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动力学中的九类常见问题等时圆模型【模型解读】“等时圆”描述了一个物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆 (或光滑斜面)由静止下滑，到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等，这个时间等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间。
这个模型在物理计算中有着重要的应用，特别是在研究物体的运动轨迹和时间关系时。
由2R ·sin θ=12·g sin θ·t 2，可推得t 1=t 2=t 3。
“等时圆”模型的基本特性在于，它揭示了物体在不同路径上运动时，如果路径都在同一个竖直圆上，那么物体到达圆周最低点的时间是相等的。
这一特性不仅适用于光滑细杆，也适用于光滑斜面。
此外，如果物体的运动路径的端点在圆外，那么质点运动的时间会长一些；反之，如果端点在圆内，质点运动的时间则会短一些。
这个模型的应用不仅限于物理学科，它也体现了数学和物理之间的紧密联系。
通过“等时圆”模型，我们可以更好地理解物体在不同条件下的运动规律，以及这些规律如何影响物体的运动时间和路径。
物体在“两类”光滑斜面上的下滑时间的比较第一类：等高斜面(如图1所示)由L =12at 2，a =g sin θ，L =hsin θ可得t =1sin θ2h g ，可知倾角越小，时间越长，图1中t 1>t 2>t 3。
第二类：同底斜面(如图2所示)由L =12at 2，a =g sin θ，L =dcos θ可得t =4d g sin2θ，可见θ=45°时时间最短，图2中t 1=t 3>t 2。
【典例精析】1(2023年7月浙江宁波期末). 滑滑梯是小朋友们爱玩的游戏现有直滑梯AB 、AC 、AD 和BD ，A 、B 、C 、D 在竖直平面内的同一圆周上，且A 为圆周的最高点，D 为圆周的最低点，如图所示，已知圆周半径为R 。
在圆周所在的竖直平面内有一位置P ，距离A 点为3R ，且与A 等高。
圆的等时性模型：质点从竖直圆周的最高点沿任何弦由静止开始无摩擦下滑到圆周上，所用时间都等于竖直直径自由下落所需的时间（即g D t 2 ），该模型在求解有关物体在斜面上由静止无摩擦下滑到某点的时间时，将物体下滑轨道构成一竖直平面内圆的一条弦，求出圆的半径R ，即可由此模型结论得出物体的运动时间。
12.(04全国卷Ⅰ15)如图所示, ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆,a 、b 、c 、d 位于同一圆周上,a 点为圆周的最高点,d 点为最低点.每根杆上都套着一个小滑环（圆 中未画出）,三个滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速为0）,用t 1、t 2、t 3依次表示各滑 环到达d 所用的时间,则 ( )A.t 1＜t 2＜t 3B. t 1＞t 2＞t 3C .t 3＞t 1＞t 2 D.t 1=t 2=t 3答案D 解析 设圆环直径为d ,杆与水平面的夹角为α,则杆长可表示为d sin α,下滑加速度a =g sin α.据s =21at 2知d sin α=21gsin α·t 2 由于t 与α无关,故下滑时间相同.[P8.]例4．如图，竖直放置的圆环O 为圆心，A 为最高点，将物体从A 点释放经t 1落到B 点，沿光滑斜面物体从C 点由静止释放经t 2落到B 点，沿光滑斜面将物体从D 点由静止释放经t 3落到B 点，关于t 1、t 2、t 3的大小，以下说法中正确的是：（ B ）A 、t 1＞t 2＞t 3B 、t 1＝t 2＝t 3C 、t 1＞t 2＝t 3D 、以上答案均不正确[P9.]例5.：在竖直平面内有若干倾角不同的光滑轨道，质量不等的物体同时从最高点A 沿不同的轨道由静止下滑，到某一时刻，各物体所在的位置一定在同一圆周上。
试证明之。
证明：沿竖直直径AF 方向由静止下落t 秒，有s 1 =1/2 gt 2沿跟竖直直径夹角α的AB 轨道由静止下滑下落t 秒，有a =gcos α s 2 =1/2 a t 2=1/2 gcos αt 2s 2 / s 1 =cos α若s 1是圆的直径，则s 2正好是该圆的弦，可见各物体所在的位置一定在同一圆周上。
