含有一个量词的命题的否定(解析版)

含有一个量词的命题的否定[学习目标]1．通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．2．通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．[知识链接]你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗？(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.答：(1)存在一个矩形不是平行四边形；(2)存在一个素数不是奇数；(3)∃x0∈R，x20－2x0＋1<0.[预习导引]1．全称命题的否定：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定p：∃x0∈M，p(x0)．2．特称命题的否定：特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定p：∀x∈M，p(x)．3．全称命题的否定是特称命题．特称命题的否定是全称命题.要点一全称命题的否定例1写出下列命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解(1)是全称命题，其否定为：存在一个平行四边形的对边不都平行．(2)是全称命题，其否定：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数．(3)是全称命题，其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．(4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.规律方法全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．跟踪演练1写出下列全称命题的否定：(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆；(3)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.解(1) p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．(2) p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(3) p：∃x0∈Z，x20的个位数字等于3.要点二特称命题的否定例2写出下列特称命题的否定，并判断其真假．(1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0；(2)p：有些素数是奇数；(3)p：有些平行四边形不是矩形；跟踪演练2写出下列特称命题的否定：(1)p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(2)p：有的三角形是等边三角形；(3)p：有一个素数含三个正因数．解(1) p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.(2) p：所有的三角形都不是等边三角形．(3) p：每一个素数都不含三个正因数．要点三特称命题、全称命题的综合应用例3已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围．解 在区间[－1,1]中至少存在一个实数c ，使得f (c )>0的否定是在[－1,1]上的所有实数x ，都有f (x )≤0恒成立．又由二次函数的图象特征可知，⎩⎪⎨⎪⎧ f －，f ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋p －－2p 2－p ＋1≤0，4－p －－2p 2－p ＋1≤0，即⎩⎨⎧ p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3.∴p ≥32或p ≤－3. 故在区间[－1,1]上至少存在一个实数c 且使f (c )＞0的实数p 的取值范围是(－3，32)． 规律方法 通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算．跟踪演练3 若∀x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是________．1．命题p ：“存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根”，则“p ”形式的命题是( )A ．存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根B ．不存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根D ．至多有一个实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实根答案 C解析 命题p 是特称命题，其否定形式为全称命题，即p ：对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根．2．对下列命题的否定说法错误的是( )A ．p ：能被2整除的数是偶数；p ：存在一个能被2整除的数不是偶数B ．p ：有些矩形是正方形；p ：所有的矩形都不是正方形C ．p ：有的三角形为正三角形；p ：所有的三角形不都是正三角形D ．p ：∃n ∈N,2n ≤100；p ：∀n ∈N,2n >100.答案 C解析 “有的三角形为正三角形”为特称命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C 错误．对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．一、基础达标1．下列命题中，正确的全称命题是( )A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x ，x 2＝xD ．对数函数在定义域上是单调函数答案 D2．下列命题既是特称命题，又是真命题的是( )A ．两个无理数的和必是无理数B ．存在一个实数x ，使1x＝0 C ．至少有一个实数x ，使x 2<0D ．有个实数的倒数等于它本身答案 D解析 A 项为全称命题；B 项1x是不能为零的，故B 假；C 项，x 2≥0，故不存在实数x 使x 2<0；D 项，当实数为1或－1时可满足题意，故D 正确．3．下列特称命题是假命题的是( )A ．存在实数a ，b ，使ab ＝0；B ．有些实数x ，使得|x ＋1|<1；C ．存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；D ．有些实数x ，使得(12)x <0. 答案 D解析 A 真命题；B 真命题；C 真命题；D 假命题．4．命题“一次函数都是单调函数”的否定是( )A ．一次函数都不是单调函数B ．非一次函数都不是单调函数C ．有些一次函数是单调函数D ．有些一次函数不是单调函数答案 D解析 命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．5．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为________．(1)对任意x ∈R ，都有x 2＜0(2)不存在x ∈R ，都有x 2＜0(3)存在x 0∈R ，使得x 20≥0(4)存在x 0∈R ，使得x 20＜0答案 (4)解析 全称命题的否定是特称命题．6．已知命题p ：“a ＝1”是“∀x >0，x ＋a x≥2”的充要条件，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0.则下列结论中正确的是________．(1)命题“p ∧q ”是真命题(2)命题“p ∧q ”是真命题(3)命题“p ∧q ”是真命题(4)命题“p ∨q ”是假命题答案 (3)解析 a ＝1⇒x ＋a x ＝x ＋1x ≥2x ×1x＝2， 显然a ＝2时也能推出“∀x >0，x ＋a x≥2”成立， 所以“a ＝1”是“∀x >0，x ＋a x≥2”的充分不必要条件， 故p 是假命题，而q 是真命题，故(3)正确．7．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．二、能力提升8．命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________．答案 存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3解析 由定义知命题的否定为“存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3”．9．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定________．答案 有些函数没有奇偶性解析 命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．故应填：有些函数没有奇偶性．10．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是________．答案 [3,8)解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8，故实数m 的取值范围是[3,8)．11．命题p 是“对某些实数x ，有x －a >0或x －b ≤0”，其中a 、b 是常数．(1)写出命题p 的否定；(2)当a 、b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？解 (1)命题p 的否定：对任意实数x ，有x －a ≤0且x －b >0.(2)要使命题p 的否定为真，需要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≤0，x －b >0的解集不为空集， 通过画数轴可看出，a 、b 应满足的条件是b <a .12．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1,2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求实数a 的取值范围．。

2022-2023学年广东省中山市第一中学高一上学期第二次段考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1,1,0,2,3A x x B =≤=-，则()R A B =（ ） A ．{}2 B ．{}2,3 C ．{}0,1,2D ．{}1x x >-【答案】B【分析】先求得{}1R A x x =>，然后利用集合的交集运算求解即可.【详解】因为{}1A x x =≤，所以{}1R A x x =>，又因为{}1,0,2,3B =-，所以(){}2,3R B A ⋂=. 故选：B.2．命题“关于x 的方程220ax x --=在()0,∞+上有解”的否定是（ ）A ．()20,,20x ax x ∃∈+∞--≠B ．()2–,0,20x ax x ∃∈∞--=C ．()20,,20x ax x ∀∈+∞--≠ D ．()20,,20x ax x ∀∈+∞--=【答案】C【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】因为原命题即为“()0,x ∃∈+∞，220ax x --=”是存在量词命题， 所以其否定为全称量词命题，即为“()0,x ∀∈+∞，220ax x --≠”， 故选：C3．函数()lg(31)f x x =+的定义域是（ ） A ．113⎛⎤- ⎥⎝⎦， B ．113⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．()1-∞，D ．13⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 【答案】A【分析】利用函数有意义列出不等式组求解即可.【详解】解：()lg(31)f x x +有意义，则10310x x -≥⎧⎨+>⎩得113x ≤-<，故选：A.4．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，小数记录法的数据V 和五分记录法的数据L 满足510L V -=，已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为（ ）（注： 1.25） A ．0.6 B ．0.8 C ．1.2 D ．1.5【答案】B【分析】当 4.9L =时50.10.11101010L V --===，即可得到答案. 【详解】由题意可得当 4.9L =时50.10.11110100.810 1.25L V --===≈= 故选：B5．若0.5a e =，ln 2b =，2log 0.2c =，则有（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0、1的大小关系，从而可得出这三个数的大小关系.【详解】指数函数x y e =为增函数，则0.501a e e =>=； 对数函数ln y x =为增函数，则ln1ln 2ln e <<，即01b <<； 对数函数2log y x =为增函数，则22log 0.2log 10c =<=. 因此，a b c >>. 故选：A.【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性得出各数与中间值0、1的大小关系，考查推理能力，属于基础题. 6．函数21()log f x x x=-的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】B【解析】判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项. 【详解】()10110f =-=-<，()1121022f =-=>， 且函数()21log f x x x=-的定义域是()0,∞+，定义域内2log y x =是增函数，1y x =-也是增函数，所以()f x 是增函数，且()()120f f <， 所以函数21()log f x x x=-的零点所在的区间为()1,2. 