数学概念的定义形式
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数学定义最简单的解释
数学是一种关于逻辑、数量、结构和空间的学科,主要通过抽象化、推理和严格的推导方法,研究数量、形状、变化和空间等方面的概念和问题,帮助人类理解自然界和人类社会中的现象,并转化为一种工具和语言,用于解决实际问题和进行科学研究。
数学可以被看作是一种基础学科,为许多其他学科提供了必要的工具和技能。
例如,物理学、工程学、经济学和计算机科学等学科都依赖于数学的基本概念和方法。
因此,数学在现代社会中扮演着重要的角色,其应用广泛而深远。
数学的定义可以分为两个方面:数量和空间。
数量是指描述物体或事件的数量、大小、程度、速度等量化概念;空间则是指描述物体或事件的位置、方向、大小等空间概念。
数学的研究对象包括数、量、形、变、关系等,其研究方法包括算术、代数、几何、微积分等。
学科的数学和科学的数学的概念学科的数学和科学的数学的概念数学,是一门研究数量、空间、结构与变化等概念的学科,也是一门包含许多分支的学科。
其中,学科的数学和科学的数学是两个重要的概念。
下面,我们就从不同的角度来探讨这两个概念。
一、概念定义学科的数学主要包括纯数学、应用数学等分支,是以数学为研究对象的学科。
它是数学基础理论研究和地位高峰,也是数学向应用领域渗透的桥梁。
科学的数学也称作实验数学,主要是描述物质实验现象的数学,以及用数学方法进行数据处理的学科。
它是在学科的数学研究基础上,结合自然科学和工程技术领域的实际问题而衍生出来的。
二、研究内容学科的数学是以纯粹的数学为主要对象,研究数学的内在本质和规律。
如代数学、几何学、数论、拓扑学等学科,都是学科的数学的研究对象。
而在科学的数学中,数学的应用体现得更为突出,主要是通过数学方法与工程技术、自然科学等领域产生联系。
如力学、电磁学、量子力学、图论、统计学等,都属于科学的数学的范畴。
三、应用领域学科的数学主要用于推理、证明和研究数学基本理论的应用领域。
纯数学是学科的数学研究的一个优秀代表,而纯数学的研究成果又是应用数学的基础。
应用数学在工业、科研、经济、金融等领域,为决策、生产提供了数学模型和手段。
科学的数学则主要应用于物理、天文、气象、经济、环保等领域。
它通过数学模型建模来模仿实际情况,让我们可以从理论上尝试预测和分析某些物理和化学现象。
综合来看,学科的数学与科学的数学都是数学学科范畴中不可或缺的两个概念。
学科的数学研究的是数学本身的内在本质和规律,而科学的数学则将数学理论与现实生活中实际问题相结合。
无论是学科的数学还是科学的数学,都发挥着不可替代的作用。
希望在未来的科技领域中,学科的数学和科学的数学可以更加完美地结合起来,共同构建我们的科技文明。
初中数学定义定理公式总结一、基本知识㈠、数与代数A、数与式:1、有理数有理数:①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数数轴:①画一条水平直线,在直线上取一点表示0〔原点,选取某一长度作为单位长度,规定直线上向右的方向为正方向,就得到数轴。
②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
③如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数,也称这两个数互为相反数。
在数轴上,表示互为相反数的两个点,位于原点的两侧,并且与原点距离相等。
④数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。
正数大于0,负数小于0,正数大于负数。
绝对值:①在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。
两个负数比较大小,绝对值大的反而小。
有理数的运算:加法:①同号相加,取相同的符号,把绝对值相加。
②异号相加,绝对值相等时和为0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数与0相加不变。
减法:减去一个数,等于加上这个数的相反数。
乘法:①两数相乘,同号得正,异号得负,绝对值相乘。
②任何数与0相乘得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法:①除以一个数等于乘以一个数的倒数。
