《数值计算方法》课程教学大纲
一、课程基本信息
二、课程教学目标
数值计算方法是大规模科学模拟计算领域的一门重要的基础课，具有很强的应用性。通过对本课程的学习及上机实习，使学生掌握掌握数值计算的基本概念、基本方法及其原理，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力。具体能力目标如下：
具有应用计算机进行科学与工程计算的能力；
具有算法设计和理论分析能力；
熟练掌握并使用数学软件，处理海量数据，进行大型数值计算的能力。
三、教学学时分配
《数值计算方法》课程理论教学学时分配表
《数值计算方法》课程实验内容设置与教学要求一览表
四、教学内容和教学要求
第一章数值分析与科学计算引论（4学时）
（一）教学要求
1.了解误差的来源以及舍入误差、截断误差的定义；
2.理解并掌握绝对误差、相对误差、误差限和有效数字的定义和相互关系；
3.了解函数计算的误差估计，误差传播、积累带来的危害和提高计算稳定性的一般规律。
（二）教学重点与难点
教学重点：误差理论的基本概念
教学难点：误差限和有效数字的相互关系，误差在近似值运算中的传播
（三）教学内容
第一节数值分析的对象、作用与特点
1．数学科学与数值分析
2．计算数学与科学计算
3. 计算方法与计算机
4. 数值问题与算法
第二节数值计算的误差
1．误差的来源与分类
2．误差与有效数字
3. 数值运算的误差估计
第三节误差定性分析与避免误差危害
1．算法的数值稳定
2．病态问题与条件数
3. 避免误差危害
第四节数值计算中算法设计的技术
1．多项式求值的秦九韶算法
2．迭代法与开方求值
本章习题要点：要求学生完成作业10-15题。其中概念题15%，证明题5%，计算题60%，上机题20%
第二章插值法（12学时）
（一）教学要求
1.掌握插值多项式存在唯一性条件；
2.熟练掌握Lagrange插值多项式及其余项表达式，掌握基函数及其性质；
3.能熟练使用均差表和差分表构造Newton插值公式；
4.能理解高次插值的不稳定性并熟练掌握各种分段插值中插值点和分段的对应关系；
5.熟练掌握三次样条插值的条件并能构造第一和第二边界条件下的三次样条插值。
（二）教学重点与难点
教学重点：掌握Lagrange插值多项式和牛顿插值多项式及三次样条插值
教学难点：构造第一和第二边界条件下的三次样条插值
（三）教学内容
第一节引言
1．插值问题的提出
2．多项式插值
第二节拉格朗日插值
1．线性插值与抛物线插值
2．拉格朗日插值多项式
3. 插值余项与误差估计
第三节均差与牛顿插值多项式
1．插值多项式的逐次生成
2．均差及其性质
3. 牛顿插值多项式
4. 差分形式的牛顿插值多项式
第四节埃尔米特插值
1．重节点均差与泰勒插值
2．两个典型的埃尔米特插值
第五节分段低次插值
1．高次插值的病态性质
2．分段线性插值
第六节三次样条插值
1．三次样条函数
2．样条插值函数的建立
3. 误差界与收敛性
第七节工程案例分析
1．黄河小浪底调水调沙问题
本章习题要点：要求学生完成作业15-25题。其中概念题10%，证明题10%，计算题50%，上机题30%
第三章函数逼近与快速傅里叶变换（12学时）
（一）教学要求
1. 掌握函数逼近的有关概念；
2．了解函数逼近的意义和推导过程；
3．掌握求解最佳平方逼近函数的方法；
4．掌握求连续函数的最佳平方逼近及由离散点求曲线拟合的方法；
5．掌握正交多项式特点及性质 , 会求连续函数的最佳一致多项式逼近；
6．掌握曲线拟合的最小二乘法。
（二）教学重点与难点
教学重点：数值逼近方法，最佳平方逼近，勒让德多项式与契比雪夫多项式
教学难点：最小二乘原理
（三）教学内容
第一节函数逼近的基本概念
1．函数逼近与函数空间
2．范数与赋范线性空间
3. 内积与内积空间
4. 最佳逼近
第二节正交多项式
1．正交函数族与正交多项式
2．勒让德多项式
3. 切比雪夫多项式
4. 切比雪夫多项式零点插值
5. 其它正交多项式
第三节最佳平方逼近
1．最佳平方逼近及其计算
2．用正交函数族作最佳平方逼近
3. 切比雪夫级数
第四节曲线拟合的最小二乘法
1．最小二乘法及其计算
2．用正交多项式作最小二乘拟合
第五节工程案例分析
1．材料学中混凝土泌水率的曲线拟合
2. 用曲线拟合方法解决轧钢板型问题
本章习题要点：要求学生完成作业16-22题。其中概念题5%，证明题5%，计算题60%，上机题30%
第四章数值积分与数值微分（10学时）
（一）教学要求
1.熟练掌握求积公式代数精确度的定义；
2.能应用定义确定求积公式的系数和节点，并能判断一个求积公式的代数精确度；
3.理解插值型求积公式的原理和Newton-Cotes公式的构造，并熟练掌握梯形公式和Simpson公式及其余项的表达式和代数精确度；
4.熟练掌握复合梯形公式和复合Simpson公式及其余项，能使用这些公式计算积分近似值并估计误差，能根据精度要求确定积分区间的等分数；
5.掌握两点和三点数值微分公式的用法。
（二）教学重点与难点
教学重点：掌握求积公式代数精确度的定义、梯形公式和Simpson公式、复化梯形公式和复化Simpson公式
教学难点：高斯求积公式
（三）教学内容
第一节数值积分概论
1．数值积分的基本思想
2．代数精度的概念
3. 插值型的求积公式
4. 求积公式的余项
5. 求积公式的收敛性与稳定性
第二节牛顿-柯特斯公式
1．柯特斯系数与辛普森公式
2．偶阶求积公式的代数精度
3. 辛普森公式的余项
第三节复合求积公式
1．复合梯形公式
2．复合辛普森求积公式
第四节高斯求积公式
1．一般理论
2．高斯-勒让德求积公式
3. 高斯-切比雪夫求积公式
第五节数值微分
1．中点方法与误差分析
2．插值型的求导公式
