高考数学一轮复习第四单元导数及其应用高考达标检测十四综合问题是难点3大题型全冲关理

专题4.4 导数的综合应用（真题测试）一、单选题1．（2017·全国·高考真题（理））已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a （ ） A ．12-B ．13C ．12D ．12．（2015·陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结 论是错误的，则错误的结论是 A ．是的零点 B ．1是的极值点 C ．3是的极值D ．点在曲线上3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()2e 2xx f x a x =-+，若有且仅有两个正整数，使得()0f x <成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3291,5e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．391,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．212,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．（2014·全国·高考真题（文））已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．5．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））若函数()()22e e x x f x x ax a a R =+-∈有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2110,,1e e e ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭D ．210,e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭6．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））对任意0x >，不等式e ln()(1)0x ax a x -+-≥恒成立，则正数a 的最大值为（ ） ABC ．1eD ．e7．（2015·全国·高考真题（理））设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得2()f x ax bx c =++a 1-()f x ()f x ()f x (2,8)()y f x =32()31f x ax x =-+()f x 0x 00x >a ()2,+∞()1,+∞(),2-∞-(),1-∞-0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知函数()()e ln e (0)xf x a a a =+>，若对任意实数1x >，不等式()()ln 1f x x ≥-总成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．221,e e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题9．（2022·辽宁实验中学模拟预测）我们把形如(),,0f x y y '=的方程称为微分方程，符合方程的函数()y f x =称为微分方程的解，下列函数为微分方程0xy y xy +-'=的解的是（ ） A ．e x y = B ．e x y x =C ．e 1x y x =+D ．e (R)x y c x c =⋅∈⋅10．（2022·河北沧州·二模）已知实数,a b 满足e e e a b a b ++=，则（ ） A ．0ab < B ．1a b +> C ．e e 4a b +D ．e 1a b >11．（2022·湖南·模拟预测）已知1x >，1y >，且()()1e 11e y xx y ++=+，则下列结论一定正确的是（ ）A ．()ln 0x y ->B ．122x y +<C ．226x y +>D ．()ln ln3x y +<12．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）A ．有两个极值点B ．有三个零点C ．点是曲线的对称中心D ．直线是曲线的切线三、填空题13．（2020·河南高三其他（理））函数()2222ln x f x x e x ax =--，若0a =，则()f x 在[]1,2的最小值为_______；当0x >时，()1f x ≥恒成立，则a 的取值范围是_____. 14．（2022·全国·模拟预测（理））若曲线ln x y x =与212y kx =-仅有1个公共点，则k 的取值范围是3()1f x x x =-+()f x ()f x (0,1)()y f x =2y x =()y f x =___________.15．（2012·福建·高考真题（理））对于实数a 和b ，定义运算“*”： 设f （x ）=（2x -1）*（x -1），且关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是_________________16．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知函数22()ln 2e f x x x mx =-+，若()0f x ≥的解集中恰有一个整数，则m 的取值范围为________． 四、解答题17．（2018·全国·高考真题（文））已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，．18．（2017·全国·高考真题（理））已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.19．（2017·全国·高考真题（文））已知函数.（1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 20．（2016·全国·高考真题（文））设函数． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）证明当时，； （Ⅲ）设，证明当时，.21．（2015·全国·高考真题（理））设函数．（1）证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，都有，求m 的取值范围．22．（2014·四川·高考真题（理））已知函数，其中，为自然对数的底数.（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；22,,a ab a ba b b ab a b ⎧-≠=⎨->⎩()21x ax x f x e +-=()y f x =()0,1-1a ≥()0f x e +≥()()2e 2e x xf x a a x =+--()f x ()f x a 2()ln (21)f x x ax a x =+++()f x 0a <3()24f x a≤--()ln 1f x x x =-+()f x (1,)x ∈+∞11ln x x x-<<1c >(0,1)x ∈1(1)xc x c +->2()e mx f x x mx =+-()f x (,0)-∞(0,)+∞12,[1,1]x x ∈-12|()()|1f x f x e -≤-2()1x f x e ax bx =---,a b R ∈ 2.71828e =()g x ()f x ()g x [0,1]（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围(1)0f ()f x (0,1)a专题4.4 导数的综合应用（真题测试）一、单选题1．（2017·全国·高考真题（理））已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a （ ） A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】因为()221111()2()1()1x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=-++-，设1t x =-，则()()()21t t f x g t t a e e -==++-，因为()()g t g t =-，所以函数()g t 为偶函数，若函数()f x 有唯一零点，则函数()g t 有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当0=t 时，()0g t =才满足题意，即1x =是函数()f x 的唯一零点，所以210a -=，解得12a =.故选：C. 2．（2015·陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结 论是错误的，则错误的结论是 A ．是的零点 B ．1是的极值点 C ．3是的极值 D ．点在曲线上【答案】A 【解析】 【详解】若选项A 错误时，选项B 、C 、D 正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A 错误，选项B 、C 、D 正确，故选A ．3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()2e 2xx f x a x =-+，若有且仅有两个正整2()f x ax bx c =++a 1-()f x ()f x ()f x (2,8)()y f x =()2f x ax b ='+1()f x 3()f x ()()10{13f f '==203a b a b c +=⎧⎨++=⎩2{3b a c a =-=+()2,8()y f x =()42238a a a +⨯-++=5a =10b =-8c =()25108f x x x =-+()()()21511018230f -=⨯--⨯-+=≠1-()f x数，使得()0f x <成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3291,5e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．391,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．212,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】将()0f x <转化为2(2)exx a x +<，再分别求导分析2()e x x g x =和()(2)h x a x =+的图象，再分别求得1,1g ，()()2,2g ，()()3,3g 到()20-，的斜率，分析临界情况即可 【详解】由()0f x <且0x >，得2(2)exx a x +<，设2()e x x g x =，()(2)h x a x =+， 22()exx x g x '-=，已知函数()g x 在（0，2）上单调递增，在(2,)+∞上单调递减， 函数()(2)h x a x =+的图象过点(2,0)-，(1)11(2)3e g =--，2(2)12(2)e g =--，3(3)93(2)5e g =--，结合图象，因为329115e 3e e <<，所以3915e 3ea ≤<． 故选：C4．（2014·全国·高考真题（文））已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：当时，，函数和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，32()31f x ax x =-+()f x 0x 00x >a ()2,+∞()1,+∞(),2-∞-(),1-∞-0a =2()31f x x =-+()f x 0a >2()36f x ax x '=-()0f x '=0x =2x a =(,0)x ∈-∞()0f x '>2(0,)x a ∈()0f x '<2(,)x a∈+∞()0f x '>(0)0f >(,0)x ∈-∞0a <2(,)x a∈-∞；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C ．5．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））若函数()()22e e x xf x x ax a a R =+-∈有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2110,,1e e e ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭D ．210,e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】令()0f x =得20e e x xx xa a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数研究()e x x g x =的图像，由函数()f x 有三个零点可知，若令1e e xxt t ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，则可知方程20t at a +-=的一根1t 必在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一根21e t =或20t =或()2,0t ∈-∞上，分类讨论即可求解. 【详解】由22e e 0xxx ax a +-=得20e ex xx xa a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()e x x g x =， 由()10e xxg x -'==，得1x ＝，因此函数()g x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，且()00g =，当0x >时，()0e x x g x =>，则()ex xg x =的图像如图所示： 即函数()g x 的最大值为()11eg =，令1e e xx t t ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，则()20h t t at a =+-=，由二次函数的图像可知，二次方程的一根1t 必在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一根21e t =或20t =或()2,0t ∈-∞上，当21e t =时，21e ea =-，则另一根111e t =-，不满足题意，当20t =时，a ＝0，则另一根10t =，不满足题意，()0f x '<2(,0)x a ∈()0f x '>(0,)x ∈+∞()0f x '<(0)0f >()f x 0x 00x >2()0f a>24a >2a <-当()2,0t ∈-∞时，由二次函数()20h t t at a =+-=的图像可知22000110e e a a a a ⎧+⋅-<⎪⎨⎛⎫+⋅->⎪ ⎪⎝⎭⎩， 解得210e ea <<-， 则实数a 的取值范围是210,e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，故选：D.6．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））对任意0x >，不等式e ln()(1)0x ax a x -+-≥恒成立，则正数a 的最大值为（ ） ABC ．1eD ．e【答案】D 【解析】 【分析】将不等式化为ln()e ln()e x ax x ax +≥+，构造()e x f x x =+有()(ln())f x f ax ≥，利用函数的单调性及参变分离法有e xa x ≤在0x >上恒成立，应用导数求右侧最小值，即可得结果.【详解】∵e ln()(1)0x ax a x -+-≥，∴ln()e ln()ln()e x ax x ax ax ax +≥+=+．令()e x f x x =+，则不等式化为()(ln())f x f ax ≥． ∵()e (0)x f x x x =+>为增函数，∴ln()x ax ≥，即e xa x≤．令e ()=x g x x ，则2(1)e ()x x g x x '-=，当01x <<时，()0g x '<，即()g x 递减；当1x >时，()0g x '>，即()g x 递增； 所以()()min 1e e g x g a ⇒≤==． ∴实数a 的最大值为e ． 故选：D7．（2015·全国·高考真题（理））设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】设()()21xg x e x =-，()1y a x =-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得满足()()01g x a x <-，求导可得出函数()y g x =的极值，数形结合可得()01a g ->=-且()312g a e-=-≥-，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】设()()21xg x e x =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当12x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.所以，函数()y g x =的最小值为12122g e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ， 故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故选D.8．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知函数()()e ln e (0)xf x a a a =+>，若对任意实数1x >，不等式()()ln 1f x x ≥-总成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．221,e e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】将所求不等式变形为()()ln 1ln eln eln 1x x ax a x -+++≥+-，构造函数()e xg x x =+，可知该函数在R 上为增函数，由此可得出()ln ln 1a x x ≥--，其中1x >，利用导数求出()()ln 1h x x x =--的最大值，即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，由()()ln 1f x x ≥-可得()ln eln 1ln 1x aa x +++≥-， 即()()()ln 1ln eln 1ln 1eln 1x x ax a x x x -+++≥-+-=+-，构造函数()e xg x x =+，其中x ∈R ，则()e 10x g x '=+>，所以，函数()g x 在R 上为增函数， 由()()ln 1ln eln eln 1x x ax a x -+++≥+-可得()()ln ln 1g x a g x +≥-⎡⎤⎣⎦，所以，()ln ln 1x a x +≥-，即()ln ln 1a x x ≥--，其中1x >， 令()()ln 1h x x x =--，其中1x >，则()12111xh x x x -'=-=--. 当12x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当2x >时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 所以，()()max ln 22a h x h ≥==-，21e a ∴≥. 故选：D.二、多选题9．（2022·辽宁实验中学模拟预测）我们把形如(),,0f x y y '=的方程称为微分方程，符合方程的函数()y f x =称为微分方程的解，下列函数为微分方程0xy y xy +-'=的解的是（ ） A ．e x y = B ．e x y x =C ．e 1x y x =+D ．e (R)x y c x c =⋅∈⋅【答案】CD 【解析】 【分析】根据导数的运算求得导函数y '，代入微分方程检验即可． 【详解】选项A ，e x y =，则e x y '=，e e e e 0x x x x xy y xy x x '+-=+-=≠，不是解；选项B ，e x y x =，e e x x y x '=+，22e e e e 0x x x x xy y xy x x x x '+-=+--=，是方程的解；选项C ，e 1x y x =+，e e x x y x '=+，22e e 1e e 10x x x x xy y xy x x x x x x '+-=+++--=+≠，不是方程的解； 选项D ，e (R)x y c x c =⋅∈⋅，e e x x y c cx '=+，22e e e e 0x x x x xy y xy cx cx cx cx '+-=+--=，是方程的解． 故选：CD ．10．（2022·河北沧州·二模）已知实数,a b 满足e e e a b a b ++=，则（ ） A ．0ab < B ．1a b +> C ．e e 4a b + D ．e 1a b >【答案】BCD 【解析】 【分析】A.由e e e a b a b ++=得到111e ea b +=判断；BC.由e e e 2e e a b a b a b ++==2b 判断；D. 由111e e a b +=，得到e e e 1e 11e 1e 1b b b ab b b b b -+-=-=--，令()e e 1,0b b f b b b =-+>，用导数法判断. 【详解】 由e e e a b a b ++=得111e ea b +=，又e 0,e 0a b >>，所以e 1,e 1a b >>，所以0,0a b >>，所以0ab >，选项A 错误；因为e e e 2e e a b a b a b ++==2b ，即e e e 4a b a b ++=，所以ln41a b +>，选项B C ,正确，因为111e e a b +=，所以e e e 1b ab =-，所以e e e 1e 11e 1e 1b b b a bbb b b -+-=-=--.令()e e 1,0b b f b b b =-+>，则()e 0b f b b '=>，所以f b 在区间()0,∞+上单调递增，所以()()00f b f >=，即e e 10b b b -+>，又e 10b ->，所以e 10a b ->，即e 1a b >，选项D 正确. 故选：BCD11．（2022·湖南·模拟预测）已知1x >，1y >，且()()1e 11e y xx y ++=+，则下列结论一定正确的是（ ）A ．()ln 0x y ->B ．122x y +<C ．226x y +>D ．()ln ln3x y +<【答案】AC 【解析】 【分析】构造函数()e xf x x=，利用导数判断函数的单调性，得出1x y >+，结合不等式以及指、对数函数的性质逐一判断即可. 【详解】令()e x f x x=，则()()2e 1e e xx x x x f x x x --'==， 所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增； 由()()1e 11e yxx y ++=+得1e e 111x y x y y +=+++，即1e e 111x y x y y +-=++，∵1y >，∴11012y <<+， ∴1e e 1012x y x y +<-<+，即()()1012f x f y <-+<， ∴1x y >+，即1->x y ，∴()ln 0x y ->，A 正确；由1x y >+知12x y +>+，所以12222x y y ++>>，所以选项B 错误； 由1x y >+知12222326x y y y y ++>+=⋅>，所以选项C 正确．由1x y >+，1y >知213x y y +>+>，所以()()ln ln 21ln3x y y +>+>， 所以D 错误，故选：AC ．12．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（ ）A ．有两个极值点B ．有三个零点C ．点是曲线的对称中心D ．直线是曲线的切线【答案】AC 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义3()1f x x x =-+()f x ()f x (0,1)()y f x =2y x =()y f x =()f x判断D. 【详解】由题，，令得或令得， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以是极值点，故A 正确；因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B 错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C 正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为， 故D 错误.故选：AC.三、填空题13．（2020·河南高三其他（理））函数()2222ln x f x x e x ax =--，若0a =，则()f x 在[]1,2的最小值为_______；当0x >时，()1fx ≥恒成立，则a 的取值范围是_____.【答案】e (],1-∞ 【解析】当0a =时，∵()222ln x f x x ex =-，∴()222222x x f x xe x xe x'=+⋅-. 当1x >时，()0f x '>恒成立，()231f x x '=-()0fx '>x >x <()0f x '<x <()f x ((,-∞)+∞x =(10f =+>10f =>()250f -=-<()f x ,⎛-∞ ⎝⎭x ≥()0f x f ≥>⎝⎭()f x ⎫∞⎪⎪⎝⎭()f x 3()h x x x =-R ()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-()h x (0,0)()h x ()h x ()f x (0,1)()y f x =()2312f x x '=-=1x =±()(1)11f f =-=(1,1)21y x =-(1,1)-23y x =+∴()f x 在[]1,2上单调递增.∴()f x 在[]1,2上最小值为()1f e =.又0x >时，()1f x ≥恒成立，令 ()1xg x e x =--,()()100xg x e g ''=->=,所以()g x 在()0,∞+ 递增，()()00g x g >= 所以1x e x >+ ∴()22222ln 22ln 2ln x x x f x x e x ax e x ax +=--=--()2222ln 12ln 111x x x ax a x ≥++--=-+≥恒成立，∴1a ≤.故答案为e ；(],1-∞.14．（2022·全国·模拟预测（理））若曲线ln x y x =与212y kx =-仅有1个公共点，则k 的取值范围是___________. 【答案】(]1,02⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭##1|02k k k ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭或【解析】 【分析】将原问题转化为32ln 12x k x x =+只有一个解,令()()32ln 102x g x x x x =+>,利用导数求出()g x 的单调性及最值即可得答案. 【详解】 由题意可得:2ln 12x kx x =-只有一个解()0x >, 即32ln 12x k x x=+只有一个解. 令()32ln 12x g x x x=+, ()0x >原问题等价于y k =与()y g x =只有一个交点. 因为()43413ln 113ln x x xg x x x x '---=-= 因为13ln y x x =--在()0,∞+上单调递减, 且在1x =处的值为0 ,所以当()0,1x ∈时, ()()0,g x g x '>单调递增,当()1,x ∈+∞时, ()()0,g x g x '<单调递减且恒为正, 所以()()max 112g x g ==, 又因为y k =与()y g x =只有一个交点, 所以(]1,02k ⎧⎫∈-∞⎨⎬⎩⎭.故答案为: (]1,02⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭.15．（2012·福建·高考真题（理））对于实数a 和b ，定义运算“*”： 设f （x ）=（2x -1）*（x -1），且关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是_________________ 【答案】【解析】 【详解】由定义运算“*”可知 即，该函数图像如下：由，假设当关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根时， m 的取值范围是，且满足方程，所以令则， 所以令22,,a ab a ba b b ab a b ⎧-≠=⎨->⎩⎫⎪⎪⎝⎭22(21)(21)(1)0()?(1)(21)(1)0x x x x f x x x x x ⎧----=⎨---->⎩2220()0x x x f x x x x ⎧-=⎨-+>⎩1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1230x x x <<<10,4⎛⎫⎪⎝⎭23,x x 2-+=x x m 23=x x m 22-=x x m 1=x 123==x x x m 10,4⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭y m所以， 又在递增的函数， 所以，所以，所以在递减， 则当时，；当时，所以.16．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知函数22()ln 2e f x x x mx =-+，若()0f x ≥的解集中恰有一个整数，则m 的取值范围为________．【答案】22ln 22e ,4e 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由()0f x ≥且0x >，得出2ln 2e x x m x -+≥-，构造函数()ln =-xg x x，利用导数研究()g x 的单调性，画出()ln =-x g x x 和22e y x =-的大致图象，由图可知0m >，设0x 为()ln =-xg x x和22e y x m =-+的交点的横坐标，结合题意可知该整数为1，即012x ≤<，当直线22e y x m =-+过1,0A 和ln 22,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，即可求出求出m 的值，从而得出m 的取值范围.【详解】由题可知，22()ln 2e f x x x mx =-+，0x >， 由于()0f x ≥的解集中恰有一个整数，即22ln 2e 0x x mx -+≥，即222e ln x mx x -+≥-，因为0x >，所以2ln 2e xx m x-+≥-的解集中恰有一个整数， 令()ln =-x g x x ，则()2ln 1-'=x g x x ， 当1e x <<时，()0g x '<；当e x >时，()0g x '>， 所以()g x 在()1,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增， 画出()ln xy xg x ==-和22e y x =-的大致图象，如图所示： 要使得2ln 2e xx m x-+≥-，可知0m >， 114'⎛= ⎝y ()=h m 10,4⎛⎫⎪⎝⎭()()01>=h m h 0y '<=y 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭0m =0y =14m ==y 123⎫∈⎪⎪⎝⎭x x x设0x 为()ln =-xg x x和22e y x m =-+的交点的横坐标， 而2ln 2e xx m x-+≥-的解集中恰有一个整数，可知该整数为1，即012x ≤<， 当01x =时，得()10g =；当02x =时，得()ln 222g =-， 即1,0A ，ln 22,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当直线22e y x m =-+过点1,0A 时，得22e m =，当直线22e y x m =-+过点ln 22,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，得2ln 24e 2m =-， 所以m 的取值范围为22ln 22e ,4e 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.故答案为：22ln 22e ,4e 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭四、解答题17．（2018·全国·高考真题（文））已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，．【答案】（1）切线方程是（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．（2）当时，,令，只需证明即可．【详解】()21x ax x f x e +-=()y f x =()0,1-1a ≥()0f x e +≥210x y --=a 1≥()12f x e 1x x e x x e +-+≥++-（）12gx 1x e x x +=++-gx 0≥（1），．因此曲线在点处的切线方程是．（2）当时，．令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以 ．因此．18．（2017·全国·高考真题（理））已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.试题解析：（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ()()2212xax a x f x e-++'-=()02f '=()y f x =()0,1-210x y --=1a ≥()()211x xf x e x x e e +-+≥+-+()211xg x x x e +=+-+()121x g x x e +=++'()120x g x e +''=+>1x <-()()10g x g '-'<=()g x 1x >-()()10g x g '-'>=()g x ()g x ()1=0g ≥-()0f x e +≥()()2e 2e x xf x a a x =+--()f x ()f x a (0,1)()f x a 0a ≤0a >0a ≤()f x 0a >ln x a =-()f x 1(ln )1ln f a a a-=-+1a =(1,)∈+∞a (0,1)a ∈(0,1)a ∈()f x (,ln )a -∞-0n 03ln(1)n a>-00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->3ln(1)ln a a->-()f x (ln ,)a -+∞a (0,1)()f x (),-∞+∞()()()()2221121x x x xf x ae a e ae e =+---'=+0a ≤()0f x '<()f x (),-∞+∞0a >()0f x '=ln x a =-(),ln x a ∈-∞-()0f x '<()ln ,x a ∈-+∞()0f x '>()f x (),ln a -∞-()ln ,a -+∞0a ≤()f x 0a >ln x a =-()f x ()1ln 1ln f a a a-=-+①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为.19．（2017·全国·高考真题（文））已知函数.（1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减. （2）证明，即证，而，所以需证，设g （x ）=ln x -x +1 ，利用导数易得，即得证. 【详解】（1） 的定义域为（0，+），. 若a ≥0，则当x ∈（0，+）时，，故f （x ）在（0，+）单调递增.若a ＜0，则当时，时；当x ∈时，. 故f （x ）在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，当a ＜0时，f （x ）在取得最大值，最大值为. 1a =()ln 0f a -=()f x ()1,a ∈+∞11ln 0a a-+>()ln 0f a ->()f x ()0,1a ∈11ln 0a a-+<()ln 0f a -<()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>()f x (),ln a -∞-0n 03ln 1n a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭()()00000000e e 2e 20n n n nf n a a n n n =+-->->->3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭()f x ()ln ,a -+∞a ()0,12()ln (21)f x x ax a x =+++()f x 0a <3()24f x a≤--(21)(1)'()(0)ax x f x x x++=>0a ≥'()0f x >()f x (0,)+∞0a <()f x 1(0,)2a -1(,)2a-+∞3()24f x a ≤--max 3()24f x a ≤--max 1()()2f x f a=-11ln()1022a a -++≤max ()(1)0g x g ==()f x ∞()()‘1211)22(1x ax f x ax a x x++=+++=∞’)(0f x ＞∞10,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0f x '＞1()2a ∞-+，’)(0f x <’)(0f x ＞1()2a∞-+，12x a=-111()ln()1224f a a a -=---所以等价于，即. 设g （x ）=ln x -x +1，则. 当x ∈（0,1）时，；当x ∈（1，+）时，.所以g （x ）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x =1时，g （x ）取得最大值，最大值为g （1）=0.所以当x ＞0时，g （x ）≤0.从而当a ＜0时，，即. 20．（2016·全国·高考真题（文））设函数．（Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）证明当时，； （Ⅲ）设，证明当时，.【答案】（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析． 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）首先求出导函数，然后通过解不等式或可确定函数的单调性；（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的结论证明，右端将左端的换为即可证明；（Ⅲ）变形所证不等式，构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理． 