②0不能作除数。
乘方:求N个相同因数A的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫幂,A叫底数,N叫次数。
混合顺序:先算乘法,再算乘除,最后算加减,有括号要先算括号里的。
2、实数无理数:无限不循环小数叫无理数平方根:①如果一个正数X的平方等于A,那么这个正数X就叫做A的算术平方根。
②如果一个数X的平方等于A,那么这个数X就叫做A的平方根。
③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。
④求一个数A的平方根运算,叫做开平方,其中A叫做被开方数。
立方根:①如果一个数X的立方等于A,那么这个数X就叫做A的立方根。
②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。
数学的基本概念
数学的基本概念是指数学学科中最基础、最重要的概念,它们是数学体系的基石。
以下列举了一些常见的数学基本概念:
1. 数:数是用来计数、度量和表达大小的概念。
数分为自然数、整数、有理数、无理数、实数和复数等不同的类别。
2. 运算:运算是指用来对数进行加、减、乘、除等操作的数学操作,如加法、减法、乘法和除法。
3. 方程:方程是用等号连接的两个代数式,常常用来表示未知数和已知数之间的关系。
解方程即求出使方程成立的未知数的值。
4. 几何:几何是研究空间、形状、大小、相对位置以及与其相关的性质和变换的数学分支。
其中常见的基本概念包括点、线、面、角、圆等。
5. 函数:函数是数学中常见的概念,描述了两个数集之间的对应关系。
函数通常用公式、图表或文字描述,可以表示各种数学和实际问题。
6. 数列:数列是按一定规律排列的数的序列。
常见的数列有等差数列(公差相等)、等比数列(公比相等)等。
7. 极限:极限是数学中用来描述数列、函数等趋于某个值的概念。
极限的概念是微积分学的基础,对于数列极限和函数极限有不同的定义。
8. 概率:概率是描述事件发生可能性的数值,用于研究随机现象。
概率论是数学中的一个分支,涉及概率模型、事件、样本空间等概念。
以上只是数学的一部分基本概念,数学的范围非常广泛,涉及各个领域的数学概念还有很多。
恩格斯对数学的定义恩格斯(Friedrich Engels)是19世纪德国哲学家、社会学家和政治经济学家,他对数学的定义体现了他对科学的理解和对人类认识的贡献。
在恩格斯的观点中,数学是一门独立的科学,它是人类认识和探索自然界及社会现象的重要工具。
恩格斯认为数学是一种特殊的科学形式,它具有独特的逻辑和方法。
数学通过抽象、符号和推理,将复杂的现实问题转化为简洁的数学模型,从而揭示出问题的本质规律。
数学的符号体系和逻辑推理具有普遍性和必然性,使得数学成为一种具有客观真理的科学形式。
恩格斯认为数学是一种抽象的科学,它通过抽象和理想化的方式研究客观世界。
数学建立了一套抽象的概念和符号体系,通过对这些抽象概念的运算和变换,揭示了客观世界中普遍存在的规律和关系。
数学的抽象性使其能够超越具体的现象,研究更广泛和更一般的问题。
恩格斯认为数学是一种精确的科学,它要求严谨的逻辑推理和准确的计算。
数学的研究对象是具有确定性和可计量性的现象,数学方法通过严格的逻辑推理和准确的计算,确保了数学结论的准确性和可靠性。
恩格斯强调数学的精确性是科学发展和实践应用的基础。
恩格斯认为数学是一种实用的科学,它在现实世界中具有广泛的应用。
数学方法和数学模型在物理学、工程学、经济学等领域中被广泛应用,为科学研究和实践应用提供了强大的工具和方法。
数学的应用不仅促进了科学的发展,也为人类社会的进步做出了巨大贡献。
恩格斯对数学的定义体现了数学作为一门独立的科学形式的特点和意义。
数学作为一种抽象、精确、实用的科学,具有普遍性和必然性,为人类认识自然界和社会现象提供了重要工具和方法。
恩格斯对数学的定义不仅为数学的发展提供了理论指导,也为人类认识和探索世界提供了重要思想基础。
小学数学教材中数学概念的呈现方式与影响数学概念是一类数学对象的本质属性的反映,同时它也是数学基础知识的基石。
《义务教育数学课程标准》(2011年版)(以下简称《数学课程标准》)的前言部分强调:“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。
