形BOCE是矩形．（2）如图2中，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝3cm，OB＝OD＝4cm，∵S△ABG＝2S△OBG ，∴AG＝2OG，∴2t＝2（3﹣2t）或2t＝2（2t﹣3），解得t＝1或t＝3，∴满足条件的t的值为1或3．（3）如图2中，设OG＝x，则BG＋BH＝√x2+42＋√(x−3)2+42，欲求BG＋BH的最小值，相当于在x轴上找一点P(x，0)，使得点P(x，0)到A(0，4)和B(3，4)的距离最小，如图3中，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，连接BP，此时PA＋PB的值最小，∵A(0，4)，B′(3，﹣4)，∴当B点在y轴右侧时，AP＋PB＝AP＋PB′＝AB′＝√82+32＝√73，当B点在y轴左侧时，由于线段整体移动，同理，得AP＋PB＝AP＋PB′＝AB′＝√73，∴BG＋BH的最小值为√73．9.如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为(10，4)，点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动.设动点P的运动时间为t秒.（1）当t=________时，四边形PODB是平行四边形？（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得四边形ODPQ是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在点P运动的过程中，线段PB上有一点M，且PM=5，求四边形OAMP的周长最小值.【答案】（1）2.5s（2）解：①当点Q在线段BC上时，如图1，∵四边形ODPQ是菱形，∴OQ=OD=5，在Rt△OCQ中，CQ=√52−42=3，CP=3+5=8，∴t=4，点Q的坐标为(3，4)；②当点Q在射线BC上时，如图2，∵四边形ODPQ是菱形，∴OQ=OD=5，在Rt△OCQ中，CQ=√52−42=3，CP=5﹣3=2，∴t=1，点Q的坐标为(﹣3，4)；（3）解：如图3，连接DM，∵PM=OD=5，PM∥OD，∴四边形ODMP是平行四边形，∴OP=DM，∴四边形OAMP的周长=OA+AM+MP+PO=15+AM+PO=15+AM+DM作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'M，A'D.∵AM=A'M，∴四边形OAMP的周长=15+A'M+DM，所以，当点A'，M，D三点在同一直线上时，四边形OAMP的周长最小，在Rt△A'DA中，A′D=√A′A2+AD2=√52+82=√89，所以四边形OAMP的周长最小值为15+√89.【解析】解：（1）∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为(10，4)，∴BC=OA=10，AB=OC=4.∵点D是OA的中点，∴OD =1OA=5，2由题意知，PC=2t，∴BP=BC﹣PC=10﹣2t.∵四边形PODB是平行四边形，∴PB=OD=5，∴10﹣2t=5，∴t=2.5，即当t=2.5s时，四边形PODB是平行四边形.故答案为：2.5s；10.如图1，矩形ABCD中，AB=3，BC=4 ，将矩形ABCD绕着点A顺时针旋转，得到矩形BEFG.（1）当点E落在BD上时，则线段DE的长度等于________ ；（2）如图2，当点E落在AC上时，求△BCE的面积；（3）如图3，连接AE、CE、AG、CG，判断线段AE与CG的位置关系且说明理由，并求CE 2+AG 2的值；（4）在旋转过程中，请直接写出S△BCE+S△ABG的最大值.【答案】（1）2（2）解：当点E落在AC上时，过点B作BM⊥AC于点M，在RtΔABC中，由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√32+42=5,∵ ΔABC 是直角三角形，BM ⊥AC ， ∴ 12×3×4=12·BM ·AC ,∴ BM =125，在 RtΔBME 中，由勾股定理得：ME =√BE 2−BM 2=√32−(125)2=95，在 RtΔBMC 中，由勾股定理得： MC =√BC 2−BM 2=√42−(125)2=165，∴ CE =MC −ME =165−95=75 ，∴ S ΔBCE =12·CE ·BM =12×75×125=4225 ；（3）解：线段AE 与CG 的位置关系是垂直，理由如下：证明：连接AC 、EG ，设AE 与CG 相交于点N ，AE 与BC 相交于点P ，由旋转的性质知： ∠ABE =∠CBG ， AB =BE ，BC =BG ， ∴在等腰 ΔABE 和等腰 ΔCBG 中得到： ∠EAB =180°−∠ABE2， ∠BCG =180°−∠CBG2，∴ ∠EAB =∠BCG ， ∵ ∠1=∠2 ，∴ ∠CNP =∠ABP =90° ， 即 AE ⊥CG ； ∵ AE ⊥CG ，∴ CE 2+AG 2=CN 2+NE 2+AN 2+NG 2=(CN 2+AN 2)+(NE 2+NG 2)=AC 2+EG 2 ，由矩形的性质可以得到：EG=AC=5，∴CE2+AG2=AC2+EG2=52+52=50；（4）解：过点C作CH⊥直线BE于点H，过点G作EQ⊥直线AB于点Q，∴SΔBCE=12·CH·BE，SΔABG=12·GQ·AB，∵AB=BE=3∴S△BCE+S△ABG=12·CH·BE+12·GQ·AB=12×3×(CH+GQ)，∴当CH+GQ最大时，S△BCE+S△ABG最大，在旋转过程中，0≤CH≤4,0≤GQ≤4，∴0≤CH+GQ≤8，∴当点A、B、E三点共线时，CH+GQ=8，此时最大，∴S△BCE+S△ABG的最大值为：12×3×8=12.【解析】解：（1）解：当E落在BD上时，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴每个内角都等于90°，∵AB=3，BC=4，由勾股定理得：BD =√AB 2+AD 2=√AB 2+BC 2=√32+42=5 ， 由旋转的性质可知： AB =BE =3 ， ∴ DE =BD −BE =5−3=2 ， 故答案为：2；11.如图1，在等边 △ ABC 中，AB ＝6cm ，动点P 从点A 出发以1cm/s 的速度沿AB 匀速运动，动点Q 同时从点C 出发以同样的速度沿BC 的延长线方向匀速运动，当点P 到达点B 时，点P 、Q 同时停止运动，设运动时间为t （s ）．过点P 作PE ⊥AC 于E ，以CQ 、CE 为边作平行四边形CQFE ．（1）AE ＝________，CE ＝________；（用含t 的代数式表示） （2）当平行四边形CQFE 为菱形时，请求出t 的值； （3）如图1，连接PQ ，交AC 边于点D ，求线段DE 的长；（4）如图2，取线段BC 的中点M ，连接PM ，将 △ BPM 沿直线PM 翻折，得 △B ′PM ，连接 AB ′ ，请求出 AB ′ 的最小值． 【答案】 （1）t2；6−t2（2）解：当平行四边形CQFE 为菱形时，则 CE =CQ ， ∴ 6−t2=t ，解得： t =4即当 t =4 时． CE =CQ ，当平行四边形CQFE 为菱形 （3）解：如图2中，作 PK//BC 交 AC 于 K ．∵ΔABC 是等边三角形，∴∠B=∠A=60°，∵PK//BC，∴∠APK=∠B=60°，∠PKD=∠DCQ，∴∠A=∠APK=60°，∴ΔAPK是等边三角形，∴PA=PK，∵PE⊥AK，∴AE=EK=12AK，在△PKD和△QCD中，{CQ=PK∠PKD=∠DCQ∠PDK=∠QDC，∴△PKD≅△QCD(AAS)，∴DK=DC=12CK，∴DE=EK+DK=12(AK+CK)=12AC=3(cm)．（4）解：如图3中，连接AM，AB′∵BM=CM=3，AB=AC，∴AM⊥BC，∴AM=√AB2−BM2=√62−32=3√3，∵AB′⩾AM−MB′，由折叠性质可知，BM=B′M=3∴AB′⩾3√3−3，∴AB′的最小值为3√3−3，此时A、M、B′三点共线．【解析】解：（1）依题意可知：AP=CQ=t，∵ΔABC是等边三角形，∴∠A=60°，AB=AC=BC=8，又∵PE⊥AC，∴∠APE=30°，∴AE=12AP=t2，∴CE=6−AE=6−t2，故答案为：t2，6−t212.如图(1)，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点.作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG.（1）试猜想线段BG和AE的关系(位置关系及数量关系)，请直接写出你得到的结论；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一角度α后(0°＜α＜90°)，如图(2)，通过观察或测量等方法判断(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；（3）若BC＝DE＝2，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度α (0°＜α＜360°)过程中，当BG为最小值时，求AF的值.【答案】（1）解：如图（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，∴BD=CD=AD，∵在△BDG和△ADE中{BD＝AD∠BDG＝∠ADEDG＝DE∴△BDG≌△ADE（SAS），∴BG=AE，∠DGB=∠DEA，延长EA到BG于一点M，∴∠GAM=∠DAE，∴∠GMA=∠EDA=90°，∴线段BG和AE相等且垂直；（2）解：成立，如图（2），延长EA分别交DG、BG于点M′、N′两点，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，∴∠ADB=90°，且BD=AD，∵∠BDG=∠ADB-∠ADG=90°-∠ADG=∠ADE，∵在△BDG和△ADE中{BD＝AD∠BDG＝∠ADEDG＝DE∴△BDG≌△ADE（SAS），∴BG=AE，∠DEA=∠DGB，∵∠DEA+∠DNE=90°，∠DNE=∠MNG，∴∠MNG+∠DGM=90°，即BG⊥AE且BG=AE；（3）解：由（2）知，要使AE最大，只要将正方形绕点D逆时针旋旋转270°，即A，D，E在一条直线上时，AE最大；∵正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，E点运动的图形是以点D为圆心，DE为半径的圆，∴当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG 最大，如图（3），若BC=DE=m，则AD= m2，EF=m，在Rt△AEF中，AF2=AE2+EF2=（AD+DE）2+EF2= 134m2∴AF= √132m，即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF= √132m.。