故选：B【点睛】方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断.7．已知函数()228,11,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩的最小值为()1f ，则实数a 的值不可能是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A【分析】首先分析函数性质，得出最小值出现在228y x ax =-+上，再结合二次函数求最小值问题，以及分段函数最值，得出a 的范围，从而可以求解.【详解】因为1y x a x=++在()1,∞+上单调递增，无最小值，所以根据题意可知，()f x 的最小值必出现在228,1y x ax x =-+≤上.根据分段函数性质，228,1y x ax x =-+≤在1x =处取值小于或等于1y x a x =++在1x =处的取值，则1282a a -+≤+,解得73a ≥. 228y x ax =-+在1x =处取得最小值，由二次函数性质可得对称轴x a =在1x =的右边，即1a ≥.综上7,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，故A 不符合题意.故选：A8．已知函数212()log (4)f x x ax a =-+在区间[2,)+∞上单调递减,则实数a 的取值范围为（ ）A ．(2,4]-B ．[2,4]-C ．(,4]-∞D ．[4,)+∞【答案】A【分析】由题意根据复合函数的单调性，结合对数函数的性质，可得t ＝x 2﹣ax +4a ＞0区间[2，+∞）上恒成立，且是增函数，故有224240a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+⎩＞，由此解得a 的范围．【详解】∵函数212()log (4)f x x ax a =-+在区间[2，+∞）上是减函数，又12log y t =是减函数， ∴t ＝x 2﹣ax +4a ＞0区间[2，+∞）上恒成立，且是增函数， ∴224240aa a ⎧≤⎪⎨⎪-+⎩＞，解得﹣2＜a ≤4， 故选A ．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．二、多选题9．已知条件p ：2{|60}x x x +-=，条件q ：{|10}x xm +=，且p 是q 的必要条件，则m 的值可以是（ ） A ．12B ．13C ．-12D ．0【答案】BCD【分析】根据必要条件转化为集合的包含关系，求解即可. 【详解】设2{|60}{3,2}A x x x =+-==-，{|10}B x xm =+=, 因为p 是q 的必要条件，所以B A ⊆，当B =∅时，由10+=mx 无解可得0m =，符合题意；当B ≠∅时，{2}B =或{3}B =-，当{2}B =时，由210m +=解得12m =-，当{3}B =-时，由310m -+=解得13m =. 综上，m 的取值为0，12-，13.故选：BCD10．下列各结论正确的是（ ）A ．“0xy >”是“0xy>”的充要条件 B 2C ．若不等式220ax x c ++>的解集为{}|12x x -<<，则2a c +=D ．若,a b c d >>，则()()ln ln ab cd > 【答案】AC【分析】根据充要条件、基本不等式、一元二次不等式的解、对数比较大小等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，由于00x xy y >⇔>，所以“0xy >”是“0xy>”的充要条件，A 选项正确.B2≥，=B 选项错误.C 选项，由于不等式220ax x c ++>的解集为{}|12x x -<<， 所以1-是一元二次方程220ax x c ++=的根， 则20,2a c a c -+=+=，所以C 选项正确.D 选项，4,1,3,2,,,4,6a b c d a b c d ab cd ====>>==，此时()()ln ln ab cd <，所以D 选项错误. 故选：AC11．已知函数()y f x =在[)1,+∞上单调递增，且()f x 关于1x =对称，则（ ） A ．()()13f f -< B ．()()211xf f +<C ．()1f x +为偶函数D ．任意R x ∈且0x ≠，都有()()23x xf f <【答案】CD【分析】由函数()f x 在[)1,+∞单调递增，且关于1x =对称，可知函数在(],1-∞上单调递减，结合指数函数的性质判断选项正误.【详解】对于A ，因为函数()y f x =图象关于1x =对称，所以(1)(3)f f -=，A 错误； 对于B ，因为20x >，所以211x +>，又因为函数()f x 在[)1,+∞单调递增， 所以(21)(1)x f f +>，B 错误；对于C ，因为()f x 的图象向左平移一个单位即(1)f x +的图象，函数()y f x =图象关于1x =对称，则(1)f x +的图象关于y 轴对称，是偶函数，C 正确；对于D ，函数()f x 在[)1,+∞单调递增，且关于1x =对称，函数在(],1-∞上单调递减， 当0x <时，321x x <<，所以(2)(3)x x f f <， 当0x >时，123x x <<，所以(2)(3)x x f f <， 综上，R x ∀∈且0x ≠，都有(2)(3)x x f f <，D 正确. 故选：CD.12．已知函数()12ax a f x x -+=+，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的定义域为()(),22,-∞-⋃-+∞B ．当函数()f x 的图象关于点()2,3-成中心对称时，32a = C ．当13a <时，()f x 在()2,+∞上单调递减D ．设定义域为R 的函数()g x 关于(2,2)-中心对称，若2a =，且()f x 与()g x 的图象共有2022个交点，记为(),i i i A x y （1i =，2，…，2022），则()()1122x y x y ++++()20222022x y ++的值为0【答案】ACD【分析】对A ：由20x +≠即可判断；对B ：由13()2af x a x -=++，可得()f x 的图象关于点(2,)a -成中心对称，从而即可判断；对C ：13()2af x a x -=++，且130a ->，即可判断；对D ：由函数()f x 和()g x 图象关于(2,2)-对称，则()f x 与()g x 图象的交点成对出现，且每一对均关于(2,2)-对称，从而即可求解判断.【详解】解：对A ：要使函数1()2ax a f x x -+=+有意义，则20x +≠，即2x ≠-，∴()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞，所以选项A 正确； 对B ：∵1(2)21()22ax a a x a a f x x x -++--+==++132aa x -=++，∴()f x 的图象关于点(2,)a -成中心对称，∴当函数()f x 的图象关于点(2,3)-成中心对称时，3a =，所以选项B 不正确； 对C ：由选项B 知13()2a f x a x -=++，当13a <时，130a ->，∴13()2af x a x -=++在(2,)-+∞单调递减，所以选项C 正确； 对D ：∵2a =，135()222a f x a x x --=+=+++， ∴()f x 的图象关于(2,2)-对称，又函数()g x 的图象关于(2,2)-对称， ∴()f x 与()g x 图象的交点成对出现，且每一对均关于(2,2)-对称，()()()112220222022x y x y x y ∴++++++()()()1220221220222022220222x x x y y y =++++++=⨯-+⨯404440440=-+=，所以选项D 正确.故选：ACD.三、填空题13．已知幂函数f （x ）=xa 的图象经过点（8，2），则f （27）的值为____________． 【答案】3【分析】根据幂函数f （x ）=xa 的图象经过点（8，2）求出a 的值，再求f （27）的值.【详解】幂函数f （x ）=xa 的图象经过点（8，2），则8α=2，∴α=13，∴f （x ）=13x ，∴f （27）=1327=3．故答案为3．【点睛】本题主要考查幂函数的概念和解析式的求法，考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.14．设a b 23x ==，且111a b+=，则x 的值为______．【答案】6【分析】由2a=3b=x ，根据对数的定义，分别表示出a 与b ，代入111a b+=中，利用对数的运算法则即可求出x 的值．【详解】由a b 23x ==，得到x2a log =，x3b log =，代入111a b+=中得：x x 23111log log +=，即lg2lg3lg61lgx lgx lgx +==， 得到lgx lg6=，即x 6=． 故答案为6【点睛】此题考查学生掌握对数的定义及运算法则，是一道基础题．15．函数(),y f x x R =∈，且()(1)f x f x =-+，当(0,1]x ∈时，()3x f x =，则(2)f =_______． 【答案】3-【分析】根据所给函数的性质可推出(2)()f x f x +=，利用此性质结合(0,1]x ∈上函数的解析式即可求解.【详解】因为()(1)f x f x =-+，即(1)()f x f x +=-， 所以()(2)(1)()()f x f x f x f x +=-+=--=， 故(2)(3)(32)(1)3f f f f =-=--=-=-， 故答案为：3-16．设{},? ,max ,,? .a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩函数(){}1max 2,42xf x x -=--，若关于x 的方程()f x t =有三个不相等的实数解，则实数t 的取值范围是______． 【答案】24t <<【分析】根据函数新定义求出函数()f x 解析式，画出函数()f x 的图象，利用转化的思想将方程的根转化为函数图象的交点，根据数形结合的思想即可得出t 的范围. 【详解】由题意知，令1242xx -=--，解得20x x x ==，，根据{}max a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，，，，得121220()4202x x x f x x x x x x--⎧≤⎪=--<<⎨⎪≥⎩，，，， 作出函数()f x 的图象如图所示，由方程()0f x t -=有3个不等的根，得函数()y f x =图象与直线y t =有3个不同的交点，由图象可得，当24t <<时函数()y f x =图象与直线y t =有3个不同的交点， 所以t 的取值范围为24t <<. 故答案为：24t <<四、解答题 17．计算：(1))320431682181-⎛⎫+-⎪⎝⎭；(2)9log 26619log 8log 33++． 【答案】(1)518(2)3【分析】（1）根据指数幂运算法则运算求解即可； （2）根据对数运算法则运算求解即可.【详解】（1）解：)())33224340043331622821221181343---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+-+-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎝=⎭+⎢⎥⎣⎦32751328833⎛⎫=+= ⎪⎝=+⎭（2）解：91log 2366666619log 8log 32log 8log 32log 2log 333++=++=++= 18．已知集合()(){}(){}2340,30||1xA x x xB y y x =+-≥==+>．(1)求集合(),A B A B ⋂⋃R ；(2)若集合{}|22C x m x m =-≤≤且()A C C ⋂=R ，求m 的取值范围． 【答案】(1)[)4,A B =+∞，()3,2A B ∞⎛⎫⋃=-+ ⎪⎝⎭R(2)1(,2)(,2)2m ∈-∞-【分析】(1)利用一元二次不等式的解法以及指数函数的性质结合集合的交并补运算即可求解；(2)根据集合的包含关系分类讨论即可求解.【详解】（1）由()()2340x x +-≥解得32x ≤-或4x ≥，所以[)3,4,2A ⎛⎤=-∞-+∞ ⎥⎝⎦,因为0x >，所以31x >，所以312x y =+>， 所以()2,B =+∞. 所以[)4,A B =+∞，3,4,2A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭R所以()3,2A B ∞⎛⎫⋃=-+ ⎪⎝⎭R（2）因为()A C C ⋂=R ，所以RC A ⊆，(i)若22m m ->，即2m <-，C =∅满足题意， （ii ）若22m m -≤，即2m ≥-，因为R C A ⊆，所以32224m m ⎧->-⎪⎨⎪<⎩，解得122m <<. 综上1(,2)(,2)2m ∈-∞-19．设函数()223y ax b x =+-+．(1)若1x =时，3,0,0y a b =>>，求14a b+的最小值；(2)若=-b a ，求不等式1y ≤的解集． 【答案】(1)92(2)见解析【分析】（1）乘1法解决即可；（2）分0a =，0a ≠种情况讨论即可.【详解】（1）当1x =时，3,0,0y a b =>>, 所以2a b +=，所以122a b+=，所以141412529222222222a b b a b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22b aa b=，即2b a =， 因为2a b +=，所以24,33a b ==时，取等号，所以14a b +的最小值为92.（2）若=-b a ，则()223y ax a x =-++，因为不等式1y ≤， 所以2(2)20ax a x -++≤，①当0a =时，不等式化为220x -+≤，解得1x ≥，不等式的解集为{}|1,x x x ≥∈R ， ②当0a ≠时，不等式化为(1)(2)0x ax --≤，令2(2)20ax a x -++=，解得1221,x x a==， 所以 当0a >时，若2a =，不等式解得1x =；若2a >，因为21a <，不等式解得21x a ≤≤，不等式解集为2,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若02a <<，因为21a <，不等式解得21x a ≤≤，不等式解集为21,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当a<0时，显然21a <，不等式解得2x a ≤或1x ≥，不等式的解集为[)2,1,a ∞∞⎛⎤-⋃+ ⎥⎝⎦.20．