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倒推法解题一、知识要点有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐。
所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。
二、精讲精练【例题1】一本文艺书，小明第一天看了全书的1/3，第二天看了余下的3/5，还剩下48页，这本书共有多少页？【思路导航】从“剩下48页”入手倒着往前推，它占余下的1－3/5＝2/5。
第一天看后还剩下48÷2/5＝120页，这120页占全书的1－1/3＝2/3，这本书共有120÷2/3＝180页。
即48÷（1－3/5）÷（1－1/3）＝180（页）答：这本书共有180页。
练习1：１．某班少先队员参加劳动，其中3/7的人打扫礼堂，剩下队员中的5/8打扫操场，还剩12人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？２．一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的3/8，第二天走了余下的2/3，第三天走了250千米到达乙地。
甲、乙两地间的路程是多少千米？３．把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的1/6，乙拿走了余下的2/5，丙拿走这时所剩的3/4，丁拿走最后剩下的15个，这堆苹果共有多少个？【例题2】筑路队修一段路，第一天修了全长的1/5又100米，第二天修了余下的2/7 ，还剩500米，这段公路全长多少米？【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推，它占余下的1－2/7＝5/7，第一天修后还剩500÷5/7＝700米，如果第一天正好修全长的1/5，还余下700+100＝800米，这800米占全长的1－1/5＝4/5，这段路全长800÷4/5＝1000米。
列式为：【500÷（1－2/7）+100】÷（1－1/5）＝1000米答：这段公路全长1000米。
练习2：１．一堆煤，上午运走2/7，下午运的比余下的1/3还多6吨，最后剩下14吨还没有运走，这堆煤原有多少吨？２．用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的1/3又2公顷，第二天耕的比余下的1/2多3公顷，还剩下35公顷，这块地共有多少公顷？３．一批水泥，第一天用去了1/2多1吨，第二天用去了余下1/3少2吨，还剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？【例题3】有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出1/3给乙桶后，又从乙桶中倒出1/5给甲桶，这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？【思路导航】从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有（24×2）＝48千克，当乙桶没有倒出1/5给甲桶时，乙桶内有油24÷（1－1/5）＝30千克，这时甲桶内只有48－30＝18千克，而甲桶已倒出1/3给了乙桶，可见甲桶原有的油为18÷（1－1/3）＝27千克，乙桶原有的油为48－27＝21千克。
第12讲倒推法解题讲义专题简析倒推法解题是从最后的结果出发，运用加和减、乘和除之间的互逆关系，从后往前一步一步地推算，直到找到最初的数据，这种方法又常被称为“还原法”。
适合用倒推法解题的数学问题常满足以下条件：已知最后的结果和到达最后结果时的每一步具体的过程。
例1、筑路队修一段路，第一天修了全长的又100米，第二天修了余下的，还剩500米。
这段公路全长多少米?练习：1、一堆煤，上午运走，下午运的比余下的还多6吨，最后剩下14吨还没有运走。
这堆煤原有多少吨?2、用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的又2公顷，第二天耕的比余下的多3公顷，还剩下35公顷没有耕。
这块地共有多少公顷?3、一批水泥，第一天用去多1吨，第二天用去余下的少2吨，还剩下16吨。
原来这批水泥有多少吨?例2、王大伯屋后有一棵桃树。
他孙子每天从树上摘下一些桃子和邻居的小伙伴分着吃，第一天摘下桃子总个数的合，以后8天分别摘下当天树上现有桃子的、、、…、，摘了9天，树上还留下10个桃子。
树上原来有多少个桃子?练习：1、把一根绳子对半剪开，再取其中一段对半剪开，这样剪了四次，剩下的正好是1米。
这根绳子原来长多少米?2、《九章算术》中有一道题:“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。
问持米几何?”题意是：有人背米过关卡，经过外关时，用全部米的纳税，过中关时用所余米的纳税，经过内关时用再余米的纳税，最后还剩下5斗米。
这个人原来背多少斗米出关?3、仓库里存粮若干吨，第一次运出总数的又4吨，第二次运出余下的又3吨，第三次运出余下的又5吨，最后还剩下12吨。