2023年中考数学压轴题专项训练1.几何最值问题一、压轴题速练1一、单选题1(2023·山东烟台·模拟预测)如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，点E 是矩形ABCD 内部一动点，且∠BEC =90°，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、PE ，则PD +PE 的最小值为()A.8B.45C.10D.45-22(2023·安徽黄山·校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =32x 2-32x -3的图象与x 轴交于点A ，C 两点，与y 轴交于点B ，对称轴与x 轴交于点D ，若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则12PB +PD 的最小值为()A.334B.32C.3D.5433(2023秋·浙江金华·九年级统考期末)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且∠EAB =∠EBC ．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD +PE 的最小值为()A.213-2B.45-2C.43-2D.215-24(2022秋·安徽池州·九年级统考期末)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P为AC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，则PB+PD的最小值为()A.154B.245C.5D.2035(2023秋·甘肃定西·八年级校考期末)如图所示，在△ABC中，∠ABC=68°，BD平分∠ABC，P为线段BD上一动点，Q为 边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APB的度数是()A.118°B.125°C.136°D.124°6(2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末)如图，E为正方形ABCD边AD上一点，AE=1，DE=3，P为对角线BD上一个动点，则PA+PE的最小值为()A.5B.42C.210D.107(2023春·湖南张家界·八年级统考期中)如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为()A.4B.42C.25D.58(2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+3的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点C(3,0)，若P是x轴上一动点，点D的坐标为(0,-1)，连接PD，则2PD+ PC的最小值是()A.4B.2+22C.22D.32+2329(2022·山东泰安·统考中考真题)如图，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=4．点P是线段BC上一动点，点M 为线段AP上一点．∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为()A.52B.125C.13-32D.13-210(2022·河南·校联考三模)如图1，正方形ABCD中，点E是BC的中点，点P是对角线AC上的一个动点，设AP =x，PB+PE=y，当点P从A向点C运动时，y与x的函数关系如图2所示，其中点M是函数图象的最低点，则点M 的坐标是()A.42，35B.22,35C.35,22D.35,422二、填空题11(2023春·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习)如图，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E为AB中点，F为直线BC上动点，B、G关于EF对称，连接AG，点P为平面上的动点，满足∠APB=12∠AGB，则DP的最小值．12(2023春·江苏连云港·八年级期中)如图，在边长为8的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，则四边形BEFG周长的最小值为．13(2022·湖南湘潭·校考模拟预测)如图，菱形草地ABCD中，沿对角线修建60米和80米两条道路AC<BD，M、N分别是草地边BC、CD的中点，在线段BD上有一个流动饮水点P，若要使PM+PN的距离最短，则最短距离是米．14(2023春·江苏·九年级校考阶段练习)如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则2PC-PD的最大值是．15(2023秋·广东广州·九年级统考期末)如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，∠DAB=60°，AD=CD= 4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD=90°，则△MBC面积的最小值为．16(2023春·全国·八年级专题练习)如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD=3cm．点P,Q分别为AB,AD 上的两个定点且BP=AQ=1cm，点M为线段BD上一动点，连接PM,QM，则PM+QM的最小值为cm．17(2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习)如图，在周长为12的菱形ABCD中，DE=1，DF=2，若P为对角线AC上一动点，则EP+FP的最小值为．18(2023春·上海·八年级专题练习)如图，直线y=x+4与x轴，y轴分别交于A和B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，P为OA上一动点，当PC+PD的值最小时，点P的坐标为．19(2023秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末)如图，抛物线y=x2-4x+3与x轴分别交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接MA,MC,AC，则△MAC周长的最小值是．20(2023秋·浙江温州·九年级校考期末)如图所示，∠ACB=60°，半径为2的圆O内切于∠ACB．P为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM+2PN的取值范围为．3三、解答题21(2022春·江苏·九年级专题练习)综合与探究如图，已知抛物线y=ax2+bx+4经过A-1,0两点，交y轴于点C．，B4,0(1)求抛物线的解析式，连接BC，并求出直线BC的解析式；(2)请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，此时点P的坐标是；(3)点Q在第一象限的抛物线上，连接CQ，BQ，求出△BCQ面积的最大值．22(2023秋·江苏淮安·八年级统考期末)如图1，直线AB:y=-x+6分别与x,y轴交于A,B两点，过点B的直线交x轴负半轴于点C-3,0．(1)请直接写出直线BC的关系式：(2)在直线BC上是否存在点D，使得S△ABD=S△AOD若存在，求出点D坐标：若不存请说明理由；(3)如图2，D11,0，P为x轴正半轴上的一动点，以P为直角顶点、BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA,QD．请直接写出QB-QD的最大值：．23(2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习)△ABC 中，∠B =60°．(1)如图1，若AC >BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，且AD =3BD ．证明：∠A =30°；(2)如图2，若AC <BC ，取AC 中点E ，将CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，连接BF 并延长至G ，使BF =FG ，猜想线段AB 、BC 、CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若AC =BC ，P 为平面内一点，将△ABP 沿直线AB 翻折至△ABQ ，当3AQ +2BQ +13CQ 取得最小值时，直接写出BP CQ的值．24(2023春·江苏·八年级专题练习)定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt△ABC中，∠A= 90°，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接DE、DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，且连接PM、PN．(1)观察猜想线段PM与PN填(“是”或“不是”)“等垂线段”．(2)△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD，CE，试判断PM与PN是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若DE=2，BC=4，请直接写出PM与PN的积的最大值．25(2022秋·江西上饶·八年级校考阶段练习)在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，其中A-1，1，，B4，3C4，-1处各有一颗棋子．(1)如图1，依次连接A，B，C，A，得到一个等腰三角形(BC为底边)，请在图中画出该图形的对称轴．(2)如图2，现x轴上有两颗棋子P，Q，且PQ=1(P在Q的左边)，依次连接A，P，Q，B，使得AP+PQ+QB的长度最短，请在图2中标出棋子P，Q的位置，并写出P，Q的坐标．1126(2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末)已知△CDE 与△ABC 有公共顶点C ，△CDE 为等边三角形，在△ABC 中，∠BAC =120°．(1)如图1，当点E 与点B 重合时，连接AD ，已知四边形ABDC 的面积为23，求AB +AC 的值；(2)如图2，AB =AC ，A 、E 、D 三点共线，连接AE 、BE ，取BE 中点M ，连接AM ，求证：AD =2AM ；(3)如图3，AB =AC =4，CE =2，将△CDE 以C 为旋转中心旋转，取DE 中点F ，当BF +34AF 的值最小时，求tan ∠ABF 的值．。

专题51 三角形面积有关的最值问题 【规律总结】 关键是确定动点到定直线的最小距离，有函数法、也有几何法； 【典例分析】 例1．（2020·湖北武汉市·九年级月考）如图，AC为边长为23的菱形ABCD的对角线，60ABC，点M，N分别从点B，C同时出发，以相同的速度沿,BCCA向终点C和A

运动，连接AM和BN，求APB△面积的最大值是（ ）

A．23 B．423 C．13 D．3 【答案】D 【分析】 由题意易得BMCN，易证△ABM△△BCN，则有NBCBAM，进而可得120APB，然后可知点P的运动轨迹是一个圆弧，则当APB△为等腰三角形时，ABP△的面积最大，进而问题可求解．

【详解】 解：由M，N点的速度相同可知BMCN， △四边形ABCD是菱形，△ABC=60°， △AB=BC，△ABC=△ACB=60°， △ABMBCN≌△△（SAS）， △NBCBAM， 又△60NBCABN， △60BAMABNAPN， △120APB， 又△AB为定长，120APB， △点P的运动轨迹为一个圆弧，在APB上运动，圆心Q的位置为AB、BP的垂直平分线的交

点，点P在以Q为圆心QB为半径的圆上，由优弧AB的圆周角为120°可得劣弧AB所对的圆心角度数为120°，过点Q作QH△AB，交AB于点E，AB于点H，连接BQ，如图所示：

△当点P与点H重合时，此时△ABP的面积为最大， 又△23AB，△APB=120°， △3BE，△BQE=60°， △2,1sin60tan60BEBEBQQE， △EH=1， △AB边上的高为1， △ABP△的面积最大值为3； 故选D． 【点睛】 本题主要考查圆的基本性质及三角函数，熟练掌握圆的基本性质及三角函数是解题的关键． 例2．（2020·四川绵阳市·东辰国际学校九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP，OP，