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益()f x 与投资额x 成正比，其关系如图1：投资股票等风险型产品的年收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，其关系如图2．(1)分别写出两种产品的年收益()f x 和()g x 的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元?【答案】(1)()0.125,()f x x g x ==(2)当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.【分析】（1）根据待定系数法可得；（2）设用于投资稳健型产品的资金为x ，写出年收益的解析式，利用换元法可得.【详解】（1）由题意可设(),()f x mx g x ==由图知，函数()f x 和()g x 的图象分别过点(1,0.125)和(1,0.5)，代入解析式可得0.125,0.5m n ==，所以()0.125,()f x x g x ==（2）设用于投资稳健型产品的资金为x ，用于投资风险型产品的资金为20x -，年收益为y ，则10.125(8y x x =+=+，[0,20]x ∈令t =2211(420)[(2)24]88y t t t =---=---，[0,t ∈ 当2t =，即16x =时，max 3y =，所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.21．已知函数()2121x x a f x ⋅-=+是定义在R 上的奇函数. (1)求实数a 的值；(2)解关于x 的不等式()()223130f x x f x +-+-<；(3)是否存在实数k ，使得函数()f x 在区间[],m n 上的取值范围是,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)1 (2){}12x x -<<(3)存在，()3-+【分析】（1）根据()00f =求解并检验即可；（2）先证明函数单调性得()f x 在R 上为增函数，再根据奇偶性与单调性解不等式即可； （3）根据题意，将问题方程()()22120x x k k -+-=有两个不相等的实数根，再利用换元法，结合二次方程根的关系求解即可.【详解】（1）解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，即102a -=，得1a =. 此时()2121x x f x -=+，()()21221112x xx x f x f x ----===-++-，满足. 所以1a =（2）解：由（1）知，()2121x x f x -=+， 12,x x ∀∈R 且12x x <，则()()12121221212121x x x x f x f x ---=-++ ()()()()()()()()()21212121122121212122221212121x x x x x x x x x x -+--+-==++++. ∵12x x <，∴12220x x -<，1210x +>，2210x +> ∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，故()f x 在R 上为增函数∴原不等式可化为()()22313f x x f x +-<--，即()()22331f x x f x +-<-∴22331x x x +-<-，∴220x x --<∴12x -<<，∴原不等式的解集为{}12x x -<<（3）解：设存在实数k ，使得函数()f x 在区间[],m n 上的取值范围是,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 则()()22mn k f m k f n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即()()22m n f m k f n k ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴方程()2x f x k =，即21221x x x k -=+有两个不相等的实数根 ∴方程()()22120x x k k -+-=有两个不相等的实数根令2x t =，则0t >，故方程()210t k t k -+-=有两个不相等的正根故()2140100k k k k ⎧++>⎪+>⎨⎪->⎩，解得30k -+< ∴存在实数k ，使得函数()f x 在区间[],m n 上的取值范围是,22m n k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 其中k的取值范围为()3-+.22．布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称0x 为该函数的一个不动点． 现新定义： 若0x 满足()00f x x =-，则称0x 为()f x 的次不动点．(1)判断函数22f x x 是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由 (2)已知函数()112g x x =+，若a 是()g x 的次不动点，求实数a 的值： (3)若函数()()12log 42x x h x b =-⋅在[]0,1上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b 的取值范围．【答案】(1)是“不动点”函数，不动点是2和1-； (2)23a =-； (3)[]0,1.【分析】(1)根据不动点定义列出方程，求解方程即可作答.(2)根据次不动点定义列出方程，求解方程即可作答.(3)设出不动点和次不动点，建立函数关系，求出函数最值推理作答.【详解】（1）依题意，设0x 为()f x 的不动点，即()00f x x =，于是得2002x x -=，解得02x =或01x =-，所以22f x x 是“不动点” 函数，不动点是2和1-.（2）因()112g x x =+是“次不动点”函数，依题意有()g a a =-，即112a a +=-，显然0a ≤，解得23a =-， 所以实数a 的值是23-. （3）设,m n 分别是函数()()12log 42x x h x b =-⋅在0,1上的不动点和次不动点，且,m n 唯一，由()h m m =得：()12log 42m m b m -⋅=，即142()2m m m b -⋅=，整理得：124m m b =-，令()124m m m ϕ=-，显然函数()m ϕ在0,1上单调递增，则()min (0)0m ϕϕ==，()max 7(1)4m ϕϕ==，则704b ≤≤， 由()h n n =-得：()12log 42n n b n -⋅=-，即422n n n b -⋅=，整理得：21n b =-，令()21n u n =-，显然函数()u n 在0,1上单调递增，min ()(0)0u n u ==，max ()(1)1u n u ==，则01b ≤≤，综上得：01b ≤≤，所以实数b 的取值范围0,1.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。

2022-2023学年四川省内江市高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =，则()UA B =（ ）A ．∅B ．{}0C ．{}0,2,4D ．{}0,2,4,5【答案】D【分析】利用交集和补集的运算律进行运算. 【详解】∵ {}1,2,3,4A =，{}1,3,5B =， ∴ {1,3}A B ⋂=,又{}0,1,2,3,4,5U =， ∴(){0,2,4,5}UA B =，故选:D.2．已知命题p ：[]0,2x ∀∈，2310x x -+>，则命题p 的否定是（ ）A ．[]00,2x ∃∈，20310x x -+≤ B ．[]00,2x ∃∈，20310x x -+< C ．()()0,02,x ∃∈-∞+∞，200310x x -+≤ D ．[]0,2x ∀∈，2310x x -+≤【答案】A【分析】根据给定条件，利用含有一个量词的命题的否定求解作答.【详解】因命题p ：[]0,2x ∀∈，2310x x -+>，则命题p 是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题p 的否定是：[]00,2x ∃∈，200310x x -+≤.故选：A3．函数①x y a =；②x y b =；③x y c =；④x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：5413，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）A ．54313，12B 354，13，12C ．12，13354，D ．13，12，543【答案】C【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.【详解】由题图，直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，5113423>>>. 故选：C ． 4．函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致范围是（ ） A ．1(,1)eB ．(e,)+∞C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】D【分析】判断给定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断作答. 【详解】函数2()ln f x x x=-的定义域(0,)+∞，且()f x 在(0,)+∞上单调递增， 1()(1)(2)ln 210e f f f <<=-<，A ，C 不是； 22(e)ln e 10e ef =-=->，B 不是； 2(2)0,(3)ln 303f f <=->，D 是. 故选：D5．设3log 10a =，0.32b =，30.8c =，则（ ） A ．b a c << B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】C【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可判断 【详解】300.80.81c =<=，00.31222<<，即12b << 33log 1029log a =>=所以a b c >> 故选：C6．今有一组实验数据如下：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）A ．2log v t =B ．12log v t =C ．212t v -=D ．22v t =-【答案】C【分析】观察表中的数据找到速度的变化规律，从变化趋势上选择适当的函数模型即可求解. 【详解】从表中的数据的变化趋势看，函数递增的速度不断加快, 对应四个选项，A 选项的对数型函数，其递增速度不断变慢，不符合， 选项B ，随着t 的增大，速度变小，不符合,选项D 是以一个恒定的幅度变化，其图象是条直线，不符合本题的变化规律, 选项C ，函数的二次型，对比数据，其最接近实验数据的变化趋势，符合题意. 故选：C7．已知()2212x axf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]1,3上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],1-∞B ．[]1,2C ．[]2,3D ．[)3,+∞【答案】A【分析】利用复合函数的单调性即可求解.【详解】令22t x ax =-，则()12th t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()f x 在[]1,3上是减函数，由复合函数的单调性知，函数22t x ax =-与()12th t ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性相反；又因为()h t 单调递减，所以22t x ax =-需在[]1,3上单调递增.函数22t x ax =-的对称轴为x a =，所以只需要1a ≤， 故选:A.8．已知实数x y ､满足1110x y +-=，且0xy >，若不等式490x y t +-≥恒成立，则实数t 的最大值为（ ） A ．9 B ．25 C ．16 D ．12【答案】B【分析】根据题目所给条件可知，实数x y ､均满足是正数，再利用基本不等式“1”的妙用即可求出实数t 的最大值.【详解】由1110x y+-=得111x y +=，又因为0xy >，所以实数x y ､均是正数，若不等式490x y t +-≥恒成立，即min (49)t x y ≤+；114949132954x y y x x y y x ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭（）， 当且仅当55,23x y ==时，等号成立；所以，min (49)25t x y ≤+=，即实数t 的最大值为25. 故选：B.二、多选题9．关于x 的一元二次不等式210ax bx ++>的解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则下列成立的是（ ）A ．a<0B ．225a b +=C ．关于x 的一元二次不等式210bx ax +-≥的解集为∅D ．函数()af x x =为其定义域上的减函数【答案】AB【分析】由题意可得1-和12是方程210ax bx ++=的两个根，且a<0，利用韦达定理可得21a b =-⎧⎨=-⎩，再逐项判断即可.