核心素养提升——科学思维系列(三)斜面模型和等时圆模型模型1斜面模型(2019·河北石家庄调研)如图所示，一倾角θ＝37°的足够长斜面固定在水平地面上．当t＝0时，滑块以初速度v0＝10 m/s沿斜面向上运动，已知滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列说法正确的是()A．滑块一直做匀变速直线运动B．t＝1 s，滑块速度减为零，然后静止在斜面上C．t＝2 s时，滑块恰好又回到出发点D．t＝3 s时，滑块的速度大小为4 m/s【解析】设滑块上滑时的加速度大小为a1，由牛顿第二定律可得mg sinθ＋μmg cosθ＝ma1，解得a1＝10 m/s2，上滑时间t1＝v0a1＝1 s，上滑的距离x1＝12v0t1＝5 m，因tanθ>μ，mg sinθ>μmg cosθ，滑块上滑到速度为零后向下运动，选项B错误；设滑块下滑时的加速度大小为a2，由牛顿第二定律可得mg sinθ－μmg cosθ＝ma2，解得a2＝2 m/s2，经1 s，滑块下滑的距离x2＝12a2t22＝1 m<5 m，滑块未回到出发点，选项C错误；因上滑和下滑过程中的加速度不同，故滑块全程不是匀变速直线运动，选项A 错误；t＝3 s时，滑块沿斜面向下运动，此时的速度v＝a2(t－t1)＝4 m/s，选项D正确．【答案】 D1．为了使雨滴能尽快地淌离房顶，要设计好房顶的高度，设雨滴沿房顶下淌时做无初速度无摩擦的运动，那么如图所示的四种情况中符合要求的是(C)解析：设屋檐的底角为θ，底边长为2L(不变)．雨滴做初速度为零的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律得加速度a＝mg sinθm＝g sinθ，位移大小x＝12at2，而x＝Lcosθ，2sinθcosθ＝sin2θ，联立以上各式得t＝4Lg sin2θ.当θ＝45°时，sin2θ＝1为最大值，时间t最短，故选项C正确．2．放在固定粗糙斜面上的滑块A以加速度a1沿斜面匀加速下滑，如图甲．在滑块A上放一物体B，物体B始终与A保持相对静止，以加速度a2沿斜面匀加速下滑，如图乙．在滑块A上施加一竖直向下的恒力F，滑块A以加速度a3沿斜面匀加速下滑，如图丙．则(B)A．a1＝a2＝a3B．a1＝a2<a3C．a1<a2＝a3D．a1<a2<a3解析：题图甲中的加速度为a1，则有mg sinθ－μmg cosθ＝ma1，解得a1＝g sinθ－μg cosθ.题图乙中的加速度为a2，则有(m＋m′)g sinθ－μ(m＋m′)g cosθ＝(m＋m′)a2，解得a2＝g sinθ－μg cosθ.题图丙中的加速度为a3，设F＝m′g，则有(m＋m′)g sinθ－μ(m＋m′)g cosθ＝ma3，解得a3＝(m＋m′)g sinθ－μ(m＋m′)g cosθm.故a1＝a2<a3，故B正确．模型2等时圆模型(1)质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示；(2)质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示；(3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示．如图所示，在倾角为θ的斜面上方的A点处旋转一光滑的木板AB，B 端刚好在斜面上，木板与竖直方向AC所成角度为α，一小物块由A端沿木板由静止滑下，要使物块滑到斜面的时间最短，则α与θ角的大小关系()A ．α＝θB ．α＝θ2C ．α＝2θD ．α＝θ3【解析】 如图所示，在竖直线AC 上选取一点O ，以适当的长度为半径画圆，使该圆过A 点，且与斜面相切于B 点．由等时圆模型的特点知，由A 点沿斜面滑到B 点所用时间比由A 点到达斜面上其他各点所用时间都短．而∠COB ＝θ，则α＝θ2.【答案】 B3．(多选)如图所示，oa 、ob 和ad 是竖直平面内三根固定的光滑细杆，o 、a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，c 为圆周的最高点，a 为最低点，o ′为圆心，每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环从o 点无初速释放，一个滑环从d 点无初速释放，用t 1、t 2、t 3分别表示滑环沿oa 、ob 、da 到达a 、b 所用的时间，则下列关系正确的是( BC )A ．t 1＝t 2B ．t 1＝t 3C ．t 1<t 2D ．t 2<t 3解析：设ob 与竖直方向的夹角为θ，由几何关系得oa 与竖直方向的夹角为12θ，环沿oa 下滑时的加速度大小为a 1＝g cos θ2，沿ob 下滑时的加速度大小为a 2＝g cos θ，设ob 长为L ，由几何关系得oa 长为L cos θ2，根据运动学公式有，L ＝12a 2t 22，L cos θ2＝12a 1t 21，得t 22＝2L g cos θ，t 21＝2L g ，由此得到t 1<t 2；由于t 1＝2Lg ，同理可得到t 3＝2L g ，因此t 1＝t 3，t 2>t 3，B 、C 正确．。