2021年中考数学抛物线压轴题二次函数最值问题专题训练一．解答题（共10小题）1．（2020•青白江区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+√22CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2020•日照三模）如图1，点A在x轴上，OA＝4，将OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的函数解析式；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点P使得以P、O、B三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）如图2，OC＝4，⊙A的半径为2，点M是⊙A上的一个动点，求MC+12OM的最小值．3．（2019秋•开福区校级期中）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB 交于点M．（1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；（2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；′（3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB'+√22QB的最小值．4．（2019秋•金安区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点M（﹣4，6）和点N（2，﹣6）．（1）试确定该抛物线的函数表达式；（2）若该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C①试判断△ABC的形状，并说明理由；②在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使PM+PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．5．（2019•中原区校级四模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP 为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+12MB的最小值以及此时点M、N的坐标．6．（2020•武侯区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2√33x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y=−√33x+√3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．7．（2019秋•河北区期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A （﹣1，0），C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为线段BC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，是否存在这样的P 点，使线段PD 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的顶点为E ，EF ⊥x 轴于点F ，N 是直线EF 上一动点，M （m ，0）是x 轴一个动点，请直接写出CN +MN +12MB 的最小值以及此时点M 、N 的坐标，直接写出结果不必说明理由．8．（2020•莫旗一模）如图，二次函数y =−12x 2+32x +2的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．点P 是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P 的横坐标为x ． （1）写出线段AC ，BC 的长度：AC ＝ ，BC ＝ ； （2）记△BCP 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式；（3）过点P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，连结AH ，AP ，设AP 与BC 交于点K ，探究：是否存在四边形ACPH 为平行四边形？若存在，请求出PK AK的值；若不存在，请说明理由，并求出PKAK的最大值．9．（2019秋•泰安期中）如图，对称轴x ＝﹣1的抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （2，0），B 两点，与y 轴交于点C （0，﹣2）， （1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值；（3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，且PE=14OD，求点P的坐标；（4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由．10．（2020•余干县模拟）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，−83），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和AEAB的值．2021年中考数学抛物线压轴题二次函数最值问题专题训练参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2020•青白江区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+√22CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）OA＝3OB＝3，则点B（﹣1，0），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点P作y轴的平行线交CA于点H，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3△ACP的面积=12PH×OA=12×3×（x2﹣2x+3+x﹣3）=32（﹣x2+3x），当x=32时，△ACP的面积的最大，最大值为：278，此时点P（32，154）；（3）过点M作MN⊥AC，则MN=√22CM，故当B、M、N三点共线时，BM+√22CM＝BN最小，直线CA的倾斜角为45°，BN⊥AC，则∠NBA＝45°，即BN=√22AB＝2√2=AN，则点N（1，2），由点B、N的坐标得，直线BN的表达式为：y＝x+1，故点M（0，1）．2．（2020•日照三模）如图1，点A在x轴上，OA＝4，将OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的函数解析式；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点P使得以P、O、B三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）如图2，OC＝4，⊙A的半径为2，点M是⊙A上的一个动点，求MC+12OM的最小值．【解答】解：（1）如图1，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，∴∠BDO ＝90°，∵OA 绕点O 逆时针旋转120°至OB ，∴OB ＝OA ＝4，∠AOB ＝120°，B 在第二象限， ∴∠BOD ＝60°， ∴sin ∠BOD =BD OB =√32，cos ∠BOD =OD OB =12， ∴BD =√32OB ＝2√3，OD =12OB ＝2， ∴B （﹣2，2√3），设过点A （4，0），B （﹣2，2√3），O （0，0）的抛物线解析式为y ＝ax 2+bx +c ， ∴{16a +4b +c =04a −2b +c =2√3c =0，解得：{a =√36b =−2√33c =0，∴抛物线的函数解析式为y =√36x 2−2√33x ； （2）存在△POB 为等腰三角形，∵抛物线与x 轴交点为A （4，0），O （0，0）， ∴对称轴为直线x ＝2， 设点P 坐标为（2，p ），则OP 2＝22+p 2＝4+p 2，BP 2＝（2+2）2+（p ﹣2√3）2＝p 2﹣4√3p +28，①若OP ＝OB ＝4，则4+p 2＝42 解得：p 1＝2√3，p 2＝﹣2√3，当p ＝﹣2√3时，∠POA ＝60°，即点P 、O 、B 在同一直线上， ∴p ≠﹣2√3， ∴P （2，2√3），②若BP ＝OB ＝4，则p 2﹣4√3p +28＝42 解得：p 1＝p 2＝2√3， ∴P （2，2√3）；③若OP ＝BP ，则4+p 2＝p 2﹣4√3p +28， 解得：p ＝2√3， ∴P （2，2√3）；综上所述，符合条件的点P 只有一个，坐标为（2，2√3）；（3）在OA 上取点K ，使AK ＝1，连接CK 交圆与点M ，连接OM 、CM ，此时，MC +12OM ＝MC +KM ＝CK 为最小值， 理由：∵AK ＝1，MA ＝2，OA ＝4， ∴AM 2＝AK •OA ，而∠MAO ＝∠OAM ， ∴△AKM ∽△AMO ，∴KM OM=12，即：MC +12OM ＝MC +KM ＝CK ， CK =√42+33=5，即：MC +12OM 的最小值为CK ＝5．3．（2019秋•开福区校级期中）如图，直线y ＝x +2与抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2+m 交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，抛物线的对称轴与直线AB 交于点M ．（1）当四边形CODM 是菱形时，求点D 的坐标； （2）若点P 为直线OD 上一动点，求△APB 的面积；′（3）作点B 关于直线MD 的对称点B '，以点M 为圆心，MD 为半径作⊙M ，点Q 是⊙M 上一动点，求QB '+√22QB 的最小值．【解答】解：（1）∵D （m ，m ），OD =√2m ，四边形CODM 为菱形， ∴OD ＝OC ＝2=√2m ， ∴m =√2， ∴D （√2，√2）；（2）∵y ＝x +2与抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2+m 交于A 、B 两点， ∴联立{y =x 2−2mx +m 2+m y =x +2，解得{x 1=m −1y 1=m +1，{x 2=m +2y 2=m +4，∵点A 在点B 的左侧，∴A （m ﹣1，m +1），B （m +2，m +4），∴AB =√(m −1−m −2)2+(m +1−m −4)2=3√2， ∵直线OD 的解析式为y ＝x ，直线AB 的解析式为y ＝x +2， ∴AB ∥OD ，两直线AB 、OC 之间距离h ＝2×√22=√2， ∴S △APB =12AB •h =12×3√2×√2=3；（3）∵A （m ﹣1，m +1），B （m +2，m +4）， ∴AM ＝1×√2=√2，BM ＝2×√2=2√2，由M 点坐标（m ，m +2），D 点坐标（m ，m ）可知以MC 为半径的圆的半径为 （m +2）﹣m ＝2，取MB 的中点N ，连接QB 、QN 、QB ′，∴MN =12BM =12×2√2=√2， ∵MN QM=QM BM=√22，∠QMN ＝∠BMQ ， ∴△MNQ ∽△MQB ， ∴QN QB=MN QM=√22， ∴QN =√22QB ，由三角形三边关系，当Q 、N 、B ′三点共线时QB ′+√22QB 最小， ∵直线AB 的解析式为y ＝x +2， ∴直线AB 与对称轴夹角为45°， ∵点B 、B ′关于对称轴对称， ∴∠BMB ′＝90°，由勾股定理得，QB ′+√22QB 最小值为B 'N =√B′M 2+MN 2=√(2√2)2+(√2)2=√10． 即QB '+√22QB 的最小值是√10．4．（2019秋•金安区校级月考）已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4经过点M （﹣4，6）和点N （2，﹣6）．（1）试确定该抛物线的函数表达式；（2）若该抛物线与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ①试判断△ABC 的形状，并说明理由；②在该抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PM +PC 的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点M 、N 的坐标代入抛物线表达式得：{16a −4b −4=64a +2b −4=−6，解得：{a =14b =−32， 故抛物线的表达式为：y =14x 2−32x ﹣4；（2）①y =14x 2−32x ﹣4，令y ＝0，则x ＝﹣2或8，x ＝0，则y ＝﹣4， 故点A 、B 、C 的坐标分别为：（﹣2，0）、（8，0）、（0，﹣4）， 则函数的对称轴为：x ＝3， 则AB ＝10，BC =√80，AC =√20，则AB 2＝BC 2+AC 2，故△ABC 为直角三角形；②作点M 关于函数对称轴的对称点D （10，6）， 连接CD 交函数对称轴于点P ，则点P 为所求，将点CD 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 并解得： 直线CD 的表达式为：y ＝x ﹣4， 当x ＝3时，y ＝﹣1，故点P （3，﹣1）， 此时PM +PC 的值最小为CD ＝10√2．