【详解】因为一元二次不等式210ax bx ++>的解集为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1-和12是方程210ax bx ++=的两个根，且a<0， 所以()1121112ba a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩，故225a b +=，故A 正确，B 正确.210bx ax +-≥即为2120x x --≥-，即2210x x ++≤，解得=1x -,故C 错误.()2a x f x x -==，函数()f x 上定义域为()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，在定义域上不单调，故D 错误.故选：AB10．有以下判断，其中是正确判断的有（ ） A ．()xf x x =与()1,01,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩表示同一函数B ．函数()y f x =的图像与直线1x =的交点最多有1个C ．“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件D ．若()1f x x x =--，则112f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD【分析】利用两个函数的定义域可判断A ；根据函数的定义可判断B ；利用充要条件定义可判断C ；将函数值代入可判断D【详解】选项A ，函数()f x 定义域{}0x x ≠，函数()g x 定义域为R ，故两个函数不是同一个函数，不正确；选项B ，由函数定义，定义域中的每个x 只有唯一的y 与之对应，正确； 选项C ，当a b >时0c 则22ac bc >不成立,当22ac bc >时,左右同乘21c ,可得a b >，正确； 选项D ，1()(0)11(0,22)f f f f ⎛⎫=⎪== ⎝⎭，正确. 故选：BCD11．下列函数中最小值为2的是（ ） A ．1y x x=+B ．2222x y x =+C ．y =D ．2244y x x =-+【答案】BD【分析】根据基本不等式即可判断ABC ，根据二次函数的性质即可判断D. 【详解】解：对于A ，当0x <时，10y x x=+<，故A 不符题意；对于B ，22222x y x =+≥=，当且仅当2222x x=，即x =所以2222x y x=+的最小值为2，故B 符合题意；对于C ，2y =≥=，=241x +=时取等号，又因为244x +≥，所以2y =>，故C 不符题意；对于D ，()22244212y x x x =-+=-+， 当1x =时，函数取得最小值2，故D 符合题意. 故选：BD.12．给出下列4个命题：其中正确的序号是（ ） A ．若()22f x x ax =-在[)1,+∞上是增函数，则1a =B ．函数()22x f x x =-只有两个零点C ．函数12x y -=的图像关于直线1x =对称D ．在同一坐标系中，函数2x y =与2x y -=的图像关于y 轴对称 【答案】CD【分析】依次应用函数的单调性，零点问题，函数图像判断每个选项即可【详解】对于A:若()22f x x ax =-在[)1,+∞上是增函数,则1a ≤，A 错误；对于B:函数()22x f x x =-，易知()20f =，()40f =，()010f =>，()1102f -=-<，故在()1,0-上有零点，B 错误； 对于C:函数12x y -=的图像关于直线1x =对称，C 正确；对于D:在同一坐标系中,函数2x y =与2xy -=的图像关于y 轴对称,根据函数图像知D 正确.故选：CD.三、填空题 13．已知函数221x y a =-+为奇函数，则实数=a ______ 【答案】1【分析】根据奇函数的定义结合指数运算求解. 【详解】若函数()221xf x a =-+为奇函数，则()()2202121x x f x f x a a -⎛⎫⎛⎫+-=-+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 即222222222021212121xxx x x a a a -⋅--=--=-=++++，解得：1a =， 故答案为：1. 14．若函数26102x x y -+=的定义域为[]2,5，则该函数的值域是____________.【答案】[]2,32【分析】把二次函数看作整体求出范围,再由指数函数的单调性求函数值域即可 【详解】因为函数26102xx y -+=,设2610t x x =-+,则2t y =因为定义域为[]2,5,()2261031t x x x =-+=-+ 当3x =时, min 1t =.当5x =时, max 5t = 所以15t ≤≤,又因为2t y =单调递增,即得1522y ≤≤,函数的值域为[]2,32 故答案为: []2,3215．已知22,1,()5,1a x x f x x ax x -⎧⋅>=⎨---≤⎩在区间(),-∞+∞上是单调增函数，则a 的取值范围为______.【答案】[]3,2--【分析】已知()f x 在区间(),-∞+∞上是单调增函数，根据单调递增的条件，列不等式组求a 的取值范围.【详解】由()f x 在区间(),-∞+∞上是单调增函数，有01215a a a a <⎧⎪⎪-≥⎨⎪≥---⎪⎩，解得32a --≤≤，则a 的取值范围为[]3,2--. 故答案为：[]3,2--四、双空题16．已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物3000mg ，设经过x 小时后，药物在病人血液中的量为mg y . （1）y 与x 的关系式为____________.（2）当该药物在病人血液中的量保持在1800mg 以上，才有疗效；而低于600mg ，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过____________小时（精确到0.1）.（参考数据：lg20.301=）【答案】 ()30000.80xy x =⨯≥； 7.2.【分析】（1）根据题意写出y 与x 的关系式即可； （2）根据题意列不等式，然后两边取常用对数即可求解.【详解】（1）由题意得()300010.2xy =⨯-，即()30000.80x y x =⨯≥；（2）令30000.8600xy =⨯>,即4155x⎛⎫> ⎪⎝⎭，两边取常用对数可得4lglg 55x >-，即()lg51lg 21lg 2lg 2142lg 2lg52lg 21lg 23lg 21lg 5x ----<=-=-=---- 0.30117.2130.3011-≈≈⨯-，故再次注射该药物的时间不能超过7.2小时.故答案为:()30000.80xy x =⨯≥;7.2.五、解答题17．已知函数()2(1)1(0)x g x a a -=++>的图像恒过定点A ，且点A 又在函数())f x x a =+的图像上. (1)求a 的值； (2)已知121log 1x -≤≤，求函数1114242x xy a a -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最大值和最小值. 【答案】(1)1(2)最小值为1，最大值为54【分析】（1）结合指数函数性质首先求a 的值；（2）通过换元，设12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，并且求变量的取值范围，转化为二次函数在定义域内的最大值和最小值.【详解】（1）由题意知定点A 的坐标为()2,2，且点A 又在函数())f x x a =+的图像上.∴)22a =+，即22a +=解得1a =.（2）由121log 1x -≤≤得122x ≤≤，令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则14t ≤≤， 221442412y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭.∴当12t =，即1122x⎛⎫= ⎪⎝⎭，1x =时，min 1y =，当14t =，即1124x⎛⎫= ⎪⎝⎭，2x =时，max 54y =.18．已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-．(1)求(0)f 的值； (2)求()f x 的解析式；(3)作出()=y f x 的图象，并求当函数()=y f x 与函数=y m 图象恰有三个不同的交点时，实数m 的取值范围． 【答案】(1)0；(2)222,>0()=0,=02,<0x x x f x x x x x ---⎧⎪⎨⎪⎩；(3)图象见解析，(1,1)-.【详解】（1）()f x 是R 上的奇函数，(0)(0)f f ∴-=-， (0)0f ∴=；（2）当0x >时，2()2f x x x =-， 故当0x <时，0x ->，22()()[()2()]2f x f x x x x x ∴=--=----=--，222,>0()=0,=02,<0x x x f x x x x x -∴--⎧⎪⎨⎪⎩；（3）作出函数()=y f x 的图象如图示：在0x >时，()=y f x 在=1x 时取得最小值1，在0x <时，()=y f x 在1x =-时取得最大值1-，故当函数()=y f x 与函数=y m 图象恰有三个不同的交点时，实数m 的取值范围为(1,1)-.19．已知集合{}|21A x a x a =-≤≤+，集合B 为函数()()()22f x x x =+-. (1)当4a =时，求A B ⋃；(2)若__________，求实数a 的取值范围.在①A B A =；②“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件；③A B ⋂=∅，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并解答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）【答案】(1){}|25x x -≤≤；(2)见解析.【分析】（1）解一元二次不等式化简集合B ，把4a =代入集合A ，利用并集的运算即可求解； （2）选①，利用A B ⊆列式求解；选②，转化为A B 列式求解；选③，利用给定的交集结果列式求解. 【详解】（1）依题意，()(){}220B x x x =+-≤{}22x x =-≤≤，当4a =时，{}|25A x x =≤≤，所以{}|25A B x x ⋃=-≤≤.（2）选①，A B A A B ⋂=⇔⊆，由（1）得{}22B x x =-≤≤， 所以2212a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤， 所以实数a 的取值范围为[]0,1.选②，因为“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，所以A B .由（1）得{}22B x x =-≤≤，所以2212a a -≥-⎧⎨+<⎩或2212a a ->-⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤<或01a <≤，即有01a ≤≤， 所以实数a 的取值范围为[]0,1.选③，A B ⋂=∅，由（1）得{}22B x x =-≤≤，所以12a +<-或22a ->，解得3a <-或4a >，所以实数a 的取值范围为()(),34,-∞-⋃+∞.20．已知函数()2log 2ax f x x+=-（0a >且1a ≠）. (1)求函数的定义域；(2)判断()f x 的奇偶性并证明；(3)已知函数()0f x ≥，求x 的取值范围.【答案】(1){|22}x x -<<(2)奇函数,证明见解析(3)答案见解析【分析】（1）根据对数的真数为正数列式可解得结果；（2）函数()f x 是奇函数，根据奇函数的定义证明即可；（3）不等式化简后，分类讨论底数a ，根据对数函数的单调性可解得结果.【详解】（1）要使函数()f x 有意义，则必有202x x +>-,即()()220x x +-<， 解得22x -<<，所以函数()f x 的定义域是{|22}x x -<< .（2）函数()f x 是奇函数，∵(2,2)x ∈-，(2,2)x -∈-，()()1222log log log 222a a a x x x f x f x x x x --++-===-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭-- ∴函数()f x 是奇函数（3）使()0f x ≥，即()2log 02a x f x x+=≥-当1a >时，有212x x+≥-，22x x +≥-,0x ≥,且函数()f x 的定义域是{|22}x x -<<,所以02x ≤<， 当01a <<时，有212202x x x x+⎧≤⎪⎪-⎨+⎪>⎪-⎩，即得2222x x x +≤-⎧⎨-<<⎩解得20x -<≤. 综上所述：当1a >时，x 的取值范围为02x ≤<；当01a <<时，x 的取值范围为20x -<≤. 21．用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度，单位：mg /ml ）随时间（单位：小时）变化的函数符合()01()12150kt m c t -=-，其函数图象如图所示，其中0m 为药物进入人体时的速率，k 是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值.此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4mg /ml 到15mg /ml 之间，当达到上限浓度时（即浓度达到15mg /ml 时），必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合2()2kt c t c -=⋅，其中c 为停药时的人体血药浓度.(1)求出函数1()c t 的解析式；(2)一病患开始注射后，最多隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（结果保留小数点后一位，参考数据：lg20.3,lg15 1.18≈≈）【答案】(1)()()4116120t c t t -⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭(2)从开始注射后，最多隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时后开始进行第二次注射【分析】（1）根据图象可知，两个点(4,8)，(8,12)在函数图象上，代入后求解参数，求1()c t ； （2）由（1）求1()15c t 中t 的范围；求得2()c t 后，再求2()4c t 中t 的范围．