2019134《最短路径问题(1)》教案语文.doc

13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）一、内容和内容解析1.内容利用轴对称研究某些最短路径问题。

2.内容解析最短路径问题是人教版八年级上册第十三章第四节内容，本节课以一个实际问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生将实际问题抽象为数学中线段之和最小问题，并建立数学模型,学会用数学的眼光观察现实世界.初步了解利用图形变换——轴对称的方法来解决最值问题，体会用数学的思维思考现实世界。

从内容上来看，在本章节之前学生已经学习了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，以及简单的轴对称知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节课既轴对称知识运用的延续，从初中数学的角度来看，也是中考数学的热点问题之一，本节课的教学内容是解决中考最值综合问题的基础，具有承上启下作用。

本节课的教学重点:利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

二、目标和目标解析1.目标（1）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。

（2）通过实际问题的提出，能够抽象为数学问题，并建立数学模型，利用所掌握的数学知识完成严谨的推理过程，然后再解决实际问题。

体会数学在实际生活中的价值。

2.目标解析达成目标 1 的标志是:学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线"，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。

达成目标 2 的标志是：课题学习本身是考察综合能力，注重现实背景，学生能从生活中自己发现问题，并抽象成数学模型，掌握转化的探究方法，将不熟悉的模型转化成所学过简单的数学模型，通过合作探究，解决问题。

三、教学问题诊断分析已形成的：我校八年级学生已经学习轴对称相关的简单知识，掌握了“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”等相关理论，思维活跃，敢于尝试，具备一定的动手操作能力和小组合作意识，同时也具备一定的数学抽象能力和数学建模能力。