这个仓库原有粮食多少吨?例3、有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出的油给乙桶后，又从乙桶中倒出的油给甲桶，这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有油多少千克?练习：1、小华拿出自己画片张数的给小强，小强再从自己现有的画片张数中拿出给小华，这时两人各有画片12张。
原来两人各有画片多少张？2、甲、乙两人各有人民币若干元，甲拿出自己所有钱的给乙后，乙又拿出现在自己所有钱的给甲，这时他们各有90元。
第十二周 倒推法解题专题简析：有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐。
所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。
例题1 一本文艺书，小明第一天看了全书的13 ，第二天看了余下的35，还剩下48页，这本书共有多少页？【思路导航】从“剩下48页”入手倒着往前推，它占余下的1－35 ＝25。
第一天看后还剩下48÷25 ＝120页，这120页占全书的1－13 ＝23 ，这本书共有120÷23 ＝180页。
即48÷（1－35 ）÷（1－13 ）＝180（页）答：这本书共有180页。
练习11． 某班少先队员参加劳动，其中37 的人打扫礼堂，剩下队员中的58 打扫操场，还剩12人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？2． 一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的38 ，第二天走了余下的23 ，第三天走了250千米到达乙地。
甲、乙两地间的路程是多少千米？3． 把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的16 ，乙拿走了余下的25 ，丙拿走这时所剩的34 ，丁拿走最后剩下的15个，这堆苹果共有多少个？例题2 筑路队修一段路，第一天修了全长的15 又100米，第二天修了余下的27，还剩500米，这段公路全长多少米？【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推，它占余下的1－27 ＝57 ，第一天修后还剩500÷57 ＝700米，如果第一天正好修全长的15 ，还余下700+100＝800米，这800米占全长的1－15 ＝45 ，这段路全长800÷45 ＝1000米。
列式为：【500÷（1－27 ）+100】÷（1－15）＝1000米 答：这段公路全长1000米。
练习21． 一堆煤，上午运走27 ，下午运的比余下的13 还多6吨，最后剩下14吨还没有运走，这堆煤原有多少吨？2． 用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的13 又2公顷，第二天耕的比余下的12 多3公顷，还剩下35公顷，这块地共有多少公顷？3． 一批水泥，第一天用去了12 多1吨，第二天用去了余下13 少2吨，还剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？例题3 有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出13给乙桶后，又从乙桶中倒出15给甲桶，这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？【思路导航】从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有（24×2）＝48千克，当乙桶没有倒出15给甲桶时，乙桶内有油24÷（1－15）＝30千克，这时甲桶内只有48－30＝18千克，而甲桶已倒出13给了乙桶，可见甲桶原有的油为18÷（1－13）＝27千克，乙桶原有的油为48－27＝21千克。
有些数学问题，从条件出发顺向思考很难找到答案，倘若倒过来考 虑，则容易得多。
而这种采用与事情发生过程相反的顺序思考的解题方 法叫做倒推法。
用倒推法分析数学问题，关键是要掌握数量之间运算的关系。
能用 倒推法求解的数学问题常常满足下列三个条件: (1)已知最后的结果；(2)已知在到达最终结果时每一步的具体过程或具体做法； (3)未知的是最初的数量。
用倒推法解题的步骤也是从最后得出的结果出发，按照原题运算的 逆运算，步步逆推，从而推算出原数。
[例1】 已知甲、乙、丙三个容器各盛水若干千克。
第一次把甲容器 的一部分水倒入乙、丙两容器，使乙、丙两容器内的水分别增加到原来的2 倍，第二次从乙容器把水倒入丙、甲两容器，使丙、甲两容器水分别增加到 第二次倒之前容器内水的2倍；第三次从丙容器把水倒入甲、乙两容器。
使甲、乙两容器内的水分别增加到第三次倒之前容器内水的2倍，这时各 容器内的水都为16千克。
问甲、乙、丙三个容器内原来各有水多少千 克?思路剖析根据题中条件，画一个表格，用倒推法进行逆运算。
所以由表1可知，甲、乙、丙三个容器原来的水依次为26千克、14千[例2] 某仓库原有化肥若干吨。
第一次运出原化肥的一半，第二次 运进450吨，第三次又运出现有化肥的一半又50吨，结果剩余化肥的2倍 是1200吨。
问仓库原有化肥多少吨? 思路剖析这道题由于原有化肥的总吨数是未知的，所以要想求解是很不容易 的。
根据题意画出图1。
