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不等式的性质与应用不等式在数学中起到了重要的作用，它不仅仅只是一个数学概念，更是数学知识在实际生活中的应用。
本文将从不等式的基本性质出发，介绍不等式的常见类型及其应用。
一、不等式的基本性质不等式是数学中用于表示大小关系的一种关系式。
在不等式中，一般常用的符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
不等式的性质主要包括以下几点：1. 传递性：如果a > b，b > c，那么a > c。
2. 反对称性：如果a > b，且a < b，则a = b。
3. 加减性：当a > b时，对两边同时加上（或者减去）同一个数c，不等号的方向不发生改变。
例如：若a > b，则a + c > b + c；若a > b，则a - c > b - c。
4. 乘除性：当a > b时，对两边同时乘以（或者除以）同一个正数c，不等号的方向不发生改变；当c为负数时，会改变不等号的方向。
例如：若a > b，则ac > bc；若a > b，则a/c > b/c。
5. 幂对数性：如果a > b，且c > 0，则a^c > b^c；如果a > b，且c< 0，则a^c < b^c。
二、常见的不等式类型及应用1. 一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次式构成的不等式。
常见的一元一次不等式类型有：（1）线性不等式，形如 ax + b > c 或 ax + b < c。
其解集通常表示为一个区间。
（2）带有绝对值的一元不等式，形如 |ax + b| > c 或 |ax + b| < c。
首先需要求得绝对值式子的值域，然后根据不等号的方向确定解集。
2. 一元二次不等式一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次式构成的不等式。
常见的一元二次不等式类型有：（1）二次函数的不等式，形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0。
高中数学知识汇总9. 导数及其应用,n k【注：标准d 根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距】注：1.表中两种形式的双曲线方程对应的渐近线方程分别为y x a =±， y x b=±。
2.表中四种形式的抛物线方程对应的准线方程分别是,,,2222p p p px x y y =-==-=。
型随机变量及其分布及其分布列分布列离散型随机变量的所有取值及取值的概率列成的表格。
性质（1）0(12)ip i n=≥L，，，；（2）121np p p+++=L。
事件的独立性条件概率概念：事件A发生的条件下，事件B发生的概率，()()()P ABP B AP A=|。
性质：0()1P B A|≤≤．,B C互斥，()()()P B C A P B A P C A=+U|||．独立事件事件A与事件B满足()()()P AB P A P B=，事件A与事件B相互独立。
n次独立重复试验每次试验中事件A发生的概率为p，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为()(1)(012)k k n knP X k C p p k n-==-=L，，，，，。
典型分布超几何分布()012k n kM N MnNC CP X k kC--===L，，，，，m，其中{}minm M n=，，且n N≤，且,,,n N M N n M N*∈≤≤N，．＂二项分布分布列为：()(1)(012)k k n knP X k C p p k n-==-=L，，，，，，~()X B n p，。
数学期望EX np=、方差(1)DX np p=-【1n=时为两点分布】正态分布22()21()2πxax eμϕσ--=图象称为正态密度曲线，随机变量X满足()()baP a X b x dxϕ<=⎰≤，则称X的分布为正态分布．正态密度曲线的特点。
数字特征数学期望1122i i n nEX x p x p x p x p=+++++L L()E aX b aEX b+=+方差和标准差方差：21()ni iiDX x EX p==-∑，标准差：X DXσ=2()D aX b a DX+=23. 函数与方程思想,数学结合思想排序不等式设1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤L L 为两组实数，12,,,n c c c L 是12,,,n b b b L 的任意排列， 则121111221122n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≤+++≤+++L L L 14444244443144424443144424443反序和乱序和顺序和， 当且仅当12n a a a ===L 或12n b b b ===L 时反序和等于顺序和。
高中不等式知识点总结（最新最全）不等式的定义a^2+b^2≥2ab，通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z)，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）“≥”、不大于号（小于或等于号）“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
总的来说，用不等号(<，>，≥，≤，≠)连接的式子叫做不等式。
1.不等式的解法（1）同解不等式（(1)与同解；（2）与同解，与同解；（3）与同解）；2．一元一次不等式情况分别解之。
3．一元二次不等式或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。
4．分式不等式分式不等式的等价变形：>0f(x)·g(x)>0，≥0。
5．简单的绝对值不等式解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|0)，|x|>ax2>a2x>a或x<－a(a>0)。
一般地有：|f(x)|g(x)f(x)>g(x)或f(x)6．指数不等式；；8．线性规划（1）平面区域一般地，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示某一侧所有点组成的平面区域。
我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。
当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线。
说明：由于直线同侧的所有点的坐标代入，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域。
特别地，当时，通常把原点作为此特殊点。
（2）有关概念引例：设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值。
由题意，变量所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域。
由图知，原点不在公共区域内，当时，，即点在直线：上，作一组平行于的直线：，，可知：当在的右上方时，直线上的点满足，即，而且，直线往右平移时，随之增大。
专题简单的线性规划考点精要（1）一元二次不等式①会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；②通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程的联系；③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程度框图。
（2）一元一次不等式组与简单线性的规划问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；…②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；③会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
解一元一次不等式、一元二次不等式是解不等式最重要的基础知识和基本技能；简单的线性规划及其应用也是必考的知识点，这两部分几乎年年考，是必备的基础知识和基本技能。
例题精讲:例 1 已知x，y满足280440x yx yx+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，求z=3x+y的最大值与最小值__________________. [例2 不等式组(5)()003x y x yx-++≥⎧⎨≤≤⎩，所表示的平面区域的面积是_________例3 设变量x ，y 满足约束条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数z=ax+y (a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是_____________ 例4 线性规划中的几何问题1、如果点P 在平面区域2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩上，点Q 在曲线22(2)1x y ++=上，那么PQ 的最小值为 。
2、以原点为圆心的圆完全落在区域36020x y x y -+≥⎧⎨+-≤⎩内，则圆的面积的最大值为是 。
3、已知,x y 满足143034230x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩·（1）求yz x=的取值范围。
（2）求22z x y =+的最大、最小值。
针对训练1．设变量x ，y 满足约束条件0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数z =5x+y 的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．设变量x ， y 满足3010350x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，设y=kx ，则k 的取值范围是（ ）、A ．14,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．如果实数x ，y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么z=2x -y 的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．-2D ．-34．在平面直角坐标系中，不等式组20202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是（ ）A．B ．4 C．D ．25．若不等式组5002x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）A ．a <5B ．a ≥7C ．5≤a <7D ．a <5或a≥76．若x ，y 满足约束条件03003x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩，则z=2x -y 的最大值为__________;7．已知点P (x ，y )的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于___，最大值等于___8．已知1102(1)x x y y x ≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥-⎩，则x 2+y 2的最小值是_______________答案:例1 14，1 例2．24 例3．{a |a >12} 针对训练1．D 2．C 3．D 4．B 5．C 6．9 78．5)高考链接1（09北京理）若实数,x y 满足2045x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则s y x =-的最小值为__________。