5．（2019•中原区校级四模）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，已知A （﹣1，0），C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，当△CDP 为等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E ，EF ⊥x 轴于点F ，N 是直线EF 上一动点，M （m ，0）是x 轴一个动点，请直接写出CN +MN +12MB 的最小值以及此时点M 、N 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，把A （﹣1，0），C （0，3）代入解析式得， ∴{−1−b +c =0c =3， 解得b ＝2，c ＝3．故该抛物线解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3．（2）令﹣x 2+2x +3＝0， 解得x 1＝﹣1，x 2＝3， 即B （3，0），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ′， 则{b′=33k +b′=0，解得：{k =−1b′=3，故直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3； ∴设P （t ，3﹣t ）， ∴D （t ，﹣t 2+2t +3），∴PD ＝（﹣t 2+2t +3）﹣（3﹣t ）＝﹣t 2+3t ， ∵OB ＝OC ＝3，∴△BOC 是等腰直角三角形， ∴∠OCB ＝45°，当CD ＝PC 时，则∠CPD ＝∠CDP ， ∵PD ∥y 轴，∴∠CPD ＝∠OCB ＝45°， ∴∠CDP ＝45°， ∴∠PCD ＝90°，∴直线CD 的解析式为y ＝x +3，解{y =x +3y =−x 2+2x +3 得{x =0y =3 或{x =1y =4，∴D （1，4）， 此时P （1，2）；当CD ＝PD 时，则∠DCP ＝∠CPD ＝45°， ∴∠CDP ＝90°， ∴CD ∥x 轴， ∴D 点的纵坐标为3，代入y ＝﹣x 2+2x +3得，3＝﹣x 2+2x +3， 解得x ＝0或x ＝2， 此时P （2，1）；当PC ＝PD 时，∵PC =√2t ， ∴√2t ＝﹣t 2+3t ， 解得t ＝0或t ＝3−√2， 此时P （3−√2，√2）；综上，当△CDP 为等腰三角形时，点P 的坐标为（1，2）或（2，1）或（3−√2，√2）．（3）CN+MN+12MB的最小值为3√3+32，N坐标为（1，3−√3），M坐标为（√3，0）．理由如下：如图，取G点坐标为（0，−√3），连接BG，∵B（3，0），∴直线BG解析式为：y=√33x−√3，∴tan∠GBO=√33，∴∠GBO＝30°，过M点作MB′⊥BG，∴B′M=12 BM，∴CN+MN+12MB＝CN+MN+B′M，∴CN+MN+12MB取最小值时，C、M、N、B′在同一条直线上，即CB′⊥BG，设直线CB′解析式为y=−√3x+b，∵C（0，3）故直线CB′解析式为为y=−√3x+3，∵抛物线的顶点为E坐标为（1，4），EF⊥x轴，N在EF、CB′上，∴N坐标为（1，3−√3），M（m，0）是x轴一个动点，也是CB′与x轴交点，∴M（√3，0）．∵CG＝3+√3，∠CGB＝60°，∴CB′＝CG sin∠CGB＝（3+√3）×√32=3√3+32，综上所述：CN+MN+12MB的最小值为3√3+32，N坐标为（1，3−√3），M坐标为（√3，0）．6．（2020•武侯区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2√33x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y=−√33x+√3．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）y=−√33x+√3，过点B，C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，√3），则c=√3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a=−√3 3，故抛物线的表达式为：y=−√33x2+2√33x+√3；（2）①当∠PCM＝90°时，由点A、B、C的坐标知，△ABC为直角三角形，故AC⊥BC，当△PCM为直角三角形时，点P与点A重合，∴点P（﹣1，0）；②当∠CPM＝90°时，则点C、P关于函数对称轴对称，此时点P（2，√3），故点P的坐标为（﹣1，0）或（2，√3）；（3）存在，理由：点P（2，√3），设图象沿BC方向向左平移3m个单位，则向上平移√3m个单位，则平移后点B′、P′的坐标分别为：（3﹣3m，√3m）、（2﹣3m，√3m+√3），点E（1，0），分别过点A、E作直线BC的平行线n、m，过点B′作直线m的对称点B″，则EB′＝EB″，当B″、E、P′三点共线时，EB'+EP'＝EB″+EP′＝B″P′最小；点E是AB的中点，则直线m与直线n、直线m与直线BC等距离，则点B″在直线n 上，直线BC的倾斜角为30°，则直线B′B″的倾斜角为60°，则设直线B′B″的表达式为：y=√3x+b，将点B′的坐标代入上式并解得：直线B′B″表达式为：y=√3x+（4√3m﹣3√3）…①，设过点A的直线n的表达式为：y=−√33x+b′，将点A的坐标代入上式并解得：直线n的表达式为：y=−√33（x+1）…②，联立①②并解得：x＝2﹣3m，故点B″（2﹣3m，√3m−√3），而P′（2﹣3m，√3m+√3），故EB'+EP'的最小值B″P′＝2√3．7．（2019秋•河北区期末）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+12MB的最小值以及此时点M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由．【解答】解：（1）y＝﹣x2+bx+c经过点C，则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式：y＝﹣x2+bx+3并解得：b＝2，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，理由：令y＝0，则x＝﹣1或3，故点B（3，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点P（x，﹣x+3），则PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，当x=32时，PD最大值为：94；（3）过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CH⊥BH交于点H，CH交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求，直线BH 表达式中的k 值为√33，则直线CH 的表达式为：y =−√3x +3， 当x ＝1时，y ＝3−√3，当y ＝0时，x =√3， 故点N 、M 的坐标分别为：（1，3−√3）、（√3，0）， CN +MN +12MB 的最小值＝CH ＝CM +FH =3+3√32． 8．（2020•莫旗一模）如图，二次函数y =−12x 2+32x +2的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ．点P 是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P 的横坐标为x ． （1）写出线段AC ，BC 的长度：AC ＝ √5 ，BC ＝ 2√5 ； （2）记△BCP 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式；（3）过点P 作PH ⊥BC ，垂足为H ，连结AH ，AP ，设AP 与BC 交于点K ，探究：是否存在四边形ACPH 为平行四边形？若存在，请求出PK AK的值；若不存在，请说明理由，并求出PKAK的最大值．【解答】解：（1）二次函数y =−12x 2+32x +2， 当x ＝0时，y ＝2， ∴C （0，2）， ∴OC ＝2，当y ＝0时，−12x 2+32x +2＝0， 解得：x 1＝4，x 2＝﹣1， ∴A （﹣1，0），B （4，0）， ∴OA ＝1，OB ＝4，由勾股定理得：AC =2+12=√5，BC =√22+42=2√5； 故答案为：√5，2√5； （4分） （2）∵B （4，0），C （0，2），∴直线BC的解析式为：y=−12x+2，如图1，过P作PD∥y轴，交直线BC于D，设P（x，−12x2+32x+2），则D（x，−12x+2），∴PD＝（−12x2+32x+2）﹣（−12x+2）=−12x2+2x，有S=12PD•OB=12×4（−12x2+2x）＝﹣x2+4x（0＜x＜4）；（6分）（3）不存在，如图2，∵AC2+BC2=(√5)2+(2√5)2=25＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即AC⊥BC，∵PH⊥BC，∴AC∥PH，要使四边形ACPH为平行四边形，只需满足PH＝AC=√5，（10分）∴S=12BC•PH=12×2√5×√5=5，∵而S＝﹣x2﹣4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4，所以不存在四边形ACPH为平行四边形，∵AC∥PH，∴△AKC∽△PHK，∴PKAK =PHAC=√5=S√5√5=15S≤45；∴PKAK 的最大值是45．（12分）（说明：写出不存在给1分，其他说明过程酌情给分）9．（2019秋•泰安期中）如图，对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值；（3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，且PE=14OD，求点P的坐标；（4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，∴B（﹣4，0）．设抛物线解析式是：y＝a（x+4）（x﹣2）（a≠0）．把C（0，﹣2）代入，得a（0+4）（0﹣2）＝﹣2．解得a=1 4．故该抛物线解析式是：y=14（x+4）（x﹣2）或y=14x2+12x﹣2；（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（﹣4，0），C（0，﹣2）代入得{−4m−2=0n=−2，解得{m=−12 n=−2，∴直线BC 的解析式为y =−12x ﹣2；作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，如图，设P （t ，14t 2+12t ﹣2），则Q （t ，−12t ﹣2），则PQ =−12t ﹣2﹣（14t 2+12t ﹣2）=−14t 2﹣t ， S △PBC ＝S △PBQ +S △PCQ =12•PQ •4=−12t 2﹣2t =−12（t +2）2+2，当t ＝﹣2时，△PBC 面积有最大值，最大值为2，此时P 点坐标为（﹣2，﹣2）；（3）设D （m ，0），∵DP ∥y 轴，∴E （m ，−12m ﹣2），P （m ，14m 2+12m ﹣2）， ∵PE =14OD ，∴|﹣m |＝4|−12m ﹣2−14m 2−12m +2|，∴m 2+3m ＝0或m 2+5m ＝0，∴m ＝﹣3，m ＝0（舍去）或m ＝﹣5，m ＝0（舍去）∴P （﹣3，−54）或P （﹣5，74）；（4）∵点A 、B 关于对称轴对称，∴点M 为BC 与对称轴的交点时，MA +MC 的值最小，此时△AMC 的周长最小．∵直线BC的解析式为y=−12x﹣2．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∴当x＝﹣1时，y=−3 2．∴抛物线对称轴上存在点M（﹣1，−32）符合题意，此时△AMC周长的最小值为AC+BC＝2√2+2√5．10．（2020•余干县模拟）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，−83），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和AEAB的值．【解答】解：（1）由题意可列方程组：{c=−2a−2a+c=−83，解得：{a=23c=−2．故抛物线解析式为：y=23x2−43x﹣2；（2）连结BE，由（1）知，抛物线解析式为：y=23x2−43x﹣2，令y ＝0，则0=23x 2−43x ﹣2∴x ＝﹣1或x ＝3，∴A （﹣1，0），B （3，0），∴AB ＝4，∵∠AOC ＝90°，∴AC =√5，设直线AC 的解析式为：y ＝kx +b ，则{−k +b =0b =−2， 解得：{k =−2b =−2． ∴直线AC 的解析式为：y ＝﹣2x ﹣2；当△AOC ∽△AEB 时S △AOCS △AEB =（AC AB ）2＝（√54）2=516， ∵S △AOC ＝1，∴S △AEB =165，∴12AB ×|y E |=165，AB ＝4，则y E =−85， 则点E （−15，−85）；由△AOC ∽△AEB 得：AO AC =AE AB =√5，∴AE AB =√55．。

挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编专题05二次函数中特殊平行四边形存在性问题一．平行四边形的存在性1．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．2．（2022•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022•攀枝花）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为﹣1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）．（1）求二次函数的表达式；（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D（﹣2，﹣）两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）5．（2022•资阳）已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B （﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．二．矩形的存在性6．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2021•齐齐哈尔）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是2；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．9．（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形P ABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2023•秦都区校级二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，且OC＝3OA，点D为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点F为坐标平面内一点，在第一象限的抛物线上是否存在点E，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，请求出符合条件的点E的横坐标；若不存在，请说明理由．7．（2022•元宝区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是11；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．8．（2022•鱼峰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．三．菱形的存在性9．（2022•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P 作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．11．（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2021•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2021•娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b、c的值；（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．14．（2021•山西）综合与探究如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．15．（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。

专题05最短路径的三种考法类型一、坐标系的最值问题（和最小，差最大问题）【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及最小值问题；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，角形全等是解题的关键．【变式训练1】如图所示，点(,0)A a ，(0,)B b ，且a ，b 满足2(1)|22|a b -+-轴上异于原点O 和点A 的一个动点，连接PB ，以线段PB 为边构造等腰直角点），连接AE ．(1)如图1所示，直接写出点A 的坐标为，点B 的坐标为；(2)如图2所示，当点P 在点O ，A 之间运动时，则AB 、AE 之间的位置关系为；并加以证明；(3)如图3所示，点P 在x 轴上运动过程中，若AE 所在直线与y 轴交于点F ，请直接写出点的坐标为，当OE BE +的值最小时，请直接写出此时OE 与BE 之间的数量关系【答案】(1)(1,0)，(0,1)；(2)垂直，见解析；(3)(0,1)-，2=BE OE【分析】（1）根据非负数的性质得到1a =，1b =，得到1OA =，1OB =，于是得到结果；（2）过点E 作EH x ⊥轴于H ，证明(AAS)BOP PHE ≌，由全等三角形的性质得出1,OB PH OA OP EH ====，由等腰直角三角形的性质得出45OAB ∠=︒，证出EAB ∠则可得出结论；（3）由直角三角形的性质证出1OA OF ==，则可得出(0,1)F -；取点(1,1)G -，连接FG 、OG ，O 与G 关于直线AF 对称，连接BG 交AF 于E ，连接OE ，则OE EG =，根据三角形的面积关系可得出2=BE OE ．【详解】（1）解：∵2(1)|22|0a b -+-=，∴10a -=，220b -=，∴1a =，1b =，∴(1,0)A ，(0,1)B ，故答案为：(1,0)，(0,1)；（2）证明：过点E 作EH x ⊥轴于H ，∵BPE 是等腰直角三角形，∴,90BP PE BPE =∠=︒，∴90BPO EPH ︒∠+∠=，∵90OBP BPO ∠+∠=︒，∴OBP EPH ∠=∠，又∵90BOP PHE ︒∠=∠=，∴(AAS)BOP PHE ≌，∴1OB PH OA ===，OP EH =，∴OP PA PA AH +=+，∴OP AH =，∴.EH AH =，又∵90AHE =︒∠，∴45HAE ∠=︒，∵OA OB =，90AOB ∠=︒，∴45OAB ∠=︒，∴90EAB ∠=︒，∴BA AE ⊥；故答案为垂直；（3）解：∵BA AE ⊥，∴90BAF ∠=︒，∵OA OB =，∴45BAO ∠=︒，∴45OAF ∠=︒，∵90AOF ∠=︒，∴45OAF OFA ∠=∠=︒，∴1OA OF ==，∴(0,1)F -；取点G (1,1)-，连接,FG OG ，∵(0,1)F -，45OFA AFG ∠=∠=︒，∴O 与G 关于直线AF 对称，连接BG 交AF 于E ，连接OE ，则OE EG =，此时OE BE +最小，OE BE EG BE BG +=+=，∵E 到,FB FG 的距离相等，2BF =，1FG =，∴2BFE GFE S S ∆∆=，∴2BE EG =，∴2=BE OE ．故答案为：(0,1)-，2=BE OE ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式训练2】在平面直角坐标系中，B(2，，以OB 为一边作等边△OAB （点A 在x 轴正半轴上）．（1）若点C 是y 轴上任意一点，连接AC ，在直线AC 上方以AC 为一边作等边△ACD ．①如图1，当点D 落在第二象限时，连接BD ，求证：AB ⊥BD ；②若△ABD 是等腰三角形，求点C 的坐标；（2）如图2，若FB 是OA 边上的中线，点M 是FB 一动点，点N 是OB 一动点，且OM+NM 的值最小，请在图2中画出点M 、N 的位置，并求出OM+NM 的最小值．【答案】（1）①见解析；②点C 的坐标为(0，﹣4)或(0，4)；（2）【详解】解：（1）①证明：∵△OAB 和△ACD 是等边三角形，∴BO ＝AO ＝AB ，AC ＝AD ，∠OAB ＝∠CAD ＝60°，∴∠BAD ＝∠OAC ，在△ABD 和△AOC 中，AB AO BAD OAC AD AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△AOC （SAS ），∴∠ABD ＝∠AOC ＝90°，∴AB ⊥BD ；②解：存在两种情况：当点D 落在第二象限时，如图1所示：作BM ⊥OA 于M ，∵B （2，，∴OM ＝2，BM ＝∵△OAB 是等边三角形，∴AO ＝2OM ＝4，同①得：△ABD ≌△AOC （SAS ），∴BD ＝OC ，∠ABD ＝∠OAC ＝90°，若△ABD 是等腰三角形，则BD ＝AB ，∴OC ＝AB ＝OA ＝4，∴C （0，﹣4）；当点D 落在第一象限时，如图1﹣1所示：作BM ⊥OA 于M ，∵B （2，，∴OM ＝2，BM ＝OAB 是等边三角形，∴AO ＝2OM ＝4，同①得：△ABD ≌△AOC （SAS ），∴BD ＝OC ，∠ABD ＝∠OAC ＝90°，若△ABD 是等腰三角形，则BD ＝AB ，∴OC ＝AB ＝OA ＝4，∴C （0，4）；综上所述，若△ABD 是等腰三角形，点C 的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；（2）解：作ON'⊥AB 于N'，作MN ⊥OB 于N ，如图2所示：∵△OAB 是等边三角形，ON'⊥AB ，FB 是OA 边上的中线，∴AN'＝12AB ＝2，BF ⊥OA ，BF 平分∠ABO ，∵ON'⊥AB ，MN ⊥OB ，∴MN ＝MN'，∴N'和N 关于BF 对称，此时OM+MN 的值最小，∴OM+MN ＝OM+MN'＝ON ，∵ONOM+MN ＝OM+NM 的最小值为类型二、几何图形中的最短路径问题例1．如图，已知24AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，1OP =，C 在OA 上，D 在OB 上，E 在OP 上．当CP CD DE ++取最小值时，此时PCD ∠的度数为（）A ．36︒B ．48︒C ．60︒D ．72︒【答案】D 【分析】作点P 关于OA 的对称点P'，作点E 关于OB 的对称点'E ，连接'OP 、'PP 、'OE 、'EE 、''P E ，则由轴对称知识可知=''CP CD DE CP CD DE ++++，所以依据垂线段最短知：当''P C D E 、、、在一条直线上，且'''P E OE ⊥时，CP CD DE ++取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以求出PCD ∠.【详解】解：∵24AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，∴12AOP BOE ∠=∠=︒，作点P 关于OA 的对称点P'，作点E 关于OB 的对称点'E ，连接'OP 、'PP 、'OE 、'EE 、''P E ，则'P C PC =，'E D ED =，'1OP OP ==，'12AOP AOP ∠=∠=︒，'=12BOE BOE ∠∠=︒，【答案】12.5︒【分析】在BC 下方作CNA 时A 、N 、A '三点在同一直线上，即可得到MAD BAC ∠=∠-【详解】解：在BC 下方作则NCA MBA '∠=∠，AM =∴AM AN A N AN AA '+=+≥即AM AN +最小值为AA ∵50BAC ∠=︒，AB AC =∴65ACB ABC ∠=∠=︒，∵BD AC ⊥，∴905040ABD ∠=︒-︒=︒∴40NCA '∠=︒，∴6540105ACA '∠=︒+︒=︒，∴1801052A AC A ︒-''=∠=∠【点睛】本题考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质的运用，一般要考虑线段的性质定理，【变式训练1】如图，在等腰∠的平分线上一动点，连接P是BAC【答案】20【分析】先确定点P是等腰值为BD的长，从而使问题得到解决．【详解】连接PB，是等腰三角形，AB∵ABCA ．8B ．10【答案】C 【分析】连接MA ，AD ，根据ABC S = 得到MC MD AD +＞，当A ，M ，D 计算即可．【详解】解：连接MA ，AD ，∵等腰三角形ABC 的底边BC 的长为∴AD BC ⊥，∴1142422ABC S BC AD AD ==⨯⨯= ∵腰AC 的垂直平分线EF 分别交边∵MA MD AD +＞，∴MC MD AD +＞当A ，M ，D 三点共线时，CM MD +故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，最值，熟练掌握三角形不等式求最值是解题的关键．【变式训练3】如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】D【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），因为AF为定值，所以当AE+EF 最小时，△AEF的周长最小，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小，根据等边三角形的判定和性质即可求出∠CFE的大小．【详解】解：∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∵AF=CF，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小，∵CA=CM，∠ACM=60°，∴△ACM是等边三角形，∵AF=CF，∴FM⊥AC，∴∠CFE′=90°，故选D．【点睛】本题考查轴对称——最短距离问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），本题难度比较大，属于中考选择题中的压轴题．类型三、最短路径问题的实际应用例1.如图1，直线a b ，表示一条河的两岸，且a b ∥现在要在这条河上建一座桥，桥的长度等于河宽度且桥与河岸垂直．使村庄A 经桥过河到村庄B 现在由小明、小红两位同学在图2设计两种：小明：作AD a ⊥，交a b ，于点D ，点C ．在CD 处建桥．路径是---A C D B ．小红：作AD a ⊥，交a b ，于点D ，点C ；把CD 平移至BE ，连AE ，交b 于G ，作GF a ⊥于F ．在FG 处建桥．路径是A G F B ---．（1）在图2中，问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由．（2）假设新桥就按小红的设计在FG 处实施建造了，上游还有一座旧桥，早上10点某小船从旧桥下到新桥下，到达后立即返回，在两桥之间不停地来回行驶，船的航行方向和水流方向与桥保持垂直船在静水每小时14千米，水流每小时2千米，第二天早上6点时小明发现船在两桥之间（未到两桥）且离旧桥40千米处行驶求这两桥之间的距离．【答案】（1）小红设计的路径更短一些，原因见解析；（2）两桥之间的距离为60千米或80017千米或80千米；【详解】解：（1）小红设计的路径更短一些；理由如下：连接CE ，∵DC BE ，且DC BE =，∴DCBE 为平行四边形，可得BE CD =，小红走的路线是：AG GF FB AE BE ++=+，小明走的路线是：AC CD BD AC BE CE ++=++，∵在三角形ACE 中，AC CE AE +>，,所以小明的路线比小红的要长，即：小红设计的路径更短一些；（2）设小船一共走了n 次完整的来回，两桥之间距离为s 千米，由题可得顺流所需时间为14216s s =+，逆流所需要的时间是14212s s =-，所以一个完整来回所需时间为7161248s s s +=，n 次完整的来回所需时间为：748ns ；∵小船早上10点出发，第二天早上6点发现，∴小船行驶了20小时；①若小明发现小船时，船是从旧桥到新桥的，则依题意可得：740204816ns +=，化简可得：ns 120=，∵n 为整数，且s 40>，∴260n s =⎧⎨=⎩，即：两桥之间的距离为60千米；②若小明发现小船时，船是从新桥到旧桥的，则依题意可得：74020481612ns s ++=，化简可得：7ns 3s 800+=，∵n 为整数，且s 40>，∴280017n s =⎧⎪⎨=⎪⎩，或180n s =⎧⎨=⎩；即：两桥之间的距离为80017千米或80千米；综上可得：两桥之间的距离为60千米或80017千米或80千米；例2．如图a ，圆柱的底面半径为4cm ，圆柱高AB 为2cm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线．小明设计了两条路线：路线1：高线AB ＋底面直径BC ，如图a 所示，设长度为1l ．路线2：侧面展开图中的线段AC ，如图b 所示，设长度为2l ．(1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由；(2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为2cm ，高AB 为4cm ”继续按前面的路线进行计算．（结果保留π）最短路径问题:如图（1），点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找到一个点C，使得点C到点A，点B的距离和最短？我们只需连接AB，与直线l相交于一点，可知这个交点即为所求．如图（2），如果点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得这个点到点A、点B的距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B，这时对于直线l上的任一点C，都保持CB＝CB，从而把问题（2）变为问题（1）．因此，线段AB与直线l的交点C的位置即为所求．为了说明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′．因为AB′≤AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC'+C′B，即AC+BC最小．任务：数学思考（1）材料中划线部分的依据是．（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是．（填字母代号即可）A．转化思想B．分类讨论思想C．整体思想迁移应用（3）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝15°，点P为A C边上的动点，点D为AB 边上的动点，若AB＝8cm，则BP+DP的最小值为cm．【答案】（1）两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；（2）A；（3）4【详解】（1）材料中划线部分的依据是两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；故答案为两点之间线段最短或三角形的两边之和大于第三边；（2）材料中解决图（2）所示问题体现的数学思想是转化的思想，故答案为A．（3）如图（3）中，作点B关于点C的对称点B′，连接AB′．作BH⊥AB′于H．作点D关于AC的对称点D′，则PD＝PD′，∴PB+PD＝PB+PD′，根据垂线段最短可知，当点D′与H重合，B，P，D′共线时，PB+PD的最小值＝线段BH的长，∵BC＝CB′，AC⊥BB′，∴AB＝AB′，∴∠BAC＝∠CAB′＝15°，∴∠BAH＝30°，在Rt△ABH中，∵AB＝8cm，∠BAH＝30°，∴BH＝12AB＝4cm，∴PB+PD的最小值为4cm．故答案为4．课后训练A ．4【答案】D 【分析】由勾股定理可得点Q ，交BC 于点P ，根据对称可得：时，AP PQ +最小，再根据垂线段最短，得到【详解】解：在ABC ∴22AB AC BC =-=作A 关于BC 的对称点∵AP PQ A P PQ A Q ''+=+≥，∴当,,A P Q '三点共线时，AP PQ +∵垂线段最短，∴A Q AC '⊥时，连接A C '，∵,A A '关于BC 对称，∴6A B AB '==，∴12AA '=，∵A Q AC '⊥，AB BC⊥∴1122ACA S AA BC AC A Q '''=⋅=⋅ ，即：故选D ．【点睛】本题主要考查利用轴对称求线段和最小问题．最小是解题的关键．A ．100︒B ．【答案】C 【分析】根据要使AMN 关于BC 和ED 的对称点A ('''+2AMN ANM A A ∠∠=∠+∠【详解】解：作A 关于BC 则'A ，''A 即为AMN 的周长最小值．作∵120BAE ∠=︒，∴'60HAA ∠=︒，∴∠∵''A MAA ∠=∠，''A NAE ∠=∠，且'A ∠+∠∴''''+A MAA NAE A AMN ANM ∠+∠+∠+∠=∠∠故选：C ．【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M ，N 的位置是解题关键．4．如图，ACD 中，AB 垂直CD 于点12MCD ACD S S =△△，则点M 到C D 、两点距离之和最小时，【答案】45则D D l '⊥，MD MD '=，此时点作MN CD ⊥于N ，则DD AB CD ⊥ ，AB CD =，∴D DC '∴ 是等腰直角三角形，MD MD '= ，MDD '∴∠=故答案为：45．【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短、性质、三角形面积等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．5．如图，在锐角ABC ∆中，和AB 上的动点，则BM 【答案】92【详解】关于AD的对称点R，作AC边上的高∠，△ABC是锐角三角形平分BACAC上（1）如图2，在平面直角坐标系内，点A 的坐标为()1,1，点B 的坐标为()4,3，动点上，求PA PB +的最小值；（2）如图3，在锐角三角形ABC 中，6AB =，60BAC ∠=︒，BAC ∠的角平分线交BC M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值为______.（3）如图4，30AOB ∠=︒，5OC =，12OD =，点E ，F 分别是射线OA ，OB 上的动点，AD 平分BAC ∠，BH AC ⊥，'''M N M H∴=由对称可得OA 垂直平分'DD ，OB 垂直平分''12,30OD OD AOD AOB ︒∴==∠=∠=''''D OC AOD AOB C OD ∴∠=∠+∠+∠=在''Rt D OC ∆中由勾股定理得'2OC OD +'''2'22212513C D OC OD ∴=+=+=(1)AE =______，ACD ∠=______度；(2)当四边形ACPD 为轴对称图形时，求(3)若CPD △是等腰三角形，求CPD ∠的度数；(4)若点M 在线段CD 上，连接MP 、ME 【答案】(1)4；45(2)4(3)90︒或45︒或67.5︒(4)2【分析】（1）根据题意可得30B ∠=︒，则分ACB ∠，即可求得ACD ∠的度数；（2）根据轴对称图形的性质可得答案；（3）根据题意可得45PCD ∠=︒，分三种情况：三角形内角和定理即可求解；（4）过点M 作MP BC ⊥，点P 关于CM CM =，根据AAS ，可得PCM ≌MP ME MP ME EP ''+=+≥，以此得点EP BC '∥，最后根据解含30度角的直角三角形即可得到结果．【详解】（1）解： 90ACB ∠=︒，A ∠18030B ACB C ∴∠=︒-∠-∠=︒，28AB AC ∴==，点E 是边AB 的中点，142AE AB ∴==MP BC ⊥ ，MP AC '∴⊥，CD 平分ACB ∠，PCM P CM '∴∠=∠，在PCM △和P CM ' 中，MPC MP C PCM P CM CM CM ∠=∠⎧⎪∠=∠='⎨'⎪⎩，∴(AAS)PCM P CM ' ≌PM P M '∴=，CP CP '=MP ME MP ME EP ''+=+≥ ，∴当点E ，M ，P '三点共线时，MP +又 根据垂线段最短，∴当EP AC '⊥时，EP '有最小值，∴EP BC '∥，30AEP B '∴∠=∠=︒，AP E ACB '∠=∠4AE = ，122AP AE '∴==，2CP CP AC AP ''∴==-=．【点睛】本题主要考查轴对称——最短路径问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，角平分线的性质，本题综合性较强，作出辅助线，找到最短路径是解题关键．。