”推理能力发展的基础是概念,所以,概念的学习对于学生来说至关重要。
然而在小学实际教学中,学生对于数学概念的理解和掌握存在许多困难,而教科书作为学生学习数学概念的主要资源,是如何呈现概念的呢?它对概念的学习有怎样的影响呢?一、概念在教科书中的呈现数学是研究数量关系和空间形式的科学,因此数学概念是数量关系和空间形式的本质属性的反映。
对于数学来说,只有掌握了数学基础知识,实现知识之间联系,才能在活动中提高基本技能,发展基本思想。
下面以北京师范大学出版社出版的《新世纪(版)义务教育课程标准数学实验教科书·数学》(1~12册)(以下简称北师版教科书)为对象,从概念的结构、概念的分类、概念的定义类型、概念的呈现方式方面来具体分析。
1.概念的结构概念的结构是指概念由哪些部分组成,一般来说,概念是由名称、属性、定义和例证组成的(如表1所示)。
概念的名称一般由词汇构成,例如三角形、四边形等。
概念的形成并不一定必须用一个特定的词说出来,例如婴儿无法使用语言表达概念,但能够从许多人中辨认出妈妈,说明“妈妈”的概念已经形成。
实际教学中有的学生说不出“周长”的概念是什么,但他能够清晰地指出物体中的边界的长,这表明学生对于“周长”的概念已经形成。
概念的属性指的是概念的关键特征,例如物体的颜色、气味、材料、大小、形状、位置等。
数学概念只研究物体的大小、形状、位置、数量关系等属性。
逻辑学中,概念的定义就是以简短的形式揭示概念、命题的内涵或外延,使人们明确它们的意义及其使用范围的逻辑方法。
论小学数学概念的呈现方式及特点小学数学概念的呈现方式小学数学概念在构建学生知识体系的过程中起着至关重要的作用,它直接影响着学生对后续知识的理解与应用,是学生在培养其计算能力、空间想象能力及逻辑思维能力的过程中最先接触到的知识。
所以,要想夯实基础,必然要狠抓小学数学概念教学。
根据皮亚杰的儿童认知发展阶段理论,小学数学教材中的数学概念要遵循小学生的年龄特点和认知规律,要适应学生的身心发展,不同阶段呈现方式不同,具体来说,有以下几种:(1)图画式。
在小学低年级,由于学生的身心发展尚处在前运算阶段,知识水平和认识能力有限,具体形象思维占据主导地位,这个阶段的概念采用图画的形式呈现,即除概念名称外完全以图示的形式来呈现概念。
比如“10以内数的认识”“加法”“减法”等概念都是以这种方式呈现的。
这种呈现方式有其自身的优点,如形象直观、便于感知,特别适合低年级的小学生;但也存在它的不足之处,因为图画式呈现概念的方式缺乏语言文字描述,如果教师不恰当地引导学生用语言表达,就容易导致小学生学习概念时仅停留在图画表面,不能深入理解概念的内涵。
(2)描述式。
在小学中年级,数学教材中的概念通常采用描述的方法来呈现,即以概念的实际原型借助具体事例和描述性语句相结合来呈现概念[6],其中的“形”以图示、例题等形式来表明概念的基本属性,“字”则以描述性语句作补充或概括性说明,因此,这种概念呈现方式也叫字形结合式。
这种方式很常见,小学各年级都可以采用,像小数的概念、角的概念、自然数的概念等都是采用的这种方式。
(3)定义式。
到了高年级,学生的认知已达到具体运算阶段,这个阶段的小学生已经能够进行心理运算,抽象思维有所发展,此时的数学概念主要采用定义的形式呈现,即用简明而完整的语言揭示概念的本质属性[7],借助原有的、学生已经掌握的概念来对新的概念进行定义,条件和结论十分明显。
这种概念的呈现方式比较适合于小学中高年级的学生。
定义式概念的表述一般比较简短,教学时要注意剖析关键词的丰富内涵。
初中数学概念、定义、定理、公式大全(最新版)初中数学概念、定义、定理、公式第二版逻辑与命题实验、观察、操作得出的结论有时不够深入、全面,甚至是错误的。
因此,判断某一事情的句子称为命题。
如果条件成立,那么结论也成立,这样的命题称为真命题。
但条件成立时,结论不一定总是正确,这样的命题称为假命题。
如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题称为互逆命题。
其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
数系及运算正数是比大的数,负数是比小的数,零既不是正数也不是负数。
数轴上表示一个数的点与原点的距离,称为这个数的绝对值。
如果两个数的符号不同而绝对值相同,那么它们互为相反数,其中一个是另一个的相反数。
例如,3和-3是互为相反数的。
一个数的相反数是它的相反数。