试题解析：（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为. 所以当时，. 故当时，，，即. （Ⅲ）由题设，设，则，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减. 由（Ⅱ）知，，故，又，故当时，. 所以当时，.3()24f x a≤--113ln()12244a a a ---≤--11ln()1022a a -++≤’1(1)g x x=-()0g x '>∞()0g x '<∞11ln()1022a a -++≤3()24f x a≤--()ln 1f x x x =-+()f x (1,)x ∈+∞11ln x x x-<<1c >(0,1)x ∈1(1)xc x c +->01x <<()f x 1x >()f x ()f x '()0f x '>()0f x '<()f x x 1x()f x (0,)+∞1()1f x x=-'()0f x '=1x =01x <<()0f x '>()f x 1x >()0f x '<()f x ()f x 1x =(1)0f =1x ≠ln 1x x <-(1,)x ∈+∞ln 1x x <-11ln1x x <-11ln x x x-<<1c >()1(1)x g x c x c =+--'()1ln xg x c c c =--'()0g x =01lnln ln c c x c-=0x x <'()0g x >()g x 0x x >'()0g x <()g x 11ln c c c-<<001x <<(0)(1)0g g ==01x <<()0g x >(0,1)x ∈1(1)xc x c +->21．（2015·全国·高考真题（理））设函数．（1）证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，都有，求m 的取值范围．【答案】（1）在单调递减，在单调递增；（2）.【解析】【详解】（Ⅰ）．若，则当时，，；当时，，．若，则当时，，；当时，，．所以，在单调递减，在单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是：即①，设函数，则．当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增．又，，故当时，．当时，，，即①式成立．当时，由的单调性，，即；当时，，即．综上，的取值范围是．22．（2014·四川·高考真题（理））已知函数，其中，为自然对数的底数.（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围【答案】（Ⅰ）当时， ；当 时， ； 当时， .（Ⅱ） 的范围为. 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）易得，再对分情况确定的单调区间，根据在上的单调性即可得在上的最小值.（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，注意到2()e mx f x x mx =+-()f x (,0)-∞(0,)+∞12,[1,1]x x ∈-12|()()|1f x f x e -≤-()f x (,0)-∞(0,)+∞[1,1]-()(1)2mx f x m e x -'=+0m ≥(,0)x ∈-∞10mx e -≤()0f x '<(0,)x ∈+∞10mx e -≥()0f x '>0m <(,0)x ∈-∞10mx e ->()0f x '<(0,)x ∈+∞10mx e -<()0f x '>()f x (,0)-∞(0,)+∞m ()f x [1,0]-[0,1]()f x 0x =12,[1,1]x x ∈-12()()1f x f x e -≤-(1)(0)1,{(1)(0)1,f f e f f e -≤---≤-1,{1,m m e m e e m e --≤-+≤-()1t g t e t e =--+()1t g t e =-'0t <()0g t '<0t >()0g t '>()g t (,0)-∞(0,)+∞(1)0g =1(1)20g e e --=+-<[1,1]t ∈-()0g t ≤[1,1]m ∈-()0g m ≤()0g m -≤1m >()g t ()0g m >1m e m e ->-1m <-()0g m ->1m e m e -+>-m [1,1]-2()1x f x e ax bx =---,a b R ∈ 2.71828e =()g x ()f x ()g x [0,1](1)0f =()f x (0,1)a 12a ≤()(0)1g x g b ≥=-122e a <≤()22ln(2)g x a a a b ≥--2e a >()2g x e a b ≥--a ()2,1e -()2,()2x x g x e ax b g x e a -='=--a ()g x ()g x [0,1]()g x [0,1]0x ()f x (0,1).联系到函数的图象可知，导函数在区间内存在零点，在区间内存在零点，即在区间内至少有两个零点. 由（Ⅰ）可知，当及时，在内都不可能有两个零点.所以.此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，且必有.由得：，代入这两个不等式即可得的取值范围.试题解答：（Ⅰ）①当时，，所以.②当时，由得.若，则；若，则. 所以当时，在上单调递增，所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以. 当时，在上单调递减，所以. （Ⅱ）设为在区间内的一个零点，则由可知，在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.则不可能恒为正，也不可能恒为负.故在区间内存在零点.同理在区间内存在零点.所以在区间内至少有两个零点.由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点. 当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点. 所以. 此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，必有.由得：，有(0)0,(1)0f f ==()g x 0(0,)x 1x ()g x 0(),1x 2x ()g x (0,1)12a ≤2e a ≥()g x (0,1)122e a <<()g x [0,ln 2]a [ln 2,1]a 12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->(1)10f e a b =---=1b e a =--a ()2,()2x xg x e ax b g x e a -='=--0a ≤()20x g x e a -'=>()(0)1g x g b ≥=-0a >()20x g x e a -'=>2,ln(2)x e a x a >>12a >ln(2)0a >2e a >ln(2)1a >102a <≤()g x [0,1]()(0)1g x g b ≥=-122e a <≤()g x [0,ln 2]a [ln 2,1]a ()(ln 2)22ln 2g x g a a a a b ≥=--2e a >()g x [0,1]()(1)2g x g e a b ≥=--0x ()f x (0,1)0(0)()0f f x ==()f x 0(0,)x ()g x ()g x 0(0,)x 1x ()g x 0(),1x 2x ()g x (0,1)12a ≤()g x [0,1]()g x (0,1)2e a ≥()g x [0,1]()g x (0,1)122e a <<()g x [0,ln 2]a [ln 2,1]a 12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->(1)10f e a b =---=12a b e +=-<.解得.当时，在区间内有最小值.若，则，从而在区间上单调递增，这与矛盾，所以.又，故此时在和内各只有一个零点和.由此可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以，，故在内有零点.综上可知，的取值范围是. (0)120,(1)210g b a e g e a b a =-=-+>=--=->21e a -<<21e a -<<()g x [0,1](ln(2))g a (ln(2))0g a ≥()0([0,1])g x x ≥∈()f x [0,1](0)(1)0f f ==(ln(2))0g a <(0)20,(1)10g a e g a =-+>=->()g x (0,ln(2))a (ln(2),1)a 1x 2x ()f x 1[0,]x 1(,x 2)x 2[,1]x 1()(0)0f x f >=2()(1)0f x f <=()f x 1(,x 2)x a (2,1)e -。

第四单元 导数及其应用教材复习课“导数”相关基础知识一课过导数的基本运算 [过双基]1．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x2．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．3．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[小题速通]1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3xlog 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；(log 2x )′＝1x ln 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝2x cosx －x 2sin x ，故选B.2．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．3．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133D.103解析：选D 因为f ′(x )＝3ax 2＋6x ， 所以f ′(－1)＝3a －6＝4， 所以a ＝103.4．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析：因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：3 5．函数y ＝ln2x ＋1x的导数为________．解析：y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln 2x ＋1x ′＝[ln 2x ＋1]′x －x ′ln 2x ＋1x 2＝2x ＋1′2x ＋1·x －ln2x ＋1x 2＝2x2x ＋1－ln 2x ＋1x2＝2x －2x ＋1ln 2x ＋12x ＋1x2. 答案：y ′＝2x －2x ＋1ln 2x ＋12x ＋1x2[清易错]1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x n )′＝nx n －1中n ≠0且n∈Q *，(cos x )′＝－sin x .2．注意公式不要用混，如(a x)′＝a xln a ，而不是(a x)′＝xax －1.1．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，若f ′(x )＝12f (x )，则tan x 的值为( )A ．1B ．－3C ．－1D ．2解析：选B ∵f ′(x )＝(sin x －cos x )′＝cos x ＋sin x ， 又f ′(x )＝12f (x )，∴cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，∴tan x ＝－3.2．若函数f (x )＝2x＋ln x 且f ′(a )＝0，则2aln 2a＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－ln 2D ．ln 2解析：选A f ′(x )＝2x ln 2＋1x ，由f ′(a )＝2a ln 2＋1a ＝0，得2a ln 2＝－1a，则a ·2a·ln2＝－1，即2a ln 2a＝－1.导数的几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[小题速通]1.(2018·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.2．设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________．解析：因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以切线方程为x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝03．已知曲线y ＝2x 2的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为________．解析：因为y ′＝4x ，设切点为(m ，n )，则4m ＝2，所以m ＝12，则n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，则切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 4．函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x －2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：因为函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x －2，所以f ′(1)＝3，且f (1)＝3×1－2＝1，所以f (1)＋f ′(1)＝1＋3＝4.答案：4[清易错]1．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1，所以选A.2.(2017·兰州一模)已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________．解析：因为函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋a ＝2，3＝1＋a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.答案：3利用导数研究函数的单调性 1．函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与f ′(x )的关系 (1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上是增加的． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上是减少的． (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调性及单调区间． [小题速通]1．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)和(2，＋∞)解析：选A 解f ′(x )＝6x 2－18x ＋12<0可得1<x <2，所以单调减区间是(1,2)． 2．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )解析：选D 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．3．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－26] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，62 C ．[－26，＋∞)D ．[－5，＋∞)解析：选C 由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2＋ax ＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g (x )＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－24>0，－a4≤1，g 1＝5＋a ≥0⇔－26≤a ≤26或a >26⇔a ≥－26，故选C.[清易错]若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立；若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数，∴f ′(x )≥0恒成立， ∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 利用导数研究函数的极值与最值1．函数的极大值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值．2．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．[小题速通]1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 由图象及极值点的定义知，f (x )只有一个极小值点．2．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.3．(2017·济宁一模)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B ．1 C ．0D ．不存在解析：选A f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.4．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 有极值，则a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x －a ＋1x ＝x 2－ax ＋1x(x >0)，因为函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 有极值，令g (x )＝x 2－ax ＋1，且g (0)＝1>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 24＋1<0，解得a >2.答案：(2，＋∞)5．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x ＝a3或a .又∵x 1<2<x 2，∴x 1＝a3，x 2＝a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a3<2，∴2<a <6.答案：(2,6)[清易错]1．f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的既不充分也不必要条件．例如，f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点；又如f (x )＝|x |，x ＝0是它的极小值点，但f ′(0)不存在．2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论． 1．(2017·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝ln(－x )C ．y ＝x e －xD ．y ＝x ＋2x解析：选D 因为A 、B 为单调函数，所以不存在极值，C 不是奇函数，故选D. 2．设函数f (x )＝x 3－3x ＋1，x ∈[－2,2]的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )>0可得x >1或x <－1， 由f ′(x )<0可得－1<x <1，所以函数f (x )的增区间是[－2，－1]，[1,2]，减区间是[－1,1]． 又因为f (－2)＝－1，f (－1)＝3，f (1)＝－1，f (2)＝3， 所以M ＝3，m ＝－1， 所以M ＋m ＝2. 答案：2定积分1．定积分的概念在∫ba f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1) ⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2) ⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3) ⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x ) ⎪⎪⎪ba，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x ) ⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．[小题速通]1．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A 因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1.2.⎠⎛01(e x＋x)d x ＝________.解析：⎠⎛01(e x＋x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋12x 2⎪⎪⎪10＝⎝⎛⎭⎪⎫e 1＋12－(e 0＋0)＝e －12.答案：e －123．(2015·天津高考)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 得A(1,1)．故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪1＝16. 答案：16[清易错]定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(如图所示)的面积为( )A .23B.13C .12D.14解析：选D 由题意及图形可得阴影部分的面积 S ＝⎰201⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x 2dx ＋⎰211⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －13x 3⎪⎪⎪⎪12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x ⎪⎪⎪⎪112＝14.一、选择题1．已知函数f (x )＝log a x (a>0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( ) A ．e B.1eC.1e2D.12解析：选B 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a ＝－1，所以ln a ＝－1，所以a ＝1e.2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A(1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选C 由曲线y ＝x 2＋ax ＋b ，得y ′＝2x ＋a ， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝3，k ＝2＋a ，1＋a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，a ＝0，b ＝2，所以2a ＋b ＝2.3．函数y ＝2x 3－3x 2的极值情况为( )A ．在x ＝0处取得极大值0，但无极小值B ．在x ＝1处取得极小值－1，但无极大值C ．在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1D ．以上都不对解析：选C y ′＝6x 2－6x ，由y ′＝6x 2－6x >0，可得x >1或x <0， 即单调增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)．由y ′＝6x 2－6x <0，可得0<x <1，即单调减区间是(0,1)，所以函数在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1. 4．若f(x)＝－12x 2＋m ln x 在(1，＋∞)是减函数，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)解析：选C 由题意，f ′(x )＝－x ＋m x≤0在(1，＋∞)上恒成立，即m ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立，又因为x 2>1，所以m ≤1.5．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x，令f ′(x )>0，解得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.6．已知函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B f(x)＝x(x 2－2mx ＋m 2)＝x 3－2mx 2＋m 2x ，所以f′(x)＝3x 2－4mx ＋m 2＝(x －m)(3x －m)．由f′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3.当m ＝3时，f′(x)＝3(x －1)(x －3)，当1<x<3时，f′(x)<0，当x<1或x>3时，f′(x)>0，此时在x ＝1处取得极大值，不合题意，∴m ＝1，此时f′(x)＝(x －1)(3x －1)，当13<x <1时，f′(x)<0，当x<13或x>1时，f′(x)>0，此时在x ＝1处取得极小值．选B .7．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴所围成的封闭图形的面积是( )A .⎠⎛02(x 2－1)d xB.⎠⎛02|x 2－1|d xC .⎠⎛02(x 2－1)d xD .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析：选B 作出封闭图形的示意图如图所示，易得所围成的封闭图形的面积是S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x .8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ≤0，x 3－3x ＋a ，x >0的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2,3] B ．(2,3] C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)解析：选A 当x ≤0时，0≤f (x )＝1－2x<1； 当x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋a ，f ′(x )＝3x 2－3， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取得最小值f (1)＝1－3＋a ＝a －2.由题意得0≤a －2≤1，解得2≤a ≤3，选A.二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋a x，要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则需方程1＋a x＝0在(0，＋∞)上有解，即x ＝－a ，∴a <0.答案：(－∞，0)10．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x－2f ′(－1)x ＋3，∴f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3， ∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：811．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋3＝72，∴f (1)＋f ′(1)＝72＋12＝4.答案：412．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)ex －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式2m －1≥g (x 0)成立，则实数m 的取值范围为________．解析：g ′(x )＝g ′(1)ex －1－g (0)＋x ，令x ＝1时，得g ′(1)＝g ′(1)－g (0)＋1， ∴g (0)＝1，g (0)＝g ′(1)e 0－1＝1，∴g ′(1)＝e ，∴g (x )＝e x －x ＋12x 2，g ′(x )＝e x－1＋x ，当x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0， ∴当x ＝0时，函数g (x )取得最小值g (0)＝1. 根据题意得2m －1≥g (x )min ＝1，∴m ≥1. 答案：[1，＋∞) 三、解答题13．已知函数f (x )＝x ＋ax＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恒成立，求实数b 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝1－a x2(x ≠0)，由已知及导数的几何意义得f ′(2)＝3，则a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7，解得b ＝9，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x＋9.(2)由(1)知f ′(x )＝1－a x2(x ≠0)．当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：上是减函数．(3)由(2)知，对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤10，f 1≤10，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394－4a ，b ≤9－a对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2成立，从而得b ≤74，所以实数b 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，74.14．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝14－a x 2－1x (x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，无极大值． 高考研究课(一)导数运算是基点、几何意义是重点、定积分应用是潜考点 [全国卷5年命题分析]考点 考查频度 考查角度导数的几何意义5年7考 求切线、已知切线求参数、求切点坐标定积分 未考查导数的运算[典例] (1)(2018·惠州模拟)已知函数f (x )＝x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π(2)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 018(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．sin x ＋cos xD ．cos x －sin x(3)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e[解析] (1)∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x(－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. (2)∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， ∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 018(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x ，故选D.(3)由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. [答案] (1)C (2)D (3)B [方法技巧]1．可导函数的求导步骤(1)分析函数y ＝f (x )的结构特点，进行化简； (2)选择恰当的求导法则与导数公式求导； (3)化简整理答案． 2．求导运算应遵循的原则求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．[即时演练]1．(2018·江西九校联考)已知y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，则y ′＝( ) A ．3x 2－12x ＋6 B ．x 2＋12x －11 C ．x 2＋12x ＋6D ．3x 2＋12x ＋11解析：选D 法一：y ′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11. 法二：∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.2．已知函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2， 即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 答案：e导数的几何意义1问中，难度较低，属中、低档题. 常见的命题角度有： 1求切线方程； 2确定切点坐标；3已知切线求参数值或范围； 4切线的综合应用. 角度一：求切线方程1．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是________．解析：∵f ′(x )＝11＋x －1＋2x ，∴f ′(1)＝32，f (1)＝ln 2，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.答案：3x －2y ＋2ln 2－3＝0角度二：确定切点坐标2．已知函数f (x )＝exx(x >0)，直线l ：x －ty －2＝0.若直线l 与曲线y ＝f (x )相切，则切点横坐标的值为________．解析：由f (x )＝e x x (x >0)，得f ′(x )＝e x ·x －e x x2＝exx －1x 2(x >0)． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．根据直线l 的方程x ＝ty ＋2，可得l 恒过点(2,0)．①当t ＝0时，直线l ：x ＝2垂直于x 轴，不与曲线y ＝f (x )相切，舍去；②当t ≠0时，设切点A (x 0，y 0)，直线l 可化为y ＝1t x －2t ，斜率k ＝1t＝f ′(x 0)＝e x 0x 0－1x 20，又直线l 和曲线y ＝f (x )均过点A (x 0，y 0)，则满足y 0＝1t x 0－2t ＝e x 0x 0，所以e x 0x 0－1x 20＝e x 0x 0－1x 0·x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1tx 0－2t ·x 0－1x 0＝x 0－2t ·x 0－1x 0＝1t ，两边约去t 后，可得(x 0－2)·x 0－1x 0＝1，化简得x 20－4x 0＋2＝0， 解得x 0＝2± 2.综上所述，切点的横坐标为2± 2. 答案：2± 2角度三：已知切线求参数值或范围3．(2017·武汉一模)已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 上存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知曲线上存在某点的导数值为1， 所以y ′＝2ax ＋3－1x＝1有正根，即2ax 2＋2x －1＝0有正根． 当a ≥0时，显然满足题意；当a ＜0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a ＜0.综上，a ≥－12.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ 4．若两曲线y ＝x 2－1与y ＝a ln x －1存在公切线，则正实数a 的取值范围是________． 解析：设y ＝a ln x －1的切点为(x 0，y 0)，求导y ′＝ax，则切线的斜率为a x 0，所以公切线方程为y －(a ln x 0－1)＝a x 0(x －x 0)， 联立方程y ＝x 2－1可得x 2－a x 0x ＋a －a ln x 0＝0， 由题意，可得Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x 02－4(a －a ln x 0)＝0， 则a ＝4x 20(1－ln x 0)．令f (x )＝4x 2(1－ln x )(x >0)，则f ′(x )＝4x (1－2ln x )，易知，函数f (x )＝4x 2(1－ln x )在(0，e)上是增函数，在(e ，＋∞)上是减函数， 所以函数f (x )＝4x 2(1－ln x )的最大值是f (e)＝2e ， 则正实数a 的取值范围是(0,2e]． 答案：(0,2e]角度四：切线的综合应用5．已知函数f (x )＝m ln(x ＋1)，g (x )＝xx ＋1(x >－1)．(1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )在(－1，＋∞)上的单调性；(2)若y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且仅有一条公切线，试求实数m 的值． 解：(1)F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝mx ＋1－1x ＋12＝m x ＋1－1x ＋12(x >－1)，当m ≤0时，F ′(x )<0，函数F (x )在(－1，＋∞)上单调递减．当m >0时，由F ′(x )<0，得－1<x <－1＋1m，所以函数F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1＋1m 上单调递减；由F ′(x )>0，得x >－1＋1m，所以函数F (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－1＋1m，＋∞上单调递增．综上所述，当m ≤0时，函数F (x )在(－1，＋∞)上单调递减，当m >0时，函数F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1＋1m 上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1＋1m，＋∞上单调递增．(2)函数f (x )＝m ln(x ＋1)在点(a ，m ln(a ＋1))处的切线方程为y －m ln(a ＋1)＝ma ＋1(x－a )，即y ＝ma ＋1x ＋m ln(a ＋1)－maa ＋1. 