44第8章几何中的最值问题之三角形的面积一、单选题1．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A．12 B．24 C．36 D．48【答案】D【解答】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），即可求解．【解答】解：由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，BC边上的高为8（即此时BP＝8），当y＝8时，PC＝＝＝6，△ABC的面积＝×AC×BP＝×8×12＝48，故选：D．【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．2．将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）A．4cm2B．8cm2C．12cm2D．16cm2【答案】B【分析】当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．【解答】解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，∵∠BAC=90°∠ACB=45°∴AB=AC=4cm，∴S△ABC=12×4×4=8cm2．故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．3．如图，已知直线5-512y x=与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A是以D（0，2）为圆心，2为半径的⊙D上的一个动点，连接AC、AB，则△ABC面积的最小值是（）A．30 B．29 C．28 D．27 【答案】B【分析】过D作DM⊥BC于M，连接BD，则由三角形面积公式得，12BC×DM=12OB×CD，可得DM，可知圆D上点到直线5-512y x=的最小距离，由此即可解决问题．【解答】过D作DM⊥BC于M，连接BD，如图，令0y =，则12x =，令0x =，则5y =-，∴B （12，0），C （0，-5），∴OB=12，OC=5，BC=2222125OB OC +=+=13，则由三角形面积公式得，12BC×DM=12OB×CD ， ∴DM=8413， ∴圆D 上点到直线5-512y x =的最小距离是845821313-=， ∴△ABC 面积的最小值是1581329213⨯⨯=． 故选：B ．【点评】本题考查了一次函数的应用、勾股定理的应用、圆的有关性质，解此题的关键是求出圆上的点到直线BC 的最大距离以及最小距离．4．如图，∠AOB ＝45°，点M 、N 分别在射线OA 、OB 上，MN ＝6，△OMN 的面积为12，P 是直线MN 上的动点，点P 关于OA 对称的点为P 1，点P 关于OB 对称点为P 2，当点P 在直线NM 上运动时，△OP 1P 2的面积最小值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．18【答案】B【分析】连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．首先利用三角形的面积公式求出OH，再证明△OP1P2是等腰直角三角形，OP最小时，△OP1P2的面积最小．【解答】解：连接OP，过点O作OH⊥NM交NM的延长线于H．∵S△OMN＝12•MN•OH＝12，MN＝6，∴OH＝4，∵点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称点为P2，∴∠AOP＝∠AOP1，∠POB＝∠P2OB，OP＝OP1＝OP2∵∠AOB＝45°，∴∠P1OP2＝2（∠POA+∠POB）＝90°，∴△OP1P2是等腰直角三角形，∴OP＝OP1最小时，△OP1P2的面积最小，根据垂线段最短可知，OP的最小值为4，∴△OP1P2的面积的最小值＝12×4×4＝8，故选：B．【点评】本题考查轴对称，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是证明△OP1P2是等腰直角三角形，属于中考常考题型．5．如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E 逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（）A ．16B ．15C ．12D ．11【答案】B 【分析】过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．【解答】解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ， ∴△FEH ∽△EBA ，∴ ,HF HE EF AE AB BE== G 为BE 的中点，1,2FE GE BE ∴==∴ 1,2HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==∴HF 1,4,2x EH == ,DH AE x ∴==CEF DHFC CED EHF S S S S ∆∆∆∴=+-11111(8)8(4)422222x x x x =++⨯--⨯• 2141644x x x x =+--- 2116,4x x =-+∴当12124x -=-=⨯ 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=⨯-+= 故选：B ．【点评】本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．二、填空题6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点D 为AB 边上一点（不与点B 重合），连接CD ，将线段CD 绕点D 逆时针旋转90°，点C 的对应点为E ，连接BE ．若AB ＝6，则△BDE 面积的最大值为_________．【答案】818【分析】作CM ⊥AB 于M ，EN ⊥AB 于N ，根据AAS 证得EDN ≌DCM ，得出EN ＝DM ，然后解直角三角形求得AM ＝3，得到BM ＝9，设BD ＝x ，则EN ＝DM ＝9﹣x ，根据三角形面积公式得到S △BDE ＝12BD EN ⋅＝12x （9﹣x ）＝﹣12（x ﹣4.5）2+818，根据二次函数的性质即可求得． 【解答】解：作CM ⊥AB 于M ，EN ⊥AB 于N ，∴∠EDN+∠DEN＝90°，∵∠EDC＝90°，∴∠EDN+∠CDM＝90°，∴∠DEN＝∠CDM，在EDN和DCM中DEN CDMEND DMC90 ED DC ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴EDN≌DCM（AAS），∴EN＝DM，∵∠BAC＝120°，∴∠MAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AM＝12AC＝12⨯6＝3，∴BM＝AB+AM＝6+3＝9，设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，∴S△BDE＝12BD EN⋅＝12x（9﹣x）＝﹣12（x﹣4.5）2+818，∴当BD＝4.5时，S△BDE有最大值为81 8，故答案为：81 8．【点评】此题主要考查旋转综合题、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质和求最值，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质和利用二次函数求最值．7．如图，⊙O 的直径为5，在⊙O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ，已知BC ：CA ＝4：3，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A ，B 重合），过C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点．则△PCD 的面积最大为______________．【答案】503【分析】由圆周角定理可知A P ∠=∠，再由90ACB PCD ∠=∠=︒可证明~ACB PDC ，最后根据相似三角形对应边成比例，及已知条件BC ：CA ＝4：3，结合三角形面积公式解题即可．【解答】AB 为直径，90ACB ∴∠=︒PC CD ⊥，90PCD ∴∠=︒又CAB CPD ∠=∠~ACB PDC ∴AC BC CP CD∴= BC ：CA ＝4：3，43CD PC ∴= 当点P 在弧AB 上运动时， 12PCD S PC CD =⋅△ 2142233PCD S PC PC PC ∴=⨯⋅= 当PC 最大时，PCD S 取得最大值而当PC 为直径时最大，22505=33PCD S ∴=⨯．【点评】本题考查圆周角定理、三角形面积、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8．已知AB为半圆的直径，AB＝2，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝1，BC＝3，点P为半圆上的动点，则AD，AB，BC，CP，PD围成的图形的面积的最大值是_____．【答案】2【分析】五边形ABCDP的面积＝四边形ABCD的面积﹣△CPD的面积只要求出△CDP面积的最小值，作EF//CD，且与⊙O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，易知此时点P到CD的距离最小，此时△CDP 的面积最小．【解答】解：∵五边形ABCDP的面积＝四边形ABCD的面积﹣△CPD的面积，∴只要求出△CDP面积的最小值，作EF//CD，且与⊙O相切于点P，连接OP延长OP交AD于H，易知此时点P到CD的距离最小，此时△CDP的面积最小，易知AD＝2，∵四边形ABCD的面积＝12（1+3）×2＝4＝12×1×1+12•AD•OH+12•1•3，∴OH2，∴PH2﹣11，∴△CAD的面积最小值为22，∴五边形ABCDP面积的最大值是4﹣（22）＝2．故答案为2+2．【点评】本题主要考查了求解多边形的面积知识点，结合圆的切线的性质进行求解是解题的重要步骤．9．如图，在矩形ABCD中，∠ACB=30°，BC=23，点E是边BC上一动点（点E不与B，C重合），连接AE，AE的中垂线FG分别交AE于点F，交AC于点G，连接DG，GE．设AG=a，则点G到BC边的距离为_____（用含a的代数式表示），ADG的面积的最小值为_____．【答案】42a-23【分析】先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG的长，作辅助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图2，通过画图发现：当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，可计算a的值，从而得结论．【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵∠ACB=30°，3，∴AB=2，AC=4，∵AG=a，∴CG=4a-，如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，Rt△CGH中，∠ACB=30°，∴GH=12CG=42a-，则点G到BC边的距离为42a-，∵HM⊥BC，AD∥BC，∴HM⊥AD，∴∠AMG=90°，∵∠B=∠BHM=90°，∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，∴GM=2﹣GH=422a--=2a，∴S△ADG113232222a aAD MG=⋅=⨯⨯=，当a最小时，△ADG的面积最小，如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，∵FG是AE的垂直平分线，∴AG=EG，∴42aa -=，∴43a =， ∴△ADG 的面积的最小值为34233⨯=， 故答案为：42a -，233． 【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG 的面积最小时点G 的位置是解答此题的关键．10．如图，直线AB 交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，点P 在抛物线1(2)(4)2y x x =--上，则△ABP 面积的最小值为__________．【答案】152【分析】根据直线AB 交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，计算得直线AB 解析式；平移直线AB 到直线CD ，直线CD 当抛物线相交并只有一个交点P 时，△ABP 面积为最小值，通过一元二次方程和抛物线的性质求得点P 坐标；再利用勾股定理逆定理，证明ABP △为直角三角形，从而计算得到△ABP 面积的最小值．【解答】设直线AB 为y kx b =+∵直线AB 交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)∴024k b b =-+⎧⎨-=⎩∴24k b =-⎧⎨=-⎩ ∴直线AB 为24y x =--如图，平移直线AB 到直线CD ，直线CD 为2y x p =-+当2y x p =-+与抛物线1(2)(4)2y x x =--相交并只有一个交点P 时，△ABP 面积为最小值∴()()21242y x py x x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩∴22820x x p -+-=∴()44820p ∆=--= ∴72p =∴2210x x -+=∴1x =将1x =代入1(2)(4)2y x x =--，得32y = ∴31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭∴()2223451224AP ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭2231251424BP ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭2222420AB∴222AB AP BP +=∴ABP △为直角三角形，90BAP ∠= ∴113515=25222ABP AB A S P ⨯=⨯=△即△ABP 面积的最小值为152 故答案为：152． 【点评】本题考查了二次函数、一次函数、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、平移、一元二次方程、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．三、解答题11．如图，已知抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中A 点的坐标是(1，0)，C 点坐标是(4，3)．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在点D ，使△BCD 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点P 是抛物线上AC 下方的一个动点，是否存在点p ，使△PAC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线y ＝x 2-4x +3;（2）D(2，1)；（3）点P 的坐标为5(2，3)4- 【分析】（1）（1） 将A 、C 坐标代入即可；（2）由于BC 长度不变， 要周长最小， 就是让DB DC 最小， 而A 、B 关于对称轴对称， 所以AC 就是DB DC 的最小值， 此时D 点就是AC 与抛物线对称轴的交点；【解答】解：（1）抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A ，点(4,3)C ，∴3016433ab a b ，解得14a b ==-⎧⎨⎩， 所以，抛物线的解析式为243y x x =-+；（2）243(1)(3)y x x x x ，(3,0)∴B ，抛物线的对称轴为2x =； BC 长度不变，BD DC 最小时，BCD ∆的周长最小， A 、B 是关于抛物线对称轴对称的，∴当D 点为对称轴与AC 的交点时，BD DC +最小， 即BCD ∆的周长最小，如图，∴21x y x ，解得：21x y =⎧⎨=⎩，(2,1)D ∴，∴抛物线对称轴上存在点(2,1)D ，使BCD ∆的周长最小；（3）存在，如图，设过点P 与直线AC 平行线的直线为y x m =+，联立243yx m y x x， 消掉y 得，2530x x m ， 2(5)41(3)0m ， 解得：134m =-， 即134m =-时，点P 到AC 的距离最大，ACP ∆的面积最大， 此时52x =，5133244y ， ∴点P 的坐标为5(2，3)4-， 设过点P 的直线与x 轴交点为F ，则13(4F ，0)， 139144AF ， 直线AC 的解析式为1y x =-，45CAB ∴∠=︒，∴点F 到AC 的距离为9292sin 454AF ， 又223(41)32AC ， ACE ∴∆的最大面积122732288=⨯=． 【点评】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题，熟悉相关性质是解题的关键．12．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上，AH＝2，连接CF．（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；（2）当DG＝6时，求△FCG的面积；（3）求△FCG的面积的最小值．【答案】（1）2‘（2）1；（3）（37．【分析】（1）当四边形EFGH为正方形时，则易证AHE≌△DGH，则DG=AH=2；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=90°，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=2（即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2），进而可求三角形面积；（3）先设DG=x，由第（2）小题得，S△FCG=7-x，在△AHE中，AE≤AB=7，利用勾股定理可得HE2≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，进而可求37，从而可得当37GCF的面积最小．【解答】解：（1）∵四边形EFGH为正方形，∴HG=HE，∠EAH=∠D=90°，∵∠DHG+∠AHE=90°，∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DGH=∠AHE，∴△AHE≌△DGH（AAS），∴DG=AH=2；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，∵AB ∥CD ，∴∠AEG=∠MGE ，∵HE ∥GF ，∴∠HEG=∠FGE ，∴∠AEH=∠MGF ，在△AHE 和△MFG 中，∠A=∠M=90°，HE=FG ，∴△AHE ≌△MFG （AAS ），∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH 如何变化，点F 到直线CD 的距离始终为定值2，因此S △FCG =12×FM×GC=12×2×（7-6）=1； （3）设DG=x ，则由（2）得，S △FCG =7-x ，在△AHE 中，AE≤AB=7，∴HE 2≤53，∴x 2+16≤53，∴37∴S △FCG 的最小值为37，此时37，∴当37FCG 的面积最小为（37．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．13．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．【答案】(1)抛物线的表达式为：223y x x =--；(2)POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916；(3) 3,3)Q -或()3,23或11311322⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或1133313--+⎝⎭． 【分析】（1）函数的表达式为：y=a （x+1）（x-3），将点D 坐标代入上式，即可求解；（2）设点()2,23P m m m --，求出32OG m =+，根据()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++，利用二次函数的性质即可求解； （3）分∠ACB=∠BOQ 、∠BAC=∠BOQ ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ 倾斜角，进而求解．【解答】解：(1)函数的表达式为：(1)(3)y a x x =+-，将点D 坐标代入上式并解得：1a =，故抛物线的表达式为：223y x x =--…①；(2)设直线PD 与y 轴交于点G ，设点()2,23P m m m --，将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y sx t =+并解得，直线PD 的表达式为：32y mx m =--，则32OG m =+，()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++， ∵10-<，故POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916； (3)∵3OB OC ==，∴45OCB OBC ︒∠=∠=，∵ABC OBE ∠=∠，故OBE ∆与ABC ∆相似时，分为两种情况：①当ACB BOQ ∠=∠时，4AB =，32BC =，10AC =，过点A 作AH ⊥BC 与点H ，1122ABC S AH BC AB OC ∆=⨯⨯=⨯，解得：22AH =， ∴CH 2则tan 2ACB ∠=，则直线OQ 的表达式为： 2 y x =-…②， 联立①②并解得：3x =±， 故点(3,23)Q -或()3,23-；②BAC BOQ ∠=∠时，3tan 3tan 1OC BAC BOQ OA ∠====∠， 则直线OQ 的表达式为： 3 y x =-…③，联立①③并解得：113x -±=， 故点1133313,22Q ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或1133313,⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭； 综上，点(3,23)Q -或()3,23-或113113,⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或1133313,⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．