根据图1用倒推法可知，“剩余化肥的2倍是1200吨”，就可以求出剩 余化肥的吨数；根据“第三次运出现有化肥的一半又50吨”。
和剩余化肥 的吨数，就可以求出现有化肥的一半是多少吨?进而可求出现有化肥的 吨数；用现有化肥的吨数减去第二次运进的450吨，就可以求出原有化肥 的一半是多少，最后再求出原有化肥多少吨? 解答(1)剩余化肥的吨数是:1200÷2=600(吨) (2)现有化肥的一半是:600+50=650(吨) (3)现有化肥的吨数是:650×2=1300(吨) (4)原有化肥的一半是:1300-450=850(吨)(5)原有化肥的吨数是．850×2=1700(吨)综合列式计算:[(1200÷2+50)×2-450]×2=[(600+50)×2-450]×2=(650×2-450)×2=(1300-450)×2=850×2=1700(吨)答:原有化肥为1700吨。
第12講 倒推法解題一、知識要點有些應用題如果按照一般方法，順著題目的條件一步一步地列出算式求解，過程比較繁瑣。
所以，解題時，我們可以從最後的結果出發，運用加與減、乘與除之間的互逆關係，從後到前一步一步地推算，這種思考問題的方法叫倒推法。
二、精講精練【例題1】一本文藝書，小明第一天看了全書的31，第二天看了餘下的53，還剩下48頁，這本書共有多少頁？練習1：１、某班少先隊員參加勞動，其中73的人打掃禮堂，剩下隊員中的85打掃操場，還剩12人打掃教室，這個班共有多少名少先隊員？２、一輛汽車從甲地出發，第一天走了全程的83，第二天走了餘下的32，第三天走了250千米到達乙地。
甲、乙兩地間的路程是多少千米？３、把一堆蘋果分給四個人，甲拿走了其中的61，乙拿走了餘下的52，丙拿走這時所剩的43，丁拿走最後剩下的15個，這堆蘋果共有多少個？【例題2】築路隊修一段路，第一天修了全長的51又100米，第二天修了餘下的72 ，還剩500米，這段公路全長多少米？練習2：１、一堆煤，上午運走72，下午運的比餘下的31還多6噸，最後剩下14噸還沒有運走，這堆煤原有多少噸？２、用拖拉機耕一塊地，第一天耕了這塊地的31又2公頃，第二天耕的比餘下的21多3公頃，還剩下35公頃，這塊地共有多少公頃？３、一批水泥，第一天用去了21多1噸，第二天用去了餘下31少2噸，還剩下16噸，原來這批水泥有多少噸？【例題3】有甲、乙兩桶油，從甲桶中倒出31給乙桶後，又從乙桶中倒出51給甲桶，這時兩桶油各有24千克，原來甲、乙兩個桶中各有多少千克油？練習3：１、小華拿出自己的畫片的51給小強，小強再從自己現有的畫片中拿出41給小華，這時兩人各有畫片12張，原來兩人各有畫片多少張？２、甲、乙兩人各有人民幣若干元，甲拿出51給乙後，乙又拿出41給甲，這時他們各有90元，他們原來各有多少元？【例題4】甲、乙、丙三人共有人民幣168元，第一次甲拿出與乙相同的錢數給乙；第二次乙拿出與丙相同的錢數給丙；第三次丙拿出與這時甲相同的錢數給甲。
第十二周 倒推法解题专题简析：有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐。
所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。
例题1。
一本文艺书，小明第一天看了全书的13 ，第二天看了余下的35，还剩下48页，这本书共有多少页？【思路导航】从“剩下48页”入手倒着往前推，它占余下的1－35 ＝25。
第一天看后还剩下48÷25 ＝120页，这120页占全书的1－13 ＝23 ，这本书共有120÷23＝180页。
即48÷（1－35 ）÷（1－13）＝180（页） 答：这本书共有180页。
练习11． 某班少先队员参加劳动，其中37 的人打扫礼堂，剩下队员中的58打扫操场，还剩12人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？2． 一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的38 ，第二天走了余下的23，第三天走了250千米到达乙地。
甲、乙两地间的路程是多少千米？3． 把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的16 ，乙拿走了余下的25，丙拿走这时所剩的34，丁拿走最后剩下的15个，这堆苹果共有多少个？例题2。
筑路队修一段路，第一天修了全长的15 又100米，第二天修了余下的27，还剩500米，这段公路全长多少米？【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推，它占余下的1－27 ＝57，第一天修后还剩500÷57 ＝700米，如果第一天正好修全长的15，还余下700+100＝800米，这800米占全长的1－15 ＝45 ，这段路全长800÷45＝1000米。
列式为：【500÷（1－27 ）+100】÷（1－15）＝1000米 答：这段公路全长1000米。
练习21． 一堆煤，上午运走27 ，下午运的比余下的13还多6吨，最后剩下14吨还没有运走，这堆煤原有多少吨？2． 用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的13 又2公顷，第二天耕的比余下的12多3公顷，还剩下35公顷，这块地共有多少公顷？3． 一批水泥，第一天用去了12 多1吨，第二天用去了余下13少2吨，还剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？例题3。
