小学六年级奥数 第12讲 倒推法解题~例5
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倒推法解题一、知识要点有些应用题如果按照一般方法,顺着题目的条件一步一步地列出算式求解,过程比较繁琐。
所以,解题时,我们可以从最后的结果出发,运用加与减、乘与除之间的互逆关系,从后到前一步一步地推算,这种思考问题的方法叫倒推法。
二、精讲精练【例题1】一本文艺书,小明第一天看了全书的1/3,第二天看了余下的3/5,还剩下48页,这本书共有多少页?【思路导航】从“剩下48页”入手倒着往前推,它占余下的1-3/5=2/5。
第一天看后还剩下48÷2/5=120页,这120页占全书的1-1/3=2/3,这本书共有120÷2/3=180页。
即48÷(1-3/5)÷(1-1/3)=180(页)答:这本书共有180页。
练习1:1.某班少先队员参加劳动,其中3/7的人打扫礼堂,剩下队员中的5/8打扫操场,还剩12人打扫教室,这个班共有多少名少先队员?2.一辆汽车从甲地出发,第一天走了全程的3/8,第二天走了余下的2/3,第三天走了250千米到达乙地。
甲、乙两地间的路程是多少千米?3.把一堆苹果分给四个人,甲拿走了其中的1/6,乙拿走了余下的2/5,丙拿走这时所剩的3/4,丁拿走最后剩下的15个,这堆苹果共有多少个?【例题2】筑路队修一段路,第一天修了全长的1/5又100米,第二天修了余下的2/7 ,还剩500米,这段公路全长多少米?【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推,它占余下的1-2/7=5/7,第一天修后还剩500÷5/7=700米,如果第一天正好修全长的1/5,还余下700+100=800米,这800米占全长的1-1/5=4/5,这段路全长800÷4/5=1000米。
列式为:【500÷(1-2/7)+100】÷(1-1/5)=1000米答:这段公路全长1000米。
练习2:1.一堆煤,上午运走2/7,下午运的比余下的1/3还多6吨,最后剩下14吨还没有运走,这堆煤原有多少吨?2.用拖拉机耕一块地,第一天耕了这块地的1/3又2公顷,第二天耕的比余下的1/2多3公顷,还剩下35公顷,这块地共有多少公顷?3.一批水泥,第一天用去了1/2多1吨,第二天用去了余下1/3少2吨,还剩下16吨,原来这批水泥有多少吨?【例题3】有甲、乙两桶油,从甲桶中倒出1/3给乙桶后,又从乙桶中倒出1/5给甲桶,这时两桶油各有24千克,原来甲、乙两个桶中各有多少千克油?【思路导航】从最后的结果出发倒推,甲、乙两桶共有(24×2)=48千克,当乙桶没有倒出1/5给甲桶时,乙桶内有油24÷(1-1/5)=30千克,这时甲桶内只有48-30=18千克,而甲桶已倒出1/3给了乙桶,可见甲桶原有的油为18÷(1-1/3)=27千克,乙桶原有的油为48-27=21千克。
第12讲倒推法解题讲义专题简析倒推法解题是从最后的结果出发,运用加和减、乘和除之间的互逆关系,从后往前一步一步地推算,直到找到最初的数据,这种方法又常被称为“还原法”。
适合用倒推法解题的数学问题常满足以下条件:已知最后的结果和到达最后结果时的每一步具体的过程。
例1、筑路队修一段路,第一天修了全长的又100米,第二天修了余下的,还剩500米。
这段公路全长多少米?练习:1、一堆煤,上午运走,下午运的比余下的还多6吨,最后剩下14吨还没有运走。
这堆煤原有多少吨?2、用拖拉机耕一块地,第一天耕了这块地的又2公顷,第二天耕的比余下的多3公顷,还剩下35公顷没有耕。
这块地共有多少公顷?3、一批水泥,第一天用去多1吨,第二天用去余下的少2吨,还剩下16吨。
原来这批水泥有多少吨?例2、王大伯屋后有一棵桃树。
