变分原理名词简答

简答题： 有限元法解微分方程的步骤 总体刚度矩阵的特点 描述 Galerkin 和 Ritz 法
计算题 简支梁 Galerkin 法求解梁的位移 三角形荷载下悬臂梁平衡方程的推导，Ritz 或者 Galerkin 法求解梁的位移 深梁三角单元，单元应力应变矩阵，单元刚度矩阵，单元荷载向量
的极小值得到求解未知量的方程组 限制条件：试探函数必须满足边界条件 Galerkin 法：除要求位移试函数满足边界位移条件之外，还要满足外力边界条件。不用 预先判读结构是否超静定，不用判定超静定次数。 7. Ritz 法的求解过程：利用最小势能原理，实质为由位移参数表示的近似平衡方程。 Galerkin 法的求解方程：可以用加权余量法的基本思想解释，当权函数选为试函数中的 各个容许函数时，就是 Galerkin 法。 8. Ritz 法的收敛准则：试函数具有完备性和连续性，且随着 n 的增加，Ritz 法的近似解将 趋近于微分方程的精确解 有限元解的收敛准则：1）完备性要：试函数中必须具备包括本身和直到 m 阶导数为常 数的项，必须能反应单元的刚体位移和常应变状态 2）协调性要求：若泛函中最高阶导 数是 m 阶，则试函数在单元交界面上必须具有 Cm-1 连续性，即在相邻交接面上函数应 具有直到 m-1 阶连续导数。 9. 有限元法实际是变分原理中 Ritz 法的一种 微分方程的解必使泛函 Q（x）取极小值 若泛函在 u（x）取极小值，则 u（x）是微分方程的解 10. Euler 有限差分法：是一种变分直接解法 变分问题的解法：Euler 法和直接法（Ritz，Galerkin 法） 11. 泛函的极小化序列：有限差分法求解泛函极值时 n 取无穷的时候，所得到的一系列曲线 或函数。N 越大，折线越接近于真实的函数曲线。因为真实解使泛函取极小值，因此 n 越大，泛函约小，该序列成为泛函的极小化序列 12. 加权余量法的思想：是使残值 R 在权函数空间 W 中的投影为零。Galerkin 法，矩法，最 小二乘法，配点法，子域法 13. 经典的有限元法：首先通过变分原理，找出微分方程所对应的变分问题，找出对应的泛 函 经典变分原理：最小势能原理和最小余能原理 加权残值法：比较复杂的微分方程，对应的泛函不易找到，则直接用基函数与方程两端 做内积，从而得到离散的求解方程组 14. 等效积分形式：即等效泛函 如
3. 有限元法原理：最小势能原理 主要的单元形式：以结点位移为基本未知量的位移元 单元特性矩阵：插值函数矩阵，应变矩阵，单元刚度矩阵，荷载向量，并用以形成有限 元法的求解方程。 有限元法的一个重要特点：采用插值函数作位移模式
4. 有限元法的三种途径：结构矩阵法，变分法，加权余量法。 5. 工程设计：运用固体力学理论对结构进行强度，刚度和稳定性分析 6. Ritz 法：利用带未知量的试探函数对势能泛函进行近似，通过对每个未知量求势能泛函
素按照其总体编号进行组装 18. 总刚度矩阵的性质：对称性，稀疏矩阵（由于有限元基函数通常由次数较低的分片多项
式函数构成），非负定矩阵 19. 古典变分法：变分问题的直接解法，对泛函求极值的一种数学方法。在适当的函数集合
内选取函数，使得某个积分取极值。解决这一问题又可归结于求解相应的 Euler 方程。 只要试函数选得接近真实情况，所得结果就比较好。古典变分法只能用在控制变量的取 值范围不受限制的情况。 自然变分原理：原问题的微分方程和边界条件的等效积分的 Galerlin 提法，等效于泛函 的驻值，该泛函可以通过等效积分的 Galerkin 提法得到。这种变分原理为自然变分原理。 20. 三角形节点编号注意事项： 每个结点定点只能是相邻单元的顶点，不能是相邻单元边上的内点 尽量避免出现大钝角，大边长 梯度变化比较剧烈的地方，网格要密，变化较小的地方，网格要稀疏， 单元的编号可以任意，但节点编号的好坏直接影响总体刚度矩阵的带宽，原则：要求所 有两个相邻节点编号之差的绝对值中的最大值越小越好。 21. 基本方程的矩阵表达 几何方程 平衡方程 本构方程 22. 