函数g (x )＝xx ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，b b ＋1处的切线方程为y －bb ＋1＝1b ＋12(x －b )，即y ＝1b ＋12x ＋b 2b ＋12.因为y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且仅有一条公切线，即⎩⎪⎨⎪⎧m a ＋1＝1b ＋12， ①m ln a ＋1－ma a ＋1＝b 2b ＋12， ②所以有唯一数对(a ，b )，满足这个方程组，由①得a ＋1＝m (b ＋1)2，代入②消去a 整理得：2m ln(b ＋1)＋2b ＋1＋m ln m －m －1＝0，关于b (b >－1)的方程有唯一的解，令h (b )＝2m ln(b ＋1)＋2b ＋1＋m ln m －m －1， 则h ′(b )＝2mb ＋1－2b ＋12＝2[m b ＋1－1]b ＋12，方程组有解时，m >0，所以h (b )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1＋1m 上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－1＋1m，＋∞上单调递增，所以h (b )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1m ＝m －m ln m －1，因为b →＋∞，h (b )→＋∞，b →－1，h (b )→＋∞， 所以只需m －m ln m －1＝0.令p (m )＝m －m ln m －1，则p ′(m )＝－ln m 在m >0时为单调递减函数，且m ＝1时，p ′(m )＝0.所以p (m )max ＝p (1)＝0，所以m ＝1时，关于b (b >－1)的方程2m ln(b ＋1)＋2b ＋1＋m ln m －m －1＝0有唯一解，此时a ＝b ＝0，公切线为y ＝x .[方法技巧]利用导数解决切线问题的方法(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解．定积分及应用[典例] (1)(2018·东营模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈1，2]，则⎠⎛02f(x)d x 等于( )A.34 B.45 C.56D ．不存在(2)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x∈[－1，1，x 2－1，x∈[1，2]，则⎠⎛-12f (x )dx 的值为( )A.π2＋43B.π2＋3C.π4＋43D.π4＋3 (3)设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.[解析] (1)如图，⎠⎛02f (x )dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛12(2－x )dx ＝13x 3⎪⎪⎪1＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56. (2) ⎠⎛-12f (x )dx ＝⎠⎛-111－x 2dx ＋⎠⎛12(x 2－1)dx ，因为⎠⎛1－11－x 2d x 表示圆心在原点，半径为1的上半圆的面积，则⎠⎛-111－x 2dx ＝π2；⎠⎛12 (x 2－1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 21＝43， 所以⎠⎛-12f (x )dx ＝π2＋43.(3)封闭图形如图所示， 则⎠⎛ax dx ＝23x 32⎪⎪⎪a＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49. [答案] (1)C (2)A (3)49[方法技巧]求定积分的2种方法及注意事项(1)定理法运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： ①对被积函数要先化简，再求积分；②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； ③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； ④注意用“F′(x )＝f (x )”检验积分的对错． (2)面积法根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． [即时演练]1．(2018·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：选C ⎠⎛01(2x ＋e x)d x ＝(x 2＋e x )10＝1＋e 1－1＝e .故选C .2．直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2所围成封闭图形的面积为________． 解析：如图，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x 2，可得x 1＝－1，x 2＝3，故所求图形面积为S ＝⎠⎛-13 [(2x＋3)－x 2]dx ＝⎠⎛-13－1(2x ＋3)dx －⎠⎛-13x 2dx ＝(x 2＋3x ) ⎪⎪⎪3-1－13x 3⎪⎪⎪3-1＝323.答案：3233．如图，在长方形OABC 内任取一点P ，则点P 落在阴影部分的概率为________．解析：由图知长方形OABC 的面积为e ；函数y ＝a x 过点(1，e )，则a ＝e ，所以曲线的方程为y ＝e x，A ，D 在直线y ＝1－x 上， 所以阴影部分的面积S ＝⎠⎛01(e x＋x －1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋12x 2－x 10＝e －32，所以在长方形OABC 内任取一点P ，则点P 落在阴影部分的概率P ＝e －32e ＝1－32e.答案：1－32e1．(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 2．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2x －1x 2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝03．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：y ＝ln x ＋2的切线方程为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)，y ＝ln(x ＋1)的切线方程为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点的横坐标为x 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝lnx 2＋1－x 2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 答案：1－ln 24．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2， ∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：15．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x，y ′x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋a ＋2x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案：8一、选择题1．若a ＝⎠⎛02x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a ＋1x 6展开式中的常数项是( )C ．－540D ．540解析：选C a ＝⎠⎛02xdx ＝12x ⎪⎪⎪20＝2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x 6展开式的通项T r ＋1＝(－3)r C r 6x 6－2r，令6－2r ＝0可得r ＝3，则常数项是T 4＝(－3)3C 36＝－540.2．(2018·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：选A ∵y＝1－2x ＋2＝x x ＋2， ∴y ′＝x ＋2－x x ＋22＝2x ＋22，y ′|x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)， 即y ＝2x ＋1.3．(2018·济南一模)已知曲线f (x )＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－eC .1eD ．－1e解析：选C 法一：∵f (x )＝ln x ，x ∈(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1x .设切点P(x 0，ln x 0)，则切线的斜率为k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝k OP ＝ln x 0x 0.∴ln x 0＝1，∴x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e.法二：(数形结合法)：在同一坐标系下作出y ＝ln x 及曲线y ＝ln x 经过原点的切线，由图可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C .4．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴直线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1， 又因为y 0＝12x 20＋mx 0＋72(m ＜0)，解得m ＝－2，故选D.5．(2018·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πC .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD.⎝⎛⎦⎥⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π.6．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( ) A ．x ＋4y －2＝0 B ．x －4y ＋2＝0 C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0解析：选A y ′＝－exe x＋12＝－1e x ＋1ex ＋2，因为e x ＞0，所以e x＋1e x ≥2e x ×1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1ex ＋2≥－14(当x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A .二、填空题7．若a 和b 是计算机在区间(0,2)上产生的随机数，那么函数f(x)＝lg (ax 2＋4x ＋4b)的值域为R 的概率为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <2，0<b <2所表示的平面区域是正方形，其面积为4.因为函数f (x )＝lg(ax 2＋4x ＋4b )的值域为R ， 所以ax2＋4x ＋4b 取遍所有的正数，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－16ab ≥0，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ab ≤1，如图所示，不等式⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，ab ≤1所表示的图形的面积S ＝2×12＋⎠⎛2121ad a ＝1＋ln a 212＝1＋2ln 2，所以所求事件的概率为1＋2ln 24.答案：1＋2ln 248．已知函数f (x )＝e ax＋bx (a <0)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝5x ＋1，且f (1)＋f ′(1)＝12.则a ，b 的值分别为________．解析：f (x )＝e ax＋bx ，那么f ′(x )＝a e ax＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f′0＝5，f 1＋f′1＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝5，a e a ＋b ＋b ＋e a＝12，化简得(e a－2)(a ＋1)＝0， 由a <0，得a ＝－1，b ＝6. 答案：－1,69．(2017·东营一模)函数f (x )＝x ln x 在点P(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P(x 0，f (x 0))的坐标为________．解析：∵f (x )＝x ln x ， ∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1⇔ln x 0＋1＝1⇔ln x 0＝0⇔x 0＝1，∴f (x 0)＝1·ln 1＝0， ∴P(1,0)． 答案：(1,0)10．设过曲线f (x )＝－e x－x(e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，则m 的取值范围是________．解析：设曲线f (x )上任意一点A(x 1，y 1)，曲线g(x )上存在一点B(x 2，y 2)，f ′(x )＝－e x －1，g ′(x )＝m －3cos x .由题意可得f ′(x 1)g ′(x 2)＝－1，且f ′(x 1)＝－ex 1－1∈(－∞，－1)，g ′(x 2)＝m －3cos x 2∈[m －3，m ＋3]．因为过曲线f (x )＝－e x－x (e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，所以(0,1)⊆[m －3，m ＋3]，所以m －3≤0，且m ＋3≥1，解得－2≤m≤3. 答案：[－2,3] 三、解答题11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由题意，及(1)可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)． 12．已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(3－a )ln x ，a ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＋1＝0垂直，求a 的值； (2)设f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：f (x 1)＋f (x 2)>－5. 解：(1)∵f ′(x )＝x －a ＋3－a x ＝x 2－ax ＋3－ax，∴f ′(1)＝4－2a ，由题意知4－2a ＝－12，解得a ＝94.(2)证明：由题意知，x 1，x 2为f ′(x )＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－43－a >0，a >0，3－a >0，∴2<a <3.又x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝3－a ， ∴f (x 1)＋f (x 2)＝12(x 21＋x 22)－a (x 1＋x 2)＋(3－a )ln x 1x 2 ＝－12a 2＋a －3＋(3－a )ln(3－a )．设h (a )＝－12a 2＋a －3＋(3－a )ln(3－a )，a ∈(2,3)，则h ′(a )＝－a －ln(3－a )，h ″(a )＝－1＋13－a ＝a －23－a>0，故h ′(a )在(2,3)上递增． 又h ′(2)＝－2<0，a →3时，h ′(a )→＋∞，∴∃a 0∈(2,3)，当a ∈(2，a 0)时，h (a )递减，当a ∈(a 0,3)时，h (a )递增，∴h (a )min ＝h (a 0)＝－12a 20＋a 0－3＋(3－a 0)·(－a 0)＝12a 20－2a 0－3＝12(a 0－2)2－5>－5，∴∀a ∈(2,3)，h (a )>－5， 综上，f (x 1)＋f (x 2)>－5.1．(2018·广东七校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0<x 0<12B.12<x 0<1 C.22<x 0< 2 D.2<x 0< 3解析：选D y ＝ln x ，x ∈(0,1)的导数y ′＝1x>1，设切点为(t ，ln t )，则切线l 的方程为y ＝1tx ＋ln t －1，因为函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线l 的斜率为2x 0， 则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切， 则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1t ，x 20＝1－ln t ，则1＋ln 2x 0＝x 20，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x 2－ln 2x －1，x ∈(1，＋∞)， 所以该函数的零点就是x 0，则排除A 、B ； 又因为g ′(x )＝2x －1x＝2x 2－1x>0，所以函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增．又g (1)＝－ln 2<0，g (2)＝1－ln 22<0，g (3)＝2－ln 23>0， 从而2<x 0< 3.2．函数y ＝f (x )图象上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k M ，k N ，规定φ(M ，N )＝|k M －k N ||MN |(|MN |为线段MN 的长度)叫做曲线y ＝f (x )在点M 与点N 之间的“弯曲度”．设曲线f (x )＝x 3＋2上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且x 1x 2＝1，则φ(M ，N )的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2，设x 1＋x 2＝t (|t |>2)， 则φ(M ，N )＝|3x 21－3x 22|x 1－x 22＋x 31＋2－x 32－22＝|3x 21－3x 22|x 1－x 22[1＋x 21＋x 1x 2＋x 222]＝3|x 1－x 2|·|x 1＋x 2||x 1－x 2|1＋[x 1＋x 22－x 1x 2]2＝3|x 1＋x 2|1＋[x 1＋x 22－1]2＝3|t |1＋t 2－12＝3t 2＋2t2－2.设g (x )＝x ＋2x ，x >4，则g ′(x )＝1－2x2>0，所以g (x )在(4，＋∞)上单调递增，所以g (x )>g (4)＝92.所以t 2＋2t 2－2>52，所以0<φ(M ，N )<3105.。

专题4.4 导数的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1. 考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．2.考查利用导数不等式的证明、方程等，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）函数零点 1．方程()0f x =有实根函数()y f x =的图象与x 轴有交点函数()y f x =有零点．2．函数()y f x =的零点就是()0f x =的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.（二）导数解决函数的零点问题1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路(1)可转化为用导数研究其函数的图象与x 轴(或直线y ＝k)在该区间上的交点问题；(2)证明有几个零点时，需要利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值(最值)、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象．再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f (a)·f (b)＜0.2.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤第一步，利用导数证明该函数在该区间上单调；第二步，证明端点的导数值异号. 3.已知函数有零点求参数范围常用的方法(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f (x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围. （三）导数证明不等式(1)直接转化为函数的最值问题：把证明f (x )＜g (a )转化为f (x )max ＜g (a ).(2)移项作差构造函数法：把不等式f (x )＞g (x )转化为f (x )－g (x )＞0，进而构造函数h (x )＝f (x )－g (x ). (3)构造双函数法：若直接构造函数求导，难以判断符号，导函数零点不易求得，即函数单调性与极值点都不易获得，可转化不等式为f (x )＞g (x )利用其最值求解.(4)换元法，构造函数证明双变量函数不等式：对于f (x 1，x 2)≥A 的不等式，可将函数式变为与x 1x 2或x 1·x 2有关的式子，然后令t ＝x 1x 2或t ＝x 1x 2，构造函数g (t )求解.(5)适当放缩构造函数法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x ≤x －1，e x ≥x ＋1，ln x ＜x ＜e x (x ＞0)，xx ＋1≤ln(x ＋1)≤x (x ＞－1).(6)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数等．把不等式左、右两边转化为结构相同的式子，然后根据“相同结构”，构造函数.(7)赋值放缩法：函数中对与正整数有关的不等式，可对已知的函数不等式进行赋值放缩，然后通过多次求和达到证明的目的.（四）利用导数研究不等式恒(能)成立问题 1.分离参数法一般地，若a ＞f (x )对x ∈D 恒成立，则只需a ＞f (x )max ；若a ＜f (x )对x ∈D 恒成立，则只需a ＜f (x )min .若存在x 0∈D ，使a ＞f (x 0)成立，则只需a ＞f (x )min ；若存在x 0∈D ，使a ＜f (x 0)成立，则只需a ＜f (x 0)max .由此构造不等式，求解参数的取值范围. 2.构造函数分类讨论法有两种常见情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数.【常考题型剖析】题型一：利用导数研究函数的零点或零点个数例1.（2012·天津·高考真题（理））函数在区间(0,1)内的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3例2．（2019·全国高考真题（理））已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．例3．（2022·全国·高考真题（理））已知函数()ln x f x x a x x e -=+-．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <． 【总结提升】利用导数研究函数零点或方程根的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数的方法．借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围． (2)数形结合法求解零点．对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围． (3)构造函数法研究函数零点．①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．题型二：与函数零点有关的参数（范围）问题例4.（2019浙江）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（ ） A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0 例5.（2015·安徽·高考真题（理））设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________.（写出所有正确条件的编号） ①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==.例6.（2020·全国高考真题（文））已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【总结提升】与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．题型三：与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题例7．（2019·天津高考真题（理））已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e例8．（2021·江苏省前黄高级中学高三开学考试）已知函数2()2sin 341xf x x x =+-+，则(2)(2)f f +-=_________；关于x 的不等式2()(23)2f x f x +-≥的解集为____________． 例9.（2021·全国高三月考）已知函数2()ln f x x mx =+. （1）探究函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()1(12)f x m x ≤++在(]0,e 上恒成立，求实数m 的取值范围. 【总结提升】1.不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．()f x a >：min max max ()()()f x af x a f x a⇔>⎧⎪⇔>⎨⎪⇔≤⎩恒成立有解无解2.不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.题型四：利用导数证明不等式例10．（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有．例11.（2021·全国·高考真题（理））设函数，已知是函数的极值点． （1）求a ； （2）设函数．证明:．例12．（2021·全国高考真题）已知函数. （1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【总结提升】1.无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.2.利用导数证明不等式f (x )＞g (x )的基本方法(1)若f (x )与g (x )的最值易求出，可直接转化为证明f (x )min ＞g (x )max ；(2)若f (x )与g (x )的最值不易求出，可构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数h (x )的单调性或最值，证明h (x )＞0.3.不等式存在性问题的求解策略“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f (x )≥g (a )对于x ∈D 恒成立，应求f (x )的最小值；若存在x ∈D ，使得f (x )≥g (a )成立，应求f (x )的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．特别需要关注等号是否成立，以免细节出错．()e ln(1)xf x x =+()y f x =(0,(0))f ()()g x f x '=()g x [0,)+∞,(0,)s t ∈+∞()()()f s t f s f t +>+()()ln f x a x =-0x =()y xf x =()()()x f x g x xf x +=()1g x <()()1ln f x x x =-()f x a b ln ln b a a b a b -=-112e a b<+<专题4.4 导数的综合应用（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1. 考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．2.考查利用导数不等式的证明、方程等，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）函数零点 1．方程()0f x =有实根函数()y f x =的图象与x 轴有交点函数()y f x =有零点．2．函数()y f x =的零点就是()0f x =的根，所以可通过解方程得零点，或者通过变形转化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.（二）导数解决函数的零点问题1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路(1)可转化为用导数研究其函数的图象与x 轴(或直线y ＝k)在该区间上的交点问题；(2)证明有几个零点时，需要利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值(最值)、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象．再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f (a)·f (b)＜0.2.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤第一步，利用导数证明该函数在该区间上单调；第二步，证明端点的导数值异号. 3.已知函数有零点求参数范围常用的方法(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f (x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围. （三）导数证明不等式(1)直接转化为函数的最值问题：把证明f (x )＜g (a )转化为f (x )max ＜g (a ).(2)移项作差构造函数法：把不等式f (x )＞g (x )转化为f (x )－g (x )＞0，进而构造函数h (x )＝f (x )－g (x ). (3)构造双函数法：若直接构造函数求导，难以判断符号，导函数零点不易求得，即函数单调性与极值点都不易获得，可转化不等式为f (x )＞g (x )利用其最值求解.(4)换元法，构造函数证明双变量函数不等式：对于f (x 1，x 2)≥A 的不等式，可将函数式变为与x 1x 2或x 1·x 2有关的式子，然后令t ＝x 1x 2或t ＝x 1x 2，构造函数g (t )求解.(5)适当放缩构造函数法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x ≤x －1，e x ≥x ＋1，ln x ＜x ＜e x (x ＞0)，xx ＋1≤ln(x ＋1)≤x (x ＞－1).(6)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数等．把不等式左、右两边转化为结构相同的式子，然后根据“相同结构”，构造函数.(7)赋值放缩法：函数中对与正整数有关的不等式，可对已知的函数不等式进行赋值放缩，然后通过多次求和达到证明的目的.（四）利用导数研究不等式恒(能)成立问题 1.分离参数法一般地，若a ＞f (x )对x ∈D 恒成立，则只需a ＞f (x )max ；若a ＜f (x )对x ∈D 恒成立，则只需a ＜f (x )min .若存在x 0∈D ，使a ＞f (x 0)成立，则只需a ＞f (x )min ；若存在x 0∈D ，使a ＜f (x 0)成立，则只需a ＜f (x 0)max .由此构造不等式，求解参数的取值范围. 2.构造函数分类讨论法有两种常见情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数.【常考题型剖析】题型一：利用导数研究函数的零点或零点个数例1.（2012·天津·高考真题（理））函数在区间(0,1)内的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【详解】2()2ln 23,(0,1)()0x f x x f x +''=>在上恒成立，所以单调递增，(0)10,(1)10,f f =-<=>故函数在区间(0,1)内的零点个数1个.例2．（2019·全国高考真题（理））已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+ 令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()211x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，sin x -，在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减 ()g x '∴在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减又()0sin0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减则0x x =为()g x 唯一的极大值点即：()f x '在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x .（2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞ ①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤= ()f x ∴在(]1,0-上单调递减又()00f =0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在()00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 又()00f '= ()00f x '∴>()f x ∴在()00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-<⎪++⎝⎭10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=()f x ∴在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1lnln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减()f x ∴在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 又02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+< 即()02ff ππ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点例3．（2022·全国·高考真题（理））已知函数()ln xf x x a x x e -=+-．(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点12,x x ，则121x x <． 【答案】(1)(,1]e -∞+ (2)证明见的解析 【解析】 【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；（2）利用分析法，转化要证明条件为1e 11e 2ln 02x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫----> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再利用导数即可得证.(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，2111()e 1x f x x x x ⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭1111e 1e 11x x x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()0f x =,得1x =当(0,1),()0,()x f x f x '∈<单调递减当(1,),()0,()x f x f x >'∈+∞单调递增()(1)e 1f x f a ≥=+-， 若()0f x ≥,则e 10a +-≥,即1a e ≤+ 所以a 的取值范围为(,1]e -∞+ (2)由题知,()f x 一个零点小于1,一个零点大于1 不妨设121x x 要证121x x <,即证121x x <因为121,(0,1)x x ∈,即证()121f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭因为()()12f x f x =,即证()221f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭即证1e 1ln e ln 0,(1,)x x x x x x x x x-+--->∈+∞即证1e 11e 2ln 02x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫----> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦下面证明1x >时，1e 11e 0,ln 02x x x x x x x ⎛⎫->--< ⎪⎝⎭设11(),e e xx g x x xx =->，则11122111111()e e e 1e e 1x x x xx g x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=--+⋅-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111e 1e 1e e xx x xx x x x x ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设()()()22e 1111,e e 0x x x x x x x x x x x ϕϕ-⎛⎫=>=-=⎪⎭'> ⎝所以()()1e x ϕϕ>=,而1e e x <所以1e e 0xx x->,所以()0g x '>所以()g x 在(1,)+∞单调递增即()(1)0g x g >=,所以1ee 0xx x x->令11()ln ,12h x x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭2222211121(1)()10222x x x h x x x x x ----⎛⎫'=-+==< ⎪⎝⎭ 所以()h x 在(1,)+∞单调递减即()(1)0h x h <=,所以11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭；综上, 1e 11e 2ln 02x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫----> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,所以121x x <. 