他孙子每天从树上摘下一些桃子和邻居的小伙伴分着吃,第一天摘下桃子总个数的合,以后8天分别摘下当天树上现有桃子的、、、…、,摘了9天,树上还留下10个桃子。
树上原来有多少个桃子?练习:1、把一根绳子对半剪开,再取其中一段对半剪开,这样剪了四次,剩下的正好是1米。
这根绳子原来长多少米?2、《九章算术》中有一道题:“今有人持米出三关,外关三而取一,中关五而取一,内关七而取一,余米五斗。
问持米几何?”题意是:有人背米过关卡,经过外关时,用全部米的纳税,过中关时用所余米的纳税,经过内关时用再余米的纳税,最后还剩下5斗米。
这个人原来背多少斗米出关?3、仓库里存粮若干吨,第一次运出总数的又4吨,第二次运出余下的又3吨,第三次运出余下的又5吨,最后还剩下12吨。
这个仓库原有粮食多少吨?例3、有甲、乙两桶油,从甲桶中倒出的油给乙桶后,又从乙桶中倒出的油给甲桶,这时两桶油各有24千克,原来甲、乙两个桶中各有油多少千克?练习:1、小华拿出自己画片张数的给小强,小强再从自己现有的画片张数中拿出给小华,这时两人各有画片12张。
原来两人各有画片多少张?2、甲、乙两人各有人民币若干元,甲拿出自己所有钱的给乙后,乙又拿出现在自己所有钱的给甲,这时他们各有90元。
第十二周 倒推法解题专题简析:有些应用题如果按照一般方法,顺着题目的条件一步一步地列出算式求解,过程比较繁琐。
所以,解题时,我们可以从最后的结果出发,运用加与减、乘与除之间的互逆关系,从后到前一步一步地推算,这种思考问题的方法叫倒推法。
例题1 一本文艺书,小明第一天看了全书的13 ,第二天看了余下的35,还剩下48页,这本书共有多少页?【思路导航】从“剩下48页”入手倒着往前推,它占余下的1-35 =25。
第一天看后还剩下48÷25 =120页,这120页占全书的1-13 =23 ,这本书共有120÷23 =180页。
即48÷(1-35 )÷(1-13 )=180(页)答:这本书共有180页。
练习11. 某班少先队员参加劳动,其中37 的人打扫礼堂,剩下队员中的58 打扫操场,还剩12人打扫教室,这个班共有多少名少先队员?2. 一辆汽车从甲地出发,第一天走了全程的38 ,第二天走了余下的23 ,第三天走了250千米到达乙地。
甲、乙两地间的路程是多少千米?3. 把一堆苹果分给四个人,甲拿走了其中的16 ,乙拿走了余下的25 ,丙拿走这时所剩的34 ,丁拿走最后剩下的15个,这堆苹果共有多少个?例题2 筑路队修一段路,第一天修了全长的15 又100米,第二天修了余下的27,还剩500米,这段公路全长多少米?【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推,它占余下的1-27 =57 ,第一天修后还剩500÷57 =700米,如果第一天正好修全长的15 ,还余下700+100=800米,这800米占全长的1-15 =45 ,这段路全长800÷45 =1000米。
列式为:【500÷(1-27 )+100】÷(1-15)=1000米 答:这段公路全长1000米。
练习21. 一堆煤,上午运走27 ,下午运的比余下的13 还多6吨,最后剩下14吨还没有运走,这堆煤原有多少吨?2. 用拖拉机耕一块地,第一天耕了这块地的13 又2公顷,第二天耕的比余下的12 多3公顷,还剩下35公顷,这块地共有多少公顷?3. 一批水泥,第一天用去了12 多1吨,第二天用去了余下13 少2吨,还剩下16吨,原来这批水泥有多少吨?例题3 有甲、乙两桶油,从甲桶中倒出13给乙桶后,又从乙桶中倒出15给甲桶,这时两桶油各有24千克,原来甲、乙两个桶中各有多少千克油?【思路导航】从最后的结果出发倒推,甲、乙两桶共有(24×2)=48千克,当乙桶没有倒出15给甲桶时,乙桶内有油24÷(1-15)=30千克,这时甲桶内只有48-30=18千克,而甲桶已倒出13给了乙桶,可见甲桶原有的油为18÷(1-13)=27千克,乙桶原有的油为48-27=21千克。
