数学思想在小学奥数排列组合教学中的渗透
日本数学家米山国藏说过：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终身受益。”可见，数学的精髓不在于知识本身，而在于数学知识中所蕴含的数学思想方法。
数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在例外的角度看问题，通常混称为“数学思想方法”。
计数问题是小学数学奥数竞赛的严重知识点，排列组合是两类分外的计数问题，在排列组合的教学中教师可以及时地渗透数学思想，使学生在掌握相关知识的同时培养并提高数学素养。
1分类思想
分类思想是排列组合中最常用的数学思想，它就是按照某一确定的标准，把所要研究的对象分成若干个既互斥又完备的子类的思想。
例1由数字1，2，3，4组成六位数，要求1，2，3，4至少各出现一次，那么这样的六位数共有几个？
分析：根据题意，这样的六位数，其中4个位置上的数必须是1，2，3，4，另外两个位置的数只要这4个数中取即可。因此，本题可以分两种情况来讨论。第一种情况是：另外两个位置上的数是一样的，这6个数字有且只有3个数字是相同的。
要得到这样的六位数，分三步完成：
（1）从4个数中选出1个数；
（2）从6个位置中选出3个位置填上选出来的数；（3）剩下的3个数填在剩下的3个位置上。
第二种情况是：另外两个位置上的数字是不一样的，这6个数字中有两个A、两个B、一个C、一个D。
要得到?样的六位数，分四步完成：
（1）从4个数中选出2个数；
（2）从6个位置中选出2个位置填上选出来的一个数；（3）从剩下的4个位置中选出2个位置填上选出来的另一个数；
（4）剩下的两个数填在另外的两个位置上。
根据分类和分步计数原理：这样的六位数共有=1560个。
例2如图1所示，某花园可分为A、B、C、D、E五个部分，园林设计师打算最多用5种例外的植物装饰花园，要求每一部分只能用一种植物，并且相邻部分不能使用相同的植物，不相邻的部分可以使用同一种植物，按以上要求，此花园共有多少种设计方案？
分析：因为A区与其他4个区域均相邻，所以先在A区种植物，有5种植物可以选，B、D区是不相邻的，选取的植物可以相同，也可以例外，因此可以分两种情况来讨论。
第一种情况：B、D区种的植物相同，有4种植物可以选，然后E、C区各有3种植物可以选。
第二种情况：B、D区种的植物例外，B区有4种植物可以选，D区有3种植物可以选，然后E、C区各有2种植物可以选。
根据分类和分步计数原理，此花园共有5×
（4×3×3+4×3×2×2）=420种设计方案。
2化归思想
化归思想：即把有待解决或未解决的问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题，以求得原问题解决的思想方法。
例1马路上有编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的3盏灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两盏，在两端的灯也不能关掉。那么符合条件的关灯方法有多少种？
分析：问题可以转化为：在7盏亮着的灯之间的6个空挡放3盏熄灭的灯，有几种放法？或者在7盏亮着的灯之间放3块挡板，有几种放法？
由此可得：共有=20种。
例2从1，2，3，…，100这100个自然数中，取出8个互不相邻的自然数，有多少种方法？
分析：如果只是取8个自然数，那么问题就比较简单。而现在要取的是8个互不相邻的自然数，问题就比较繁复，感觉无从下手。如果把100个自然数看成马路上有编号的100盏灯，那么问题就转化为：在92盏亮着的灯之间以及两端（共93个位置）放8盏熄灭的灯，有几种放法？
由此可得：共有种放法。
3模型思想
模型思想就是用数学的思维去思考实际问题，将其转化为数学问题（这其中蕴含着转化思想），建立数学模型，通过研究数学模型，进而得到问题解决的数学思想方法。
例1将10个相同的鸡蛋装在3个例外的篮子里（每个篮子至少1个鸡蛋），有多少种方法？
分析：转化为“相同元素的分配问题（数学模型：档板法）”：10个鸡蛋排成一排，在它们之间放2块挡板，把10个鸡蛋分成三部分，有多少种方法？（10个相同的圆排成一排，在它们之间画两条直线，将它们分成三部分，有几种分法？）
由此可得：共有种方法。
例2 3个男生，3个女生排成一排，要求任意两个女生不能相邻，有多少种排法？
分析：问题转化为：先排一些元素（3个男生）然后插入其余元素（3个女生），利用插空法（数学模型）来解决。
由此可得：有?种排法。
4数形结合思想
数形结合思想就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，把数量关系问题转化为图形的性质问题或把图形的性质问题转化为数量关系问题来研究的思想。对于某些较为繁复的排列组合问题，可以利用数形结合思想，通过构造几何图形来求解。
例1甲乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢。如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能的情况？
分析：由于这类问题比较繁复，可以通过画树形图（图2）来解决（图中的“甲”表示“甲赢”）。
由图可知：有14种可能的情况。
例2如图3所示，有5横8竖构成的方格图，从A到B（只能上行或右行）共有多少条例外的路线？
分析：根据图形可以把问题转化为：在11个空格中填上7个“→”（表示向前）和4个“↑”（表示向上），共有多少种方法？
由此可得：共有种方法。
5集合思想
集合思想就是从集合的观点出发，利用集合的有关概念、表示方法、性质来研究问题的思想。排列组合中的问题大凡均可以用分类或分步的思想方法来解决，但对于限制条件较多的问题，从集合观点来思考能收到意想不到的效果。
例1从A、B、C、D、E、F、G七个人中选5人排成一排，要求同时满足：（1）A不在首位；（2）B不在末位；（3）C不在中间。问：有多少种满足条件的排法？