【例题1】筑路队修一段路，第一天修了全长的1/5又100米，第二天修了余下的2/7 ，还剩500米，这段公路全长多少米？【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推，它占余下的1－2/7＝5/7，第一天修后还剩500÷5/7＝700米，如果第一天正好修全长的1/5，还余下700+100＝800米，这800米占全长的1－1/5＝4/5，这段路全长800÷4/5＝1000米。
列式为：【500÷（1－2/7）+100】÷（1－1/5）＝1000米举一反三１．一堆煤，上午运走2/7，下午运的比余下的1/3还多6吨，最后剩下14吨还没有运走，这堆煤原有多少吨？２．用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的1/3又2公顷，第二天耕的比余下的1/2多3公顷，还剩下35公顷，这块地共有多少公顷？３．一批水泥，第一天用去了1/2多1吨，第二天用去了余下1/3少2吨，还剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？【例题2】一只猴子每天从树上摘下一些桃子吃，第一天摘下桃子总个数的1/10，以后8天分别摘下当天树上现有的桃子的1/9,1/8,1/7，…1/3,1/2，摘了9天，树上还留下10个桃子。
树上原来有多少个桃子。
【思路导航】从树上还留下10个桃子入手倒着往前推，它占第8天后余下的1-1/2=1/2，第8天后余下10÷（1-1/2）=20（个），这20个占第7天后余下的1-1/3=2/3，第7天后余下20÷（1-1/3）=30个，以此类推：10÷（1-1/2）÷（1-1/3）÷（1-1/4）÷（1-1/5）÷（1-1/6）÷（1-1/7）÷（1-1/8）÷（1-1/9）÷（1-1/10）=10×2×2/3×4/3×5/4×6/5×7/6×8/7×9/8×10/9=100个举一反三：1.把一根绳子对剪开，再取其中一段对半剪开，这样剪了7次，剩下正好是1米。
第12周倒推法解题一、知识要点有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐。
所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。
二、精讲精练【例题1】一本文艺书，小明第一天看了全书的13，第二天看了余下的35，还剩下48页，这本书共有多少页？【思路导航】从“剩下48页”入手倒着往前推，它占余下的1－35＝25。
第一天看后还剩下48÷25＝120页，这120页占全书的1－13＝23，这本书共有120÷23＝180页。
即8÷（1－35）÷（1－13）＝180（页）答：这本书共有180页。
练习1：1.某班少先队员参加劳动，其中37的人打扫礼堂，剩下队员中的58打扫操场，还剩12人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？2.一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的38，第二天走了余下的23，第三天走了250千米到达乙地。
甲、乙两地间的路程是多少千米？3.把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的16，乙拿走了余下的25，丙拿走这时所剩的34，丁拿走最后剩下的15个，这堆苹果共有多少个？【例题2】筑路队修一段路，第一天修了全长的15又100米，第二天修了余下的27，还剩500米，这段公路全长多少米？【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推，它占余下的1－27＝57，第一天修后还剩500÷57＝700米，如果第一天正好修全长的15，还余下700+100＝800米，这800米占全长的1－15＝45，这段路全长800÷45＝1000米。
列式为：[500÷（1－27）+100]÷（1－15）＝1000（米）答：这段公路全长1000米。
练习2：1.一堆煤，上午运走27，下午运的比余下的13还多6吨，最后剩下14吨还没有运走，这堆煤原有多少吨？2.用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的13又2公顷，第二天耕的比余下的12多3公顷，还剩下35公顷，这块地共有多少公顷？3.一批水泥，第一天用去了12多1吨，第二天用去了余下13少2吨，还剩下16吨，原来这批水泥有多少吨？【例题3】有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出13给乙桶后，又从乙桶中倒出15给甲桶，这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？【思路导航】从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有（24×2）＝48千克，当乙桶没有倒出15给甲桶时，乙桶内有油24÷（1－15）＝30千克，这时甲桶内只有48－30＝18千克，而甲桶已倒出13给了乙桶，可见甲桶原有的油为18÷（1－13）＝27千克，乙桶原有的油为48－27＝21千克。