【详解】（1）解：由图象可知点(4,8),(8,12)在函数图象上，则()()40801281501212150k k m m --⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相除得48122123k k ---=-，解得：01,24004k m ==， ∴函数()()4116120t c t t -⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭. （2）解：由4161215t -⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，得4412216t --≥=，解得，016t ≤≤， ∴从开始注射后，最多隔16小时停止注射；由题意可知15c =，又14k =，∴()42152t c t -=⋅， 由41524t-⋅≥，得44215t -≥， 即224lg15 1.18log 2log 1522 1.9341544lg 20.3t t t -≥⇒-≥-⇒-≥-≈-≈-， 所以解得：07.7t ≤≤，∴为保证治疗效果，最多再隔7.7小时后开始进行第二次注射.22．已知函数2()(2)f x x m x m =+--，()()f x g x x =，且函数(2)y f x =-是偶函数． （1）求()g x 的解析式；（2）若不等式(ln )ln 0g x n x -≥在21,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，求n 的取值范围； （3）若函数()()()22222log 49log 4y g x k x =++⋅-+恰好有三个零点，求k 的值及该函数的零点 【答案】（1）6()4(0)g x x x x=-+≠；（2）52n ≥-；（3）6k =，零点为0，2-，2． 【分析】(1)根据(2)y f x =-是偶函数求得表达式算出m 的值,进而求得()g x 的解析式即可.(2)换元令ln x t =,再求解(ln )ln g x n x -的最小值,化简利用二次不等式进行范围运算即可.(3)换元令()22log 4x p +=,结合复合函数的零点问题,分析即可.【详解】解：（1）∵2()(2)f x x m x m =+--，∴22(2)(2)(2)(2)(6)83f x x m x m x m x m -=-+---=+-+-．∵(2)y f x =-是偶函数，∴60m -=，∴6m =．∴2()46f x x x =+-，∴6()4(0)g x x x x=-+≠． （2）令ln x t =，∵21,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴[2,0)t ∈-，不等式(ln )ln 0g x n x -≥在21,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，等价于()0g t nt -≥在[2,0)t ∈-上恒成立， ∴2264646411t t n t t t t t-+≥=-+=-++． 令2641z t t =-++，1s t =，则12s ≤-，256412=-++≤-z s s ，∴52n ≥-． （3）令()22log 4x p +=，则2p ≥，方程()()22222log 490log 4g x k x ⎡⎤++⋅-=⎣⎦+可化为2()90g p k p+⋅-=， 即62490k p p p -++-=，也即25(26)0p p k p-+-=． 又∵偶函数()()()22222log 49log 4y g x k x =++⋅-+恰好有三个零点，所以必有一个零点为0， ∴25(26)0-+-=y p k p有一个根为2，∴6k =．∴2560p p -+=，解得2p =或3p =． 由()22log 42x +=，得0x =，由()22log 43x +=，得2x =±，∴零点为0，2-，2．【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求解方法以及换元法求复合函数的应用,包括二次函数的范围问题等与函数零点的问题.属于难题.。

3．3 全称命题与特称命题的否定学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.掌握对全称命题和特称命题否定的方法．知识点一全称命题的否定要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是特称命题．一般地，全称命题“所有的x∈A，使p(x)成立”的否定为特称命题“存在x∈A，使p(x)不成立”．知识点二特称命题的否定要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．特称命题的否定是全称命题．一般地，特称命题“存在x∈A，使p(x)成立”的否定为全称命题“所有的x∈A，使p(x)不成立”．1．若命题p是含一个量词的命题，则p与其否定真假性相反．( √)2．从特称命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定．( ×)3．从全称命题的否定看，既要把全称量词转换为存在量词，又要把p(x)否定．( √)题型一全称命题的否定例1 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)任意n∈Z，则n∈Q；(2)等圆的面积相等，周长相等；(3)偶数的平方是正数．考点全称命题的否定题点全称命题的否定解(1)存在n∈Z，使n∉Q，这是假命题．(2)存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题．(3)存在偶数的平方不是正数，这是真命题．反思感悟 1.写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．2．有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”．跟踪训练1 写出下列全称命题的否定：(1)所有能被3整除的整数都是奇数；(2)每一个四边形的四个顶点共圆；(3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.考点全称命题的否定题点全称命题的否定解(1)存在一个能被3整除的整数不是奇数．(2)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(3)存在x∈Z，x2的个位数字等于3.题型二特称命题的否定例2 写出下列特称命题的否定：(1)存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；(2)有的三角形是等边三角形；(3)有一个素数含三个正因数．考点特称命题的否定题点含存在量词的命题的否定解(1)任意x∈R，x2＋2x＋2>0.(2)所有的三角形都不是等边三角形．(3)每一个素数都不含三个正因数．反思感悟与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定．跟踪训练2 写出下列特称命题的否定，并判断其真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)存在x，y∈Z，使得2x＋y＝3.考点特称命题的否定题点含存在量词的命题的否定解(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”． 由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题． (3)命题的否定：“任意x ，y ∈Z ，2x ＋y ≠3”． ∵当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3， 因此命题的否定是假命题．题型三 全称命题、特称命题否定的应用例3 已知命题p (x )：sin x ＋cos x >m ，q (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果对于任意x ∈R ，p (x )为假命题且q (x )为真命题，求实数m 的取值范围． 考点 全称命题与特称命题的否定题点 由全称命题与特称命题的真假求参数的范围解 ∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4>m ，若p (x )为真命题，则m <－ 2. ∵p (x )为假命题，∴m ≥－2，①由q (x )为真命题，得Δ＝m 2－4<0，即－2<m <2，② 由①②可得－2≤m <2.引申探究 若例3中“如果对于任意x ∈R ，p (x )为假命题且q (x )为真命题”改为“如果对于任意x ∈R ，p (x )与q (x )有且仅有一个是真命题”，其他条件不变，求实数m 的取值范围． 解 由例3知p (x )为真命题时，m <－2，q (x )为真命题时，－2<m <2.由题意知p (x )与q (x )两命题有一真一假， 当p (x )为真，q (x )为假时，⎩⎨⎧m <－2，m ≤－2或m ≥2，得m ≤－2.当p (x )为假，q (x )为真时，⎩⎨⎧m ≥－2，－2<m <2，得－2≤m <2.所以m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－2，2)．反思感悟 若全称命题为假命题，通常转化为其否定命题——特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定命题——全称命题为真命题解决．跟踪训练3 已知函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0.求实数p 的取值范围．考点 存在量词与特称命题的真假判断题点 存在性问题求参数的范围解 在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0的否定是在区间[－1,1]上的所有实数x ，都有f (x )≤0恒成立．又由二次函数的图像特征可知，⎩⎪⎨⎪⎧f －1≤0，f 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2p －2－2p 2－p ＋1≤0，4－2p －2－2p 2－p ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3.∴p ≥32或p ≤－3.故p 的取值范围是－3<p <32.1．命题“任意x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( ) A ．任意x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0 B ．任意x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C ．存在x ∈[0，＋∞)，x 3＋x <0 D ．存在x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0 考点 全称命题的否定 题点 全称命题的否定 答案 C解析 全称命题的否定是特称命题． 2．下列命题的否定为假命题的是( ) A ．存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0 B ．任意x ∈R ，lg x ＜1C ．所有能被3整除的整数都是奇数D ．任意x ∈R ，sin 2x ＋cos 2x ＝1 考点 特称命题的否定题点 含有一个量词的命题真假判断 答案 D解析 对于选项A ，因为x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1＞0，所以存在x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；对于选项B ，因为当x ＞10时，lg x ＞1，所以任意x ∈R ，lg x ＜1是假命题，故其否定为真命题；对于选项C ，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题； 对于选项D ，显然成立，因此其否定是假命题．3．若“存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x cos x >m ”为假命题，则实数m 的取值范围是________．考点 存在量词与特称命题的真假判断 题点 存在性问题求参数的范围答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞解析 由题意知，对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x cos x ≤m 为真命题；又∵sin x cos x ＝12sin2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，∴m ≥12.4．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)不论m 取何实数，方程x 2＋mx －1＝0必有实数根； (2)有些三角形的三条边相等； (3)余弦值为负数的角是钝角． 考点 含有量词的命题的否定的应用 题点 全称命题与特称命题的否定及真假判断 解 (1)这一命题可表述为对任意的实数m ， 方程x 2＋mx －1＝0必有实数根． 其否定：存在一个实数m ， 使方程x 2＋mx －1＝0没有实数根， 因为该方程的判别式Δ＝m 2＋4>0恒成立， 故为假命题．(2)原命题的否定为“所有三角形的三条边不全相等”，假命题． (3)原命题的否定为“存在余弦值为负数的角不是钝角”，真命题．对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.一、选择题1．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题为“对任意的x∈A,2x∈B”，则该命题的否定是( )A．对任意x∈A,2x∉BB．对任意x∉A,2x∉BC．存在x∉A,2x∈BD．