【总结提升】利用导数研究函数零点或方程根的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数的方法．借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围．(2)数形结合法求解零点．对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围． (3)构造函数法研究函数零点．①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．题型二：与函数零点有关的参数（范围）问题例4.（2019浙江）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（ ） A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b1−a ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴b 1−a＜0且{−b ＞013(a +1)3−12(a +1)(a +1)2−b ＜0， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．例5.（2015·安徽·高考真题（理））设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________.（写出所有正确条件的编号）①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==. 【答案】1，3，4，5 【解析】 【详解】令3()f x x ax b =++，求导得2'()3f x x a =+，当0a ≥时，'()0f x ≥，所以()f x 单调递增，且至少存在一个数使()0f x <，至少存在一个数使()0f x >，所以3()f x x ax b =++必有一个零点，即方程30x ax b ++=仅有一根，故④⑤正确；当0a <时，若3a =-，则2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-，易知，()f x 在(,1),(1,)-∞-+∞上单调递增，在[1,1]-上单调递减，所以()=(1)132f x f b b -=-++=+极大，()=(1)132f x f b b =-+=-极小，要使方程仅有一根，则()=(1)1320f x f b b -=-++=+<极大或者()=(1)1320f x f b b =-+=->极小，解得2b <-或2b >，故①③正确.所以使得三次方程仅有一个实 根的是①③④⑤.例6.（2020·全国高考真题（文））已知函数()(2)xf x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）1(,)e+∞. 【解析】（1）当1a =时，()(2)xf x e x =-+，'()1xf x e =-， 令'()0f x <，解得0x <，令'()0f x >，解得0x >， 所以()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）若()f x 有两个零点，即(2)0xe a x -+=有两个解，从方程可知，2x =-不成立，即2xe a x =+有两个解，令()(2)2x e h x x x =≠-+，则有'22(2)(1)()(2)(2)x x x e x e e x h x x x +-+==++，令'()0h x >，解得1x >-，令'()0h x <，解得2x <-或21x -<<-， 所以函数()h x 在(,2)-∞-和(2,1)--上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增， 且当2x <-时，()0h x <，而2x +→-时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，所以当2xe a x =+有两个解时，有1(1)a h e >-=，所以满足条件的a 的取值范围是：1(,)e +∞.【总结提升】与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．题型三：与不等式恒成立、有解、无解等问题有关的参数范围问题例7．（2019·天津高考真题（理））已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e【答案】C【解析】∵(0)0f ≥，即0a ≥，（1）当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->， 当1a <时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立， 令()ln xg x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，故max ()()g x g e e ==，所以a e ≤.当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 综上可知，a 的取值范围是[0,]e ， 故选C.例8．（2021·江苏省前黄高级中学高三开学考试）已知函数2()2sin 341x f x x x =+-+，则(2)(2)f f +-=_________；关于x 的不等式2()(23)2f x f x +-≥的解集为____________．【答案】2 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据解析式直接求(2)(2)f f +-的值，易知()f x 关于(0,1)对称，可将题设不等式变形为2(23)()f x f x -≥-，再利用导数判断()f x 的单调性，由单调性列不等式求解集. 【详解】232(2)(2)2sin 262sin 2621717f f +-=+-+-+=， 由()()22222sin 32sin 341414141x x x x f x f x x x x x --+-=+-+-+=+=++++2(41)41x x ++2=， ∴()f x 关于(0,1)对称，故()2()f x f x =--，∴22()(23)2()(23)2f x f x f x f x +-=--+-≥，即2(23)()f x f x -≥-， 又124ln 2()2cos 30(41)x xf x x +'=-+-<+，故()f x 单调递减， ∴223x x -≤-，即223(23)(1)0x x x x +-=+-≤，解得312x -≤≤.∴不等式解集为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：2；3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.例9.（2021·全国高三月考）已知函数2()ln f x x mx =+. （1）探究函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()1(12)f x m x ≤++在(]0,e 上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）12e 2⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦,. 【分析】（1）求导，对参数m 分类讨论，由导函数的符号可得函数的单调性；（2）将不等式()1(12)f x m x ≤++化为()2ln 1210x mx m x +-+-≤，再构造函数()2()ln 121g x x mx m x =+-+-，利用导数求出函数()g x 的最大值，由max ()0g x ≤可求出结果. 【详解】（1）由2()ln f x x mx =+，得2121()2(0)mx f x mx x x x+'=+=>， ①若0m ≥，则()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增；②若0m <，则2121()22x x mx f x mx m x x x ⎛ +⎝⎭⎝⎭'=+==⋅，当0x <<时，()0f x '>；当x >()0f x '<； 所以()f x在区间0,⎛⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减. 综上所述：当0m ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m <时，()f x在区间⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减. （2）不等式()1(12)f x m x ≤++在(]0,e 上恒成立，相当于()2ln 1210x mx m x +-+-≤在(]0,e 上恒成立，令()2()ln 121g x x mx m x =+-+-，则212(21)1(21)(1)()221mx m x mx x g x mx m x x x-++--'=+--==，①当0m ≤时，210mx -<，由()0g x '<，得1e x <≤，由()0g x '>，得01x <<， 所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减，所以max ()(1)2g x g m ==--，所以20m --≤，解得20m -≤≤. ②当102em <≤时，因为022e x <≤，所以021mx <≤，所以210mx -≤， 所以当01x <<时，()0g x '≥，当1e x <≤时，()0g x '≤，所以()g x 在(0,1)上递增，在(1,e]上递减，所以max ()(1)20g x g m ==--≤， 解得2m ≥-，又102e m <≤，所以102em <≤； ③当112e 2m <<时，1(1)()2()2x x m g x m x --'=⋅，此时11e 2m<<， 由()0g x '>，得01x <<或1e 2x m <≤，由()0g x '<，得112x m<<， 所以()g x 在(0,1)和1(,e]2m 上递增，在1(1,)2m 上递减，所以11,2x x m==分别是函数()g x 的极大值点和极小值点，因此有()(1)2011(e)e e 1202e 21122g m g m m m m e⎧⎪=--≤⎪=--≤⇒<<⎨⎪⎪<<⎩； ④当12m =时，()21()0x g x x-'=≥，所以()g x 在(]0,e 上单调递增，所以(e)0g ≤， 即1e 2m ≤-，所以12m =； ⑤当12m >时，1(1)()2()2x x m g x m x --'=⋅，此时1012m<<， 由()0g x '>，得102x m <<或1e x <≤，由()0g x '<，得112x m<<， 所以()g x 在1(0,)2m和(1,e]上递增，在1(,1)2m 上递减， 所以112x x m==，分别是函数()g x 的极大值点和极小值点，因此有()1()02(e)e e 12012g m g m m m ⎧≤⎪⎪=--≤⇒⎨⎪⎪>⎩1ln 22041e 212m m m m ⎧---≤⎪⎪⎪≤⎨-⎪⎪>⎪⎩112e 2m ⇒<≤-； 综上可知，实数m 的取值范围是12e 2⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦，. 【总结提升】1.不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．()f x a >：min max max ()()()f x af x a f x a⇔>⎧⎪⇔>⎨⎪⇔≤⎩恒成立有解无解2.不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()maxa f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()mina f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.题型四：利用导数证明不等式例10．（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 【答案】(1)(2)在上单调递增. (3)证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，()e ln(1)xf x x =+()y f x =(0,(0))f ()()g x f x '=()g x [0,)+∞,(0,)s t ∈+∞()()()f s t f s f t +>+y x =()g x [0,)+∞()()()m x f x t f x =+-(,0)x t >()(0)m x m >()m x即得证. (1)解：因为，所以，即切点坐标为，又， ∴切线斜率 ∴切线方程为： (2)解：因为， 所以， 令， 则， ∴在上单调递增，∴ ∴在上恒成立， ∴在上单调递增. (3)解：原不等式等价于， 令，， 即证，∵，，由（2）知在上单调递增， ∴， ∴∴在上单调递增，又因为，()e ln(1)xf x x =+()00f =()0,01()e (ln(1))1xf x x x=+++'(0)1k f '==y x =1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+221()e (ln(1))1(1)xg x x x x =++-++'221()ln(1)1(1)h x x x x =++-++22331221()01(1)(1)(1)x h x x x x x +=-+=>++++'()h x [0,)+∞()(0)10h x h ≥=>()0g x '>[0,)+∞()g x [0,)+∞()()()(0)f s t f s f t f +->-()()()m x f x t f x =+-(,0)x t >()(0)m x m >()()()e ln(1)e ln(1)x t xm x f x t f x x t x +=+-=++-+e e ()eln(1)e ln(1)()()11x t x x txm x x t x g x t g x x t x++=+++-+-=+-++'+1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+[)0,∞+()()g x t g x +>()0m x '>()m x ()0,∞+,0x t >∴，所以命题得证.例11.（2021·全国·高考真题（理））设函数，已知是函数的极值点． （1）求a ； （2）设函数．证明:．【答案】（1）；（2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数； （2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解 【详解】（1）由，，又是函数的极值点，所以，解得； （2）[方法一]：转化为有分母的函数 由（Ⅰ）知，，其定义域为．要证，即证，即证．（ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以．（ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以． 综合（ⅰ）（ⅱ）有．[方法二] 【最优解】：转化为无分母函数 由（1）得，，且，()(0)m x m >()()ln f x a x =-0x =()y xf x =()()()x f x g x xf x +=()1g x <1a ='y a ()()ln 1()ln 1x x g x x x +-=-1x <0x ≠()0,1x ∈(),0x ∈-∞()1g x <()()ln 1ln 1x x x x +->-()0,1x ∈(),0x ∈-∞()()()n 1'l a f x a x f x x ⇒==--()()'ln xy a x x ay xf x ⇒=-=+-0x =()y xf x =()'0ln 0y a ==1a =ln(1)11()ln(1)ln(1)+-==+--x x g x x x x x(,0)(0,1)-∞()1g x <111ln(1)+<-x x 1111ln(1)-<-=-x x x x(0,1)x ∈10ln(1)<-x 10x x-<ln(1)1->-x x x ()ln(1)1=---xF x x x 2211()01(1)(1)--=-=>--'-xF x x x x ()F x (0,1)()(0)0F x F >=(,0)x ∈-∞10ln(1)>-x 10x x->ln(1)1->-x x x ()F x (,0)-∞()(0)0F x F >=()1g x <()()ln 1f x x =-()()ln 1()()()ln 1x x x f x g x xf x x x +-+==-1x <0x ≠当 时，要证，， ，即证，化简得；同理，当时，要证，， ，即证，化简得；令，再令，则，， 令，，当时，，单减，故；当时，，单增，故；综上所述，在恒成立.[方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以． （ⅰ）当时，，所以，即，所以． （ⅱ）当时，，同理可证得． 综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即． 【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号）．然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定()0,1x ∈()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-()0,ln 10x x >-<()ln 10x x ∴-<()()ln 1ln 1x x x x +->-()()1ln 10x x x +-->(),0x ∈-∞()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-()0,ln 10x x <->()ln 10x x ∴-<()()ln 1ln 1x x x x +->-()()1ln 10x x x +-->()()()1ln 1h x x x x =+--1t x =-()()0,11,t ∈+∞1x t =-()1ln t t t t ϕ=-+()1ln 1ln t t t ϕ'=-++=()0,1t ∈()0t ϕ'<()t ϕ()()10t ϕϕ>=()1,t ∈+∞()0t ϕ'>()t ϕ()()10t ϕϕ>=()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-()(),00,1x ∈-∞()ln (1)ϕ=--x x x 11()1x x x x ϕ-'=-=()ϕx (0,1)(1,)+∞()(1)0x ϕϕ≤=ln 1≤-x x 1x =1x <0x ≠101x >-111x≠-11ln 111<---x x ln(1)1--<-x x x ln(1)1->-x x x (0,1)x ∈0ln(1)1>->-x x x 1111ln(1)-<=--x x x x 111ln(1)+<-x x ()1g x <(,0)x ∈-∞ln(1)01->>-x x x ()1g x <1x <0x ≠ln(1)1ln(1)+-<-x x x x ()1g x <(0,1)x ∈ln(1)1->-x x x (,0)x ∈-∞ln(1)1->-x x x ()0,1x ∈()()1ln 10x x x +-->(),0x ∈-∞()()1ln 10x x x +-->()ln (1)ϕ=--x x x ln 1≤-x x 1x =ln(1)1->-x x x的巧合性.例12．（2021·全国高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设，原不等式等价于，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设，从而把转化为在上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立.【详解】（1）函数的定义域为，又，当时，，当时，，故的递增区间为，递减区间为.（2）因为，故，即， 故， 设，由（1）可知不妨设. 因为时，，时，，故.先证：，若，必成立.若， 要证：，即证，而，故即证，即证：，其中.()()1ln f x x x =-()f x a b ln ln b a a b a b -=-112e a b<+<()f x ()0,1()1,+∞1211,x x a b==122x x e <+<21x tx =12x x e +<()()1ln 1ln 0t t t t -+-<()1,+∞()0,∞+()1ln 1ln f x x x '=--=-()0,1x ∈()0f x '>()1,+x ∈∞()0f x '<()f x ()0,1()1,+∞ln ln b a a b a b -=-()()ln 1ln +1b a a b +=ln 1ln +1a b a b+=11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1211,x x a b ==1201,1x x <<>()0,1x ∈()()1ln 0f x x x =->(),x e ∈+∞()()1ln 0f x x x =-<21x e <<122x x +>22x ≥122x x +>22x <122x x +>122x x >-2021x <-<()()122f x f x >-()()222f x f x >-212x <<设，则，因为，故，故，所以，故在为增函数，所以，故，即成立，所以成立，综上，成立.设，则，结合，可得：， 即：，故，要证：，即证，即证， 即证：，即证：， 令，则， 先证明一个不等式：.设，则， 当时，；当时，，故在上为增函数，在上为减函数，故，故成立由上述不等式可得当时，，故恒成立， 故在上为减函数，故，故成立，即成立.综上所述，. 【总结提升】1.无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最()()()2,12g x f x f x x =--<<()()()()2ln ln 2g x f x f x x x '''=+-=---()ln 2x x =--⎡⎤⎣⎦12x <<()021x x <-<()ln 20x x -->()0g x '>()g x ()1,2()()10g x g >=()()2f x f x >-()()222f x f x >-122x x +>122x x +>21x tx =1t >ln 1ln +1a b a b +=1211,x x a b==()()11221ln 1ln x x x x -=-()111ln 1ln ln x t t x -=--11ln ln 1t t t x t --=-12x x e +<()11t x e +<()1ln 1ln 1t x ++<()1ln ln 111t t t t t --++<-()()1ln 1ln 0t t t t -+-<()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭()ln 1x x ≤+()()ln 1u x x x =+-()1111x u x x x -'=-=++10x -<<()0u x '>0x >()0u x '<()u x ()1,0-()0,+∞()()max 00u x u ==()ln 1x x ≤+1t >112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭()0S t '<()S t ()1,+∞()()10S t S <=()()1ln 1ln 0t t t t -+-<12x x e +<112e a b<+<。

第四单元 导数及其应用教材复习课“导数”相关基础知识一课过1．基本初等函数的导数公式2．(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 3．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[小题速通]1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；(log 2x )′＝1x ln 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故选B.2．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2)B ．2(x 2＋a 2)C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．3．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133D.103解析：选D 因为f ′(x )＝3ax 2＋6x ， 所以f ′(－1)＝3a －6＝4， 所以a ＝103. 4．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析：因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：3 5．函数y ＝ln (2x ＋1)x的导数为________． 解析：y ′＝⎣⎡⎦⎤ln (2x ＋1)x ′＝[ln (2x ＋1)]′x －x ′ln (2x ＋1)x 2＝(2x ＋1)′2x ＋1·x －ln (2x ＋1)x 2＝2x2x ＋1－ln (2x ＋1)x 2＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x 2.答案：y ′＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x 2[清易错]1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x n )′＝nx n－1中n ≠0且n∈Q *，(cos x )′＝－sin x .2．注意公式不要用混，如(a x )′＝a x ln a ，而不是(a x )′＝xa x －1.1．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，若f ′(x )＝12f (x )，则tan x 的值为( )A ．1B ．－3C ．－1D ．2解析：选B ∵f ′(x )＝(sin x －cos x )′＝cos x ＋sin x ，又f ′(x )＝12f (x )，∴cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，∴tan x ＝－3.2．若函数f (x )＝2x ＋ln x 且f ′(a )＝0，则2a ln 2a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－ln 2D ．ln 2解析：选A f ′(x )＝2x ln 2＋1x ，由f ′(a )＝2a ln 2＋1a ＝0，得2a ln 2＝－1a ，则a ·2a ·ln 2＝－1，即2a ln 2a ＝－1.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[小题速通]1.(2018·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 2．设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________．解析：因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以切线方程为x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝03．已知曲线y ＝2x 2的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为________．解析：因为y ′＝4x ，设切点为(m ，n )，则4m ＝2，所以m ＝12，则n ＝2×⎝⎛⎭⎫122＝12，则切点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12.答案：⎝⎛⎭⎫12，124．函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x －2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：因为函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x －2，所以f ′(1)＝3，且f (1)＝3×1－2＝1，所以f (1)＋f ′(1)＝1＋3＝4.答案：4[清易错]1．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( ) A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564， 当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1，所以选A.2.(2017·兰州一模)已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________．解析：因为函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋a ＝2，3＝1＋a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.答案：3利用导数研究函数的单调性 [过双基]1．函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与f ′(x )的关系 (1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上是增加的． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上是减少的．(3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调性及单调区间． [小题速通]1．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)和(2，＋∞)解析：选A 解f ′(x )＝6x 2－18x ＋12<0可得1<x <2，所以单调减区间是(1,2)． 2．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是()解析：选D 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．3．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－26] B.⎝⎛⎦⎤－∞，62 C ．[－26，＋∞)D ．[－5，＋∞)解析：选C 由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2＋ax ＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g (x )＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－24>0，－a4≤1，g (1)＝5＋a ≥0⇔－26≤a ≤26或a >26⇔a ≥－26，故选C.[清易错]若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立；若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数，∴f ′(x )≥0恒成立， ∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞1．函数的极大值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值．2．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．[小题速通]1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 由图象及极值点的定义知，f (x )只有一个极小值点． 2．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.3．(2017·济宁一模)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B ．1 C ．0D ．不存在解析：选A f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.4．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 有极值，则a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x －a ＋1x ＝x 2－ax ＋1x(x >0)， 因为函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 有极值，令g (x )＝x 2－ax ＋1，且g (0)＝1>0，所以⎩⎨⎧a2>0，g ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a 24＋1<0，解得a >2.答案：(2，＋∞)5．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x ＝a3或a .又∵x 1<2<x 2，∴x 1＝a3，x 2＝a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a3<2，∴2<a <6.答案：(2,6)[清易错]1．f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的既不充分也不必要条件．例如，f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点；又如f (x )＝|x |，x ＝0是它的极小值点，但f ′(0)不存在．2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论． 1．(2017·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x ) C ．y ＝x e －xD ．y ＝x ＋2x解析：选D 因为A 、B 为单调函数，所以不存在极值，C 不是奇函数，故选D. 2．设函数f (x )＝x 3－3x ＋1，x ∈[－2,2]的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )>0可得x >1或x <－1， 由f ′(x )<0可得－1<x <1，所以函数f (x )的增区间是[－2，－1]，[1,2]，减区间是[－1,1]． 又因为f (－2)＝－1，f (－1)＝3，f (1)＝－1，f (2)＝3， 所以M ＝3，m ＝－1， 所以M ＋m ＝2. 答案：21．定积分的概念在∫b a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1) ⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2) ⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3) ⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x ) ⎪⎪ba ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x ) ⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．[小题速通]1．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A 因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a3t 2d t ＝t 3⎪⎪a0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1.2.⎠⎛01(e x ＋x)d x ＝________.解析：⎠⎛01(e x ＋x )dx ＝⎝⎛⎭⎫e x ＋12x 2⎪⎪10＝⎝⎛⎭⎫e 1＋12－(e 0＋0)＝e －12. 答案：e －123．(2015·天津高考)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 得A(1,1)． 故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪10＝16. 答案：16[清易错]定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(如图所示)的面积为( )A .23 B.13 C .12D.14解析：选D 由题意及图形可得阴影部分的面积 S ＝⎰201⎝⎛⎭⎫14－x 2dx ＋⎰211⎝⎛⎭⎫x 2－14dx＝⎝⎛⎭⎫14x －13x 3⎪⎪⎪⎪12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－14x ⎪⎪⎪⎪112＝14.一、选择题1．已知函数f (x )＝log a x (a>0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( )A ．e B.1e C.1e2 D.12解析：选B 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a＝－1，所以ln a ＝－1，所以a ＝1e . 2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A(1,3)，则2a ＋b 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：选C 由曲线y ＝x 2＋ax ＋b ，得y ′＝2x ＋a ， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝3，k ＝2＋a ，1＋a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，a ＝0，b ＝2，所以2a ＋b ＝2.3．函数y ＝2x 3－3x 2的极值情况为( ) A ．在x ＝0处取得极大值0，但无极小值 B ．在x ＝1处取得极小值－1，但无极大值C ．在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1D ．以上都不对解析：选C y ′＝6x 2－6x ，由y ′＝6x 2－6x >0，可得x >1或x <0， 即单调增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)． 