14．已知抛物线y ＝a （x ﹣1）2过点（3，4），D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点B 、C 均在抛物线上，其中点B （0，1），且∠BDC ＝90°，求点C 的坐标：（3）如图，直线y ＝kx +1﹣k 与抛物线交于P 、Q 两点，∠PDQ ＝90°，求△PDQ 面积的最小值．【答案】（1）y ＝（x ﹣1）2；（2）点C 的坐标为（2，1）；（3）1【分析】（1）将点（3，4）代入解析式求得a的值即可；（2）设点C的坐标为（x0，y0），其中y0＝（x0﹣1）2，作CF⊥x轴，证△BDO∽△DCF得BO DF DO CF=，即1＝0x1y-＝()1x1-，据此求得x0的值即可得；（3）过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG＝4，根据S△PDQ＝12DG•MN列出关于k的等式求解可得．【解答】解：（1）将点（3，4）代入解析式，得：4a＝4，解得：a＝1，所以抛物线解析式为y＝（x﹣1）2；（2）由（1）知点D坐标为（1，0），设点C的坐标为（x0，y0），（x0＞1、y0＞0），则y0＝（x0﹣1）2，如图1，过点C作CF⊥x轴，∴∠BOD＝∠DFC＝90°，∠DCF+∠CDF＝90°，∵∠BDC＝90°，∴∠BDO+∠CDF＝90°，∴∠BDO＝∠DCF，∴△BDO∽△DCF，∴BO DFDO CF=，∴1＝0x1y-＝()1x1-，解得：x0＝2，此时y0＝1，∴点C 的坐标为（2，1）．（3）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 为（x 2，y 2），（其中x 1＜1＜x 2，y 1＞0，y 2＞0），如图2，分别过点P 、Q 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，由y=(x-1)2 ，y=kx+1-k ，得x 2﹣（2+k ）x+k ＝0．∴x 1+x 2＝2+k ，x 1•x 2＝k ．∴MN ＝|x 1﹣x 2|＝()21212x x 4x x +-＝()22k 4k +-＝|2﹣k|．则过点D 作x 轴的垂线交直线PQ 于点G ，则点G 的坐标为（1，1），所以DG ＝1，∴S △PDQ ＝12DG•MN ＝12×1×|x 1﹣x 2|＝()212121x x 4x x 2+-＝12|2﹣k|， ∴当k ＝0时，S △PDQ 取得最小值1．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点．15．如图，已知二次函数213222y x x =-++的图象交x 轴于A (－1，0),B (4，0)，交y 轴于点C ，点P 是直线BC 上方抛物线上一动点（不与B ,C 重合），过点P 作PE ⊥BC ，PF ∥y 轴交BC 与F ，则△PEF 面积的最大值是___________．【答案】45【分析】先证明△PEF ∽△BOC,得出PE EF PF BO OC BC ==，再根据122y x =-+，得出关于x 的二次函数方程，根据顶点坐标公式，求得则△PEF 面积最大值． 【解答】解：设213,222P x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭(0<x<4)， 抛物线213222y x x =-++与y 轴交于C 点，故C(0,2)，∵PF ∥y 轴，PE ⊥BC ，∴∠PFE=∠BCO,又∵∠PEF=∠BOC=90°,∴△PEF ∽△BOC, ∴PE EF PFBO OC BC == ,把B(4,0),C(0,2)代入直线BC 的解析式为122y x =-+， 点1,22F x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ∴221312(2)22222P F x PF y y x x x x =-=-++--+=-+，∴PE=BO·PF BC =4×22221225524x x-+==+ ， EF=OC·PF BC =2×2222211122(2)2225524x x x x x x -+-+-==+ ， ∴221(2)1225PEF x x S PE EF -=⋅= =2221(2)(2)42520x x x ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤--+⎣⎦⎣⎦=，当2x =时，PEF S △取值最大，∴PEF S △的最大值为244205=，故答案为45．【点评】本题考查了三角形的面积及相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质及用含x 的代数式表示出三角形的面积是解题的关键．16．如图，已知点P是∠AOB内一点，过点P的直线MN分别交射线OA，OB于点M，N，将直线MN绕点P旋转，△MON的形状与面积都随之变化．（1）请在图1中用尺规作出△MON，使得△MON是以OM为斜边的直角三角形；（2）如图2，在OP的延长线上截取PC＝OP，过点C作CM∥OB交射线OA于点M，连接MP并延长交OB于点N．求证：OP平分△MON的面积；（3）小亮发现：在直线MN旋转过程中，（2）中所作的△MON的面积最小．请利用图2帮助小亮说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）当点P是MN的中点时S△MON最小．理由见解析．【分析】（1）根据尺规作图，过P点作PN⊥OB于N，交OA于点M；（2）证明三角形全等得P为MN的中点，便可得到结论；（3）过点P作另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，与MC交于于G，证明△PGM≌△PFN，得△PGM与△PFN的面积相等，进而得S四边形MOFG＝S△MON．便可得S△MON＜S△EOF，问题得以解决．【解答】（1）①在OB下方取一点K，②以P为圆心，PK长为半径画弧，与OB交于C、D两点，③分别以C、D为圆心，大于12CD长为半径画弧，两弧交于E点，④作直线PE，分别与OA、OB交于点M、N，故△OMN就是所求作的三角形；（2）∵CM ∥OB ，∴∠C ＝∠PON ，在△PCM 和△PON 中，C PONPC PO CPH OPN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△PCM ≌△PON （ASA ），∴PM ＝PN ，∴OP 平分△MON 的面积；（3）过点P 作另一条直线EF 交OA 、OB 于点E 、F ，设PF ＜PE ，与MC 交于于G ，∵CM ∥OB ，∴∠GMP ＝∠FNP ，在△PGM 和△PFM 中，PMG PNF PM PNMPG NPF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△PGM ≌△PFN （ASA ），∴S △PGM ＝S △PFN∴S 四边形MOFG ＝S △MON ．∵S 四边形MOFG ＜S △EOF ，∴S △MON ＜S △EOF ，∴当点P 是MN 的中点时S △MON 最小．【点评】本题主要考查了图形的旋转性质，全等三角形的性质与判定，三角形的中线性质，关键证明三角形全等．17．如图，已知A ，B 是线段MN 上的两点，4MN =，1MA =，1MB >，以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M ，N 两点重合成一点C ，构成ABC ，设AB x =．（1）求x 的取值范围；（2）求ABC 面积的最大值．【答案】（1）12x <<；（2）22． 【分析】（1）由旋转可得到AC=MA=x ，BC=BN=3-x ，利用三角形三边关系可求得x 的取值范围；（2）过点C 作CD ⊥AB 于D ，设CD=h ，利用勾股定理表示出AD 、BD ，再根据BD=AB-AD 列方程求出h 2，然后求出△ABC 的面积的平方，再根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：（1）∵4MN =，1MA =，AB x =，∴413BN x x =--=-．由旋转的性质，得1MA AC ==，3BN BC x ==-，由三角形的三边关系，得31,31,x x x x --<⎧⎨-+>⎩①② 解不等式①得1x >，解不等式②得2x <，∴x 的取值范围是12x <<．（2）如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ，设CD h =，由勾股定理，得2221AD AC CD h -=-=，2222(3)BD BC CD x h =-=--， ∵BD AB AD =-， ∴222(3)1x h x h --=--，两边平方并整理，得2134-=-x h x ，两边平方整理，得()222832=x x h x -+-．∵ABC 的面积为1122AB CD xh ⋅=， ∴()2222113183222422S xh x x x ⎛⎫⎛⎫==-⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴当32x =时，ABC 面积最大值的平方为12， ∴ABC 面积的最大值为22． 【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的三边关系，勾股定理，二次函数的最值问题，（1）难点在于考虑利用三角形的三边关系列出不等式组，（2）难点在于求解利用勾股定理列出的无理方程．18．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．【答案】（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系； （2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论； （3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【解答】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点， //PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =，PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =2522MN ∴==最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点评】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大． 19．问题提出（1）如图①，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝12，BC ＝16，则AC ＝ ；问题探究（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，点D是AC边上一点，且满足DA＝DB，则CD＝；问题解决（3）如图③，在Rt△ABC中，过点B作射线BP，将∠C折叠，折痕为EF，其中E为BC中点，点F在AC边上，点C的对应点落在BP上的点D处，连接ED、FD，若BC＝8，求△BCD面积的最大值，及面积最大时∠BCD的度数．【答案】（1）20；（2）5；（3）S△BCD＝16；∠BCD＝45°【分析】（1）由勾股定理可求解；（2）由等腰三角形的性质可得∠A＝∠DBA，由余角的性质可得∠DBC＝∠C，可得DB＝DC＝AD＝12 AC＝5；（3）由中点的性质和折叠的性质可得DE＝EC＝4，则当DE⊥BC时，S△BCD有最大值，由三角形面积公式和等腰直角三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝16，∴2214425620AC AB BC=++=，故答案为：20；（2）∵DA＝DB，∴∠A＝∠DBA，∵∠ABC＝90°∴∠A+∠C＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°，∴∠DBC＝∠C，∴DB＝DC，∴DB＝DC＝AD＝12AC＝5，故答案为：5；（3）∵E为BC中点，BC＝8，∵将∠C折叠，折痕为EF，∴DE＝EC＝4，当DE⊥BC时，S△BCD有最大值，S△BCD＝12×BC×DE＝12×8×4＝16，此时∵DE⊥BC，DE＝EC，∴∠BCD＝45°．故答案为：S△BCD＝16；∠BCD＝45°．【点评】本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边中线问题以及三角形中的折叠问题；题目较为综合，其中熟练掌握定义定理是解题的关键．20．如图，已知边长为6的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E，F分别为AB，AD边上的动点，满足BE AF=，连接EF交AC于点G，CE、CF分别交BD于点M，N，给出下列结论：①△CEF是等边三角形；②∠DFC ＝∠EGC；③若BE＝3，则BM＝MN＝DN；④222EF BE DF=+；⑤△ECF面积的最小值为273．其中所有正确结论的序号是______【答案】①②③⑤【分析】由“SAS”可证△BEC≌△AFC，可得CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，可证△EFC是等边三角形，由三角形内角和定理可证∠DFC＝∠EGC；由等边三角形的性质和菱形的性质可求MN＝DN＝BM＝23勾股定理即可求解EF2＝BE2＋DF2不成立；由等边三角形的性质可得△ECF 3EC2，则当EC⊥AB时，△ECF的最小值为34．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∴AB＝BC＝CD＝AD＝AC，∴△ABC，△ACD是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝∠DAC＝60°，∵AC＝BC，∠ABC＝∠DAC，AF＝BE，∴△BEC≌△AFC（SAS）∴CF＝CE，∠BCE＝∠ACF，∴∠ECF＝∠BCA＝60°，∴△EFC是等边三角形，故①正确；∵∠ECF＝∠ACD＝60°，∴∠ECG＝∠FCD，∵∠FEC＝∠ADC＝60°，∴∠DFC＝∠EGC，故②正确；若BE＝3，菱形ABCD的边长为6，∴点E为AB中点，点F为AD中点，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABO＝12∠ABC＝30°，∴AO＝12AB＝3，BO3＝33∴BD＝3∵△ABC是等边三角形，BE＝AE＝3，∴CE⊥AB，且∠ABO＝30°，∴BE3＝3，BM＝2EM，∴BM＝3同理可得DN＝23∴MN＝BD−BM−DN＝23∴BM＝MN＝DN，故③正确；∵△BEC ≌△AFC ，∴AF ＝BE ，同理△ACE ≌△DCF ，∴AE ＝DF ，∵∠BAD≠90°，∴EF 2＝AE 2＋AF 2不成立，∴EF 2＝BE 2＋DF 2不成立，故④错误，∵△ECF 是等边三角形，∴△ECF 面积的34EC 2， ∴当EC ⊥AB 时，△ECF 面积有最小值，此时，EC ＝33，△ECF 面积的最小值为2734，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤．【点评】本题是四边形综合题，考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．21．如图，抛物线2y ax bx c =++与坐标轴交于点()()()0, 31,03,0A B E --、、,点P 为抛物线上动点,设点P 的横坐标为t ．（1）若点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称,求C 点的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P 在第四象限,连接PA PE 、及AE ,当t 为何值时,PAE ∆的面积最大?最大面积是多少?（3）是否存在点P ,使PAE ∆为以AE 为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223;y x x =--（2）当32t =时，S 有最大值278；（3）()()2,5,1,4-- 【分析】（1）根据抛物线上的对称点B 和E ，求出对称轴从而可求出C 点坐标．然后设出抛物线的交点式，再把点A 代入求出a 值即可求出抛物线的解析式；（2）过点P 作y 轴的平行线交AE 于点H ，分别根据抛物线和直线AE 的解析式表示出点P 和点H 的坐标，从而求出线段PH 的长，最后用含t 的式子表示∆APE 的面积，利用二次函数的性质求解；（3）根据两直线垂直时，它们的斜率之积为-1，可求得与直线AE 垂直的直线方程，最后联立方程组可求点P 的坐标．【解答】解：（1）抛物线2y ax bx c =++经过点()()1,03,0,B E -、 ∴抛物线的对称轴为1,x =点()0,3A -，点()2,3C -抛物线表达式为()()()23123,.y a x x a x x =-+=-- 33a ∴-=-,解得1,a =∴抛物线的表达式为223;y x x =--()2如图,过点P 作y 轴的平行线交AE 于点H由点,A E 的坐标得直线AE 的表达式为3,y x =-设点()2,23P t t t --，则(),3H t t - ()()22213333273233222228PAES PH OE t t t t t t ∆⎛⎫∴=•=--++=-+=--+ ⎪⎝⎭ 当32t =时，S 有最大值278()3直线AE 表达式中的k 值为1,则与之垂直的直线表达式中的k 值为1-① 当90PEA ︒∠=时，直线PE 的表达式为1,y x b =-+将点E 的坐标代人并解得13b =,直线PE 的表达式为3,y x =-+联立得2233y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩ 解得2x =-或3（不合题意，舍去）故点P 的坐标为()2,5-② 当90PAE ︒∠=时，直线PA 的表达式为2,y x b =-+将点A 的坐标代人并解得23b =,直线PE 的表达式为3,y x =--联立得2233y x x y x ⎧=--⎨=--⎩解得1x =或0（不合题意，舍去）故点()1,4P -综上，点P 的坐标为()2,5-或（1,-4)【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质，记住两直线垂直时它们的斜率之积为-1；会利用分类讨论的思想解决数学问题．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y ＝kx+b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC ．（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为54，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，当以点A、D、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）(﹣1，0)，y＝ax+a；（2）﹣25；（3）(1，﹣2677)或(1，﹣4)【分析】（1）当y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3）=0，解得x1=-1，x2=3，可得A（﹣1，0），B（3，0），由于直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0）可得k＝b，即得直线l：y＝kx+k，联立抛物线与直线I的解析式为方程组，可得ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，由于CD＝4AC，可得点D的横坐标为4，利用根与系数关系可得﹣3﹣ka＝﹣1×4，求出k＝a，即得直线l的函数表达式为y＝ax+a；（2）如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），可得F（x，ax+a），从而得出EF ＝ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a＝ax2﹣3ax﹣4a，由S△ACE＝S△AFE﹣S△CEF，利用三角形面积公式，可得S△ACE的关系式，利用二次函数的性质即可求出结论．（3）分两种情况讨论，①如图2，若AD是矩形ADPQ的一条边，②如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，据此分别解答即可．【解答】解：（1）当y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x+1）（x﹣3），得A（﹣1，0），B（3，0），∵直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），∴0＝﹣k+b，即k＝b，∴直线l：y＝kx+k，∵抛物线与直线l交于点A，D，∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴﹣3﹣ka＝﹣1×4，∴k＝a，∴直线l的函数表达式为y＝ax+a（2）解：如图1，过E作EF∥y轴交直线l于F，。

