弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图--知识讲解(提高)

弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图--知识讲解（提高）

【学习目标】

1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积

的计算公式，并应用这些公式解决问题；

2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；

3. 能准确计算组合图形的面积.

【要点梳理】

要点一、弧长公式

半径为R的圆中

360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：

n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)

要点诠释：

(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；

(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；

(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

要点二、扇形面积公式

1.扇形的定义

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

2.扇形面积公式

半径为R的圆中

360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：

n°的圆心角所对的扇形面积公式：

要点诠释：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即

；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.

要点三、圆锥的侧面积和全面积

连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.

圆锥的母线长为，底面半径为r ，侧面展开图中的扇形圆心角为n °，则

圆锥的侧面积2

360

l S rl ππ=扇n =， 圆锥的全面积

.

要点诠释：

扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.

【典型例题】

类型一、弧长和扇形的有关计算

1. 如图所示，一纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 、AC 的夹角为120°，BC 的长为20πcm ， 那么AB 的长是多少?

【答案与解析】

∵ 180

n R

l π=

， ∴ 12020180

R

ππ⨯⨯=．

解得 R ＝30 cm ． 答：AB 的长为30cm ． 【总结升华】由弧长公式180

n R

l π=知，已知l 、n ，可求R ． 举一反三：

【高清ID 号：359387 高清课程名称：弧长 扇形 圆柱 圆锥 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题5-6】

【变式】一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为10和16的矩形，则该圆柱的底面圆半径是 ．

【答案】由圆柱的侧面展示图知：2πr=10或2πr=16，解得5

8.r π

π

=或

2.如图所示，矩形ABCD 中，AB ＝1，AD 3BC 的中点E 为圆心的MPN 与AD 相切于点P ，则图中阴影部分的面积是多少?

【答案与解析】

∵ BC ＝AD ＝3，∴ 32

BE =

． 连接PE ，∵ AD 切⊙E 于P 点，∴ PE ⊥AD ． ∵ ∠A ＝∠B ＝90°． ∴ 四边形ABEP 为矩形， ∴ PE ＝AB ＝1．

在Rt △BEM 中，3

3

212

BE ME ==，∠BEM ＝30°． 同理∠CEN ＝30°，∴ ∠MEN ＝180°-30°×2＝120°． ∴ 2212013603603

n R S πππ⨯⨯===扇形

． 【总结升华】由MPN 与AD 相切，易求得扇形MEN 的半径，只要求出圆心角∠MEN 就可以利用扇形面积公式求得扇形MEN 的面积． 举一反三：

【高清ID 号：359387 高清课程名称：弧长 扇形 圆柱 圆锥

关联的位置名称（播放点名称）：经典例题5-6】

【变式】若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（ ）． A ．3:2 B ．3:1 C ．5:3 D ．2:1 【答案】D ；

【解析】设圆锥底面圆的半径为r ，∴S 底=πr 2

，S 侧=•2r•2πr=2πr 2

，∴S 侧：S 底=2πr 2

：πr 2

=2：1．

类型二、圆锥面积的计算

3. 如图（1），从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形． （1）求这个扇形的面积（结果保留π）．

（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．

（3）当⊙O 的半径(0)R R >为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

A B C

O ①

② ③

【答案与解析】

（1）连接BC ，如图（2），由勾股定理求得：

AB AC ==21

3602

n R S π=

=π （2）连接AO 并延长，与弧BC 和

O 交于E F ，，

2EF AF AE =-=-弧BC

的长：1802

n R l π=

=π ， 图（2） 222r π=

π ∴圆锥的底面直径为：22

r =

22-<

，∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥． （3）（

2）中的结论仍然成立.

由勾股定理求得：AB AC ==

弧BC 的长：1802

n R l R π=

=π 2

22

r R π=

π ∴圆锥的底面直径为：

22

r R =

2(2EF AF AE R R =-==

222-<

且0R >

(22

R R ∴<

即无论半径R 为何值，2EF r <

∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．

【总结升华】（1）连接BC 、OA ，由于∠BAC=90°，根据圆周角定理知BC 为⊙O 的直径，根据等腰三角

形的性质即可求出AB 、AC 的长，即扇形的半径长，已知了扇形的圆心角为90°，根据扇形

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