例如,-5的相反数是5.两个正数相加,绝对值大的正数大;两个负数相加,绝对值大的负数反而小。
有理数加法的法则是:同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两数和为0;一个数与0相加,仍得这个数。
有理数加法满足交换律和结合律。
减去一个数等于加上这个数的相反数,即a-b=a+(-b)。
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
任何数与0相乘都得0.有理数乘法满足交换律、结合律和分配率。
除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数。
幂是指相同因数的积的运算,乘方运算的结果称为幂。
正数的任何次幂都是正数。
负数的奇数次幂是负数,偶数次幂是正数。
科学计数法是一种表示大于10的数的方法,其中1≤a <10,n是正整数。
有理数混合运算的顺序是先乘方,再乘除,最后加减。
如果有括号,先进行括号内的运算。
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
(m、n是正整数)积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
(n是正整数)同底数幂相除,底数不变,指数相减。
数学的基本原理和概念数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等各种概念和模式的学科。
作为一门学科,数学有其基本原理和概念,这些基本原理和概念是数学研究和应用的根基。
接下来,我们将探讨数学的基本原理和概念,以帮助读者更好地理解数学的本质和应用。
一、基本原理1. 逻辑基础原理:数学建立在精确的逻辑推理基础之上。
逻辑基础原理指的是数学中使用的推理方法和证明技巧,包括假设、推导、归纳和演绎等。
2. 公理系统:公理是数学中的基本假设或事实,它们是没有证明的,但被广泛接受的。
数学的分支学科都建立在一套公理系统之上。
公理系统包括黎曼几何的公理、整数的公理以及布尔代数的公理等。
3. 严谨性原理:数学强调精确性和严密性,任何数学结论必须经过严格的证明和推理。
严谨性原理要求数学家在进行数学推理时必须遵守一定的规则和步骤,以确保推理的正确性。
4. 结构原理:数学研究各种结构和形式,比如集合、数列、函数、映射等。
结构原理指的是通过对这些结构的研究,发现它们的内在规律和性质。
二、基本概念1. 数:数学的基本概念就是数。
数可以表示数量和大小,它可以是自然数、整数、有理数、无理数和复数等。
2. 运算:数学中的运算包括加法、减法、乘法和除法等,这些运算是对数的操作和变换。
3. 关系:数学中的关系包括等于、大于、小于、大于等于、小于等于、相似等。
通过关系可以比较数的大小和性质。
4. 函数:函数是数学中的重要概念,用来描述一种量与另一种量之间的关系。
函数由定义域、值域和对应法则组成。
5. 图形:数学中的图形是用来表示数学概念和关系的,包括点、线、面、曲线以及空间中的各种几何形状。
6. 推理:数学推理是基于已知事实和规则,通过逻辑推理得出结论的过程。
推理包括归纳推理和演绎推理两种形式。
三、基本原理和概念的应用数学的基本原理和概念在各个领域都有广泛的应用。
以下列举几个例子:1. 统计学:统计学是应用概率理论和数理统计方法来研究和分析数据的学科。
数学的定义和特点数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念和属性的学科。
它是一种严谨而抽象的学科,通过逻辑推理和符号运算来研究问题。
数学的定义数学是一种用符号和抽象概念描述和探索现实世界的学科。
它研究各种数学对象,如数、形状、变量、函数和关系等,并通过推理和证明来揭示它们之间的规律和关联。
数学有不同的分支,包括代数、几何、概率论、统计学等。
每个分支都有自己独特的概念、方法和技巧,用于解决各种实际问题。
数学的特点数学具有以下几个特点:1. 准确性:数学是一门严谨的学科,要求推理和证明的过程必须严密无误。
数学家经过精确的定义和推导,确保每个结果和结论都是准确的。
准确性:数学是一门严谨的学科,要求推理和证明的过程必须严密无误。
数学家经过精确的定义和推导,确保每个结果和结论都是准确的。
