1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；
2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．
一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．
包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行：
第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；
第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．
二、三量重叠问题
A 类、
B 类与
C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：
教学目标
知识要点
1．先包含——A B +
重叠部分A
B 计算了2次，多加了1次； A B A B +-1
A B
7-7-4 容斥原理之数论问题
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．
【例 1】 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？
A B
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如图，用长方形表示1~100的全部自然数，A 圆表示1~100中3的倍数，B 圆表示1~100中5的倍
数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．
由1003331÷=可知，1~100中3的倍数有33个；由100520÷=可知，1~100中5的倍数有20个；
由10035610÷⨯=（）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．
由包含排除法，3或5的倍数有：3320647+-=(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有
1004753-=(个)．
【答案】53
【巩固】 在自然数1100~中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 1003331÷=，100520÷=，10035610÷⨯=（）．根据包含排除法，能被3或5中任一个整除的
数有3320647+-=(个)．
【答案】47
【巩固】 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 如图所示，A 圆内是前100个自然数中所有能被2整除的数，B 圆内是前100个自然数中所有能被3整
除的数，C 为前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数．
前100个自然数中能被2整除的数有：100250÷=(个)．由1003331÷=知，前100个自然数中能被
3整除的数有：33个．由1002316
4÷⨯=（）知，前100个自然数中既能被2整除也能被3整除的数
有16个． 例题精讲 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，
C
1．先包含：A B C ++
重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，
多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- A B C 3A B C ++-
A B B C A C
--A B C A B B C A C A B C ++---+
所以A 中有50个数，B 中有33个数，C 中有16个数．因为A ，B 都包含C ，根据包含排除法得到，
能被2或3整除的数有：50331667+-=(个)．
【答案】67
【例 2】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 1～1000之间，5的倍数有10005⎡⎤⎢⎥⎣⎦=200个，7的倍数有10007⎡⎤⎢⎥⎣⎦
=142个，因为既是5的倍数，又是7的倍数的数一定是35的倍数，所以这样的数有100035⎡⎤⎢⎥⎣⎦
=28个． 所以既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有1000-200-142+-28=686个．
【答案】686
【巩固】 求在1至100的自然数中能被3或7整除的数的个数．
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 记 A ：1～100中3的倍数，100333
1÷=，有33个； B ：1～100中7的倍数，1007142÷=，有14个；
A B ：1～100中3和7的公倍数，即21的倍数，10021416÷=，有4个． 依据公式，1～100中3的倍数或7的倍数共有3314443+-=个，则能被3或7整除的数的个数为43
个. 【答案】43
【例 3】 以105为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 以105为分母的最简真分数的分子与105互质，105=3×5×7，所以也是求1到105不是3、5、7倍
数的数有多少个，3的倍数有35个，5的倍数有21个，7的倍数有15个，15的倍数有7个，21的
倍数有5个，35的倍数有3个，105的倍数有1个，所以105以内与105互质的数有
105-35-21-15+7+5+3-1=48个，显然如果n 与105互质，那么（105-n ）与n 互质，所以以105为分母
的48个最简真分数可两个两个凑成1，所以它们的和为24.
【答案】48个，和24
【巩固】 分母是385的最简真分数有多少个？并求这些真分数的和.
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 385=5×7×11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的
数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的
数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240.对于某个分数a/385如果是最简真
分数的话，那么（385-a ）/385也是最简真分数，所以最简真分数可以每两个凑成整数1，所以这些
真分数的和为120.
【答案】240个，120个
【例 4】 在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的倍数的数共有 个．
【考点】容斥原理之数论问题 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】西城实验
【解析】 1到2008这2008个自然数中，3和5的倍数有200813315⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个，3和7的倍数有20089521⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
个，5