存在x∈A,2x∉B考点全称命题的否定题点全称命题的否定答案 D2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数考点全称命题的否定题点全称命题的否定答案 D解析原命题为全称命题，其否定应为特称命题，且结论否定．3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )A．存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0考点全称命题的否定题点全称命题的否定答案 C解析由题意知，原命题为全称命题，故其否定为特称命题，所以否定为“存在x∈R，x3－x2＋1>0”．故选C.4．已知命题p：任意x>0，总有(x＋1)e x>1，则命题p的否定为( )A．存在x≤0，使得(x＋1)e x≤1B．存在x>0，使得(x＋1)e x≤1C．任意x>0，总有(x＋1)e x≤1D．任意x≤0，总有(x＋1)e x≤1考点全称命题的否定题点全称命题的否定答案 B解析“任意x>0，总有(x＋1)e x>1”的否定是“存在x>0，使得(x＋1)e x≤1”．故选B. 5．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则命题p的否定为( ) A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根考点特称命题的否定题点含存在量词命题的否定答案 C解析命题p是特称命题，其否定形式为全称命题，即为对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．6．已知命题p：存在x∈R，x2＋ax＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( ) A．[0,4] B．(0,4)C．(－∞，0)∪(4，＋∞) D．(－∞，0]∪[4，＋∞)考点全称命题与特称命题的否定的应用题点由全称命题与特称命题的真假求参数范围答案 A解析∵p是假命题，∴任意x∈R，x2＋ax＋a≥0恒成立，∴Δ＝a2－4a≤0，∴0≤a≤4.7．下列命题中是假命题的是( )A ．存在m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·243m m x－＋是幂函数，且在(0，＋∞)上是减少的B ．任意a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 C ．存在α，β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin β D ．任意φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 考点 全称命题与特称命题的真假判断 题点 全称命题与特称命题的真假判断 答案 D解析 ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1， ∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上是减少的，故A 真；∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞，∴对任意a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解， 即f (x )有零点，故B 真； 当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真； 当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x 为偶函数，故D 为假命题．8．已知函数f (x )＝|2x －1|，若命题“存在x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，使得f (x 1)>f (x 2)”为真命题，则下列结论一定正确的是( ) A ．a ≥0B．a <0C ．b ≤0D．b >1 答案 B解析 函数f (x )＝|2x －1|的图像如图所示．由图可知f (x )在(－∞，0]上是减少的，在(0，＋∞)上是增加的， 所以要满足存在x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2， 使得f (x 1)>f (x 2)为真命题，则必有a <0，故选B.9．已知二次函数f (x )＝2x 2－(a ＋6)x －2a 2－a ，若在区间[0,1]内至少存在一个实数b ，使f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 考点 存在量词与特称命题的真假判断题点 存在性问题求参数的范围 答案 A解析 考虑原命题的否定，即在区间[0,1]内的所有的实数b ，使f (b )≤0，所以有⎩⎪⎨⎪⎧f 0≤0，f 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋a ≥0，a 2＋a ＋2≥0，解得a ≤－12或a ≥0，故若在区间[0,1]内至少存在一个实数b ，使f (b )>0，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0. 二、填空题10．命题“存在x ∈{x |x 是正实数}，使x <x ”的否定为________命题．(填“真”或“假”) 考点 存在量词的否定题点 含一个量词的命题真假判断 答案 假解析 命题“存在x ∈{x |x 是正实数}，使x <x ”是真命题，则该命题的否定是假命题． 11．命题“任意x >0，x ＋1x≥1”的否定为________________________．考点 全称量词的否定 题点 含全称量词的命题的否定 答案 存在x >0，x ＋1x<112．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是________．考点 全称命题与特称命题的否定的应用 题点 由全称命题与特称命题的真假求参数的范围 答案 [3,8)解析 因为p (1)是假命题， 所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8， 故实数m 的取值范围是[3,8)． 三、解答题13．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：(1)任意α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β； (2)存在x ，y ∈Z ,3x －4y ＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解． 考点 含有一个量词的命题 题点 含一个量词的命题真假判断解 (1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题． 命题的否定为：存在α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β. (2)真命题．命题的否定为：任意x ，y ∈Z ,3x －4y ≠20.(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．14．已知命题“对于任意x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是假命题，求实数a 的取值范围． 考点 全称命题题点 由命题的真假求参数的范围解 因为全称命题“对于任意x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”的否定形式为：“存在x 0∈R ，x 20＋ax 0＋1<0”．由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题． 由于函数f (x )＝x 2＋ax ＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象(图略)易知，Δ＝a 2－4>0，解得a <－2或a >2.所以实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．15．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点(－1,0)，是否存在常数a ，b ，c ，使不等式x ≤f (x )≤1＋x22对一切实数x 均成立？解 假设存在常数a ，b ，c ，使题设命题成立． 因为f (x )的图像过点(－1,0)， 所以a －b ＋c ＝0.因为x ≤f (x )≤1＋x22对一切x ∈R 均成立，所以当x ＝1时，也成立，即1≤a ＋b ＋c ≤1， 故有a ＋b ＋c ＝1. 所以b ＝12，c ＝12－a .所以f (x )＝ax 2＋12x ＋12－a .故应x ≤ax 2＋12x ＋12－a ≤1＋x 22对一切x ∈R 成立，即⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2－12x ＋12－a ≥0，1－2a x 2－x ＋2a ≥0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1≤0，Δ2≤0，a >0，1－2a >0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 14－4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ≤0，1－8a 1－2a ≤0，a >0，1－2a >0.所以a ＝14， 所以c ＝12－a ＝14. 所以存在一组常数：a ＝14，b ＝12，c ＝14， 使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立．。

1．4.3含有一个量词的命题的否定整体设计教材分析本节内容重在让学生通过数学中的一些实例，探究并归纳出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，并在教师引导下，让学生根据全称量词和存在量词的含义，用简洁、自然的语言表述含有一个量词的命题的否定，通过例题和习题的教学，进一步使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．课时分配1课时教学目标知识与技能1．通过探究数学中的一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定命题在形式上的变化规律．2．通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．过程与方法使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．情感、态度与价值观在学习新知的过程中，培养学生的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质．重点难点教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学过程引入新课提出问题回顾我们在1.3.3中学习过的逻辑联结词“非”的有关知识，对给定的命题p，如何得到命题p 的否定(即非p )，它们的真假性之间有何联系？活动设计：学生自由发言．教师用多媒体展示常用的一些词语和它的否定词语对照表，并完成表格．活动结果：对命题“p”全盘否定后得到命题“非p”，而“非p”的真假与命题“p”的真假相反．设计意图：复习逻辑联接词“非”的相关知识，并引出含一个量词的命题的否定．探究新知提出问题1：判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出它们的否定命题吗？(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)x∈R，x2－2x＋1≥0；(4)有些实数的绝对值是正数；(5)某些平行四边形是菱形；(6)x∈R，x2＋1＜0.活动设计：用时10分钟，学生独立思考，小组内部讨论，最后把以上命题的否定命题形成书面形式，由小组代表答出讨论结果，由其他同学修正补充．活动成果：前三个命题都是全称命题，即具有形式“x∈M，p(x)”．其中命题(1)的否定是“某些矩形不是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；命题(2)的否定是“某些素数不是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；命题(3)的否定是“并非x∈R，x2－2x＋1≥0”，也就是说，x∈R，x2－2x＋1＜0；后三个命题都是特称命题，即具有形式“x∈M，p(x)”；其中命题(4)的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”；命题(5)的否定是“所有的平行四边形都不是菱形”；命题(6)的否定是“不存在x∈R，x2＋1＜0”，也就是说，x∈R，x2＋1≥0.提出问题2：你能发现这些命题和它们的否定命题在形式上发生了什么变化吗？活动设计：在学生独立思考的基础上，自由发言，教师对问题进行补充、归纳、总结．活动结果：从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题；后三个特称命题的否定都变成了全称命题．(板书)一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：x∈M，p(x)，它的否定p：x0∈M，p(x0)；特称命题p：x0∈M，p(x0)＝，它的否定p：x∈M，p(x)．即全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．理解新知提出问题：写出命题“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”的否命题．．．．．．及命题的否定．．．．并思考：命题的否定与否命题有什么区别？活动设计：学生独立思考，小组内讨论，形成统一意见．活动成果：否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等；命题的否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但它的四条边中至少有两条不相等．