2. 抽象性:数学通过符号和抽象概念描述问题,追求一般性的规律。
它将复杂的现实问题简化为符号和公式,使问题可以进行更深入的研究和分析。
抽象性:数学通过符号和抽象概念描述问题,追求一般性的规律。
它将复杂的现实问题简化为符号和公式,使问题可以进行更深入的研究和分析。
3. 普适性:数学是一种普遍适用的学科,涉及到各个领域和学科,包括自然科学、社会科学和工程学等。
从物理学到经济学,从工程学到计算机科学,数学都扮演着至关重要的角色。
普适性:数学是一种普遍适用的学科,涉及到各个领域和学科,包括自然科学、社会科学和工程学等。
从物理学到经济学,从工程学到计算机科学,数学都扮演着至关重要的角色。
4. 应用性:尽管数学可以从纯粹的理论推导出来,但它也具有广泛的应用。
数学为解决实际问题提供了强大的工具和方法,例如在物理学中可以描述力学规律,在经济学中可以进行风险分析,在计算机科学中可以进行算法设计等。
应用性:尽管数学可以从纯粹的理论推导出来,但它也具有广泛的应用。
数学为解决实际问题提供了强大的工具和方法,例如在物理学中可以描述力学规律,在经济学中可以进行风险分析,在计算机科学中可以进行算法设计等。
数学概念的含义
数学概念是世界上最古老的科学,它也是我们所认识的世界和推理推断的基础。
数学是普遍性的,它不仅仅只是数字,而是一种文明创造力的对象,通过完善的语言,它可以描述、推理、分析、解决实际问题的力量。
数学概念的含义实际上涉及多种学科,从基础数学到物理,再到经济,数学概念都会被不同学科所使用。
数学术语和定义中最重要的是“概念”,概念是一种抽象的观念,它代表了一种意义。
概念是一
个人把实物、行为或状态归纳而得的抽象的思想,或以相似的方式把实物归类的一簇事物。
数学中的许多概念都是被形象地定义的,比如维度、数轴、正多边形、集合、几何图形等。
数学概念的描述和推理活动是数学的核心,概念的推理活动可以建立在明确的概念之上,从而解决复杂的问题。
概念可以转化为具体的数学方法,而数学方法可以用来解决实际问题,数学概念也是参与数学过程的基础。
一些常见的数学概念包括集合、函数、抽象代数、图论、微积分等。
数学概念的推理是非常重要的,它可以帮助我们理解数学概念,发现数学问题的解决方案,进而使我们将数学概念应用到实际问题中。
推理可以采用证明、反证、分析、比较等方法,找出概念和定理之间的关系,从而得出有意义的结论。
最后,数学概念具有普遍性,它们支撑着科学中各个领域的发展,不仅可以拓展我们的思维,还可以帮助我们解决复杂的实际问题。
它
的含义和作用正在不断增强,未来必将发挥更大的作用。
数学基本概念数与数字的区别数学基本概念——数与数字的区别在日常生活中,我们常常使用数和数字这两个词语,然而它们之间存在着微妙的区别。
数学作为一门学科,对于数和数字的概念有着严密的定义和区分。
本文将就数学中数与数字的区别展开论述,以帮助读者更好地理解数学基本概念。
一、数的概念数是数学中最基本的概念之一,它是用来表示数量的抽象概念。
数可以是自然数、整数、有理数、无理数或复数等等。
例如,1、2、3、-1、-2、-3、2/3、√2等都是数。
数是抽象的,它不依赖于特定的符号或表示方法,可以用不同的形式来表示。
而数字作为具体的符号或表达形式,用来表示数。
二、数字的概念数字是一种表示数的具体符号,它是指用数字字符0、1、2、3、4、5、6、7、8、9等以及符号.、+、-、/、*等来表示数的方式。
数字是人们用来交流和记录数值信息的工具,也是数学中常用的表达方式。
从字面上看,数字包含了“数”和“字”两个字,正好体现了数字与数的关系。
数字既包含着数的概念,又体现了用符号或字符来具体表示数的作用。
在数学中,数字是数的一种具体表达形式,是数在实际应用中的具体体现。
三、数与数字的关系数和数字可以说是密不可分的,二者相辅相成,共同构成了数学的基石。
数是对数量的抽象概念,数字则是用特定符号或表达方式来具体表示数。
通过数字,我们可以将抽象的数转化为能够进行交流和计算的具体形式。
数学中的运算、推理和证明都是基于数与数字的概念展开的。
数学通过数字的使用,使得抽象的数具体化,方便了数的处理和运算。
而数字的应用,也不仅局限于数学领域,它广泛应用于科学、技术、商业等各个领域,为人们的生活提供了便利。
四、数学基本概念的应用数学基本概念的应用无处不在。
数学的基本概念不仅仅是学术性的知识,更是人们日常生活中灵活运用的工具。