有些数学问题,从条件出发顺向思考很难找到答案,倘若倒过来考 虑,则容易得多。
而这种采用与事情发生过程相反的顺序思考的解题方 法叫做倒推法。
用倒推法分析数学问题,关键是要掌握数量之间运算的关系。
能用 倒推法求解的数学问题常常满足下列三个条件: (1)已知最后的结果;(2)已知在到达最终结果时每一步的具体过程或具体做法; (3)未知的是最初的数量。
用倒推法解题的步骤也是从最后得出的结果出发,按照原题运算的 逆运算,步步逆推,从而推算出原数。
[例1】 已知甲、乙、丙三个容器各盛水若干千克。
第一次把甲容器 的一部分水倒入乙、丙两容器,使乙、丙两容器内的水分别增加到原来的2 倍,第二次从乙容器把水倒入丙、甲两容器,使丙、甲两容器水分别增加到 第二次倒之前容器内水的2倍;第三次从丙容器把水倒入甲、乙两容器。
使甲、乙两容器内的水分别增加到第三次倒之前容器内水的2倍,这时各 容器内的水都为16千克。
问甲、乙、丙三个容器内原来各有水多少千 克?思路剖析根据题中条件,画一个表格,用倒推法进行逆运算。
所以由表1可知,甲、乙、丙三个容器原来的水依次为26千克、14千[例2] 某仓库原有化肥若干吨。
第一次运出原化肥的一半,第二次 运进450吨,第三次又运出现有化肥的一半又50吨,结果剩余化肥的2倍 是1200吨。
问仓库原有化肥多少吨? 思路剖析这道题由于原有化肥的总吨数是未知的,所以要想求解是很不容易 的。
根据题意画出图1。
根据图1用倒推法可知,“剩余化肥的2倍是1200吨”,就可以求出剩 余化肥的吨数;根据“第三次运出现有化肥的一半又50吨”。
和剩余化肥 的吨数,就可以求出现有化肥的一半是多少吨?进而可求出现有化肥的 吨数;用现有化肥的吨数减去第二次运进的450吨,就可以求出原有化肥 的一半是多少,最后再求出原有化肥多少吨? 解答(1)剩余化肥的吨数是:1200÷2=600(吨) (2)现有化肥的一半是:600+50=650(吨) (3)现有化肥的吨数是:650×2=1300(吨) (4)原有化肥的一半是:1300-450=850(吨)(5)原有化肥的吨数是.850×2=1700(吨)综合列式计算:[(1200÷2+50)×2-450]×2=[(600+50)×2-450]×2=(650×2-450)×2=(1300-450)×2=850×2=1700(吨)答:原有化肥为1700吨。
第12講 倒推法解題一、知識要點有些應用題如果按照一般方法,順著題目的條件一步一步地列出算式求解,過程比較繁瑣。
所以,解題時,我們可以從最後的結果出發,運用加與減、乘與除之間的互逆關係,從後到前一步一步地推算,這種思考問題的方法叫倒推法。
二、精講精練【例題1】一本文藝書,小明第一天看了全書的31,第二天看了餘下的53,還剩下48頁,這本書共有多少頁?練習1:1、某班少先隊員參加勞動,其中73的人打掃禮堂,剩下隊員中的85打掃操場,還剩12人打掃教室,這個班共有多少名少先隊員?2、一輛汽車從甲地出發,第一天走了全程的83,第二天走了餘下的32,第三天走了250千米到達乙地。