由y ′＝6x 2－6x <0，可得0<x <1，即单调减区间是(0,1)，所以函数在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1. 4．若f(x)＝－12x 2＋m ln x 在(1，＋∞)是减函数，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)解析：选C 由题意，f ′(x )＝－x ＋mx ≤0在(1，＋∞)上恒成立，即m ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立，又因为x 2>1，所以m ≤1.5．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.6．已知函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B f(x)＝x(x 2－2mx ＋m 2)＝x 3－2mx 2＋m 2x ，所以f ′(x)＝3x 2－4mx ＋m 2＝(x －m)(3x －m)．由f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3.当m ＝3时，f ′(x)＝3(x －1)(x －3)，当1<x<3时，f ′(x)<0，当x<1或x>3时，f ′(x)>0，此时在x ＝1处取得极大值，不合题意，∴m ＝1，此时f ′(x)＝(x －1)(3x －1)，当13<x <1时，f ′(x)<0，当x<13或x>1时，f ′(x)>0，此时在x ＝1处取得极小值．选B .7．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴所围成的封闭图形的面积是( ) A .⎠⎛02(x 2－1)d xB.⎠⎛02|x 2－1|d x C .⎠⎛02(x 2－1)d xD .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析：选B 作出封闭图形的示意图如图所示，易得所围成的封闭图形的面积是S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x .8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ≤0，x 3－3x ＋a ，x >0的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,3]B ．(2,3]C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)解析：选A 当x ≤0时，0≤f (x )＝1－2x <1； 当x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋a ，f ′(x )＝3x 2－3， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取得最小值f (1)＝1－3＋a ＝a －2.由题意得0≤a －2≤1，解得2≤a ≤3，选A.二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ax ，要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则需方程1＋ax ＝0在(0，＋∞)上有解，即x ＝－a ，∴a <0.答案：(－∞，0)10．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，∴f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3， ∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：811．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋3＝72，∴f (1)＋f ′(1)＝72＋12＝4.答案：412．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)e x －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式2m－1≥g (x 0)成立，则实数m 的取值范围为________．解析：g ′(x )＝g ′(1)e x －1－g (0)＋x ，令x ＝1时，得g ′(1)＝g ′(1)－g (0)＋1， ∴g (0)＝1，g (0)＝g ′(1)e 0－1＝1，∴g ′(1)＝e ，∴g (x )＝e x －x ＋12x 2，g ′(x )＝e x －1＋x ，当x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0， ∴当x ＝0时，函数g (x )取得最小值g (0)＝1. 根据题意得2m －1≥g (x )min ＝1，∴m ≥1. 答案：[1，＋∞) 三、解答题13．已知函数f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14，1上恒成立，求实数b 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝1－ax2(x ≠0)，由已知及导数的几何意义得f ′(2)＝3，则a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7，解得b ＝9，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x＋9.(2)由(1)知f ′(x )＝1－ax2(x ≠0)．当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：上是减函数．(3)由(2)知，对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14，1上恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫14≤10，f (1)≤10，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394－4a ，b ≤9－a对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2成立，从而得b ≤74， 所以实数b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，74. 14．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝14－a x 2－1x (x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，无极大值． 高考研究课(一)导数运算是基点、几何意义是重点、定积分应用是潜考点 [全国卷5年命题分析][典例] (1)(2018·惠州模拟)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π(2)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 018(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．sin x ＋cos xD ．cos x －sin x(3)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1D ．e[解析] (1)∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. (2)∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， ∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，∴f n(x)是以4为周期的函数，∴f2 018(x)＝f2(x)＝cos x－sin x，故选D.(3)由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x.∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.[答案](1)C(2)D(3)B[方法技巧]1．可导函数的求导步骤(1)分析函数y＝f(x)的结构特点，进行化简；(2)选择恰当的求导法则与导数公式求导；(3)化简整理答案．2．求导运算应遵循的原则求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．[即时演练]1．(2018·江西九校联考)已知y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，则y′＝()A．3x2－12x＋6 B．x2＋12x－11C．x2＋12x＋6 D．3x2＋12x＋11解析：选D法一：y′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝3x2＋12x＋11.法二：∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.2．已知函数f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝________.解析：f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e.答案：e导数的几何意义第(1)问中，难度较低，属中、低档题.常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)确定切点坐标；(3)已知切线求参数值或范围；(4)切线的综合应用. 角度一：求切线方程1．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是________．解析：∵f ′(x )＝11＋x－1＋2x ，∴f ′(1)＝32，f (1)＝ln 2，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.答案：3x －2y ＋2ln 2－3＝0角度二：确定切点坐标2．已知函数f (x )＝e xx (x >0)，直线l ：x －ty －2＝0.若直线l 与曲线y ＝f (x )相切，则切点横坐标的值为________．解析：由f (x )＝e xx (x >0)，得f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x (x －1)x 2(x >0)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 根据直线l 的方程x ＝ty ＋2，可得l 恒过点(2,0)．①当t ＝0时，直线l ：x ＝2垂直于x 轴，不与曲线y ＝f (x )相切，舍去；②当t ≠0时，设切点A (x 0，y 0)，直线l 可化为y ＝1t x －2t ，斜率k ＝1t ＝f ′(x 0)＝e x 0(x 0－1)x 20，又直线l 和曲线y ＝f (x )均过点A (x 0，y 0)，则满足y 0＝1t x 0－2t ＝e x 0x 0，所以e x 0(x 0－1)x 20＝e x 0(x 0－1)x 0·x 0＝⎝⎛⎭⎫1t x 0－2t ·x 0－1x 0＝x 0－2t ·x 0－1x 0＝1t ，两边约去t 后，可得(x 0－2)·x 0－1x 0＝1，化简得x 20－4x 0＋2＝0， 解得x 0＝2±2.综上所述，切点的横坐标为2±2. 答案：2±2角度三：已知切线求参数值或范围3．(2017·武汉一模)已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 上存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知曲线上存在某点的导数值为1， 所以y ′＝2ax ＋3－1x ＝1有正根， 即2ax 2＋2x －1＝0有正根．当a ≥0时，显然满足题意；当a ＜0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a ＜0.综上，a ≥－12.答案：⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ 4．若两曲线y ＝x 2－1与y ＝a ln x －1存在公切线，则正实数a 的取值范围是________． 解析：设y ＝a ln x －1的切点为(x 0，y 0)，求导y ′＝ax ，则切线的斜率为ax 0，所以公切线方程为y －(a ln x 0－1)＝ax 0(x －x 0)，联立方程y ＝x 2－1可得x 2－ax 0x ＋a －a ln x 0＝0，由题意，可得Δ＝⎝⎛⎭⎫－ax 02－4(a －a ln x 0)＝0， 则a ＝4x 20(1－ln x 0)．令f (x )＝4x 2(1－ln x )(x >0)，则f ′(x )＝4x (1－2ln x )，易知，函数f (x )＝4x 2(1－ln x )在(0，e)上是增函数，在(e ，＋∞)上是减函数， 所以函数f (x )＝4x 2(1－ln x )的最大值是f (e)＝2e ， 则正实数a 的取值范围是(0,2e]． 答案：(0,2e]角度四：切线的综合应用5．已知函数f (x )＝m ln(x ＋1)，g (x )＝xx ＋1(x >－1)． (1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )在(－1，＋∞)上的单调性；(2)若y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且仅有一条公切线，试求实数m 的值． 解：(1)F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝m x ＋1－1(x ＋1)2＝m (x ＋1)－1(x ＋1)2(x >－1)， 当m ≤0时，F ′(x )<0，函数F (x )在(－1，＋∞)上单调递减．当m >0时，由F ′(x )<0，得－1<x <－1＋1m ，所以函数F (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－1＋1m 上单调递减；由F ′(x )>0，得x >－1＋1m ，所以函数F (x )在⎝⎛⎭⎫－1＋1m ，＋∞上单调递增． 综上所述，当m ≤0时，函数F (x )在(－1，＋∞)上单调递减，当m >0时，函数F (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－1＋1m 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－1＋1m ，＋∞上单调递增． (2)函数f (x )＝m ln(x ＋1)在点(a ，m ln(a ＋1))处的切线方程为y －m ln(a ＋1)＝ma ＋1(x －a )， 即y ＝m a ＋1x ＋m ln(a ＋1)－maa ＋1.函数g (x )＝x x ＋1在点⎝⎛⎭⎫b ，b b ＋1处的切线方程为y －b b ＋1＝1(b ＋1)2(x －b )，即y ＝1(b ＋1)2x ＋b 2(b ＋1)2.因为y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且仅有一条公切线，即⎩⎨⎧ma ＋1＝1(b ＋1)2， ①m ln (a ＋1)－ma a ＋1＝b 2(b ＋1)2， ②所以有唯一数对(a ，b )，满足这个方程组，由①得a ＋1＝m (b ＋1)2，代入②消去a 整理得：2m ln(b ＋1)＋2b ＋1＋m ln m －m －1＝0，关于b (b >－1)的方程有唯一的解，令h (b )＝2m ln(b ＋1)＋2b ＋1＋m ln m －m －1， 则h ′(b )＝2m b ＋1－2(b ＋1)2＝2[m (b ＋1)－1](b ＋1)2， 方程组有解时，m >0，所以h (b )在⎝⎛⎭⎫－1，－1＋1m 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－1＋1m ，＋∞上单调递增，所以h (b )min ＝h ⎝⎛⎭⎫－1＋1m ＝m －m ln m －1， 因为b →＋∞，h (b )→＋∞，b →－1，h (b )→＋∞， 所以只需m －m ln m －1＝0.令p (m )＝m －m ln m －1，则p ′(m )＝－ln m 在m >0时为单调递减函数，且m ＝1时，p ′(m )＝0.所以p (m )max ＝p (1)＝0，所以m ＝1时，关于b (b >－1)的方程2m ln(b ＋1)＋2b ＋1＋m ln m －m －1＝0有唯一解，此时a ＝b ＝0，公切线为y ＝x .[方法技巧]利用导数解决切线问题的方法(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0求解．定积分及应用[典例] (1)(2018·东营模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎛02f(x)d x 等于( )A.34 B.45 C.56D ．不存在(2)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1)，x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛-12f (x )dx 的值为( )A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3 (3)设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.[解析] (1)如图，⎠⎛02f (x )dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛12(2－x )dx ＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56.(2) ⎠⎛-12f (x )dx ＝⎠⎛-111－x 2dx ＋⎠⎛12(x 2－1)dx ，因为⎠⎛1－11－x 2d x 表示圆心在原点，半径为1的上半圆的面积，则⎠⎛-111－x 2dx ＝π2；⎠⎛12 (x 2－1)dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x 21＝43， 所以⎠⎛-12f (x )dx ＝π2＋43.(3)封闭图形如图所示， 则⎠⎛0ax dx ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.[答案] (1)C (2)A (3)49[方法技巧]求定积分的2种方法及注意事项(1)定理法运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： ①对被积函数要先化简，再求积分；②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； ④注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错． (2)面积法根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． [即时演练]1．(2018·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：选C ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )10＝1＋e 1－1＝e .故选C .2．直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2所围成封闭图形的面积为________． 解析：如图，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x 2，可得x 1＝－1，x 2＝3，故所求图形面积为S ＝⎠⎛-13 [(2x ＋3)－x 2]dx ＝⎠⎛-13－1(2x ＋3)dx －⎠⎛-13x 2dx ＝(x 2＋3x ) ⎪⎪⎪3-1－13x 3⎪⎪⎪3-1＝323.答案：3233．如图，在长方形OABC 内任取一点P ，则点P 落在阴影部分的概率为________．解析：由图知长方形OABC 的面积为e ；函数y ＝a x 过点(1，e )，则a ＝e ，所以曲线的方程为y ＝e x ，A ，D 在直线y ＝1－x 上， 所以阴影部分的面积S ＝⎠⎛01(e x ＋x －1)dx ＝⎝⎛⎭⎫e x ＋12x 2－x 10＝e －32， 所以在长方形OABC 内任取一点P ，则点P 落在阴影部分的概率P ＝e －32e ＝1－32e .答案：1－32e1．(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 2．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2x －1x 2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝03．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：y ＝ln x ＋2的切线方程为： y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)， y ＝ln(x ＋1)的切线方程为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点的横坐标为x 2)， ∴⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 答案：1－ln 24．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：15．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x，y ′x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ， 得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案：8一、选择题1．若a ＝⎠⎛02x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫x －a ＋1x 6展开式中的常数项是( )A ．20B ．－20C ．－540D ．540解析：选C a ＝⎠⎛02xdx ＝12x ⎪⎪⎪20＝2，则⎝⎛⎭⎫x －3x 6展开式的通项T r ＋1＝(－3)r C r 6x 6－2r，令6－2r ＝0可得r ＝3，则常数项是T 4＝(－3)3C 36＝－540.2．(2018·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：选A ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， ∴y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，y ′|x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)， 即y ＝2x ＋1.3．(2018·济南一模)已知曲线f (x )＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C .1eD ．－1e解析：选C 法一：∵f (x )＝ln x ，x ∈(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1x.设切点P(x 0，ln x 0)，则切线的斜率为k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝k OP ＝ln x 0x 0.∴ln x 0＝1，∴x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e .法二：(数形结合法)：在同一坐标系下作出y ＝ln x 及曲线y ＝ln x 经过原点的切线，由图可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C .4．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴直线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1， 又因为y 0＝12x 20＋mx 0＋72(m ＜0)， 解得m ＝－2，故选D.5．(2018·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A .⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C .⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6 解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 6．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( ) A ．x ＋4y －2＝0 B ．x －4y ＋2＝0 C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0解析：选A y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x ＋1ex ＋2，因为e x ＞0，所以e x ＋1e x ≥2e x ×1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x ＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1ex ＋2≥－14(当x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A . 二、填空题7．若a 和b 是计算机在区间(0,2)上产生的随机数，那么函数f(x)＝lg (ax 2＋4x ＋4b)的值域为R 的概率为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <2，0<b <2所表示的平面区域是正方形，其面积为4.因为函数f (x )＝lg(ax 2＋4x ＋4b )的值域为R ，所以ax 2＋4x ＋4b 取遍所有的正数，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－16ab ≥0，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ab ≤1，如图所示，不等式⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，ab ≤1所表示的图形的面积S ＝2×12＋⎠⎛2121a d a ＝1＋ln a 212＝1＋2ln 2，所以所求事件的概率为1＋2ln 24.答案：1＋2ln 248．已知函数f (x )＝e ax ＋bx (a <0)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝5x ＋1，且f (1)＋f ′(1)＝12.则a ，b 的值分别为________．解析：f (x )＝e ax ＋bx ，那么f ′(x )＝a e ax ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝5，f (1)＋f ′(1)＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝5，a e a ＋b ＋b ＋e a＝12，化简得(e a －2)(a ＋1)＝0， 由a <0，得a ＝－1，b ＝6. 答案：－1,69．(2017·东营一模)函数f (x )＝x ln x 在点P(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P(x 0，f (x 0))的坐标为________．解析：∵f (x )＝x ln x ， ∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1⇔ln x 0＋1＝1⇔ln x 0＝0⇔x 0＝1，∴P(1,0)． 答案：(1,0)10．设过曲线f (x )＝－e x －x(e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，则m 的取值范围是________．解析：设曲线f (x )上任意一点A(x 1，y 1)，曲线g(x )上存在一点B(x 2，y 2)，f ′(x )＝－e x－1，g ′(x )＝m －3cos x .由题意可得f ′(x 1)g ′(x 2)＝－1，且f ′(x 1)＝－ex 1－1∈(－∞，－1)，g ′(x 2)＝m －3cos x 2∈[m －3，m ＋3]．因为过曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，所以(0,1)⊆[m －3，m ＋3]，所以m －3≤0，且m ＋3≥1，解得－2≤m ≤3. 答案：[－2,3] 三、解答题11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ， 则由题意，及(1)可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)． 12．已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(3－a )ln x ，a ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＋1＝0垂直，求a 的值； (2)设f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：f (x 1)＋f (x 2)>－5. 解：(1)∵f ′(x )＝x －a ＋3－a x ＝x 2－ax ＋3－ax，由题意知4－2a ＝－12，解得a ＝94.(2)证明：由题意知，x 1，x 2为f ′(x )＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4(3－a )>0，a >0，3－a >0，∴2<a <3.又x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝3－a ， ∴f (x 1)＋f (x 2)＝12(x 21＋x 22)－a (x 1＋x 2)＋(3－a )ln x 1x 2 ＝－12a 2＋a －3＋(3－a )ln(3－a )．设h (a )＝－12a 2＋a －3＋(3－a )ln(3－a )，a ∈(2,3)，则h ′(a )＝－a －ln(3－a )， h ″(a )＝－1＋13－a ＝a －23－a>0，故h ′(a )在(2,3)上递增． 又h ′(2)＝－2<0，a →3时，h ′(a )→＋∞，∴∃a 0∈(2,3)，当a ∈(2，a 0)时，h (a )递减，当a ∈(a 0,3)时，h (a )递增，∴h (a )min ＝h (a 0)＝－12a 20＋a 0－3＋(3－a 0)·(－a 0)＝12a 20－2a 0－3＝12(a 0－2)2－5>－5， ∴∀a ∈(2,3)，h (a )>－5， 综上，f (x 1)＋f (x 2)>－5.1．(2018·广东七校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0<x 0<12B.12<x 0<1 C.22<x 0< 2 D.2<x 0< 3解析：选D y ＝ln x ，x ∈(0,1)的导数y ′＝1x >1，设切点为(t ，ln t )，则切线l 的方程为y ＝1t x ＋ln t －1，因为函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线l 的斜率为2x 0， 则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切， 则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1t ，x 20＝1－ln t ，则1＋ln 2x 0＝x 20，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x 2－ln 2x －1，x ∈(1，＋∞)， 所以该函数的零点就是x 0，则排除A 、B ；又因为g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x>0，所以函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增．又g (1)＝－ln 2<0，g (2)＝1－ln 22<0，g (3)＝2－ln 23>0， 从而2<x 0< 3.2．函数y ＝f (x )图象上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k M ，k N ，规定φ(M ，N )＝|k M －k N ||MN |(|MN |为线段MN 的长度)叫做曲线y ＝f (x )在点M 与点N 之间的“弯曲度”．设曲线f (x )＝x 3＋2上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且x 1x 2＝1，则φ(M ，N )的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2，设x 1＋x 2＝t (|t |>2)， 则φ(M ，N )＝|3x 21－3x 22|(x 1－x 2)2＋(x 31＋2－x 32－2)2 ＝|3x 21－3x 22|(x 1－x 2)2[1＋(x 21＋x 1x 2＋x 22)2]＝3|x 1－x 2|·|x 1＋x 2||x 1－x 2|1＋[(x 1＋x 2)2－x 1x 2]2＝3|x 1＋x 2|1＋[(x 1＋x 2)2－1]2＝3|t |1＋(t 2－1)2＝3t 2＋2t2－2.设g (x )＝x ＋2x ，x >4，则g ′(x )＝1－2x 2>0，所以g (x )在(4，＋∞)上单调递增，所以g (x )>g (4)＝92. 所以t 2＋2t 2－2>52，所以0<φ(M ，N )<3105.答案：⎝⎛⎭⎫0，3105高考研究课(二) 函数单调性必考，导数工具离不了 [全国卷5年命题分析][典例] (2016·山东高考节选)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R ，讨论f (x )的单调性． [解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝(ax 2－2)(x －1)x 3.当a ≤0，x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 当a ＞0时，f ′(x )＝a (x －1)x 3⎝⎛⎭⎫x － 2a ⎝⎛⎭⎫x ＋2a . ①若0＜a ＜2，则 2a＞1， 当x ∈(0,1)或x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1， 2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． ②若a ＝2，则2a＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． ③若a ＞2，则0＜ 2a ＜1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0,1)内单调递增， 在(1，＋∞)内单调递减；当0＜a ＜2时，f (x )在(0,1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎫1， 2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫ 2a ，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增； 当a ＞2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎫ 2a ，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．[方法技巧]导数法判断函数f (x )在(a ，b )内单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[即时演练]1．(2017·芜湖一模)函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A.()0，＋∞ B.()－∞，0 C.()－∞，1D.()1，＋∞解析：选D 由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )＞0，解得x ＞1，故选D.2．(2016·全国卷Ⅱ节选)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x＋x ＋2>0.解：f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． f ′(x )＝(x －1)(x ＋2)e x －(x －2)e x (x ＋2)2＝x 2e x(x ＋2)2≥0，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增． 因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝－1. 所以(x －2)e x >－(x ＋2)，即(x －2)e x ＋x ＋2>0.利用导数研究函数单调性的应用函数的单调性是高考命题的重点，其应用是考查热点.,常见的命题角度有：(1)y ＝f (x )与y ＝f ′(x )的图象辨识； (2)比较大小；(3)已知函数单调性求参数的取值范围； (4)构造函数解不等式.1.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，若函数f (x )的图象如图所示，则一定有( )A ．b >0，c >0B ．b <0，c >0C ．b >0，c <0D ．b <0，c <0解析：选B 由函数的图象与y 轴的交点在原点的上方可知，d >0，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由函数的图象可知，函数f (x )有两个极值点，且先增，再减，最后增，所以方程f ′(x )。