平面弹性问题：平面应力问题和平面应变问题 平面应力问题：只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，如薄板拉压问题 平面应变问题：只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，水坝侧向水压问题 23. 单元刚度矩阵中 Kij 的物理意义：当单元的第 j 个节点位移为单位位移，而其他结点位移 为零时，需要再第 i 个结点上施加的结点力的大小。 24. 为何有限元只能是精确解的一个近似解答：因为有限元的试函数只能取有限项、 25. 有限元误差： 离散误差：当一个连续的求解域被划分为无限个子域时，由单元试函数近似整体域的场 函数所引起的误差。 计算机的数值运算误差：舍入误差：四舍五入引起的，有随机性；截断误差：由原来的 实际位数被截断取为计算机允许的有限位数引起 26. 分片试验：判断一种新的单元位移模式是否满足收敛性条件 取几个单元拼装成的一小块弹性体，单元的剖分至少使其中有一个内结点完全被单元包 围，可以改变内结点的位置，使单元具有任意形状。把与常应变状态相协调的位移或者 外力强加到边界结点上，内结点上既不受外力作用，又没有位移约束。如果计算出的单 元位移、应变和应力，与给定的弹性体常应变状态一致，那么称这种单元通过了分片试 验。 27. 为什么有的非协调单元可以得到比协调单元更好的结果呢？ 采用假定位移场得到的有限元结构比实际结构要刚硬一些，但是非协调单元允许单元间
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1. 有限单元法：利用计算机分析数学物理问题的数值近似解法 变分法：变分法是解数学物理定解问题的近似方法。 泛函：线性赋范空间到实数域或复数域上的映射
2. 变分法的基本思想：将数学物理定解问题转化为变分问题。近似解法：Ritz 法，有限元 法 有限元法的基本思想：将连续体分离为许多个有限大小的单元体，然后再将这些单元体 重新组合成整体，从而对连续体的分析可以用对每个单元的分析和所有单元体的组合来 替代。
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Hamilton 原理：当质点不受外力作用时，处于静止或匀速直线运动状态。 39. 应变能：应力应变曲线和横坐标轴所围的面积。
应变余能：是外力作用下，加载设备所做的功 支撑系统的余势：当弹性系统的支撑边界允许有位移时，被支撑系统所吸收或通过支撑 系统传递给其他物体的那部分多余能量。 40. 弹性系统：由弹性体，载荷系统和支撑系统组成的弹性系统 弹性系统的总势能：弹性体的应变能和荷载系统的外力势之和。 弹性系统的总余势能：弹性体的应变余能和支撑系统的余势之和。 41. 保守力系：若某力系所做的功仅和位移的最终值有关，而与达到位移最终值的路径无关 42. 虚功原理：力系保持平衡的充分必要条件 如果物体在某种力系作用下处于平衡状态，则当从平衡位置发生约束允许的任意微小位 移（即虚位移或位移变分）时，所有外力的总虚功等于零。 虚位移： 从一种可能位移到邻近另一种可能位移的无限小该变量。 虚应力： 从一种可能应力到另一种可能应力的无限小改变量。 43. 虚位移原理： 对于一给定变形体，由某一应力场与给定外力组成的静力系统，如果该静力系统在变形 体的一切可能位移及相应的可能应变上所作的虚功都满足虚功方程，则此应力场必定是 给定外力下平衡许可的可能应力。（=平衡方程和外力条件） 虚应力原理： 在给定外力作用下的变形体，对于某一位移场及相应的应变长，如果已知外力和任何平 衡许可的可能应力都能使虚功方程成立，则此位移场必定是几何许可的位移场。（=几何 方程和位移边界条件） 44. 功的互等定理： 作用在弹性体上第一种状态的外力在第二种状态的位移上所作的功，等于作用在弹性体 上第二种状态的外力在第一种状态的位移上所作的功。 45. 可能位移： 满足变形连续条件（=几何条件）和位移边界条件的位移场，称为几何许可位移。满足 几何方程（=可能位移通过几何方程得到的）应变，称为可能应变 可能应力： 满足平衡方程和力边界条件的应力场，也称为静力许可应力。 真实解：从预先已经满足部分条件的众多解中，找到满足余下条件的解，即为全部基本 关系的精确解 46. 最小势能原理： 对于给定外力作用下处于平衡状态的小变形弹性系统，在一切可能位移场中，同时满足 平衡条件的真实位移场，使弹性系统的总势能取最小值。 （在一切可能的位移场中，使弹性系统总势能取最小值的必是真实位移场） 最小余能原理： 整个弹性系统在真实状态下所具有的余能（见应变能），恒Baidu Nhomakorabea于与其他可能的应力相应 的余能。 47. 减缩积分：高斯积分阶数低于被积函数所有项次精确积分所需要的阶数的积分方案称为 减缩积分。