甲、乙兩地間的路程是多少千米?3、把一堆蘋果分給四個人,甲拿走了其中的61,乙拿走了餘下的52,丙拿走這時所剩的43,丁拿走最後剩下的15個,這堆蘋果共有多少個?【例題2】築路隊修一段路,第一天修了全長的51又100米,第二天修了餘下的72 ,還剩500米,這段公路全長多少米?練習2:1、一堆煤,上午運走72,下午運的比餘下的31還多6噸,最後剩下14噸還沒有運走,這堆煤原有多少噸?2、用拖拉機耕一塊地,第一天耕了這塊地的31又2公頃,第二天耕的比餘下的21多3公頃,還剩下35公頃,這塊地共有多少公頃?3、一批水泥,第一天用去了21多1噸,第二天用去了餘下31少2噸,還剩下16噸,原來這批水泥有多少噸?【例題3】有甲、乙兩桶油,從甲桶中倒出31給乙桶後,又從乙桶中倒出51給甲桶,這時兩桶油各有24千克,原來甲、乙兩個桶中各有多少千克油?練習3:1、小華拿出自己的畫片的51給小強,小強再從自己現有的畫片中拿出41給小華,這時兩人各有畫片12張,原來兩人各有畫片多少張?2、甲、乙兩人各有人民幣若干元,甲拿出51給乙後,乙又拿出41給甲,這時他們各有90元,他們原來各有多少元?【例題4】甲、乙、丙三人共有人民幣168元,第一次甲拿出與乙相同的錢數給乙;第二次乙拿出與丙相同的錢數給丙;第三次丙拿出與這時甲相同的錢數給甲。
第十二周 倒推法解题专题简析:有些应用题如果按照一般方法,顺着题目的条件一步一步地列出算式求解,过程比较繁琐。
所以,解题时,我们可以从最后的结果出发,运用加与减、乘与除之间的互逆关系,从后到前一步一步地推算,这种思考问题的方法叫倒推法。
例题1。
一本文艺书,小明第一天看了全书的13 ,第二天看了余下的35,还剩下48页,这本书共有多少页?【思路导航】从“剩下48页”入手倒着往前推,它占余下的1-35 =25。
第一天看后还剩下48÷25 =120页,这120页占全书的1-13 =23 ,这本书共有120÷23=180页。
即48÷(1-35 )÷(1-13)=180(页) 答:这本书共有180页。
练习11. 某班少先队员参加劳动,其中37 的人打扫礼堂,剩下队员中的58打扫操场,还剩12人打扫教室,这个班共有多少名少先队员?2. 一辆汽车从甲地出发,第一天走了全程的38 ,第二天走了余下的23,第三天走了250千米到达乙地。
甲、乙两地间的路程是多少千米?3. 把一堆苹果分给四个人,甲拿走了其中的16 ,乙拿走了余下的25,丙拿走这时所剩的34,丁拿走最后剩下的15个,这堆苹果共有多少个?例题2。
筑路队修一段路,第一天修了全长的15 又100米,第二天修了余下的27,还剩500米,这段公路全长多少米?【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推,它占余下的1-27 =57,第一天修后还剩500÷57 =700米,如果第一天正好修全长的15,还余下700+100=800米,这800米占全长的1-15 =45 ,这段路全长800÷45=1000米。
列式为:【500÷(1-27 )+100】÷(1-15)=1000米 答:这段公路全长1000米。
练习21. 一堆煤,上午运走27 ,下午运的比余下的13还多6吨,最后剩下14吨还没有运走,这堆煤原有多少吨?2. 用拖拉机耕一块地,第一天耕了这块地的13 又2公顷,第二天耕的比余下的12多3公顷,还剩下35公顷,这块地共有多少公顷?3. 一批水泥,第一天用去了12 多1吨,第二天用去了余下13少2吨,还剩下16吨,原来这批水泥有多少吨?例题3。
【例题1】筑路队修一段路,第一天修了全长的1/5又100米,第二天修了余下的2/7 ,还剩500米,这段公路全长多少米?【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推,它占余下的1-2/7=5/7,第一天修后还剩500÷5/7=700米,如果第一天正好修全长的1/5,还余下700+100=800米,这800米占全长的1-1/5=4/5,这段路全长800÷4/5=1000米。