泸县二中高2015级弘毅学堂二轮专题突破（03）斜面模型及其衍生模型（完成时间：45分钟）斜面是力学中常见的一种模型，该模型中存在一些规律，如果同学们能在平时的学习中找到这些规律并灵活运用它，解答相关问题就会达到事半功倍的效果。
一、光滑斜面模型1、如图所示,质量为m 的物体从倾角为θ，高度为h 的光滑斜面顶端静止开始下滑,斜面固定，求该物体从斜面顶端滑到斜面底端所用的时间t 及物体滑到斜面底端时的速率v 。
2、如图,A 、B 、C 分别为具有相同底边长,倾角分别为030、045、060的三个光滑斜面,物体由静止开始从各个斜面顶端滑到底端的过程中,下列说法正确的是A.滑到底端时速度相同B.滑到底端时所用的时间相同C.在倾角为030的斜面上滑行的时间最短D.在倾角为060的斜面上滑行的时间最短 二、等时圆模型3、如图所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a 、b 、c 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。
每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a 、b 、c 处释放（初速为0），用1t 、2t 、3t 依次表示滑环到达d 所用的时间，则A.321t t t <<B.321t t t >>C.213t t t >>D.321t t t ==4、如图，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M 点，与竖直墙相切于A点，竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为60°，C 是圆环轨道的圆心。
已知在同一时刻，a 、b 两球分别由A 、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道分别AM 、BM 运动到M点；c 球由C 点自由下落到M 点，则A.a 球最先到达M 点B.b 球最先到达M 点C.c 球最先到达M 点D.b 球和c 球都可能最先到达M 点5、在离坡底L 的山坡上竖直固定长也为L 的直杆AO,A 端与坡底B 间连有一钢绳,钢绳处于伸直状态,一穿心于钢绳上的小球从A 点由静止开始沿钢绳无摩擦地滑下,如图所示,则小球在钢绳上的滑行时间为A.g l 2B.gl 4 C.gl 2 D.条件不足,无法解答6、如图所示，在倾角为θ的斜面上方的A 点处放置一个光滑的木板AB ，B 端刚好在斜面上，木板与竖直方向AC 呈角α，一个小物块自A 点沿木板由静止落下，要使滑到斜面的时间最短，则α与θ的大小关系式为A.2θα= B.θα= C.3θα= D.θα2=7、如图所示，倾角为α、质量为M 的斜面体静止在水平桌面上，质量为m 的木块静止在斜面体上。
高中物理核心素养第一章运动的描述匀变速直线运动
*核心素养提升*
科学态度与责任系列——运动学中的STSE问题
第二章相互作用
*核心素养提升*
科学思维系列——整体法、隔离法在平衡问题中的应用第三章牛顿运动定律
*核心素养提升*
科学思维系列——光滑斜面模型和等时圆模型
科学思维系列——千变万化之“斜面模型”
科学思维系列——“模型建构”破解高考压轴大题
第四章曲线运动万有引力与航天
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科学思维系列——物理模型构建“双星和三星模型”
第五章机械能
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科学思维系列——满分指导：大题小做“三部曲”
选修3－5 第六章碰撞与动量
*核心素养提升*
规范解答——答题“四规范”
第七章静电场
*核心素养提升*
科学态度与责任系列——电场中的STSE问题
科学思维系列——“等效法”在电场中的应用
第八章恒定电流
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科学思维系列——“电源等效法”
第九章磁场
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社会态度与责任系列——复合场中的STSE问题
第十章电磁感应
*核心素养提升*
建构模型系列——高考常考的“切割模型”
第十一章交变电流传感器
*核心素养提升*
选修３－５第十二章波粒二相性原子结构和原子核选修３－３热学
选修３－４机械振动机械波光电磁波相对论简介。
等时圆模型与斜面中的临界问题建议用时：50分钟考点序号考点题型分布考点1等时圆模型4单选+1多选考点2斜面模型中的临界问题2单选+2多选+1解答考点01：等时圆模型(4单选+1多选)一、单选题1.(2023·广东清远·校考模拟预测)如图所示，竖直平面内固定一个光滑绝缘圆环，圆心为O，光滑绝缘轻杆AC是圆环的直径，光滑绝缘轻杆AB是圆环的弦，AC、AB与水平方向的夹角分别为45°和60°，圆环所在空间有匀强电场(图中未画出)。