专题01 线段周长面积最大值（知识解读）【专题说明】从近几年的各地中考试卷来看，求线段、周长面积的最大问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合。

这个专题为同学们介绍解题方法，供同学们参考。

【方法点拨】考点1：线段、周长最大问题考点2 ：面积最大问题 （1）铅锤法铅锤高水平宽⨯=21S（2）面积方法如图1，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图2，同底三角形的面积比等于高的比．如图3，同高三角形的面积比等于底的比．如图1 如图2 如图3（3）利用相似性质利用相似图形，面积比等于相似比的平方。

【典例分析】【考点1 线段最大值问题】【典例1】（盘锦）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点C，交x 轴于A、B两点，A（﹣2，0），a+b＝，点M是抛物线上的动点，点M在顶点和B点之间运动（不包括顶点和B点），ME∥y轴，交直线BC于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）求线段ME的最大值；【变式1-1】（2022春•丰城市校级期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．求线段PM的最大值；【变式1-2】（2021•柳南区校级模拟）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x．①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②线段PE的长h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x值；若不存在，请说明理由？【典例2】（2022•澄海区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，3），对称轴为x＝1．点M为线段OB上的一个动点（不与两端点重合），过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC 于点Q．（1）求抛物线及直线BC的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．求线段PN的最大值；【变式2】（2022•广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．【考点2 周长最大值问题】【典例3】（2022春•衡阳期中）如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）如图1，点E在线段AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），过点E作ED⊥AB，交AB于点D，作EF⊥AC，交AC于点F，交AB于点M，求△DEM的周长的最大值；【变式3】（2022春•北碚区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+2交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，一次函数y＝﹣x﹣1交抛物线于A，D两点，其中点D（3，﹣4）．（2）点G为抛物线上一点，且在线段BC上方，过点G作GH∥y轴交BC于H，交x 轴于点N，作GM⊥BC于点M，求△GHM周长的最大值；【考点3 面积最大值问题】【典例4】（2021秋•龙江县校级期末）综合与探究如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式，连接BC，并求出直线BC的解析式；（2）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，此时点P的坐标是（，）；（3）点Q在第一象限的抛物线上，连接CQ，BQ，求出△BCQ面积的最大值．【变式4-1】（2022春•南岸区月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，且OC＝3．（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点，连接AC、BC、CP、BP，求四边形PCAB 的面积的最大值，以及此时点P的坐标；【变式4-2】（2022•东方二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过B（3，0）、C（0，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D．（1）求该抛物线的解析式；（2）点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），当点E在直线BC的下方运动时，求△CBE的面积的最大值；【典例5】（聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC．又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．【变式5】（2022•广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC 于点Q．（1）求该抛物线的解析式；（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．专题01 线段周长面积最大值（知识解读）【专题说明】从近几年的各地中考试卷来看，求线段、周长面积的最大问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合。

二次函数几何动点问题（含解析）一、面积最大值问题1.（2020九上·休宁月考）如图，已知二次函数的图象经过点、和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；（3）当点P在直线OA的上方时，求的最大面积．2.（2021·芜湖模拟）如图，抛物线与直线相交于点，，且这条抛物线的对称轴为．（1）若将该抛物线平移使其经过原点，且对称轴不变，求平移后的抛物线的表达式及k的值：（2）设P为直线下方的抛物线上一点，求面积的最大值及此时P点的坐标．3.（2020九上·寻乌期末）已知二次函数的图象的对称轴是直线，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标是．（1）请在平面直角坐标系内画出示意图，并根据图象直接写出时x的取值范围；（2）求此图象所对应的函数关系式；（3）若点P是此二次函数图象上位于x轴上方的一个动点，求面积的最大值．4.（2020九上·瑶海月考）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（-1，0），且对称轴为直线x=1（1）求该抛物线的解析式；（2）点M是第四象限内抛物线上的一点，当△BCM的面积最大时，求点M的坐标；5.（2020·洞头模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．6.（2020九上·山亭期末）己知:如图，抛物线与坐标轴分别交于点，点是线段上方抛物线上的一个动点，（1）求抛物线解析式:（2）当点运动到什么位置时，的面积最大?7.（2020九上·旬阳期末）已知抛物线经过点，，与y轴交于点C.（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，求四边形面积的最大值.8.（2020九上·永年期末）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（）和B（4，6），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当C为抛物线顶点的时候，求的面积.（3）是否存在这样的点P，使的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由.二、等腰三角形问题9.（2020九上·呼和浩特期中）如图，抛物线y= +bx+c的对称轴为x=﹣1，该抛物线与x轴交于A、B 两点，且A点坐标为（1，0），交y轴于C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并予证明．（3）在对称轴上是否存在一点P，使得△ACP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10.（2020·肇东模拟）如图，抛物线与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AB，点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d（d≠0）．求d与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，连接AD，是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．三、直角三角形问题11.（2020九下·扎鲁特旗月考）如图，二次函数的图象经过点，直线与y轴交于点为二次函数图象上任一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点E是直线上方抛物线上一点，过E分别作和y轴的垂线，交直线于不同的两点在G的左侧)，求周长的最大值；（3）是否存在点E，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求点E的坐标；如果不存在，请说明理由．12.（2020九上·芦淞期末）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）点P是（1）中的抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t（0＜t＜3）．①求△PCD的面积的最大值；②是否存在点P，使得△PCD是以CD为直角边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．13.（2020九上·泉州期中）如图，直线交轴于点，交轴于点B，抛物线的顶点为，且经过点．（1）求该抛物线所对应的函数表达式；（2）点是抛物线上的点，是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．四、平行四边形问题14.（2019九上·武威期中）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x﹣3交于，B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D.（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.15.（2020九上·广丰期末）如图二次函数的图像交轴于、，交轴于，直线平行于周，与抛物线另一个交点为.（1）求函数的解析式；（2）若是轴上的动点，是抛物线上的动点，求使以、、、为顶点的四边形是平行四边形的的横坐标.16.（2020九上·桐城期末）已知直线y＝kx＋b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y＝x2相交于B、C两点．（1）如图，当点C的横坐标为1时，求直线BC的表达式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）设，把A点坐标代入得：，∴二次函数的解析式是（2），轴，P在上，∴，∵点，∴直线OA的解析式为y=x，又点C在直线OA上，∴点C（m，m）当点P在直线OA的上方时，，，，，开口向下，当m= 时，PC有最大值，即当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是．（3）∵A点坐标，且PC有最大值，∴．【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）由题意可知，易求得直线OA 的解析式，可得点，由= ，利用二次函数最值求法求解即可；（3）根据点A坐标和PC的最大值即可求解．2.【答案】（1）解：抛物线过点，，且这条抛物线的对称轴为．代入得，解得．∴抛物线为．∵该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，∴平移后的抛物线为．将代入得．（2）解：如图，过P作轴，交于Q．设，则，则．∴．∵∴当时，的面积最大，，当t=2时，∴．【解析】【分析】利用待定系数法求一次函数的解析式和二次函数式的解析式。