第四单元 导数及其应用教材复习课“导数”相关基础知识一课过1．基本初等函数的导数公式2．(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 3．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[小题速通]1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；(log 2x )′＝1x ln 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故选B.2．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2)B ．2(x 2＋a 2)C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．3．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133D.103解析：选D 因为f ′(x )＝3ax 2＋6x ， 所以f ′(－1)＝3a －6＝4， 所以a ＝103. 4．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析：因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：3 5．函数y ＝ln (2x ＋1)x的导数为________． 解析：y ′＝⎣⎡⎦⎤ln (2x ＋1)x ′＝[ln (2x ＋1)]′x －x ′ln (2x ＋1)x 2＝(2x ＋1)′2x ＋1·x －ln (2x ＋1)x 2＝2x2x ＋1－ln (2x ＋1)x 2＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x 2.答案：y ′＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x 2[清易错]1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x n )′＝nx n－1中n ≠0且n∈Q *，(cos x )′＝－sin x .2．注意公式不要用混，如(a x )′＝a x ln a ，而不是(a x )′＝xa x －1.1．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，若f ′(x )＝12f (x )，则tan x 的值为( )A ．1B ．－3C ．－1D ．2解析：选B ∵f ′(x )＝(sin x －cos x )′＝cos x ＋sin x ，又f ′(x )＝12f (x )，∴cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，∴tan x ＝－3.2．若函数f (x )＝2x ＋ln x 且f ′(a )＝0，则2a ln 2a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－ln 2D ．ln 2解析：选A f ′(x )＝2x ln 2＋1x ，由f ′(a )＝2a ln 2＋1a ＝0，得2a ln 2＝－1a ，则a ·2a ·ln 2＝－1，即2a ln 2a ＝－1.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[小题速通]1.(2018·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 2．设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________．解析：因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以切线方程为x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝03．已知曲线y ＝2x 2的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为________．解析：因为y ′＝4x ，设切点为(m ，n )，则4m ＝2，所以m ＝12，则n ＝2×⎝⎛⎭⎫122＝12，则切点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12.答案：⎝⎛⎭⎫12，124．函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x －2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：因为函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x －2，所以f ′(1)＝3，且f (1)＝3×1－2＝1，所以f (1)＋f ′(1)＝1＋3＝4.答案：4[清易错]1．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( ) A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564， 当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1，所以选A.2.(2017·兰州一模)已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________．解析：因为函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋a ＝2，3＝1＋a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.答案：3利用导数研究函数的单调性 [过双基]1．函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与f ′(x )的关系 (1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上是增加的． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上是减少的．(3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调性及单调区间． [小题速通]1．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)和(2，＋∞)解析：选A 解f ′(x )＝6x 2－18x ＋12<0可得1<x <2，所以单调减区间是(1,2)． 2．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是()解析：选D 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．3．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－26] B.⎝⎛⎦⎤－∞，62 C ．[－26，＋∞)D ．[－5，＋∞)解析：选C 由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2＋ax ＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g (x )＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－24>0，－a4≤1，g (1)＝5＋a ≥0⇔－26≤a ≤26或a >26⇔a ≥－26，故选C.[清易错]若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立；若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数，∴f ′(x )≥0恒成立， ∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞1．函数的极大值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值．2．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．[小题速通]1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 由图象及极值点的定义知，f (x )只有一个极小值点． 2．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.3．(2017·济宁一模)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B ．1 C ．0D ．不存在解析：选A f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.4．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 有极值，则a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x －a ＋1x ＝x 2－ax ＋1x(x >0)， 因为函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 有极值，令g (x )＝x 2－ax ＋1，且g (0)＝1>0，所以⎩⎨⎧a2>0，g ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a 24＋1<0，解得a >2.答案：(2，＋∞)5．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x ＝a3或a .又∵x 1<2<x 2，∴x 1＝a3，x 2＝a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a3<2，∴2<a <6.答案：(2,6)[清易错]1．f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的既不充分也不必要条件．例如，f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点；又如f (x )＝|x |，x ＝0是它的极小值点，但f ′(0)不存在．2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论． 1．(2017·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x ) C ．y ＝x e －xD ．y ＝x ＋2x解析：选D 因为A 、B 为单调函数，所以不存在极值，C 不是奇函数，故选D. 2．设函数f (x )＝x 3－3x ＋1，x ∈[－2,2]的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )>0可得x >1或x <－1， 由f ′(x )<0可得－1<x <1，所以函数f (x )的增区间是[－2，－1]，[1,2]，减区间是[－1,1]． 又因为f (－2)＝－1，f (－1)＝3，f (1)＝－1，f (2)＝3， 所以M ＝3，m ＝－1， 所以M ＋m ＝2. 答案：21．定积分的概念在∫b a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1) ⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2) ⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(3) ⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x ) ⎪⎪ba ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x ) ⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．[小题速通]1．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A 因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a3t 2d t ＝t 3⎪⎪a0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1.2.⎠⎛01(e x ＋x)d x ＝________.解析：⎠⎛01(e x ＋x )dx ＝⎝⎛⎭⎫e x ＋12x 2⎪⎪10＝⎝⎛⎭⎫e 1＋12－(e 0＋0)＝e －12. 答案：e －123．(2015·天津高考)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 得A(1,1)． 故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪10＝16. 答案：16[清易错]定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(如图所示)的面积为( )A .23 B.13 C .12D.14解析：选D 由题意及图形可得阴影部分的面积 S ＝⎰201⎝⎛⎭⎫14－x 2dx ＋⎰211⎝⎛⎭⎫x 2－14dx＝⎝⎛⎭⎫14x －13x 3⎪⎪⎪⎪12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－14x ⎪⎪⎪⎪112＝14.一、选择题1．已知函数f (x )＝log a x (a>0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( )A ．e B.1e C.1e2 D.12解析：选B 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a＝－1，所以ln a ＝－1，所以a ＝1e . 2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A(1,3)，则2a ＋b 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－2解析：选C 由曲线y ＝x 2＋ax ＋b ，得y ′＝2x ＋a ， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝3，k ＝2＋a ，1＋a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，a ＝0，b ＝2，所以2a ＋b ＝2.3．函数y ＝2x 3－3x 2的极值情况为( ) A ．在x ＝0处取得极大值0，但无极小值 B ．在x ＝1处取得极小值－1，但无极大值C ．在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1D ．以上都不对解析：选C y ′＝6x 2－6x ，由y ′＝6x 2－6x >0，可得x >1或x <0， 即单调增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)． 由y ′＝6x 2－6x <0，可得0<x <1，即单调减区间是(0,1)，所以函数在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1. 4．若f(x)＝－12x 2＋m ln x 在(1，＋∞)是减函数，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)解析：选C 由题意，f ′(x )＝－x ＋mx ≤0在(1，＋∞)上恒成立，即m ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立，又因为x 2>1，所以m ≤1.5．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.6．已知函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B f(x)＝x(x 2－2mx ＋m 2)＝x 3－2mx 2＋m 2x ，所以f ′(x)＝3x 2－4mx ＋m 2＝(x －m)(3x －m)．由f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3.当m ＝3时，f ′(x)＝3(x －1)(x －3)，当1<x<3时，f ′(x)<0，当x<1或x>3时，f ′(x)>0，此时在x ＝1处取得极大值，不合题意，∴m ＝1，此时f ′(x)＝(x －1)(3x －1)，当13<x <1时，f ′(x)<0，当x<13或x>1时，f ′(x)>0，此时在x ＝1处取得极小值．选B .7．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴所围成的封闭图形的面积是( ) A .⎠⎛02(x 2－1)d xB.⎠⎛02|x 2－1|d x C .⎠⎛02(x 2－1)d xD .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析：选B 作出封闭图形的示意图如图所示，易得所围成的封闭图形的面积是S ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎠⎛02|x 2－1|d x .8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ≤0，x 3－3x ＋a ，x >0的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,3]B ．(2,3]C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)解析：选A 当x ≤0时，0≤f (x )＝1－2x <1； 当x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋a ，f ′(x )＝3x 2－3， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取得最小值f (1)＝1－3＋a ＝a －2.由题意得0≤a －2≤1，解得2≤a ≤3，选A.二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ax ，要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则需方程1＋ax ＝0在(0，＋∞)上有解，即x ＝－a ，∴a <0.答案：(－∞，0)10．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，∴f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3， ∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：811．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋3＝72，∴f (1)＋f ′(1)＝72＋12＝4.答案：412．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)e x －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式2m－1≥g (x 0)成立，则实数m 的取值范围为________．解析：g ′(x )＝g ′(1)e x －1－g (0)＋x ，令x ＝1时，得g ′(1)＝g ′(1)－g (0)＋1， ∴g (0)＝1，g (0)＝g ′(1)e 0－1＝1，∴g ′(1)＝e ，∴g (x )＝e x －x ＋12x 2，g ′(x )＝e x －1＋x ，当x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0， ∴当x ＝0时，函数g (x )取得最小值g (0)＝1. 根据题意得2m －1≥g (x )min ＝1，∴m ≥1. 答案：[1，＋∞) 三、解答题13．已知函数f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14，1上恒成立，求实数b 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝1－ax2(x ≠0)，由已知及导数的几何意义得f ′(2)＝3，则a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7，解得b ＝9，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x＋9.(2)由(1)知f ′(x )＝1－ax2(x ≠0)．当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：上是减函数．(3)由(2)知，对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14，1上恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫14≤10，f (1)≤10，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394－4a ，b ≤9－a对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2成立，从而得b ≤74， 所以实数b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，74. 14．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝14－a x 2－1x (x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，无极大值． 高考研究课(一)导数运算是基点、几何意义是重点、定积分应用是潜考点 [全国卷5年命题分析][典例] (1)(2018·惠州模拟)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π(2)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 018(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．sin x ＋cos xD ．cos x －sin x(3)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1D ．e[解析] (1)∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. (2)∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， ∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，∴f n(x)是以4为周期的函数，∴f2 018(x)＝f2(x)＝cos x－sin x，故选D.(3)由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x.∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.[答案](1)C(2)D(3)B[方法技巧]1．可导函数的求导步骤(1)分析函数y＝f(x)的结构特点，进行化简；(2)选择恰当的求导法则与导数公式求导；(3)化简整理答案．2．求导运算应遵循的原则求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．[即时演练]1．(2018·江西九校联考)已知y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，则y′＝()A．3x2－12x＋6 B．x2＋12x－11C．x2＋12x＋6 D．3x2＋12x＋11解析：选D法一：y′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝3x2＋12x＋11.法二：∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.2．已知函数f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝________.解析：f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e.答案：e导数的几何意义第(1)问中，难度较低，属中、低档题.常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)确定切点坐标；(3)已知切线求参数值或范围；(4)切线的综合应用. 角度一：求切线方程1．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是________．解析：∵f ′(x )＝11＋x－1＋2x ，∴f ′(1)＝32，f (1)＝ln 2，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.答案：3x －2y ＋2ln 2－3＝0角度二：确定切点坐标2．已知函数f (x )＝e xx (x >0)，直线l ：x －ty －2＝0.若直线l 与曲线y ＝f (x )相切，则切点横坐标的值为________．解析：由f (x )＝e xx (x >0)，得f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x (x －1)x 2(x >0)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 根据直线l 的方程x ＝ty ＋2，可得l 恒过点(2,0)．①当t ＝0时，直线l ：x ＝2垂直于x 轴，不与曲线y ＝f (x )相切，舍去；②当t ≠0时，设切点A (x 0，y 0)，直线l 可化为y ＝1t x －2t ，斜率k ＝1t ＝f ′(x 0)＝e x 0(x 0－1)x 20，又直线l 和曲线y ＝f (x )均过点A (x 0，y 0)，则满足y 0＝1t x 0－2t ＝e x 0x 0，所以e x 0(x 0－1)x 20＝e x 0(x 0－1)x 0·x 0＝⎝⎛⎭⎫1t x 0－2t ·x 0－1x 0＝x 0－2t ·x 0－1x 0＝1t ，两边约去t 后，可得(x 0－2)·x 0－1x 0＝1，化简得x 20－4x 0＋2＝0， 解得x 0＝2±2.综上所述，切点的横坐标为2±2. 答案：2±2角度三：已知切线求参数值或范围3．(2017·武汉一模)已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 上存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知曲线上存在某点的导数值为1， 所以y ′＝2ax ＋3－1x ＝1有正根， 即2ax 2＋2x －1＝0有正根．当a ≥0时，显然满足题意；当a ＜0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a ＜0.综上，a ≥－12.答案：⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ 4．若两曲线y ＝x 2－1与y ＝a ln x －1存在公切线，则正实数a 的取值范围是________． 解析：设y ＝a ln x －1的切点为(x 0，y 0)，求导y ′＝ax ，则切线的斜率为ax 0，所以公切线方程为y －(a ln x 0－1)＝ax 0(x －x 0)，联立方程y ＝x 2－1可得x 2－ax 0x ＋a －a ln x 0＝0，由题意，可得Δ＝⎝⎛⎭⎫－ax 02－4(a －a ln x 0)＝0， 则a ＝4x 20(1－ln x 0)．令f (x )＝4x 2(1－ln x )(x >0)，则f ′(x )＝4x (1－2ln x )，易知，函数f (x )＝4x 2(1－ln x )在(0，e)上是增函数，在(e ，＋∞)上是减函数， 所以函数f (x )＝4x 2(1－ln x )的最大值是f (e)＝2e ， 则正实数a 的取值范围是(0,2e]． 答案：(0,2e]角度四：切线的综合应用5．已知函数f (x )＝m ln(x ＋1)，g (x )＝xx ＋1(x >－1)． (1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )在(－1，＋∞)上的单调性；(2)若y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且仅有一条公切线，试求实数m 的值． 解：(1)F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝m x ＋1－1(x ＋1)2＝m (x ＋1)－1(x ＋1)2(x >－1)， 当m ≤0时，F ′(x )<0，函数F (x )在(－1，＋∞)上单调递减．当m >0时，由F ′(x )<0，得－1<x <－1＋1m ，所以函数F (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－1＋1m 上单调递减；由F ′(x )>0，得x >－1＋1m ，所以函数F (x )在⎝⎛⎭⎫－1＋1m ，＋∞上单调递增． 综上所述，当m ≤0时，函数F (x )在(－1，＋∞)上单调递减，当m >0时，函数F (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－1＋1m 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－1＋1m ，＋∞上单调递增． (2)函数f (x )＝m ln(x ＋1)在点(a ，m ln(a ＋1))处的切线方程为y －m ln(a ＋1)＝ma ＋1(x －a )， 即y ＝m a ＋1x ＋m ln(a ＋1)－maa ＋1.函数g (x )＝x x ＋1在点⎝⎛⎭⎫b ，b b ＋1处的切线方程为y －b b ＋1＝1(b ＋1)2(x －b )，即y ＝1(b ＋1)2x ＋b 2(b ＋1)2.因为y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且仅有一条公切线，即⎩⎨⎧ma ＋1＝1(b ＋1)2， ①m ln (a ＋1)－ma a ＋1＝b 2(b ＋1)2， ②所以有唯一数对(a ，b )，满足这个方程组，由①得a ＋1＝m (b ＋1)2，代入②消去a 整理得：2m ln(b ＋1)＋2b ＋1＋m ln m －m －1＝0，关于b (b >－1)的方程有唯一的解，令h (b )＝2m ln(b ＋1)＋2b ＋1＋m ln m －m －1， 则h ′(b )＝2m b ＋1－2(b ＋1)2＝2[m (b ＋1)－1](b ＋1)2， 方程组有解时，m >0，所以h (b )在⎝⎛⎭⎫－1，－1＋1m 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－1＋1m ，＋∞上单调递增，所以h (b )min ＝h ⎝⎛⎭⎫－1＋1m ＝m －m ln m －1， 因为b →＋∞，h (b )→＋∞，b →－1，h (b )→＋∞， 所以只需m －m ln m －1＝0.令p (m )＝m －m ln m －1，则p ′(m )＝－ln m 在m >0时为单调递减函数，且m ＝1时，p ′(m )＝0.所以p (m )max ＝p (1)＝0，所以m ＝1时，关于b (b >－1)的方程2m ln(b ＋1)＋2b ＋1＋m ln m －m －1＝0有唯一解，此时a ＝b ＝0，公切线为y ＝x .[方法技巧]利用导数解决切线问题的方法(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0求解．定积分及应用[典例] (1)(2018·东营模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎛02f(x)d x 等于( )A.34 B.45 C.56D ．不存在(2)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1)，x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛-12f (x )dx 的值为( )A.π2＋43 B.π2＋3 C.π4＋43D.π4＋3 (3)设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.[解析] (1)如图，⎠⎛02f (x )dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛12(2－x )dx ＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56.(2) ⎠⎛-12f (x )dx ＝⎠⎛-111－x 2dx ＋⎠⎛12(x 2－1)dx ，因为⎠⎛1－11－x 2d x 表示圆心在原点，半径为1的上半圆的面积，则⎠⎛-111－x 2dx ＝π2；⎠⎛12 (x 2－1)dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－x 21＝43， 所以⎠⎛-12f (x )dx ＝π2＋43.(3)封闭图形如图所示， 则⎠⎛0ax dx ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.[答案] (1)C (2)A (3)49[方法技巧]求定积分的2种方法及注意事项(1)定理法运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： ①对被积函数要先化简，再求积分；②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； ④注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错． (2)面积法根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． [即时演练]1．(2018·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：选C ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )10＝1＋e 1－1＝e .故选C .2．直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2所围成封闭图形的面积为________． 解析：如图，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x 2，可得x 1＝－1，x 2＝3，故所求图形面积为S ＝⎠⎛-13 [(2x ＋3)－x 2]dx ＝⎠⎛-13－1(2x ＋3)dx －⎠⎛-13x 2dx ＝(x 2＋3x ) ⎪⎪⎪3-1－13x 3⎪⎪⎪3-1＝323.答案：3233．如图，在长方形OABC 内任取一点P ，则点P 落在阴影部分的概率为________．解析：由图知长方形OABC 的面积为e ；函数y ＝a x 过点(1，e )，则a ＝e ，所以曲线的方程为y ＝e x ，A ，D 在直线y ＝1－x 上， 所以阴影部分的面积S ＝⎠⎛01(e x ＋x －1)dx ＝⎝⎛⎭⎫e x ＋12x 2－x 10＝e －32， 所以在长方形OABC 内任取一点P ，则点P 落在阴影部分的概率P ＝e －32e ＝1－32e .答案：1－32e1．(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 2．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2x －1x 2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝03．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：y ＝ln x ＋2的切线方程为： y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)， y ＝ln(x ＋1)的切线方程为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点的横坐标为x 2)， ∴⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 答案：1－ln 24．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：15．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x，y ′x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ， 得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案：8一、选择题1．若a ＝⎠⎛02x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫x －a ＋1x 6展开式中的常数项是( )A ．20B ．－20C ．－540D ．540解析：选C a ＝⎠⎛02xdx ＝12x ⎪⎪⎪20＝2，则⎝⎛⎭⎫x －3x 6展开式的通项T r ＋1＝(－3)r C r 6x 6－2r，令6－2r ＝0可得r ＝3，则常数项是T 4＝(－3)3C 36＝－540.2．(2018·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：选A ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， ∴y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，y ′|x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)， 即y ＝2x ＋1.3．(2018·济南一模)已知曲线f (x )＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C .1eD ．－1e解析：选C 法一：∵f (x )＝ln x ，x ∈(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1x.设切点P(x 0，ln x 0)，则切线的斜率为k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝k OP ＝ln x 0x 0.∴ln x 0＝1，∴x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e .法二：(数形结合法)：在同一坐标系下作出y ＝ln x 及曲线y ＝ln x 经过原点的切线，由图可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C .4．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴直线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1， 又因为y 0＝12x 20＋mx 0＋72(m ＜0)， 解得m ＝－2，故选D.5．(2018·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A .⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C .⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6 解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 6．