质量均为m的带电小球(可视为质点)穿在杆AB、AC上，分别从B、C点沿BA、CA由静止下滑到A点所用的时间相等。
不考虑两小球间的影响，则()A.小球一定都带负电B.圆周上C点电势一定最高C.电场强度方向一定由C指向AD.小球受到的电场力大小可能等于重力大小【答案】D【详解】ABC．小球分别从B、C点沿BA、CA由静止下滑到A点的时间相等，圆环为等时圆，A点为等效最低点，重力与电场力的合力一定沿CA方向，电场方向未知，故ABC错误；D．当电场方向水平、小球受到的电场力水平向左时，小球受到的电场力大小等于重力大小，故D正确。
故选D。
2.(2023·陕西渭南·统考一模)如图所示，OA、OB是竖直面内两根固定的光滑细杆，O、A、B位于同一圆周上，OB为圆的直径。
每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，两个滑环都从O点无初速释放，用t1、t2分别表B示滑环到达A、B所用的时间，则()A.t1=t2B.t1<t2C.t1>t2D.无法比较t1、t2的大小【答案】C【详解】如图所示以O点为最高点，取合适的直径做等时圆，由图可知，从O到C、B时间相等，比较图示位移OA>OC可得t1>t2故选C。
3.(2023·高三课时练习)如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。
斜面模型复习目标：了解5种斜面模型的动力学模型一：光滑斜面例1．如图所示为倾角是37°的光滑斜面，斜面长为l。
一物体（可视为质点）从斜面顶端由静止开始下滑，求：（1）物体的加速度；（2）物体滑到斜面底端需多少时间；（3）滑到底端物体的速度为多大。
例2．在墙与地面之间用三块长木板并排搭成如图所示的三个固定斜面1、2和3，斜面1与2底边相同，斜面2和3高度相同，斜面1和3长度相同，斜面表面均光滑．一小物体分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端，在这三种情况下( )A．物体沿斜面2下滑速度改变最快B．物体分别沿斜面2、3下滑速度改变相同C．物体沿斜面下滑到达底端时速度大小均相等D．物体沿斜面3下滑到底端的时间最长变式训练3（多选）．如图所示，甲、乙两小滑块分别放置于倾角为倾角为30°和60°的光滑斜面上，从离水平地面相同高处沿斜面静止下滑至水平地面，下列说法正确的是（）A．甲、乙下滑过程经历的时间之比为1:1B．甲、乙下滑过程经历的时间之比为C．甲、乙下滑至地面的速率之比为D．甲、乙下滑至地面的速率之比为例4．（等时圆）如图所示光滑竖直圆槽，AP、BP、CP为通过最低点P与水平面分别成30°、45°、60°角的三个光滑斜面，与圆相交于A、B、C点．若一物体由静止分别从A、B、C滑至P点所需的时间为t1，t2，t3，则（）A．t1＜t2＜t3B．t1＞t2＞t3C．t1=t2=t3D．t1=t2＜t3变式训练5．如图所示，oa、ob是竖直平面内两根固定的光滑细杆，o、a、b、c位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点。
每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环都从o点无初速释放，用t1、t2分别表示滑环到达a、b所用的时间，则下列关系正确的是A．t1=t2B．t1＞t2C．t1＜t2D．无法确定变式训练6．如图所示，Oa 、Ob 和ad 是竖直平面内三根固定的光滑细杆，O 、a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，c 为圆周的最高点，a 为最低点，O′为圆心．每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环从O 点无初速释放，一个滑环从d 点无初速释放，用t 1、t 2、t 3分别表示滑环沿Oa 、Ob 、ad 到达a 、b 所用的时间，则下列关系不正确的是( )A ．t 1＝t 2B ．t 2＞t 3C ．t 1＜t 2D ．t 1＝t 3变式训练7．如图所示，通过空间任意一点A 可作无限多个斜面，如果将若干个小物体在A点分别从静止沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在某一时刻这些小物体所在位置所构成的面是 （ ）A ．球面B ．抛物面C ．水平面D ．无法确定例8．如图所示,斜面体ABC 的倾角为60°，O 点在C 点的正上方且与A 点等高，现从0点向AC 构建光滑轨道OM 、ON 、OP ，M 、N 、P 分別为AC 的四等分点.一小球从O 点由静止开始分別沿OM 、ON 、OP 运动到斜面上，所需时间依次为M t 、N t 、P t .