无论是在购物时计算价格折扣,还是在投资理财时计算收益率,数与数字的概念都扮演着至关重要的角色。
与数和数字有关的数学领域广泛而丰富,其中包括代数、几何、概率统计等等。
八年级定义与命题知识点在数学学科中,定义是指对某一概念进行准确、明确的解释,通常采用“定义”这个词语进行提示,并构成一个句子。
而命题是指可判断真假的陈述句,通常由主语和谓语构成,是数学基本思维和判断能力的重要表现。
在八年级数学学科中,定义与命题知识点占据着重要的地位,下面将从具体的知识点进行论述。
1.定义的类型与构成要素在数学学科中,定义可以分为实质定义、规定定义、举例定义三种类型,在构成上一般由“名称”、“概念”、“特征”三个要素组成。
实质定义:直接给出事物的本质特征。
规定定义:根据使用权和传统习惯,一般规定某个概念代表什么。
举例定义:通过具体的举例子或具体事实来定义概念。
例如,在八年级数学中,成等比数列的定义为:若一个数列从第二项开始,每一项都是前一项的公比,则这样的数列称为等比数列。
2. 命题的构成要素和常见形式在数学学科中,命题具有陈述句的形式,一般由主语和谓语等构成,同时命题还有“真命题”和“假命题”的分类,下面将介绍命题的构成要素和常见形式。
构成要素:命题主语、谓语、附加条件、所有限定词等。
常见形式:单句命题:指仅由一个陈述句构成的命题。
复句命题:指由两个或多个单句命题构成的命题。
常见的复句命题有永真命题、永假命题、充分必要命题等。
在八年级数学中,例如“3+4=7”就是一个单句命题,而“若一个数是偶数,则它的平方必定是偶数”则是一个复句命题,同时这个复句命题还是一个充分必要命题。
3. 定义和命题的联系在数学学科中,定义和命题是密不可分的。
作为数学概念的基础,定义能够规定概念的本质特征,从而使得命题得以在严谨性上保证。
同时命题也是在定义的基础上进行推广和应用的主要形式。
例如,在八年级数学中,一个等差数列的定义是指一个数列从第二项开始,每一项依次减去前一项所得到的差值相等。
而由此所引申出的命题包括等差数列项数的计算、等差数列求和公式的推导等等。
综上所述,八年级数学学科的定义和命题知识点是数学学科中的基础和重点,对学生的综合素质具有重要的影响作用。
数学概念的定义方式 一.给概念下定义的意义和定义的结构 前面提到过,概念是反映客观事物思想,是客观事物在人的头脑中的抽象概括,是看不见摸不着的,要用词语表达出来,这就是给概念下定义。而明确概念就是要明确概念的内涵和外延。所以,概念定义就是揭示概念的内涵或外延的逻辑方法。揭示概念内涵的定义叫内涵定义,揭示概念外延的定义叫做外延定义。在中学里,大多数概念的定义是内涵定义。 任何定义都由被定义项、定义项和定义联项三部分组成。被定义项是需要明确的概念,定义项是用来明确被定义项的概念,定义联项则是用来联接被定义项和定义项的。例如,在定义“三边相等的三角形叫做等边三角形”中,“等边三角形”是被定义项,“三边相等的三角形”是定义项,“叫做”是定义联项。 二、常见定义方法。 1、原始概念。数学定义要求简明,不能含糊不清。如果定义含糊不清,也就不能明确概念,失去了定义的作用。例如,“点是没有部分的那种东西”就是含糊不清的定义。按这个要求,给某概念下定义时,定义项选用的必须是在此之前已明确定义过的概念,否则概念就会模糊不清。这样顺次上溯,终必出现不能用前面已被定义过的概念来下定义的概念,这样的概念称为原始概念。在中学数学中,对原始概念的解释并非是下定义,这是要明确的。比如:代数中的集合、元素、对应等,几何中的点、线、面等 2、属加种差定义法。这种定义法是中学数学中最常用的定义方法,该法即按公式:“邻近的属+种差=被定义概念”下定义,其中,种差是指被定义概念与同一属概念之下其他种概念之间的差别,即被定义概念具有而它的属概念的其他种概念不具有的属性。例如,平行四边形的概念邻近的属是四边形,平行四边形区别于四边形的其他种概念的属性即种差是“一组对边平行并且相等”,这样即可给平行四边形下定义为“一组对边平行并且相等的四边形叫做平行四边形”。 利用邻近的属加种差定义方法给概念下定义,一般情况下,应找出被定义概念最邻近的属,这样可使种差简单一些。像下列两个定义: 等边的矩形叫做正方形; 等边且等角的四边形叫做正方形。 前者的种差要比后者的种差简单。 邻近的属加种差的定义方法有两种特殊形式: (1)发生式定义方法。它是以被定义概念所反映的对象产生或形成的过程作为种差来下定义的。例如,“在平面内,一个动点与一个定点等距离运动所成的轨迹叫做圆”即是发生式定义。