初中数学二次函数易错题汇编及解析

4
x
当 x=1 时， y x2 2 3 ， y 1 1 ，此时抛物线的图象在反比例函数上方． x
∴方程
x3
2x
1
0
的实根
x0
所在范围为：
1 3
<x0
<
Fra Baidu bibliotek
1 2
．
故选 C．
【点睛】
此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析
其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别 a，b，c 的正负；根据抛物线的
对称轴位置可判别在 x 轴上另一个交点；根据抛物线与直线 y=m 的交点可判定方程的解．
【详解】
∵函数的图象开口向上，与 y 轴交于负半轴
∴a>0,c<0
∵抛物线的对称轴为直线 x=－ b =1 2a
与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．
10．已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a+2b+c＜0； （2）方程 ax2+bx+c＝0 两根都大于零；（3）y 随 x 的增大而增大；（4）一次函数 y＝x+bc 的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是（ ）
初中数学二次函数易错题汇编及解析
一、选择题
1．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不 考虑空气阻力，足球距离地面的高度 h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间 t（单位： s）之间的关系如下表：
t
01
2
345
67
…
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …
抛物线与 x 轴有 2 个交点， △ b2 4ac 0 ， 即 4ac b2 ，所以④错误．
综上所述：③正确；①②④错误．
故选： C ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y ax2 bx c(a 0) ，二次项系 数 a 决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 （左同右异）．常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 (0,c) ．抛物线与 x 轴交点个数由△决定．
4．如图是抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m），且与 x 铀的 一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③b2＝ 4a（c﹣m）；④一元二次方程 ax2+bx+c＝m+1 有两个不相等的实数根，其中正确结论的个 数是（ ）
5．如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象过点(－1,0)和点(3,0)，有下列说法：①bc＜0； ②a＋b＋c＞0；③2a＋b＝0；④4ac＞b2．其中错误的是( )
A．②④
B．①③④
C．①②④
D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线开口方向得到 a 0 ，利用对称轴在 y 轴的右侧得到 b 0 ，利用抛物线与 y 轴
的交点在 x 轴下方得到 c 0 ，则可对 A 进行判断；利用当 x 1 时， y 0 可对 B 进行判
断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 x b 1，则可对 C 进行判断； 2a
根据抛物线与 x 轴的交点个数对 D 进行判断．
【详解】
解： 抛物线开口向上，
a 0， 对称轴在 y 轴的右侧，
解：设原数为 m，则新数为 1 m2 ， 100
设新数与原数的差为 y
则 y m 1 m2 1 m2 m ，
100
100
易得，当 m＝0 时，y＝0，则 A 错误
∵ 1 0 100
m ﹣ b ﹣ 1 50
当
2a
2
﹣1010
时，y 有最大值．则 B 错误，D 正确．
当 y＝21 时， 1 m2 m ＝21 100
【详解】 ①由 x＝2 时，y＝4a+2b+c，由图象知：y＝4a+2b+c＜0，故正确； ②方程 ax2+bx+c＝0 两根分别为 1，3，都大于 0，故正确； ③当 x＜2 时，由图象知：y 随 x 的增大而减小，故错误；
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【解析】
【分析】
由图可知，x=2 时函数值小于 0，故（1）正确，函数与 x 轴的交点为 x=1.x=3，都大于 0，
故（2）正确 ，由图像知（3）错误，由图象开口向上，a＞0，与 y 轴交于正半轴，c＞0，
对称轴 x=﹣ ＝1，故 b＜0，bc＜0，即可判断一次函数 y＝x+bc 的图象.