列式为:【500÷(1-2/7)+100】÷(1-1/5)=1000米举一反三1.一堆煤,上午运走2/7,下午运的比余下的1/3还多6吨,最后剩下14吨还没有运走,这堆煤原有多少吨?2.用拖拉机耕一块地,第一天耕了这块地的1/3又2公顷,第二天耕的比余下的1/2多3公顷,还剩下35公顷,这块地共有多少公顷?3.一批水泥,第一天用去了1/2多1吨,第二天用去了余下1/3少2吨,还剩下16吨,原来这批水泥有多少吨?【例题2】一只猴子每天从树上摘下一些桃子吃,第一天摘下桃子总个数的1/10,以后8天分别摘下当天树上现有的桃子的1/9,1/8,1/7,…1/3,1/2,摘了9天,树上还留下10个桃子。
树上原来有多少个桃子。
【思路导航】从树上还留下10个桃子入手倒着往前推,它占第8天后余下的1-1/2=1/2,第8天后余下10÷(1-1/2)=20(个),这20个占第7天后余下的1-1/3=2/3,第7天后余下20÷(1-1/3)=30个,以此类推:10÷(1-1/2)÷(1-1/3)÷(1-1/4)÷(1-1/5)÷(1-1/6)÷(1-1/7)÷(1-1/8)÷(1-1/9)÷(1-1/10)=10×2×2/3×4/3×5/4×6/5×7/6×8/7×9/8×10/9=100个举一反三:1.把一根绳子对剪开,再取其中一段对半剪开,这样剪了7次,剩下正好是1米。
第12周倒推法解题一、知识要点有些应用题如果按照一般方法,顺着题目的条件一步一步地列出算式求解,过程比较繁琐。
所以,解题时,我们可以从最后的结果出发,运用加与减、乘与除之间的互逆关系,从后到前一步一步地推算,这种思考问题的方法叫倒推法。
二、精讲精练【例题1】一本文艺书,小明第一天看了全书的13,第二天看了余下的35,还剩下48页,这本书共有多少页?【思路导航】从“剩下48页”入手倒着往前推,它占余下的1-35=25。
第一天看后还剩下48÷25=120页,这120页占全书的1-13=23,这本书共有120÷23=180页。
即8÷(1-35)÷(1-13)=180(页)答:这本书共有180页。
练习1:1.某班少先队员参加劳动,其中37的人打扫礼堂,剩下队员中的58打扫操场,还剩12人打扫教室,这个班共有多少名少先队员?2.一辆汽车从甲地出发,第一天走了全程的38,第二天走了余下的23,第三天走了250千米到达乙地。
甲、乙两地间的路程是多少千米?3.把一堆苹果分给四个人,甲拿走了其中的16,乙拿走了余下的25,丙拿走这时所剩的34,丁拿走最后剩下的15个,这堆苹果共有多少个?【例题2】筑路队修一段路,第一天修了全长的15又100米,第二天修了余下的27,还剩500米,这段公路全长多少米?【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推,它占余下的1-27=57,第一天修后还剩500÷57=700米,如果第一天正好修全长的15,还余下700+100=800米,这800米占全长的1-15=45,这段路全长800÷45=1000米。
列式为:[500÷(1-27)+100]÷(1-15)=1000(米)答:这段公路全长1000米。
练习2:1.一堆煤,上午运走27,下午运的比余下的13还多6吨,最后剩下14吨还没有运走,这堆煤原有多少吨?2.用拖拉机耕一块地,第一天耕了这块地的13又2公顷,第二天耕的比余下的12多3公顷,还剩下35公顷,这块地共有多少公顷?3.一批水泥,第一天用去了12多1吨,第二天用去了余下13少2吨,还剩下16吨,原来这批水泥有多少吨?【例题3】有甲、乙两桶油,从甲桶中倒出13给乙桶后,又从乙桶中倒出15给甲桶,这时两桶油各有24千克,原来甲、乙两个桶中各有多少千克油?【思路导航】从最后的结果出发倒推,甲、乙两桶共有(24×2)=48千克,当乙桶没有倒出15给甲桶时,乙桶内有油24÷(1-15)=30千克,这时甲桶内只有48-30=18千克,而甲桶已倒出13给了乙桶,可见甲桶原有的油为18÷(1-13)=27千克,乙桶原有的油为48-27=21千克。