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( ) A ．x ＋4y －2＝0 B ．x －4y ＋2＝0 C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0解析：选A y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x ＋1ex ＋2，因为e x ＞0，所以e x ＋1e x ≥2e x ×1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x ＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1ex ＋2≥－14(当x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A . 二、填空题7．若a 和b 是计算机在区间(0,2)上产生的随机数，那么函数f(x)＝lg (ax 2＋4x ＋4b)的值域为R 的概率为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <2，0<b <2所表示的平面区域是正方形，其面积为4.因为函数f (x )＝lg(ax 2＋4x ＋4b )的值域为R ，所以ax 2＋4x ＋4b 取遍所有的正数，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－16ab ≥0，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ab ≤1，如图所示，不等式⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，ab ≤1所表示的图形的面积S ＝2×12＋⎠⎛2121a d a ＝1＋ln a 212＝1＋2ln 2，所以所求事件的概率为1＋2ln 24.答案：1＋2ln 248．已知函数f (x )＝e ax ＋bx (a <0)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝5x ＋1，且f (1)＋f ′(1)＝12.则a ，b 的值分别为________．解析：f (x )＝e ax ＋bx ，那么f ′(x )＝a e ax ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝5，f (1)＋f ′(1)＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝5，a e a ＋b ＋b ＋e a＝12，化简得(e a －2)(a ＋1)＝0， 由a <0，得a ＝－1，b ＝6. 答案：－1,69．(2017·东营一模)函数f (x )＝x ln x 在点P(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P(x 0，f (x 0))的坐标为________．解析：∵f (x )＝x ln x ， ∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1⇔ln x 0＋1＝1⇔ln x 0＝0⇔x 0＝1，∴P(1,0)． 答案：(1,0)10．设过曲线f (x )＝－e x －x(e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，则m 的取值范围是________．解析：设曲线f (x )上任意一点A(x 1，y 1)，曲线g(x )上存在一点B(x 2，y 2)，f ′(x )＝－e x－1，g ′(x )＝m －3cos x .由题意可得f ′(x 1)g ′(x 2)＝－1，且f ′(x 1)＝－ex 1－1∈(－∞，－1)，g ′(x 2)＝m －3cos x 2∈[m －3，m ＋3]．因为过曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，所以(0,1)⊆[m －3，m ＋3]，所以m －3≤0，且m ＋3≥1，解得－2≤m ≤3. 答案：[－2,3] 三、解答题11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ， 则由题意，及(1)可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)． 12．已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(3－a )ln x ，a ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＋1＝0垂直，求a 的值； (2)设f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：f (x 1)＋f (x 2)>－5. 解：(1)∵f ′(x )＝x －a ＋3－a x ＝x 2－ax ＋3－ax，由题意知4－2a ＝－12，解得a ＝94.(2)证明：由题意知，x 1，x 2为f ′(x )＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4(3－a )>0，a >0，3－a >0，∴2<a <3.又x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝3－a ， ∴f (x 1)＋f (x 2)＝12(x 21＋x 22)－a (x 1＋x 2)＋(3－a )ln x 1x 2 ＝－12a 2＋a －3＋(3－a )ln(3－a )．设h (a )＝－12a 2＋a －3＋(3－a )ln(3－a )，a ∈(2,3)，则h ′(a )＝－a －ln(3－a )， h ″(a )＝－1＋13－a ＝a －23－a>0，故h ′(a )在(2,3)上递增． 又h ′(2)＝－2<0，a →3时，h ′(a )→＋∞，∴∃a 0∈(2,3)，当a ∈(2，a 0)时，h (a )递减，当a ∈(a 0,3)时，h (a )递增，∴h (a )min ＝h (a 0)＝－12a 20＋a 0－3＋(3－a 0)·(－a 0)＝12a 20－2a 0－3＝12(a 0－2)2－5>－5， ∴∀a ∈(2,3)，h (a )>－5， 综上，f (x 1)＋f (x 2)>－5.1．(2018·广东七校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0<x 0<12B.12<x 0<1 C.22<x 0< 2 D.2<x 0< 3解析：选D y ＝ln x ，x ∈(0,1)的导数y ′＝1x >1，设切点为(t ，ln t )，则切线l 的方程为y ＝1t x ＋ln t －1，因为函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线l 的斜率为2x 0， 则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切， 则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1t ，x 20＝1－ln t ，则1＋ln 2x 0＝x 20，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x 2－ln 2x －1，x ∈(1，＋∞)， 所以该函数的零点就是x 0，则排除A 、B ；又因为g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x>0，所以函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增．又g (1)＝－ln 2<0，g (2)＝1－ln 22<0，g (3)＝2－ln 23>0， 从而2<x 0< 3.2．函数y ＝f (x )图象上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k M ，k N ，规定φ(M ，N )＝|k M －k N ||MN |(|MN |为线段MN 的长度)叫做曲线y ＝f (x )在点M 与点N 之间的“弯曲度”．设曲线f (x )＝x 3＋2上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且x 1x 2＝1，则φ(M ，N )的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2，设x 1＋x 2＝t (|t |>2)， 则φ(M ，N )＝|3x 21－3x 22|(x 1－x 2)2＋(x 31＋2－x 32－2)2 ＝|3x 21－3x 22|(x 1－x 2)2[1＋(x 21＋x 1x 2＋x 22)2]＝3|x 1－x 2|·|x 1＋x 2||x 1－x 2|1＋[(x 1＋x 2)2－x 1x 2]2＝3|x 1＋x 2|1＋[(x 1＋x 2)2－1]2＝3|t |1＋(t 2－1)2＝3t 2＋2t2－2.设g (x )＝x ＋2x ，x >4，则g ′(x )＝1－2x 2>0，所以g (x )在(4，＋∞)上单调递增，所以g (x )>g (4)＝92. 所以t 2＋2t 2－2>52，所以0<φ(M ，N )<3105.答案：⎝⎛⎭⎫0，3105高考研究课(二) 函数单调性必考，导数工具离不了 [全国卷5年命题分析][典例] (2016·山东高考节选)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R ，讨论f (x )的单调性． [解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝(ax 2－2)(x －1)x 3.当a ≤0，x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 当a ＞0时，f ′(x )＝a (x －1)x 3⎝⎛⎭⎫x － 2a ⎝⎛⎭⎫x ＋2a . ①若0＜a ＜2，则 2a＞1， 当x ∈(0,1)或x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1， 2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． ②若a ＝2，则2a＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． ③若a ＞2，则0＜ 2a ＜1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0,1)内单调递增， 在(1，＋∞)内单调递减；当0＜a ＜2时，f (x )在(0,1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎫1， 2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫ 2a ，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增； 当a ＞2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎫ 2a ，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．[方法技巧]导数法判断函数f (x )在(a ，b )内单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[即时演练]1．(2017·芜湖一模)函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A.()0，＋∞ B.()－∞，0 C.()－∞，1D.()1，＋∞解析：选D 由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )＞0，解得x ＞1，故选D.2．(2016·全国卷Ⅱ节选)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x＋x ＋2>0.解：f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． f ′(x )＝(x －1)(x ＋2)e x －(x －2)e x (x ＋2)2＝x 2e x(x ＋2)2≥0，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增． 因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝－1. 所以(x －2)e x >－(x ＋2)，即(x －2)e x ＋x ＋2>0.利用导数研究函数单调性的应用函数的单调性是高考命题的重点，其应用是考查热点.,常见的命题角度有：(1)y ＝f (x )与y ＝f ′(x )的图象辨识； (2)比较大小；(3)已知函数单调性求参数的取值范围； (4)构造函数解不等式.1.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，若函数f (x )的图象如图所示，则一定有( )A ．b >0，c >0B ．b <0，c >0C ．b >0，c <0D ．b <0，c <0解析：选B 由函数的图象与y 轴的交点在原点的上方可知，d >0，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由函数的图象可知，函数f (x )有两个极值点，且先增，再减，最后增，所以方程f ′(x )。

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第四单元导数及其应用教材复习课“导数"相关基础知识一课过导数的基本运算1．基本初等函数的导数公式原函数导函数f（x）＝c(c为常数)f′（x)＝错误!f（x）＝x n（n∈Q＊)f′（x）＝nx n－1f(x)＝sin x f′（x)＝cos_xf(x）＝cos x f′(x)＝－sin_xf(x）＝a x f′（x)＝a x ln_af(x）＝e x f′（x）＝错误!f(x)＝log a x(a〉0，且a≠1）f′（x)＝错误!f(x）＝ln x f′(x)＝错误!2(1)[f(x)±g(x）]′＝f′(x）±g′(x）；(2)[f(x）·g（x）］′＝f′（x）g(x）＋f（x)g′（x）;（3)错误!′＝错误!(g(x）≠0）．［小题速通］1．下列求导运算正确的是( )A。

错误!′＝1＋错误!B．(log2x)′＝错误!C．（3x）′＝3x log3e D．(x2cos x)′＝－2sin x解析：选B 错误!′＝1－错误!;（log2x）′＝错误!；(3x)′＝3x ln 3；（x2cos x)′＝2x cos x－x2sin x，故选B.2．函数f(x）＝(x＋2a)(x－a）2的导数为（)A．2(x2－a2）B．2（x2＋a2)C．3(x2－a2) D．3（x2＋a2)解析：选C ∵f(x)＝（x＋2a)(x－a）2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．3．函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4,则a的值是（)A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析：选D 因为f′(x)＝3ax2＋6x，所以f′(－1）＝3a－6＝4，所以a＝错误!。

第四章第1讲[A 级 基础达标]1．若f (x )＝x cos x ，则函数f (x )的导函数f ′(x )＝( ) A ．1－sin x B ．x －sin x C ．sin x ＋x cos x D ．cos x －x sin x【答案】D2．(2020年某某月考)设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝e x ln x ＋1x －1，则f ′(1)＝( )A ．e －3B ．e －2C ．e －1D ．e 【答案】C3．(2020年某某一中模拟)曲线f (x )＝2e x sin x 在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝2x C ．y ＝x D ．y ＝－2x 【答案】B4．一质点沿直线运动，如果由始点出发经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末 【答案】D5．(多选)下列求导数的运算正确的有( ) A ．(sin x )′＝cos x B ．⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2 C ．(log 3x )′＝13ln xD ．(ln x )′＝1x【答案】AD6．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．2B ．－2C ．94D ．－94【答案】D 【解析】因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x .令x＝2，则f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，所以f ′(2)＝－94.7．已知曲线y ＝1x ＋a ln x ＋ln a 在x ＝1处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．【答案】4 【解析】根据题意，曲线y ＝1x ＋a ln x ＋ln a ，则y ′＝－1x 2＋ax，则有y ′|x＝1＝ax ＝1处的切线的斜率k ＝ax ＝1处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则k ＝a －1＝3，解得a ＝4.8．(2020年某某模拟)函数f (x )＝x e x 的图象在点P (1，e)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________．【答案】e4【解析】f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝2e ，所以曲线y＝f (x )在(1，e)处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即y ＝2e xy ＝2e x －e 与坐标轴交于点(0，－e)，⎝⎛⎭⎫12，0，所以y ＝2e x －e 与坐标轴围成的三角形面积S ＝12×e ×12＝e 4. 9．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋[f (x )]2的最大值； (2)若f (x 0)＝2f ′(x 0)，求1＋sin 2x 0cos 2x 0－sin x 0cos x 0的值．解：(1)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝cos x －sin x ，代入F (x )＝f (x )f ′(x )＋[f (x )]2，得F (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 当2x ＋π4＝2k π＋π2⇒x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，F (x )max ＝2＋1.(2)由f (x 0)＝2f ′(x 0)，得sin x 0＋cos x 0＝2(cos x 0－sin x 0)，所以cos x 0＝3sin x 0，则tan x 0＝13. 所以1＋sin 2x 0cos 2x 0－sin x 0cos x 0＝2sin 2x 0＋cos 2x 0cos 2x 0－sin x 0cos x 0＝2tan 2x 0＋11－tan x 0＝116.10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′f (2)＝－2，所以曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)．因为f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，所以切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)． 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， 所以x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，所以经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.[B 级 能力提升]11．已知函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12【答案】A 【解析】f ′(x )＝g ′(x )＋2x .因为y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，所以g ′f ′(1)＝g ′(1)＋2×y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为4.12．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B ．32C ．52D ． 2【答案】D 【解析】点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，当过点P 的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小，直线y ＝xy ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，故曲线y ＝x 2－ln x 上和直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y ＝x －2的距离等于2，故点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2.13．若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值X 围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)【答案】D 【解析】f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值X围为[0，＋∞)．14．(多选)已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x【答案】AC 【解析】对于A ，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，故A 符合要求；对于B ，若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，即e －x ＝－e－x ，此方程无解，B不符合要求；对于C ，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，若ln x ＝1x，利用数形结合法可知该方程存在实数解，C 符合要求；对于D ，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝1cos 2x，令f (x )＝f ′(x )，可得sin x cos x ＝1，即sin 2x ＝2，无解，D 不符合要求． 15．已知函数f (x )＝1x ，g (x )＝x 2.若直线l 与曲线f (x )，g (x )都相切，则直线l 的斜率为________．【答案】－4 【解析】因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2，设曲线f (x )与l 切于点⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，则切线斜率k ＝－1x 21，故切线方程为y －1x 1＝－1x 21(x －x 1)，即y ＝－1x 21x ＋2x 1.与g (x )＝x 2联立，得x 2＋1x 21x －2x 1l 与曲线g (x )相切，所以⎝⎛⎭⎫1x 212－4⎝⎛⎭⎫－2x 1＝0，解得x 1＝－12，故斜率k ＝－1x 21＝－4.16．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知，得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， 因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0. 所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)．将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1.当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11. ①由f ′(x )＝0，得－6x 2＋6x ＋12＝0， 解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18； 在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9， 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9. ②由f ′(x )＝12，得－6x 2＋6x ＋12＝12， 解得x ＝0或x ＝1.在x ＝0处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11； 在x ＝1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10. 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线不是y ＝12x ＋9.综上所述，存在k ＝0，使直线m ：y ＝9是y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线．[C 级 创新突破]17. 曲线y ＝－1x (x ＜0)与曲线y ＝ln x 的公切线的条数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】设(x 1，y 1)是公切线和曲线y ＝－1x 的切点，则切线斜率k 1＝1x 21，切线方程为y ＋1x 1＝1x 21(x －x 1)，整理得y ＝1x 21·x －2x 1.设(x 2，y 2)是公切线和曲线y ＝ln x 的切点，则切线斜率k 2＝1x 2，切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，整理得y ＝1x 2·x ＋ln x 21x 21＝1x 2，－2x 1＝ln x 2－1，消去x 2，得－2x 1＝ln x 21－1，设t ＝－x 1＞0，即2ln t －2t －1＝0，只需探究此方程解的个数．易知f (x )＝2ln x －2x －1在(0，＋∞)上单调递增，f (1)＝－3＜0，f (e)＝1－2e ＞0，于是f (x )＝0有唯一解，于是已知两曲线的公切线的条数为1.18．(2020年凉山州模拟)已知函数f (x )＝a ln x (a ＞0)．(1)设函数g (x )＝f (x )－x 2在点(1，g (1))处的切线方程为x －y －2＝0，求a 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2至少有一条公切线，求a 的取值X 围．解：(1)因为g (x )＝f (x )－x 2，所以g (x )＝a ln x －x 2，g ′(x )＝ax－2x (x >0)．又g (x )在(1，g (1))处的切线方程为x －y －2＝0，所以g ′(1)＝1，即a －2＝1，即a ＝3. (2)设公切线l 与f (x )＝a ln x 相切于点(x 0，a ln x 0)，则由f ′(x )＝a x ，得f ′(x 0)＝ax 0，所以公切线l 为y －a ln x 0＝ax 0(x －x 0) ，即y ＝axx 0－a ＋a ln x 0(x 0>0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax x 0－a ＋a ln x 0，y ＝x 2，得x 2－ax x 0＋a －a ln x ＝0.因为直线l 与曲线y ＝x 2相切，所以Δ＝a 2x 20－4(a －a ln x 0)＝0，即a ＝4x 20－4x 20ln x 0(x 0>0，a >0)，设h (x )＝4x 2－4x 2ln x (x >0)，则h ′(x )＝4x (1－2ln x )． 由h ′(x )>0，得0<x <e ；又由h ′(x )<0，得x > e.所以h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以h (x )max ＝h (e)＝2e ，所以0<a ≤2e.所以y ＝f (x ) 与曲线y ＝x 2至少有一条公切线时，a 的取值X 围为(0,2e]．。

第四单元 导数及其应用教材复习课“导数”相关基础知识一课过1．基本初等函数的导数公式2(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)．[小题速通]1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3xlog 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；(log 2x )′＝1x ln 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故选B.2．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3，∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．3．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193 B.163 C.133D.103解析：选D 因为f ′(x )＝3ax 2＋6x ， 所以f ′(－1)＝3a －6＝4， 所以a ＝103.4．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析：因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：3[清易错]1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x n)′＝nxn －1中n ≠0且n ∈Q *，(cosx )′＝－sin x .2．注意公式不要用混，如(a x)′＝a xln a ，而不是(a x)′＝xax －1.1．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，若f ′(x )＝12f (x )，则tan x 的值为( )A ．1B ．－3C ．－1D ．2解析：选B ∵f ′(x )＝(sin x －cos x )′＝cos x ＋sin x ， 又f ′(x )＝12f (x )，∴cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，∴tan x ＝－3.2．若函数f (x )＝2x＋ln x 且f ′(a )＝0，则2aln 2a＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－ln 2D ．ln 2解析：选A f ′(x )＝2x ln 2＋1x ，由f ′(a )＝2a ln 2＋1a ＝0，得2a ln 2＝－1a，则a ·2a·ln 2＝－1，即2a ln 2a＝－1.导数的几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[小题速通]1.(2018·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.2．设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________．解析：因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以切线方程为x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝03．已知曲线y ＝2x 2的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为________．解析：因为y ′＝4x ，设切点为(m ，n )，则4m ＝2，所以m ＝12，则n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，则切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 4．函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x －2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 解析：因为函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝3x －2，所以f ′(1)＝3，且f (1)＝3×1－2＝1，所以f (1)＋f ′(1)＝1＋3＝4.答案：4[清易错]1．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别． 1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1，所以选A.2.(2017·兰州一模)已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________．解析：因为函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋a ＝2，3＝1＋a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.答案：31．函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与f ′(x )的关系 (1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上是增加的． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上是减少的． (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调性及单调区间． [小题速通]1．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)和(2，＋∞)解析：选A 解f ′(x )＝6x 2－18x ＋12<0可得1<x <2，所以单调减区间是(1,2)．2．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是()解析：选D 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．3．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－26] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，62 C ．[－26，＋∞)D ．[－5，＋∞)解析：选C 由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2＋ax ＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g (x )＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－24>0，－a4≤1，g ＝5＋a ≥0⇔－26≤a ≤26或a >26⇔a ≥－26，故选C.[清易错]若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立；若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数，∴f ′(x )≥0恒成立， ∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞1．函数的极大值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值．2．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．[小题速通]1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 由图象及极值点的定义知，f (x )只有一个极小值点．2．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.3．(2017·济宁一模)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B ．1 C ．0D ．不存在解析：选A f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.4．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 有极值，则a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x －a ＋1x ＝x 2－ax ＋1x(x >0)，因为函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 有极值，令g (x )＝x 2－ax ＋1，且g (0)＝1>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 24＋1<0，解得a >2.答案：(2，＋∞)5．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x ＝a3或a .又∵x 1<2<x 2，∴x 1＝a3，x 2＝a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a3<2，∴2<a <6.答案：(2,6)[清易错]1．f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的既不充分也不必要条件．例如，f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点；又如f (x )＝|x |，x ＝0是它的极小值点，但f ′(0)不存在．2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论． 1．(2017·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝ln(－x )C ．y ＝x e －xD ．y ＝x ＋2x解析：选D 因为A 、B 为单调函数，所以不存在极值，C 不是奇函数，故选D.2．