由此可见命题的否定与否命题的区别：其一：若命题为“若p，则q”，其否命题为“若p，则q”，其命题的否定：“若p，则q”；其二：原命题与其命题的否定不可同真同假，即原命题真，其否定命题假；原命题假，其否定命题真；而否命题与其原命题的真假没有关系．设计意图：复习巩固否命题的概念，进一步认识命题的否定与否命题的区别，以防学生混淆概念．运用新知判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假，写出这些命题的否定：(1)三角形内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口朝下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．思路分析：首先分清是全称命题还是特称命题，然后写成x∈M，p(x)或x∈M，p(x)的形式，再进一步做出否定．解：(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：存在一个三角形其内角和不等于180°；(2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不朝下；(3)是特称命题且为真命题．命题的否定：所有四边形都是平行四边形．点评：含有一个量词的命题的否定要“改变条件，否定结论”“改变”是指将改成，改成；“否定”是指对结论语句的全盘否定．命题的真假性可以通过其否定命题的真假来判断原命题的真假．巩固练习1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C. 存在x0∈R，x30－x20＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>02．已知命题p：x∈R，sinx≤1，则()A．p：x0∈R，sinx0≥1B．p：x0∈R，sinx0≥1C．p：x0∈R，sinx0>1D．p：x∈R，sinx>1答案：1.C 2.C变练演编1．命题x∈R，x2－x＋3>0的否定是________．2．命题x∈R，x2－x＋3>0的否定是________．思路分析：特称命题的否定是一个全称命题，全称命题的否定是一个特称命题．否定时存在量词变为全称量词，全称量词变为存在量词．答案：1.x0 ∈R，x20 －x0 ＋3≤02．x∈R，x2－x＋3≤0点评：符号语言精而准，用符号语言来表达数学问题是学好数学的基本功．达标检测1．“至多有三个”的否定为()A．至少有三个B．至少有四个C．有三个D．有四个2．“三个数a，b，c不全为0”的否定是()A．a，b，c都不是0 B．a，b，c至多一个是0C．a，b，c至少一个是0 D．a，b，c都是03．“奇数是质数”的否定是________．4．“任意的x∈Z，若x>2，则x2>4”的否定是________．5．“ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根”的否定是________．答案：1.B 2.D3．存在奇数不是质数4．x0∈Z，虽然x0>2，但x20≤45．ax2＋2x＋1＝0没有负的实根课堂小结知识收获：(1)注意区分命题的否定与否命题两个概念．(2)要说明一个全称命题是错误的，实际上是对这个全称命题进行否定．要说明一个特称命题是错误的，实际上是对这个特称命题进行否定．(3)全称命题与特称命题的关系：全称命题p：x∈M，p(x)的否定是p：x0∈M，p(x0)；即全称命题的否定是特称命题．特称命题p：x0∈M，p(x0)的否定是p：x∈M，p(x)；即特称命题的否定是全称命题．方法收获：程序化．思维收获：由一般到特殊、转化思想．布置作业(1)教学反思：如何写出含有一个量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有什么变化？(2)作业：课本习题1.4A组第3题，B组(1)(2)(3)(4)．补充练习基础练习1．命题“存在x0∈Z，使x20＋2x0＋m≤0”的否定命题是()A．存在x0∈Z，使x20＋2x0＋m>0B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>02．下列语句是特称命题的是()A．整数n是2和5的倍数B．存在整数n，使得n能被11整除C ．若3x －7＝0，则x ＝73D ．x ∈M ，p(x)3．下列全称命题中是真命题的个数是( )①所有偶数都能被2整除；②所有奇数都能被3整除；③任意实数的平方都不小于0. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．全称命题“a ∈Z ，a 有一个正因数”的否定是________．5．特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是________． 答案：1.D 2.B 3.C4．a 0∈Z ，a 0没有正因数5．每一个三角形的三条中线不相等 拓展练习6．下列四个命题： p 1：x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x ， p 2：x ∈(0,1), log 12x>log 13xp 3：x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ， p 4：x ∈(0，13)，(12)x <log 13x其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 47．命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是( )A ．不存在x 0∈R, 2x 0>0B ．存在x 0∈R, 2x 0≥0C ．对任意的x ∈R, 2x ≤0D ．对任意的x ∈R, 2x >0 答案：6.D 7.D 设计说明通过探究数学中的一些实例，教师引导学生用简洁自然的语言表述含有一个量词的命题的否定，让学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．这种教师有目的地进行创设学习情境，整合教材顺序，有效的问题引导，让学生经历观察特征、认识概念、运用概念的过程，对学生完整地、深刻地理解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律很有帮助．使学生体会到从具体到一般的认识过程，培养学生抽象概括的能力．备课资料1．下列特称命题中，假命题．．．是( ) A ．x ∈Z ，x 2－2x －3＝0B ．至少有一个x ∈Z ，x 能被2和3整除C ．存在两个相交平面垂直于同一条直线D ．x ∈{x 是无理数}，x 2是有理数思路分析：要判断特称命题“x ∈M ，p(x)”为真命题，只需在集合M 中找一个元素x 0，使p(x 0)成立即可；如果在集合M 中找不到元素x 0，使p(x 0)成立，那么这个特称命题就为假命题．解：因为找不到两个相交平面垂直于同一条直线，所以命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”为假命题，应选C.点评：判断特称命题的真假，要通过生活和数学中的实例、知识综合判定．2．下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的有()A．1个B．2个C．3个D．0个思路分析：根据全称命题的定义，逐一进行判断即可．解：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；特称命题②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；全称命题③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；全称命题④存在x使x2＋2x＋1＝0成立；特称命题，应选B.点评：分辨一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看命题中含有的量词，当不含量词时，则注意理解命题含义的实质．3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0思路分析：要分清是全称命题还是特称命题，然后写成∈M，p(x)或∈M，p(x)的形式，再进一步作出否定．解：命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”是全称命题，它的否定是“存在x∈R，x3－x2＋1>0”，应选C.点评：一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p ：x ∈M ，p(x)，它的否定p ：x ∈M ，p(x)；特称命题p ：x ∈M ，p(x)，它的否定p ：x ∈M ，p(x)．4．给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③x ∈R ，x 2－2x>0；④x ∈R,2x ＋1为奇数．以上命题的否定为真命题的序号依次是________．思路分析：原命题与其否定的真假性正好相反，因此只需直接判断原命题的真假即可． 解：①有理数是实数； 真命题 ②有些平行四边形不是菱形； 真命题 ③x ∈R ，x 2－2x>0； 假命题 ④x ∈R,2x ＋1为奇数； 真命题 应选③.点评：本题的关键是根据原命题与命题的否定的特点来完成该题，即原命题真，命题的否定假；原命题假，命题的否定真．5．设0<a ，b ，c<1，求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不同时大于14.思路分析：本题直接证明较难入手，可考虑用反证法．解：反证法：假设⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )b>14(1－b )c>14(1－c )a>14⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )b>12，(1－b )c>12，(1－c )a>12，所以32<(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a ≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＝32.左右矛盾，故假设不成立，原命题得证．点评：原命题与其命题的否定不可同真同假，即原命题真，其命题的否定为假；原命题假，其命题的否定为真．(设计者：赵传俊)。

1．4.3含有一个量词的命题的否定学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．知识点一全称命题的否定思考尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法．(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.答案(1)将量词“所有”换为：“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形”；用同样的方法可得(2)(3)的否定：(2)存在一个素数不是奇数；(3)∃x0∈R，x20－2x0＋1<0.梳理写全称命题的否定的方法：①更换量词，将全称量词换为存在量词；②将结论否定．对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．全称命题的否定是特称命题．知识点二特称命题的否定思考尝试写出下面含有一个量词的特称命题的否定，并归纳写特称命题否定的方法．(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x0∈R，x20＋1<0.答案(1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为：“所有实数的绝对值都不是正数”；同理可得(2)(3)的否定：(2)所有平行四边形都不是菱形；(3)∀x∈R，x2＋1≥0.梳理写特称命题的否定的方法：①将存在量词改写为全称量词，②将结论否定．(1)特称命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)．(2)对含有一个量词的命题进行否定，先对量词进行否定，全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，然后再否定结论即可.类型一全称命题与特称命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)p：存在x∈N，x2－2x＋1≤0.解(1)非p：存在一个实数m，使得方程x2＋mx－1＝0没有实数根，因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故非p为假命题．(2)非p：对任意x∈N，x2－2x＋1>0，显然当x＝1时，x2－2x＋1>0不成立，故非p是假命题．反思与感悟(1)全称命题的否定将全称量词变为存在量词，再否定它的结论，全称命题的否定是特称命题．(2)特称命题的否定将存在量词变为全称量词，再否定它的结论，特称命题的否定是全称命题．(3)对全称命题与特称命题的否定要注意以下两点：①对省略全称量词的全称命题要补回全称量词再否定．解题中若遇到省略“所有”“任何”“任意”等量词的简化形式，这时则应先将命题写成完整形式，再依据法则写出其否定形式．对特称命题的否定，在否定判断词时，也要否定存在量词．②要注意命题的否定形式不唯一．跟踪训练1写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：矩形是平行四边形；(2)q：∀x≥0，x2>0；(3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°；(4)t：某些梯形的对角线互相平分．解(1) ¬p：存在一个矩形不是平行四边形，假命题．(2) ¬q：∃x≥0，x2≤0，真命题．(3) ¬r：所有三角形的内角和都小于等于180°，真命题．(4) ¬t：每一个梯形的对角线都不互相平分，真命题．类型二利用全称命题与特称命题求参数取值范围例2已知函数f(x)＝x2－mx＋1，命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”．若命题“非p”与“q”均为真命题，求实数m的取值范围．