一元二次方程的应用 教学设计
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一元二次方程的应用
【教学目标】
列一元二次方程解应用题,会用一元二次方程解决最大利润问题。
【教学重点】
列一元二次方程解应用题,要正确理解题意,分析、寻找数量之间的关系,建立恰当的方程模型,将实际问题抽象成数学模型,即要先解决好数学问题。
【教学难点】
列一元二次方程解应用题,找到等量关系,建立方程解应用题。
【教学过程】
一、复习预习
方程类应用题是初中数学的重要内容,也是中考的重点和热点。近年来各地中考数学试题中,方程应用题占有相当的比重。涉及丰富的现实生活背景,重点对初中所学有关列方程(组)解应用题的知识点进行考查,考查同学们的阅读理解能力、综合分析能力、解决问题的能力,但由于同学们缺乏社会经验与生活常识,再加之有些试题中名词、术语专业性太强、阅读量大、数量关系复杂,客观上给我们解答造成了思维障碍,甚至一些同学见之望而生畏。通过本讲典例学习,你会进一步提高分析、解决问题的能力,获取解决实际问题的技巧。
一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程。
一般表达式:
方程的解:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。
把(A 、B 、C 为常数,a ≠0)称为一元二次方程的一般形式,a 为二次项系数;b 为一次项系数;c 为常数项。
二、知识讲解
考点/易错点1
要正确理解题意,分析、寻找数量之间的关系,建立恰当的方程模型,将实际问题抽象成数学模型,即要先解决好数学问题,再进一步解决应用问题,可应用以下一般方法:认真阅读,理解题意------抽象概括,寻找方程关系------解决数学问题------解决实际问题。
)0(02≠=++a c bx ax 02=++c bx ax
考点/易错点2
列方程(组)解应用题的基本思路:(1)审题→(2)设恰当的未知数→(3)找等量关系,列方程(组)→(4)解方程(组)→(5)检验→(6)答。
考点/易错点3
一元二次方程解应用题的步骤与以前列方程解应用题一样。其中审题是解决问题的基础,找等量关系列方程是关键,恰当灵活地设元,直接影响着列方程与解法的难易,它可以为正确合理的答案提供有利的条件。方程的解必须进行实际题意的检验。
三、例题精析
【例题1】
【题干】某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克。经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克。现该商场要保证每天盈利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?
【答案】解:设每千克水果应涨价x元,
依题意得方程:(500-20x)(10+x)=6000,
整理,得x2-15x+50=0,
解这个方程,得x1=5,x2=10.
要使顾客得到实惠,应取x=5.
答:每千克水果应涨价5元。
【解析】设每千克水果应涨价x元,得出日销售量将减少20x千克,再由盈利额=每千克盈利×日销售量,依题意得方程求解即可。
【例题2】
【题干】某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克。为了促销,该经营户决定降价销售,经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克。
(1)设该经营户将每千克小型西瓜降价x元,请用代数式表示每天的销售量;
(2)若该经营户每天的房租等固定成本共24元,该经营户想要每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
【答案】
解:(1)每天的销售量为(200+),即(200+400x )千克。(2)设应将每千克小型西瓜的售价降低y 元,根据题意,得
(3)(3-y-2)(200+400y )-24=200,
(4)整理,得50y 2-25y+3=0,
(5)解得y=0.2或y=0.3.
(6)∵200+400×0.2<200+400×0.3,
(7)∴y=0.2不合题意,舍去,
(8)答:应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元。
【解析】(1)根据每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克,知每千克小型西瓜降价x
元,则每天可多售出千克;(2)根据利润=总售价-总进价-固定成本,列方程求解。
【例题3】
【题干】)某公司投资新建了一商场,共有商铺30间。据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出。每间的年租金每增加5000元,少租出商铺1间。该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5000元。(收益=租金-各种费用)
(1)当每间商铺的年租金定为13万元时,计算能租出多少间和年收益为多少?
(2)设每间商铺的年租金定为x 万元,年收益为y 万元,求y 与x 的函数关系?
(3)为了使租户得到实惠,每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益为275万元?
【答案】
解:(1)租出间数为:30-(130000-100000)÷5000=30-6=24间;
收益为:(13-1)×24-6×0.5=285万元;
(2)y=(x-1)×[30-(x-10)÷0.5]-[(x-10)÷0.5]×0.5,
=-2x 2+51x-40;
1
.040x 1
.040x
(3)275=-2x2+51x-40,
解得x1=10.5,x2=15
∵使租户得到实惠,
∴x=10.5.
【解析】
(1)租出间数=30-增加了多少个5000元,年收益=租出去的商铺的收益-未租出的商铺的
费用;
(2)年收益=租出去的商铺的收益-未租出的商铺的费用;
(3)把(2)得到的关系式中的函数值等于275计算即可。
四、课堂运用
【基础】商场某种商品平均每天可销售30件,每件盈利50元。为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施。经调查发现,每件商品每降价1元,商场平均
每天可多售出2件。设每件商品降价x元。据此规律,请回答:
(1)商场日销售量增加( )件,每件商品盈利( )元(用含x的代数式表示);
(2)在上述条件不变、销售正常情况下,每件商品降价多少元时,商场日盈利可达
到2100元?
解:(1)降价1元,可多售出2件,降价x元,可多售出2x件,盈利的钱数=50-x,故
答案为2x;50-x;
(2)由题意得:(50-x)(30+2x)=2100(4分)
化简得:x2-35x+300=0,即(x-15)(x-20)=0,
解得:x1=15,x2=20(5分)
∵该商场为了尽快减少库存,
∴降的越多,越吸引顾客,
∴选x=20,
答:每件商品降价20元,商场日盈利可达2100元
解析:(1)降价1元,可多售出2件,降价x元,可多售出2x件,盈利的钱数=原来的
盈利-降低的钱数;
(2)等量关系为:每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100,把相关数值代入计算得到
合适的解即可。