④由图可知：当 x=−3 时，y＜0，∴9a−3b+c＜0，正确；
⑤c−a=1−a＞1，正确；
∴①②③④⑤正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
9．二次函数 y＝x2+bx 的对称轴为直线 x＝2，若关于 x 的一元二次方程 x2+bx﹣t＝0（t 为
下列结论：①足球距离地面的最大高度为 20m；②足球飞行路线的对称轴是直线 t 9 ； 2
③足球被踢出 9s 时落地；④足球被踢出 1.5s 时，距离地面的高度是 11m. 其中正确结论
的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：由题意，抛物线的解析式为 y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得 a=﹣1，
解得 m1 ＝30， m2 ＝70，则 C 错误．
故答案选：D．
【点睛】
本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字
规律转化为数学符号．
3．如图是函数 y x2 2x 3(0 x 4) 的图象，直线 l / /x 轴且过点 (0, m) ，将该函数
在直线 l 上方的图象沿直线 l 向下翻折，在直线 1 下方的图象保持不变，得到一个新图 象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于 5，则 m 的取值范围是（ ）
当 x 4 时， y 5 ，
∴ C(4,5) ，
D． m 1或 m 0
∴当 m 0 时， D(4, 5) ，
∴此时最大值为 0，最小值为 5 ；
如图 2 所示，当 m 1时， 此时最小值为 4 ，最大值为 1． 综上所述： 0 m 1，
故选：C．
【点睛】 此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为 5 的 m 的值 为解题关键．
A． m 1
【答案】C 【解析】
B． m 0
C． 0 m 1
【分析】
找到最大值和最小值差刚好等于 5 的时刻，则 M 的范围可知. 【详解】
解：如图 1 所示，当 t 等于 0 时，
∵ y ( x 1)2 4 ，
∴顶点坐标为 (1, 4) ，
当 x 0 时， y 3 ，
∴ A(0, 3) ，
实数）在﹣1＜x＜4 的范围内有解，则 t 的取值范围是（ ）
A．0＜t＜5
B．﹣4≤t＜5
C．﹣4≤t＜0
D．t≥﹣4
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出 b，确定二次函数解析式，关于 x 的一元二次方程 x2+bx﹣t＝0 的解可以看成二次函
数 y＝x2﹣4x 与直线 y＝t 的交点，﹣1＜x＜4 时﹣4≤y＜5，进而求解；
∴b<0 ∴abc＞0；①正确； ∵抛物线与 x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线 x=1， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间． ∴当 x=-1 时，y<0， 即 a-b+c<0，所以②不正确； ∵抛物线的顶点坐标为（1，m）， ∴ 4ac b2 =m，
4a ∴b2=4ac-4am=4a（c-m），所以③正确； ∵抛物线与直线 y=m 有一个公共点， ∴抛物线与直线 y=m+1 有 2 个公共点， ∴一元二次方程 ax2+bx+c=m+1 有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选:C． 【点睛】 考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的 关系是关键．
∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为 20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴 t=4.5，故②正确，
∵t=9 时，y=0，∴足球被踢出 9s 时落地，故③正确，
∵t=1.5 时，y=11.25，故④错误，∴正确的有②③，
故选 B．
2．一列自然数 0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以 100，得到 一列新数．则下列结论正确的是（ ） A．原数与对应新数的差不可能等于零 B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C．当原数与对应新数的差等于 21 时，原数等于 30 D．当原数取 50 时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】
7．方程 x2 3x 1 0 的根可视为函数 y x 3 的图象与函数 y 1 的图象交点的横坐
x
标，则方程 x3 2x 1 0 的实根 x0 所在的范围是（ ）
A．
0<x
0
<
1 4
【答案】C
【解析】
B．
1 4
<x
0
<
1 3
C．
1 3
<x
0
<
1 2
D．
1 2
<x
0
<1
【分析】
首先根据题意推断方程 x3+2x-1=0 的实根是函数 y=x2+2 与 y 1 的图象交点的横坐标，再根 x
6．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于点 A（1，0），对称轴为直线 x＝﹣1，当 y＞0 时，x 的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜1
B．﹣3＜x＜﹣1
C．x＜1
D．﹣3＜x＜1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件求出抛物线与 x 轴的另一个交点坐标，即可得到答案.
【详解】 解：∵抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0），对称轴为直线 x＝﹣1， ∴抛物线与 x 轴的另一交点坐标是（﹣3，0）， ∴当 y＞0 时，x 的取值范围是﹣3＜x＜1． 所以答案为：D． 【点睛】 此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与 x 轴的一个交点即可求出抛物线与 x 轴的另 一个交点坐标.
a 和 b 异号， b 0 ，
抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， c 0，
bc 0 ，所以①错误；
当 x 1时， y 0 ， a b c 0 ，所以②错误；
抛物线经过点 (1, 0) 和点 (3, 0) ， 抛物线的对称轴为直线 x 1 ， 即 b 1，
2a 2a b 0 ，所以③正确；
【详解】
解：∵对称轴为直线 x＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x，
关于 x 的一元二次方程 x2+bx﹣t＝0 的解可以看成二次函数 y＝x2﹣4x 与直线 y＝t 的交点，
∵﹣1＜x＜4，
∴二次函数 y 的取值为﹣4≤y＜5，
∴﹣4≤t＜5；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数
据四个选项中 x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例 函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程 x3+2x-1=0 的实根 x 所在范围． 【详解】
解：依题意得方程 x3 2x 1 0 的实根是函数 y x2 2 与 y 1 的图象交点的横坐标，
x 这两个函数的图象如图所示，它们的交点在第一象限．
当
1
x=
时， y
x2
22
1
，y
1
4 ，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
4
16
x
当 x= 1 时， y x2 2 2 1 ， y 1 3 ，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
3
9
x
当 x= 1 时， y x2 2 2 1 ， y 1 2 ，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
2
一步根据对称轴以及抛物线得出当 x 1、 x 1、 x 3 时的情况进一步综合判断即
可．
【详解】
由图象可知，a＜0，c=1，
对称轴：x= b 1， 2a
∴b=2a，
①由图可知：当 x=1 时，y＜0，∴a+b+c＜0，正确；
②由图可知：当 x=−1 时，y＞1，∴a−b+c＞1，正确；
③abc=2a2＞0，正确；
8．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，有以下结论： ①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结 论的序号是( )
A．①②
B．①③④
C．①②③④
D．①②③④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向可得出 a 的符号，再由抛物线与 y 轴的交点可得出 c 的值，然后进