解由于命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，所以非p：“不等式f(x)≤0在实数集上有解”，故Δ＝m2－4≥0，得m≤－2或m≥2.又命题q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”，即不等式x 2<9－m 2在实数集上有解，故9－m 2>0，所以－3<m <3.因为命题“非p ”与“q ”均为真命题，所以m 的取值范围为(－3，－2]∪[2,3)．反思与感悟 利用全称命题、特称命题求参数的范围或求值是一类综合性较强、有一定难度的问题，主要考查这两种命题及其否定的定义．全称命题为真，意味着对限定的每一个元素都具有某种性质，使所给语句为真．因此，当给出限定集合中的任一个特殊的元素时，自然应导出“这个特殊元素具有这个性质”． 跟踪训练2 已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2，若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0.则m 的取值范围是________． 答案 －4<m <－2 解析 由题意知m ≠0，∴f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)为二次函数， (1)若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0， 必须抛物线开口向下，即m <0. f (x )＝0的两根x 1＝2m ，x 2＝－m －3， 则x 1－x 2＝3m ＋3.①当x 1>x 2，即m >－1时，大根x 1＝2m <1，即m <12.②当x 1<x 2，即m <－1时，大根x 2＝－m －3<1，即m >－4.③当x 1＝x 2，即m ＝－1时，x 1＝x 2＝－2<1也满足条件．∴满足条件①的m 的取值范围为－4<m <0.(2)若∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0， 则满足f (x )＝0的小根小于是－4.①当m >－1时，小根x 2＝－m －3<－4且m <0，无解． ②当m <－1时，小根x 1＝2m <－4且m <0，解得m <－2. ③当m ＝－1时，f (x )＝－(x ＋2)2≤0恒成立， ∴不满足②.∴满足①②的m 的取值范围是－4<m <－2.1．已知a >0且a ≠1，命题“∃x >1，log a x >0”的否定是( ) A ．∃x ≤1，log a x >0 B ．∃x >1，log a x ≤0 C ．∀x ≤1，log a x >0 D ．∀x >1，log a x ≤0答案 D解析 a >0且a ≠1，命题“∃x >1，log a x >0”的否定是“∀x >1，log a x ≤0”．2．已知命题p ：∀x >0，x ＋1x ≥2，则¬ p 为( )A ．∀x >0，x ＋1x <2B ．∀x ≤0，x ＋1x <2C ．∃x ≤0，x ＋1x <2D ．∃x >0，x ＋1x<2答案 D解析 由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得． 3．下列说法不正确的是( )A ．若“p 且q ”为假，则p ，q 至少有一个是假命题B ．命题“∃x ∈R ，x 2－x －1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≥0”C ．“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件D ．当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减 答案 C解析 A ：若“p 且q ”为假，则p ，q 至少有一个是假命题，正确；B ：命题“∃x ∈R ，x 2－x －1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≥0”，正确；C ：“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，故C 错误；D ：α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减，正确．故选C.4．命题“∃x 0∈R,030≤x”的否定是( ) A ．∀x ∈R,3x ≤0 B ．∃x 0∈R,030≥xC ．∃x 0∈R,030xD ．∀x ∈R,3x >0答案 D解析 命题“∃x 0∈R,030≤x”的否定使“∀x ∈R,3x >0.”5．由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝________. 答案 1解析 由题意得命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，所以Δ＝4－4m <0，即m >1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a 的值为1.1．对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如本例，将“≥”否定为“<”． 2．对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题．注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断．3．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此在书写时，要注意量词以及形式的变化，熟练掌握下列常见词语的否定形式：原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n 个 至多有(n －1)个 小于 不小于 至多有n 个至少有(n ＋1)个任意的 某个 能 不能 所有的某些等于不等于一、选择题1．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则¬ p 是( ) A ．∃x ∈R ，sin x ≥1 B ．∃x ∈R ，sin x >1 C ．∀x ∈R ，sin x ≥1 D ．∀x ∈R ，sin x >1答案 B解析 所给命题为全称命题，故其否定为特称命题，∃x ∈R ，sin x >1，故选B. 2．命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案 D解析 “f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为“f (n )∉N *或f (n )>n ”，全称命题的否定为特称命题，故选D.3．已知命题p ：∀x >0，x ＋4x ≥4；命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，0122＝，x 则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(¬ q )是真命题D ．(¬ p )∧q 是真命题答案 C解析 由基本不等式知命题p 正确；由0122＝x知，x 0＝－1，故命题q 不正确；利用复合命题的判断方法可知应选C.4．已知命题p ：存在a ∈R ，使函数y ＝x 2＋ax 的定义域为实数集R ，命题q ：不等式x －1x －2≤0的解集为{x |1<x <2}，则下列结论正确的是( ) A ．命题“p 且q ”为真命题 B ．命题“p 且(¬ q )”为真命题 C ．命题“(¬ p )且q ”为真命题 D ．命题“(¬ p )且(¬ q )”为真命题 答案 B解析 根据命题p 得x 2＋ax ≥0，因为Δ＝a 2≥0，故∀a ∈R ，都成立，故命题p 为真命题；由命题q 得{ (x －1)(x －2)≤0，x －2≠0，解得1≤x <2，故命题q 为假命题，结合复合命题的真假判断，得到只有B 符合题意，故选B.5．命题“存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 C ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 答案 C解析 特称命题“存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”的否定是：把量词“存在”改为“对任意的”并把结论进行否定，即把“>”改为“≤”．故选C.6．有命题m ：“∀x 0∈(0，13)，01031()log 2x x <”，命题n ：“∃x 0∈(0，＋∞)，010031()log 2＝x x x >”． 则在命题p 1：m ∨n ，p 2：m ∧n ，p 3：(¬ m )∨n 和p 4：m ∧(¬ n )中，真命题是( ) A ．p 1，p 2，p 3 B ．p 2，p 3，p 4 C ．p 1，p 3 D ．p 2，p 4答案 A解析 当x ∈(0，13)时，13log 1x >，(12)x <1，∴此时131log ()2x x >恒成立，即命题m 为真命题，作出函数13log ＝，y x y ＝(12)x ，y ＝x 的图象如图，则由图象可知∃x 0∈(0，＋∞)，满足010031log ()2＝，x x x 故命题n 为真命题，则m ∨n ，m ∧n ，(¬ m )∨n 为真命题，m ∧(¬ n )为假命题，故p 1，p 2，p 3为真命题，故选A. 7．下列命题正确的是( )(1)已知命题p ：∃x ∈R,2x ＝1，则¬ p 是：∃x ∈R,2x ≠1；(2)设l ，m 表示不同的直线，α表示平面，若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；(3)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为23；(4)“a >0，b >0”是“a b ＋ba ≥2”的充分不必要条件．A ．(1)(4)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(3)(4)答案 D解析 ¬ p 为∀x ∈R,2x ≠1，故(1)错误；若m ∥l ，且m ∥α，则l 可能在α内或l ∥α，故(2)错误；由3a －1>0得，a >13，即事件“3a －1>0”发生的概率为23，故(3)正确；a b ＋ba ≥2⇔ab >0，故(4)正确．所以选D. 二、填空题8．若“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案 1解析 ∵0≤x ≤π4，∴0≤tan x ≤1，∵“∀x ∈[0，π4]，tan x ≤m ”是真命题，∴m ≥1.∴实数m 的最小值为1.9．已知全集U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，如果命题p ：3∈A ∪B ，则命题“¬ p ”是________． 答案3∈(∁U A )∩(∁U B )解析 p ：3∈A 或3∈B ，所以¬ p ：3∉A 且3∉B, 即¬ p ：3∈(∁U A )∩(∁U B )．10．对∀x ∈[－1,2]，使4x －2x ＋1＋2－a <0恒成立，则实数a 的取值范围为________． 答案 (10，＋∞)解析 已知不等式化为22x －2·2x ＋2－a <0，①令t ＝2x ，因为x ∈[－1,2]，所以t ∈[12，4]，则不等式①化为t 2－2t ＋2－a <0，即a >t 2－2t ＋2，原命题等价于∀t ∈[12，4]，a >t 2－2t ＋2恒成立，令y ＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1，当t ∈[12，4]时，y max ＝10，所以只需a >10即可，即所求实数a 的取值范围是(10，＋∞)． 三、解答题11．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0；(2)q ：所有的正方形都是矩形； (3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0.解 (1)非p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，假命题．∵∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，∴非p 是假命题．(2)非q ：有的正方形不是矩形，假命题． (3)非r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题． ∵∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0， ∴非r 是真命题．12．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立？并求出m 的取值范围； (2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m 使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时m >－4. (2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)， 若存在实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立， 只需m >f (x )min .∵f (x )＝(x －1)2＋4， ∴f (x )min ＝4，∴m >4.∴所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．13．已知函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0.求实数p 的取值范围．解 “在区间[－1,1]上至少存在一个实数c ，使得f (c )>0”的否定是“在[－1,1]上的所有实数x ，都有f (x )≤0恒成立”．又由二次函数的图象特征可知，{ f (－1)≤0，f (1)≤0，即{ 4＋2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，4－2(p －2)－2p 2－p ＋1≤0，即⎩⎨⎧p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3，∴p ≥32或p ≤－3. 故p 的取值范围是－3<p <32.。