在其中,种差是描述圆的发生过程。 (2)关系定义法。它是以被定义概念所反映的对象与另一对象之间关系或它与另一对象对第三者的关系作为种差的一种定义方式。例如,若ab=N,则logaN=b(a>0,a≠1)。即是一个关系定义概念。 3、揭示外延的定义方法。数学中有些概念,不易揭示其内涵,可直接指出概念的外延作为它的概念的定义。常见的有以下种类: (1)逆式定义法。这是一种给出概念外延的定义法,又叫归纳定义法.例如,整数和分数统称为有理数;正弦、余弦、正切和余切函数叫做三角函数;椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线;逻辑的和、非、积运算叫做逻辑运算等等,都是这种定义法. (2)约定式定义法。揭示外延的定义方法还有一种特殊形式,即外延的揭示采用约定的方法,因而也称约定式定义方法。例如,a0=1(a≠0),0!=1,就是用约定式方法定义的概念。 三、概念的引入 (1)原始概念 一般采用描述法和抽象化法或用直观说明或指明对象的方法来明确。 “针尖刺木板”的痕迹引入“点”、用“拉紧的绳”或“小孔中射入的光线”来引入“直线”的方法是直观说明法,“1,2,3,···叫做自然数”是指明对象法。 (2)对于用概念的形成来学习的概念 一般可通过阅读实例,启发学生抽象出本质属性,师生共同进行讨论,最后再准确定义。 (3)对于用概念的同化来学习的概念 (a)用属加种差定义的概念 新概念是已知概念的特例,新概念可以从认知结构中原有的具有较高概括性的概念中繁衍出来。 (b)由概念的推广引入的概念 讲清三点:推广的目的和意义;推广的合理性;推广后更加广泛的含义。 (c)采用对比方法引入新概念 当新概念与认知结构中已有概念不能产生从属关系,但与已有的旧概念有相似之处时可采用此法。 关键是弄清不同之处,防止概念的负迁移。 (d)根据逆反关系引入新概念 多项式的乘法引入多项式的因式分解、由乘方引入开方、由指数引入对数等。 关键是弄清逆反关系。 (4)发生式定义 通过阅读实例或引导学生思考,进行讨论,自然得出构造过程,即揭示出定义的合理性。 四、概念的形成的方式 概念形成就是让学生阅读大量同类事物的不同例证中独立发现同类事物的本质属性,从而形成概念。因此,数学概念的形成实质上是抽象出数学对象的共同本质特征的过程。可概括如下: (1)通过阅读比较,辨别各种刺激模式,在知觉水平上进行分析、辨认,根据事物的外部特征进行概括。 (2)分化出各种刺激模式的属性。 (3)抽象出各个刺激模式的共同属性。 (4)在特定的情境中检验假设,确认关键属性。 (5)概括,形成概念。 (6)把新概念的共同关键属性推广到同类事物中去。 (7)用习惯的形式符号表示新概念。
数学概念的定义 什么叫给概念下定义,就是用已知的概念来认识未知的概念,使未知的概念转化为已知的概念,叫做给概念下定义.概念的定义都是由已下定义的概念(已知概念)与被下定义的概念(未知概念)这两部分组成的.例如,有理数与无理数(下定义的概念),统称为实数(被下定义的概念);平行四边形(被下定义的概念)是两组对边分别平行的四边形(下定义的概念).其定义方法有下列几种. 1、直觉定义法 直觉定义亦称原始定义,凭直觉产生的原始概念,这些概念不能用其它概念来解释,原始概念的意义只能借助于其它术语和它们各自的特征给予形象的描述.如几何中的点、直线、平面、集合的元素、对应等.原始概念是人们在长期的实践活动中,对一类事物概括、抽象的结果,是原创性抽象思维活动的产物.直觉定义为数不多. 2、“种+类差”定义法 种+类差”定义法:被定义的概念=最邻近的种概念(种)+类差。这是下定义常用的内涵法。“最邻近的种概念”,就是被定义概念的最邻近的种概念,“类差”就是被定义概念在它的最邻近的种概念里区别于其它类概念的那些本质属性。 例如,以“平行四边形”为最邻近的种概念的类概念有“矩形”、“菱形”,“菱形”的“邻边相等”是区别于“矩形”的本质属性,“邻边相等”就是“菱形”的类差。我们先看几个用“种+类差”定义的例子: 等腰梯形是两腰相等的梯形. 直角梯形是有一个底角是直角的梯形. 等腰三角形是两边相等或两角相等的三角形. 逻辑上还可以通过总结外延给出定义.例如:“有理数和无理数统称为实数”等. 由上述几例可看出,用“种加类差”的方式给概念下定义,首先要找出被定义概念的最邻近的种概念,然后把被定义概念所反映的对象同种概念中的其它类概念所反映的对象进行比较,找出“类差”,最后把类差加最邻近的种概念组成下定义概念而给出定义。