工程流体力学闻德课后习题答案 第五章 实际流体动力学基础
5—1设在流场中的速度分布为u x =2ax ,u y =-2ay ,a 为实数,且a >0。试求切应力τxy 、τyx 与附加压应力p ´x 、p ´y 以及压应力p x 、p y 。
解:0y x xy yx u u x y ττμ∂⎛⎫
∂==+= ⎪∂∂⎝⎭
24x
x
u p a x
μμ∂'=-=-∂,24y y u p a y μμ∂'=-=∂, 4x x p p p p a μ'=+=-,4y y p p p p a μ'=+=+
5－2 设例５－1中的下平板固定不动,上平板以速度
v 沿x 轴方向作等速运动(如图所示),由于上平板运动而引起的这种流动,称柯埃梯(Couette)流动。试求在这种流动情况下,两平板间的速度分布。(请将
d 0d p
x
=时的这一流动与在第一章中讨论流体粘性时的流动相比较)
解:将坐标系ox 轴移至下平板,则边界条件为 y ＝０,0X u u ==;y h =,u v =。 由例５－1中的(11)式可得
2d (1)2d h y p y y
u v h x h h μ=-
- (１) 当d 0d p x =时,y u v h
=,速度ｕ为直线分布,这种特殊情况的流动称简单柯埃梯流动或简单剪切流动。它只就是由于平板运动,由于流体的粘滞性带动流体发生的流动。 当
d 0d p
x
≠时,即为一般的柯埃梯流动,它就是由简单柯埃梯流动与泊萧叶流动叠加而成,速度分布为
(1)u y y y
p v h h h
=-- (２) 式中2d ()2d h p
p v x
μ=
- (３) 当p ＞０时,沿着流动方向压强减小,速度在整个断面上的分布均为正值;当p ＜０时,沿流动方向压强增加,则可能在静止壁面附近产生倒流,这主要发生p ＜－１的情况.
5－3 设明渠二维均匀(层流)流动,如图所示。若忽略空气阻力,试用纳维—斯托克斯方程与连续性方程,证明过流断面上的速度分布为2sin (2)2x g
u zh z r q m
=
-,单宽流量3
sin 3gh q r q m
=。
解:(1)因就是恒定
二
维
流
动,
0y x z
u u u t t t
¶¶¶===抖?,u u x =,0y u =,0z u =,由纳维——斯托克斯方程与连续性方程可得
2210x x u p f x z μρρ∂∂-+=∂∂,10z
p
f z ρ∂-=∂,0x u x ∂=∂ sin x f
g q =,cos z f g q =-。因就是均匀流,压强分布与x 无关,
0x
p
=∂∂,因此,纳维——斯托克斯方程可写成
22sin 0x u g z μθρ∂+=∂,
1cos 0p
g z
θρ∂--=∂ 因u x 只与z 方向有关,与x 无关,所以偏微分可改为全微分,则
22d sin 0d x u g z m q r +=,积分得
1d sin d x u g
z C z ρθμ
-=+, 212sin 2x g
u z C z C ρθμ=-++,当0z =,0x u =;h z =,d 0d x u z =,得
1sin g C h r q m =,0C 2=,2sin sin 2x g g u z hz ρρθθμμ=-+,2sin (2)2x g u zh z r q m
=-
(2)2
d sin (2)d 2h h x
g q u z zh z z r q m
=
=
-蝌333sin ()sin 233g h gh h r r q q m m =
-=。 5－4 设有两艘靠得很近的小船,在河流中等速并列向前行驶,其平面位置,如图a 所示。
(1)试问两小船就是越行越靠近,甚至相碰撞,还就是越行越分离。为什么？若可能要相碰撞,则应注意,并事先设法避免。(2)设小船靠岸时,等速沿直线岸平行行驶,试问小船就是越行越靠岸,还就是越离岸,为什么？(3)设有一圆筒在水流中,其平面位置如图b 所示。当圆筒按图中所示方向(即顺时针方向)作等角转速旋转,试问圆筒越流越靠近D 侧,还就是C 侧,为什么？
解:(1)取一通过两小船的过流断面,它与自由表面的交线上各点的2
2p u z g g
r ++应相等。现两船间的流线较密,速度要增大些,压强要减小些,而两小船外侧的压强相对要大一些,致使将两小船推向靠近,越行越靠近,甚至可能要相碰撞。事先应注意,并设法避免、预防。
(2)小船靠岸时,越行越靠近岸,理由基本上与上面(1)的相同。
(3)因水流具有粘性,圆筒旋转后使靠D 侧流速增大,压强减小,致使越流越靠近D 侧。
5-5 设有压圆管流(湍流),如图所示,已知过流断面上的流速分布为71
max )(r y
u u =,max
u 为管轴处的最大流速。试求断面平均流速v (以u max 表示)与动能修正系数α值。
解:设17
n =
,
max 02
000
d 1()2()d r n
A
u A Q y v u r y y A
A
r r p p ==
=-ò
òmax max 20.8167(1)(2)
u u n n ==++ 0
333
2max 0max 00011d [()]2π()d 2π()3132
r n A
y u A u r y y u r r n n =-=-++蝌 33
d 1.058A
u A
v A
a =
=ò
5－6 设用一附有水银压差计的文丘里管测定倾斜管内恒定水流的流量,如图所示。已
知d 1 =0.10m,d 2 =0.05m,压差计读数h ＝0、04ｍ,文丘里管流量系数μ =0、98,试求流量Q 。
解:由伯努利方程得
22
111222
1222p v p v z z g g g g
ααρρ++=++ (１) 由连续性方程得
22
2122210.05(
)()0.250.1
d v v v v d === (２) 由压差计得 1122()p g z z z h p gz gh ρρρ+-++=++Hg
1212()()p p
z z g g
ρρ+-+()()g g h h g ρρρρρρ--==Hg
Hg 1212()()p p z z g g ρρ+-+136001000()12.61000
h h -== (３) 将式(２)(３)代入(１)得
22222
1221222
120.06250.9375()()2g 2g 2g 2g 2g p p v v v v v z z g g ρρ+-+=-=-=
2
2
0.937512.62g
v h =,212.60.0429.8m/s 3.246m/s 0.9375v ⨯⨯⨯=
= 2
233322ππ0.05 3.246m /s 6.3710m /s 44
-==⨯⨯=⨯d Q v
330.98 6.2410m /s Q Q Q 实μ-===⨯
5－7 设用一附有水银压差计的文丘里管测定铅垂管内恒定水流流量,如图所示。已知
d 1
=0.10m,d 2 =0.05m,压差计读数h ＝0、04ｍ,文丘里管流量系数µ =0、98,试求流量Q .请与习题5－6、例5－4比较,在相同的条件下,流量Q 与文丘里管倾斜角就是否有关。
解:与习题５－6的解法相同,结果亦相同,(解略).它说明流量Q 与倾斜角无关. 5－8 利用文丘里管的喉道负压抽吸基坑中的积水,如图所示。已知d 1 =50mm,d 2