则A ．M t =N t =P tB ．M t >N t >P tC ．M t >P t >N tD ．M t =P t >N t变式训练9（多选）．如图所示，在斜面上有四条光滑细杆，其中OA 杆竖直放置，OB 杆与OD 杆等长，OC 杆与斜面垂直放置，每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出)，四个环分别从O 点由静止释放，沿OA 、OB 、OC 、OD 滑到斜面上所用的时间依次为t 1、t 2、t 3、t 4.下列关系正确的是( )A ．t 1>t 2B ．t 1＝t 3C ．t 2＝t 4D ．t 2<t 4模型二：粗糙斜面例10．如图，质量为m 的物体在质量为M 的静止斜面上匀速下滑。
2024版新课标高中物理模型与方法斜面模型目录【模型一】斜面上物体静摩擦力突变模型【模型二】斜面体静摩擦力有无模型【模型三】物体在斜面上自由运动的性质【模型四】斜面模型的衍生模型----“等时圆”模型1.“光滑斜面”模型常用结论2.“等时圆”模型及其等时性的证明【模型五】功能关系中的斜面模型1.物体在斜面上摩擦力做功的特点2.动能变化量与机械能变化量的区别【模型一】斜面上物体静摩擦力突变模型【模型构建】1.如图所示，一个质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上。
1.试分析m受摩擦力的大小和方向【解析】：假设斜面光滑，那么物体将在重力和斜面支持力的作用下沿斜面下滑。
说明物体有沿斜面向下运动的趋势，物体一定受到沿斜面向上的静摩擦力作用。
由平衡条件易得：f=mg sinθ2.若斜面上放置的物体沿着斜面匀速下滑时，判断地面对静止斜面有无摩擦力。
【解析】：因地面对斜面的摩擦力只可能在水平方向，只需考查斜面体水平方向合力是否为零即可。
斜面所受各力中在水平方向有分量的只有物体A对斜面的压力N和摩擦力f。
若设物体A的质量为m，则N 和f的水平分量分别为N x=mg cosθsinθ，方向向右，f x=mg sinθcosθ，方向向左。
可见斜面在水平方向所受合力为零。
无左右运动的趋势，地面对斜面无摩擦力作用。
3.如图，在固定斜面上的一物块受到一外力F的作用，F平行于斜面向上。
若要物块在斜面上保持静止，F的取值应有一定的范围，已知其最大值和最小值分别为F1和F2(F2>0)。
设斜面倾角为θ，斜面对物块的静摩擦力为f。
(1).当F=mg sinθ时斜面对物块无静摩擦力(2).当F>mg sinθ时物块有相对于斜面向上运动的趋势静摩擦力方向向下平衡方程为：F=f+mg sinθ随着F的增大静摩擦力增大，当静摩擦力达到最大值时外力F取最大值F1时，由平衡条件可得：F1=f+ mg sinθ---------------(1)；(3).当F<mg sinθ时物块有相对于斜面向下运动的趋势静摩擦力方向向上平衡方程为：F+f=mg sinθ随着F的增大静摩擦力减小当静摩擦力减小为0时突变为(2)中的情形，随着F的减小静摩擦力增大，当静摩擦力达到最大值时外力F取最小值F2时，由平衡条件可得：f+F2=mg sinθ-------(2)；联立(1)(2)解得物块与斜面的最大静摩擦力f=(F2-F1)/2.1(2019·高考全国卷Ⅰ)如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N.另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°.已知M始终保持静止，则在此过程中()A.水平拉力的大小可能保持不变B.M所受细绳的拉力大小一定一直增加C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加D.M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加【答案】BD【解析】 对N进行受力分析如图所示因为N的重力与水平拉力F的合力和细绳的拉力T是一对平衡力，从图中可以看出水平拉力的大小逐渐增大，细绳的拉力也一直增大，A错误，B正确；M的质量与N的质量的大小关系不确定，设斜面倾角为θ，若m N g≥m M g sinθ，则M所受斜面的摩擦力大小会一直增大，若m N g<m M g sinθ，则M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增大，D正确，C错误．2(2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测)如图甲所示，倾角为θ的斜面体C置于水平地面上，物块B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与物块A连接，连接B的一段细绳与斜面平行，整个装置处于静止状态。