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积分弱形式：对第一部分进行分部积分 如 15. 离散化：微分方程和虚工方程，称为连续形式，将他们近似转化为代数方程的过程称为
离散化 16. 位移模式：在有限元方法中的位移模式，即为确定插值多项式的具体形式，也即通过结
点函数值来表示试函数。 17. 总刚度矩阵与点荷载向量的装配：将单元刚度矩阵的每个元素和单元荷载向量的每个元
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2015 年考试内容： 名词解释：
1. 加权残值法 在试空间中寻找 Tu=f 的近似解，使得近似解 Tu。与真实解 TU 在空间 W 上的投影相等， 即残值在空间 W 上的投影为 0
2. 等参单元等参变换超参单元超参变换 3. 弱形式与强形式 4. 自然变分原理 5. 减缩积分 6. Lagrange 和 Euler 表达法 （空间坐标和物质坐标）
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能够发生部分分离或重叠，它又使有限元结构变柔软了。这两种相反的影响相互抵消， 有时能够得到较好的结果。 28. 位移元： 以位移为基本未知量，并基于最小势能原理建立的有限元称之为位移元 下限性： 系统总势能＞真正总势能，自由度减少，约束限制增多。单元的刚度较实际连续刚度加 强，总体刚度、离散后刚度大于实际刚度，位移解≤真实解。 29. 有限元的插值函数/形函数的取决因素：单元的形状，结点的类型和数目 单元形函数构造很重要：单元形函数——单元刚度矩阵——总刚度的合成——有限元方 程组的求解；有限元空间基函数是由形函数生成的，因而它关系到有限元解的收敛性和 收敛精度。 30. 单元构造需要确定因素： 单元的几何形状，节点个数和分布，节点的自由度。 Lagrange 型：仅包含位移场 n 维问题结点有 n 个自由 度 Hermite 型：包含位移和转角 n 维问题结点有 2n 个 31. 面积坐标性质：顶点坐标 边方程 平行线入值相同 齐次式是唯一的 与直角坐标的逆变 换 32. 三角形单元优点：剖分简单，适应性强，对边界的逼近比较好，在几何上有更大的灵活 性。 矩形单元的双线性插值：每个单元内的应变和应力都是线性的，精度得到改善 任意四边形剖分：内部精度高，边界逼近也好 33. 等参单元：由于坐标变换和插值函数都是以结点值为参数，而且参数的数目相同，采用 的基函数相同。 超参单元：如果坐标变换的结点多于函数插值的结点数。 次参单元：如果坐标变换的结点少于函数插值的结点数 等参变换 超参单元 次参变换 34. 自然坐标：长度坐标、面积坐标和体积坐标，均和单元形式无直接关系，所以一般统称 为自然坐标。 35. 有限元的求解流程： 对结构进行离散，按问题的几何特点和精度要求进行单元划分并形成网格 形成单元的刚度矩阵和等效节点荷载列阵 集成结构的总体刚度矩阵和荷载列阵 引入强制边界条件 求解方程，得到节点位移 计算单元应变和应力 进行必要的后处理 36. 泛函的强极值：任意阶邻域中都成立 泛函的弱极值：只对一阶邻域成立 37. 本质边界条件：待求函数的边界值是已知的，外加的，固定的。与泛函的一阶变分无关。 自然边界条件：根据泛函极值条件得出的边界条件 无条件极值问题：自变函数足够光滑，满足制定边界条件，别无其他附加约束条件 条件极值问题：附加其他约束条件的泛函极值问题。 38. Fermat 原理：在均匀介质中，光线沿所需时间最少的光路传播 Einstein 广义相对论：光线在四维 Riemann 空间所需时间最短的路线