种加类差定义法在形式逻辑中也称为实质定义,属于演绎型定义,其顺序是从一般到特殊。这种定义,既揭示了概念所反映对象的特殊性,又指出了一般性,是行之有效的定义方法。由于概念本身的类别特点及类差性质的不同,在叙述形式上也有差异。 这种定义方法,能用已知的种概念的内涵来揭示被定义概念的内涵。揭示了概念的内涵,既准确又明了,有助于建立概念之间的联系,使知识系统化,因此,在中学数学概念的定义中应用较多. 3、发生式定义法 发生定义法(也称构造性定义法):通过被定义概念所反映对象发生过程,或形成的特征的描述来揭示被定义概念的本质属性的定义方法称发生定义法。这种定义法是“种+类差”定义的一种特殊形式。定义中的类差是描述被定义概念的发生过程或形成的特征,而不是揭示被定义概念的特有的本质属性。 例如,平面(空间)上与定点等距离的点的轨迹叫做圆(球).此外,中学数学中对圆柱、圆锥、圆台、微分、积分、坐标系等概念也都是采用的发生式定义法. 又如: 平面内与两个定点的距离的和等于定长的点的轨迹叫做椭圆. 围绕一中心点或轴转动,同时又逐渐远离的动点轨迹称为螺线. 一直杆与圆相切作无滑动的滚动,此直杆上一定点的轨迹称为圆的渐开线. 设 是试验E中的一个事件,若将E重复进行n次,其中A发生了 次,则称为n次试验中事件A发生的频率. 在一定条件下,当试验次数越来越多时,事件A出现的频率逐步稳定于某一固定的常数P,称P为事件A出现的概率. 由此可知,只要有人类的数学活动,就有概念的发生式定义. 4、逆式定义法 这是一种给出概念外延的定义法,又叫归纳定义法.例如,整数和分数统称为有理数;正弦、余弦、正切和余切函数叫做三角函数;椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线;逻辑的和、非、积运算叫做逻辑运算等等,都是这种定义法. 5、约定性定义法 由于实践需要或数学自身发展的需要而被指定的数学概念.在实践活动中, 人们发现一些概念非常重要,便指明这些概念,以便数学活动中使用.比如一些特定的数:圆周率、自然对数的底e等;某些重要的值:平均数、频数、方差等;某类数学活动的概括:比如代数指研究有限多元素有限次运算的数学活动;几何指研究空间及物体在空间结构中结构与形式的数学活动;随机事件指在社会和自然界中,相同条件下,可能发生也可能不发生,但在大量重复试验中其出现的频率呈现稳定性的事情;概率指随机事件发生的可能性大小的数学度量;等等. 同时,数学概念有时是数学发展所需要约定的.如零次幂的约定,模为零的向量规定为零向量,模为1的向量规定为单位向量.又如矢量积的方向由右手法则规定.数学教学中应向学生灌输这样一种观念,即数学概念是可以约定的(其更深刻的含义是数学可以创造).约定是简约思想的结果,它使得数学因为有了这样的约定而运算简便.约定不是惟一的,但应具有合理性或符合客观事物的规律.如规定矢量积的方向按左手法则也不是不可以的.约定不是随意针对的,一般只约定那些有重要作用的概念,如约定当n趋于无限大时的极限为自然对数的底e,因为这个数对计算十分重要. 6、刻画性定义 刻画性定义法亦称描述性定义法,数学中那些体现运动、变化、关系的概念经严格地给予表述(逾越直觉描述阶段),这些概念即属于刻画性定义.比如等式函数、数列极限、函数极限等概念. 函数概念:设D是实数集的子集,如果对D内每一个,通过给定的法则 ,有惟一一个实数y与此 对应,称是定义在D上的一元实值函数,记为 概念中刻画了变量y与变量的关系. 数列极限概念:对于数列{ }和一个数 ,如果对任意给定的正数,都存在一个自然数 ,对一切自然数n, ,成立 ,称数n是数列{ }当n趋于无限大时的极限,记为 .概念中刻画了 与 “要多么接近就可以多么接近(只要 )”的程度,使“ 无限接近 ”的直觉说法上升到严格水平. 函数极限概念:对于在 附近有定义的函数和一个数A,如果对任意给定的正数 ,都存在一个正数,对定义域中的x只要 ,成立 ,称数 是 当 趋近于 时的极限,记为,概念中刻画了 与A“要多接近就可以有多接近(只要)”的程度,是严格的数学概念。 7、过程性定义 有些复杂的数学概念是由在实践基础上的数学活动造就的,这样的概念由过程来引导. 例如:导数:设y=f(x) 在点(x0,f(x0))附近有定义.当自变量x 取得改变量△x (△x≠0),