设函数f (x )＝x 3－3x ＋1，x ∈[－2,2]的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )>0可得x >1或x <－1， 由f ′(x )<0可得－1<x <1，所以函数f (x )的增区间是[－2，－1]，[1,2]，减区间是[－1,1]． 又因为f (－2)＝－1，f (－1)＝3，f (1)＝－1，f (2)＝3， 所以M ＝3，m ＝－1， 所以M ＋m ＝2.答案：2一、选择题1．已知函数f (x )＝log a x (a>0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( ) A ．e B.1eC.1e2D.12解析：选B 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a ＝－1，所以ln a ＝－1，所以a ＝1e. 2．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 2＋ax ＋b 相切于点A(1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：选C 由曲线y ＝x 2＋ax ＋b ，得y ′＝2x ＋a ， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝3，k ＝2＋a ，1＋a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，a ＝0，b ＝2，所以2a ＋b ＝2.3．函数y ＝2x 3－3x 2的极值情况为( )A ．在x ＝0处取得极大值0，但无极小值B ．在x ＝1处取得极小值－1，但无极大值C ．在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1D ．以上都不对解析：选C y ′＝6x 2－6x ，由y ′＝6x 2－6x >0，可得x >1或x <0， 即单调增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)． 由y ′＝6x 2－6x <0，可得0<x <1，即单调减区间是(0,1)，所以函数在x ＝0处取得极大值0，在x ＝1处取得极小值－1. 4．若f(x)＝－12x 2＋m ln x 在(1，＋∞)是减函数，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)解析：选C 由题意，f ′(x )＝－x ＋m x≤0在(1，＋∞)上恒成立，即m ≤x 2在(1，＋∞)上恒成立，又因为x 2>1，所以m ≤1.5．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝(x －2)e x，令f ′(x )>0，解得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.6．已知函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B f(x)＝x(x 2－2mx ＋m 2)＝x 3－2mx 2＋m 2x ，所以f′(x)＝3x 2－4mx ＋m 2＝(x －m)(3x －m)．由f′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3.当m ＝3时，f′(x)＝3(x －1)(x －3)，当1<x<3时，f′(x)<0，当x<1或x>3时，f′(x)>0，此时在x ＝1处取得极大值，不合题意，∴m＝1，此时f′(x)＝(x －1)(3x －1)，当13<x <1时，f′(x)<0，当x<13或x>1时，f′(x)>0，此时在x ＝1处取得极小值．选B .7．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12解析：选A 已知曲线y ＝x 24－3ln x (x >0)的一条切线的斜率为12，由y ′＝12x －3x ＝12，得x ＝3，故选A.8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x，x ≤0，x 3－3x ＋a ，x >0的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2,3] B ．(2,3] C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)解析：选A 当x ≤0时，0≤f (x )＝1－2x<1； 当x >0时，f (x )＝x 3－3x ＋a ，f ′(x )＝3x 2－3， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取得最小值f (1)＝1－3＋a ＝a －2.由题意得0≤a －2≤1，解得2≤a ≤3，选A.二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋a x，要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则需方程1＋a x＝0在(0，＋∞)上有解，即x ＝－a ，∴a <0.答案：(－∞，0)10．已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x－2f ′(－1)x ＋3，∴f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3， ∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：811．已知函数f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋3＝72，∴f (1)＋f ′(1)＝72＋12＝4.答案：412．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)ex －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式2m －1≥g (x 0)成立，则实数m 的取值范围为________．解析：g ′(x )＝g ′(1)ex －1－g (0)＋x ，令x ＝1时，得g ′(1)＝g ′(1)－g (0)＋1， ∴g (0)＝1，g (0)＝g ′(1)e 0－1＝1，∴g ′(1)＝e ，∴g (x )＝e x －x ＋12x 2，g ′(x )＝e x－1＋x ，当x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0， ∴当x ＝0时，函数g (x )取得最小值g (0)＝1. 根据题意得2m －1≥g (x )min ＝1，∴m ≥1. 答案：[1，＋∞) 三、解答题13．已知函数f (x )＝x ＋a x＋b (x ≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恒成立，求实数b 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝1－a x2(x ≠0)，由已知及导数的几何意义得f ′(2)＝3，则a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7，解得b ＝9，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x＋9.(2)由(1)知f ′(x )＝1－a x2(x ≠0)．当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：减函数．(3)由(2)知，对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤10，f，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394－4a ，b ≤9－a对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2成立，从而得b ≤74，所以实数b 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，74.14．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝14－a x 2－1x(x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，无极大值． 高考研究课(一)导数运算是基点、几何意义是重点 [全国卷5年命题分析][典例] (1)(2018·惠州模拟)已知函数f (x )＝x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π(2)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 018(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．sin x ＋cos xD ．cos x －sin x(3)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1D ．e[解析] (1)∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x(－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. (2)∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，∴f n(x)是以4为周期的函数，∴f2 018(x)＝f2(x)＝cos x－sin x，故选D.(3)由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x .∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.[答案] (1)C (2)D (3)B[方法技巧]1．可导函数的求导步骤(1)分析函数y＝f(x)的结构特点，进行化简；(2)选择恰当的求导法则与导数公式求导；(3)化简整理答案．2．求导运算应遵循的原则求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．[即时演练]1．(2018·江西九校联考)已知y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，则y′＝( )A．3x2－12x＋6 B．x2＋12x－11C．x2＋12x＋6 D．3x2＋12x＋11解析：选D 法一：y′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝3x2＋12x＋11.法二：∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.2．已知函数f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝________.解析：f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e.答案：e导数的几何意义问中，难度较低，属中、低档题.常见的命题角度有：求切线方程；确定切点坐标；已知切线求参数值或范围； 切线的综合应用. 角度一：求切线方程1．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是________． 解析：∵f ′(x )＝11＋x －1＋2x ，∴f ′(1)＝32，f (1)＝ln 2，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.答案：3x －2y ＋2ln 2－3＝0角度二：确定切点坐标2．(2018·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点M 在曲线C ：y ＝x 3－x －1上，且在第三象限内，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，∴3x 2－1＝2，x ＝±1， 又∵点M 在第三象限，∴x ＝－1，∴y ＝(－1)3－(－1)－1＝－1， ∴点M 的坐标为(－1，－1)． 答案：(－1，－1)角度三：已知切线求参数值或范围3．(2017·武汉一模)已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 上存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知曲线上存在某点的导数值为1， 所以y ′＝2ax ＋3－1x＝1有正根，即2ax 2＋2x －1＝0有正根． 当a ≥0时，显然满足题意；当a ＜0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a ＜0.综上，a ≥－12.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ 4．若两曲线y ＝x 2－1与y ＝a ln x －1存在公切线，则正实数a 的取值范围是________． 解析：设y ＝a ln x －1的切点为(x 0，y 0)，求导y ′＝ax，则切线的斜率为a x 0，所以公切线方程为y －(a ln x 0－1)＝a x 0(x －x 0)， 联立方程y ＝x 2－1可得x 2－a x 0x ＋a －a ln x 0＝0， 由题意，可得Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x 02－4(a －a ln x 0)＝0， 则a ＝4x 20(1－ln x 0)．令f (x )＝4x 2(1－ln x )(x >0)，则f ′(x )＝4x (1－2ln x )，易知，函数f (x )＝4x 2(1－ln x )在(0，e)上是增函数，在(e ，＋∞)上是减函数， 所以函数f (x )＝4x 2(1－ln x )的最大值是f (e)＝2e ， 则正实数a 的取值范围是(0,2e]． 答案：(0,2e]角度四：切线的综合应用5．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)． (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f (1)＝0，f ′(x )＝ln x ＋1x－3，f ′(1)＝－2.故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0等价于ln x －a x －x ＋1＞0.设g (x )＝ln x －a x －x ＋1，则g ′(x )＝1x－2a x ＋2＝x 2＋－a x ＋1x x ＋2，g (1)＝0. ①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1＞0，故g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此g (x )＞0；②当a ＞2时，令g ′(x )＝0， 得x 1＝a －1－a －2－1，x 2＝a －1＋a －2－1.由x 2＞1和x 1x 2＝1得x 1＜1， 故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )＜0，g (x )在(1，x 2)上单调递减，因此g (x )＜0.综上，a 的取值范围是(－∞，2]． [方法技巧]利用导数解决切线问题的方法(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解．1．(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 2．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2x －1x 2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝03．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：y ＝ln x ＋2的切线方程为：y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)，y ＝ln(x ＋1)的切线方程为：y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点的横坐标为x 2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝x 2＋－x 2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 答案：1－ln 24．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1.又f (1)＝a ＋2， ∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：15．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x，y ′x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋a ＋x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案：8一、选择题1．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′x ＝π2＝－1，由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.2．(2018·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：选A ∵y＝1－2x ＋2＝x x ＋2， ∴y ′＝x ＋2－xx ＋22＝2＋2，y ′|x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)， 即y ＝2x ＋1.3．(2018·济南一模)已知曲线f (x )＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( )A ．eB ．－eC .1eD ．－1e解析：选C 法一：∵f (x )＝ln x ，x ∈(0，＋∞)， ∴f ′(x )＝1x .设切点P(x 0，ln x 0)，则切线的斜率为k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝k OP ＝ln x 0x 0.∴ln x 0＝1，∴x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e.法二：(数形结合法)：在同一坐标系下作出y ＝ln x 及曲线y ＝ln x 经过原点的切线，由图可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C .4．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴直线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1， 又因为y 0＝12x 20＋mx 0＋72(m ＜0)，解得m ＝－2，故选D.5．(2018·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，πB.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πC .⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎥⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π.6．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为( ) A ．x ＋4y －2＝0 B ．x －4y ＋2＝0 C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0解析：选A y ′＝－exe x＋2＝－1e x ＋1ex ＋2，因为e x ＞0，所以e x＋1e x ≥2e x ×1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x ＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1ex ＋2≥－14(当x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A .二、填空题7．已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：由题意，当x >0时，则－x <0，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，则f ′(x )＝1x－3，所以曲线y＝f (x )在点(1，－3)处的切线的斜率f ′(1)＝－2，则切线方程为y －(－3)＝－2(x －1)，即2x ＋y ＋1＝0.答案：2x ＋y ＋1＝08．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________． 解析：∵y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2， ∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)，令y ＝0，得x ＝1，令x ＝0，得y ＝－1ln 2，∴所求三角形面积为S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2.答案：12ln 29．(2017·东营一模)函数f (x )＝x ln x 在点P(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P(x 0，f (x 0))的坐标为________．解析：∵f (x )＝x ln x ， ∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1⇔ln x 0＋1＝1⇔ln x 0＝0⇔x 0＝1， ∴f (x 0)＝1·ln 1＝0， ∴P(1,0)． 答案：(1,0)10．设过曲线f (x )＝－e x－x(e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，则m 的取值范围是________．解析：设曲线f (x )上任意一点A(x 1，y 1)，曲线g(x )上存在一点B(x 2，y 2)，f ′(x )＝－e x－1，g ′(x )＝m －3cos x .由题意可得f ′(x 1)g ′(x 2)＝－1，且f ′(x 1)＝－ex 1－1∈(－∞，－1)，g ′(x 2)＝m －3cos x 2∈[m －3，m ＋3]．因为过曲线f (x )＝－e x－x (e 为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l 1，总存在过曲线g (x )＝mx －3sin x 上的一点处的切线l 2，使l 1⊥l 2，所以(0,1)⊆[m －3，m ＋3]，所以m －3≤0，且m ＋3≥1，解得－2≤m≤3. 答案：[－2,3] 三、解答题11．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由题意，及(1)可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)． 12．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝e xcos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝e xcos x －x ，所以f ′(x )＝e x(cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x(cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e xsin x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1， 最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.1．(2018·广东七校联考)已知函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0<x 0<12B.12<x 0<1 C.22<x 0< 2 D.2<x 0< 3解析：选D y ＝ln x ，x ∈(0,1)的导数y ′＝1x>1，设切点为(t ，ln t )，则切线l 的方程为y ＝1tx ＋ln t －1，因为函数y ＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线l 的斜率为2x 0， 则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，因为l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切， 则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1t ，x 20＝1－ln t ，则1＋ln 2x 0＝x 20，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x 2－ln 2x －1，x ∈(1，＋∞)， 所以该函数的零点就是x 0，则排除A 、B ； 又因为g ′(x )＝2x －1x＝2x 2－1x>0，所以函数g (x )在(1，＋∞)上单调递增．又g (1)＝－ln 2<0，g (2)＝1－ln 22<0，g (3)＝2－ln 23>0， 从而2<x 0< 3.2．函数y ＝f (x )图象上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)处的切线的斜率分别是k M ，k N ，规定φ(M ，N )＝|k M －k N ||MN |(|MN |为线段MN 的长度)叫做曲线y ＝f (x )在点M 与点N 之间的“弯曲度”．设曲线f (x )＝x 3＋2上不同两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且x 1x 2＝1，则φ(M ，N )的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2，设x 1＋x 2＝t (|t |>2)， 则φ(M ，N )＝|3x 21－3x 22|x 1－x 22＋x 31＋2－x 32－2＝|3x 21－3x 22|x 1－x 22[1＋x 21＋x 1x 2＋x 222]＝3|x 1－x 2|·|x 1＋x 2||x 1－x 2|1＋x 1＋x 22－x 1x 2]2＝3|x 1＋x 2|1＋x 1＋x 22－1]2＝3|t |1＋t 2－2＝3t 2＋2t2－2.设g (x )＝x ＋2x ，x >4，则g ′(x )＝1－2x2>0，所以g (x )在(4，＋∞)上单调递增，所以g (x )>g (4)＝92. 所以t 2＋2t 2－2>52，所以0<φ(M ，N )<3105.答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，3105高考研究课二函数单调性必考，导数工具离不了[全国卷5年命题分析]考点 考查频度 考查角度函数单调性5年8考讨论单调性及证明单调性问题函数单调性的判断[典例] 设函数f (x )22[解] 由f (x )＝－a 2ln x ＋x 2－ax ，可知f ′(x )＝－a 2x ＋2x －a ＝2x 2－ax －a2x＝x ＋ax －ax(x >0)．若a >0，则当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；若a ＝0，则f ′(x )＝2x >0在x ∈(0，＋∞)内恒成立，函数f (x )单调递增；若a <0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．[方法技巧]导数法判断函数f (x )在(a ，b )内单调性的步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． [即时演练]1．(2017·芜湖一模)函数f (x )＝e x－e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A.()0，＋∞B.()－∞，0C.()－∞，1D.()1，＋∞解析：选D 由题意知，f ′(x )＝e x－e ，令f ′(x )＞0，解得x ＞1，故选D. 2．(2016·全国卷Ⅱ节选)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x＋x ＋2>0.解：f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)．f ′(x )＝x －x ＋x－x －xx ＋2＝x 2e xx ＋2≥0，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增． 因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝－1. 所以(x －2)e x>－(x ＋2)，即(x －2)e x＋x ＋2>0.y ＝f x 与y fx 的图象辨识；比较大小；已知函数单调性求参数的取值范围；构造函数解不等式角度一：1.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，若函数f (x )的图象如图所示，则一定有( )A ．b >0，c >0B ．b <0，c >0C ．b >0，c <0D ．b <0，c <0解析：选B 由函数的图象与y 轴的交点在原点的上方可知，d >0，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由函数的图象可知，函数f (x )有两个极值点，且先增，再减，最后增，所以方程f ′(x )＝0有两个大于0不同的实根，且a >0，由根与系数的关系可得－2b 3a >0，c3a>0，则b <0，c >0.2.已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )解析：选B 由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象自左至右是先增后减，可知函数y ＝f (x )图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．角度二：比较大小3．已知函数F (x )＝xf (x )，f (x )满足f (x )＝f (－x )，且当x ∈(－∞，0]时，F ′(x )<0成立，若a ＝20.1·f (20.1)，b ＝ln 2·f (ln 2)，c ＝log 212·f ⎝⎛⎭⎪⎫log 212，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b解析：选C 因为f (x )＝f (－x )，所以f (x )是偶函数，则函数F (x )＝xf (x )是奇函数． 因为当x ∈(－∞，0]时，F ′(x )<0成立， 所以F (x )在(－∞，0]上是减函数， 所以F (x )在R 上是减函数，因为20.1>1,0<ln 2<1，log 212＝－1<0，所以c >b >a .角度三：已知函数单调性求参数的取值范围4．(2018·宝鸡一检)已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋a ln x ，若函数f (x )在(1,2)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－6，＋∞)B ．(－∞，－16)C ．(－∞，－16]∪[－6，＋∞)D ．(－∞，－16)∪(－6，＋∞)解析：选C ∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ＋4＋a x ＝2x 2＋4x ＋ax ，f (x )在(1,2)上是单调函数，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立， 即2x 2＋4x ＋a ≥0或2x 2＋4x ＋a ≤0在(1,2)上恒成立， 即a ≥－()2x 2＋4x 或a ≤－(2x 2＋4x )在(1,2)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋4x )，1＜x ＜2， 则－16＜g (x )＜－6， ∴a ≥－6或a ≤－16，故选C.5．(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x＝－x －x －x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，∴1∈(t ，t ＋1)或3∈(t ，t ＋1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧t ＜1，t ＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＜3，t ＋1＞3⇔0＜t ＜1或2＜t ＜3.答案：(0,1)∪(2,3) [方法技巧]由函数的单调性求参数的范围的方法(1)可导函数f (x )在D 上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)对x ∈D 恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．(4)若已知f (x )在D 上不单调，则f (x )在D 上有极值点，且极值点不是D 的端点． 角度四：构造函数解不等式6．已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，且f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，则不等式f (x )<ex －2的解集为( )A ．(－∞，e)B ．(1，＋∞)C ．(1，e)D ．(e ，＋∞) 解析：选B 令g (x )＝f xex －2，g ′(x )＝f x －f xex －2<0，所以函数g (x )＝f xex －2是减函数，又g (1)＝1，所以不等式f (x )<e x －2的解集为(1，＋∞)．7．设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)－f (－1)<0的解集为________．解析：令g (x )＝x 2f (x )，由2f (x )＋xf ′(x )>x 2(x <0)，得g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )]<x 3<0，故函数g (x )＝x 2f (x )在(－∞，0)上是减函数，故由不等式(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)－f (－1)<0，可得－1<x ＋2 018<0，即－2 019<x <－2 018，所以不等式的解集为(－2 019，－2 018)．答案：(－2 019，－2 018)1．(2016·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 解析：选C 法一：取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A 、B 、D.故选C.法二：函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos 2x＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧g＝－43＋a ＋53≥0，g－＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.故选C.2．(2014·全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x.因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x<1，所以k ≥1.故选D.3．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x(e x－a )－a 2x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a ＞0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． ③若a ＜0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )＞0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．(2)①若a ＝0，则f (x )＝e 2x，所以f (x )≥0.②若a ＞0，则由(1)得，当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (ln a )＝－a 2ln a . 从而当且仅当－a 2ln a ≥0，即0＜a ≤1时，f (x )≥0.③若a ＜0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.从而当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥0，即－2e 34≤a ＜0时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2e 34，1.一、选择题1．已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－3x (a ∈R)，则函数f (x )的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12B ．(1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12和(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(1，＋∞)解析：选D f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x (x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝1，当0<x <12或x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12和(1，＋∞)．2．(2018·成都外国语学校月考)已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图象大致是( )解析：选A 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，g ′(x )＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增．。