13.4《最短路径问题（1）》教案13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）13.4.1 将军饮马问题一、教学目标(一) 学习目标1.会利用轴对称解决简单的最短路径问题;2.会利用轴对称解决简单的周长最小问题;3.体会轴对称变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（二）教学重点教学重点：利用轴对称知识将最短路径问题的实际问题转化为“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”的问题.（三）教学难点教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.二、教学过程（一）课前设计1．预习任务前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，”等的问题，我们称它们为问题．【答案】线段最短，垂线段最短，最短路径2．预习自测⑴如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走路最近.你的理由是.【设计意图】让学生回顾旧知“两点之间，线段最短”，为引入新课作准备. 【知识点】两点之间、线段最短【答案】②，两点之间，线段最短（或者三角形中两边之和大于第三边）⑵已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小. 【知识点】两点之间线段最短【思路点拨】依据“两点(直线异侧)一线型”，和“两点之间，线段最短”，则师：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：问题1. 如图，A为马厩，B为帐篷.某一天牧马人要从马厩A出发，牵出马到一条笔直的河边l 饮马，然后蹚水过河，回到对岸的帐篷B．牧马人到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用几何知识回答了这个问题.你能将这个问题抽象为数学问题吗？【知识点】两点之间线段最短【解题过程】连接AB，线段AB与直线l交于点C，到河边l的C处饮马可使马所走的路线全程最短.【思路点拨】将A，B两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线，则AC+BC 的最小值为线段AB的值.此情况可简称为“两点(直线异侧)一线型” .【答案】如图，则点C就是所求点，即在河边l的C处饮马可使他所走的路线全程最短点:●活动②整合旧知，探究新知师：问题解决了，可是将军思考了片刻，又提出了一个新的问题：问题2.牧马人觉得蹚水过河很不方便，决定将帐篷B搬到河的另一侧即与马厩A 位于河的同侧.如图，牧马人从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后回到B地．到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？学者海伦认真思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这就是著名的“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？l将问题2抽象为数学问题：如图，点A，B在直线l的同侧，能不能在直线l 上找到一点C，使AC与BC的和最小？【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短【思路点拨】将A，B两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线. 则“所走的路线全程最短”转化为“在直线l上找到一点C，使AC+BC最小”的数学问题. 此情况可简称为“两点(直线同侧)一线型”.【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的模型．学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.3．尝试解决数学问题●活动③大胆猜想，建立模型【解题过程】（1）作点B关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．【答案】如图，则点C就是所求的点，即在河边l的C处饮马可使马所走的路线全程最短点.师生活动：学生独立思考，尝试画图，相互交流.学生若有困难，教师可作如下提示：⑴若点B与点A在直线异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小；⑵现在点B与点A在直线同侧，能否将点B移到l 的另一侧点B′处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持CB= CB′ ?⑶你能根据轴对称的知识，找到（2）中符合条件的点B′吗？【设计意图】一步一步引导学生，将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路. 通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想.4．证明AC +BC“最短”●活动④反思过程，验证新知证明“最短作图”的正确性：追问1 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′，∴AC+BC=AC+C B′=AB′，AC′+ C′B= AC′+ C′B′．又在△AB′C′中，AB′﹤AC′+B′C′，∴AC+BC﹤AC′+BC′，即AC +BC 最短．●活动⑤集思广益，理解新知追问2：证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′(与点C不重合)？师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC最小．【设计意图】让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力.追问3：回顾探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么来解决问题的？师生活动：学生回答，相互补充.【设计意图】让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.●活动⑥反思总结，归纳新知【方法归纳】1、“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是所求的点.2、求两条线段和最小，关键是运用轴对称的知识将不在同一条直线上的两条线段转化到同一条直线上.练习有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A→B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C 处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置.(保留作图痕迹，不写作法)【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】（1）将树顶C，D抽象为两个点，将路径A→B抽象为一条直线；（2）如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点.【思路点拨】本题为“同侧两点一线型”，通过“作D关于AB的对称点D′”转化为“异侧两点一线型”，再根据“两点之间，线段最短”解决.【答案】如图，则点E就是所求的点.师：海伦善于观察与思考，一天他在旅游途中遇到了一个不同情景的“将军饮马问题”：探究二“一点两线型”的最短周长问题问题3. 如图，有一条河流和一块草地，马厩A 建在河流和草地所成的∠MON 内部.牧马人某一天要从A 牵出马，先到笔直的草地边牧马，再到笔直的河边饮马，然后回到马厩A . 请你帮他确定马这一天行走的最短路线. 【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短 【数学思想】转化、类比【解题过程】分别作点A 关于OM 、ON 的对称点A ′、A ′′，连接A ′A ′′分别交OM 、ON 于E 、F ，此时△AEF 周长有最小值；【思路点拨】（1）将OM ，ON 抽象为两条相交的直线，将马厩A 抽象为一个点；（2）抽象为数学问题：如图，点A 在∠MON 内部，试在OM 、ON 上分别找出两点E 、F ，使△AEF 周长最短；（3）当AE 、EF 和AF 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小，类比“探究一”作图.求三角形周长最短，即求AE +EF +AF 的最小值为A ′A ′′的值，根据轴对称的性质得AE =A ′E ，AF =A ′′F ，再由“两点之间，线段最短”解决.此情况简称为“一点两线型”. 【答案】作图如图1， 则此时点E 、F 使△AEF 周长有最小值．图1E D CA''A'ONM A图2FED CA''A'O NM AE'F'师：能不能类比探究一，证明一下“周长最短作图”的正确性：【理由简要分析】如图2，在OM 上任取一个异于E 的点E′，在ON 上任取一个异于F 的点F′，连接A E′，A ′E′，E′F′，A ″F′，A F′，则A E′＝A ′E′，A F′＝A ″F′，且A ′E′＋E′F′＋F′A ″＞A ′A ″=A ′E ＋EF ＋FA ″= AE ＋EF ＋FA ，所以△AEF 的周长最小，故E ，F 就是我们所求使△AEF 周长最短的点． 练习 如图所示，点P 为∠AOB 内一点，P 1、P 2分别是点P 关于OA 、OB 的对称点，P 1P 2交OA 于点E ，交OB 于点F .若P 1P 2=9，则△PEF 的周长是（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 【知识点】轴对称知识【解题过程】因为P 1、P 2分别是点P 关于OA 、OB 的对称点，根据轴对称的性F质得PE= P1E，PF=FP2，所以PE+EF+PF= P1E+EF+ P2F=P1 P2=9 .【思路点拨】根据轴对称知识，PE+EF+PF= P1E+EF+ P2F= P1 P2，故答案选C.【答案】C师：回到家的海伦继续思考：如果在草地和河流所成的区域里有马厩和帐篷，又怎样设计行走的最短路线呢？探究三“两点两线型”的最短路径问题问题4 如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩A牵出马，先到草地边MN的某一处牧马，再到河边l饮马，然后回到帐篷B.请你帮他确定马这一天行走的最短路线.【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】(1) 作点A关于MN的对称点A′，作B点关于l的对称点B′；(2)连接A′B′，分别交MN于点C、交l于点D，则沿A→C→D→B的路线行走，马一天行走的路程最短．【思路点拨】马一天行走的路程最短即求AC+CD+DB的最小值，AC+CD+DB 的最小值为A′B′的值，根据轴对称的性质得CA=CA′，DB=DB′，再由“两点之间，线段最短”即可解决.此情况简称为“两点两线型”.【答案】如图所示，牧马人沿A→C→D→B的路线行走，所行走的路线最短.练习某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图1所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再去拿糖果，然后到D处座位上，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短.(保留作图痕迹，不写作法)图1图2【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】作法：(1)作点C关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA于P、交OB于Q，那么当小明沿C→P→Q→D 的路线行走时，所走的总路程最短.【思路点拨】“两点两线型”求路径最短，所求CP+PQ+QD的最小值为线段C1D1的值.【答案】作图如图2，小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短. 【设计意图】考查学生解决“最短路径问题”的综合能力.【方法归纳】“一点两线型”求三角形周长最短问题，先作点分别关于两直线的对称点，再连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形. “两点两线型”，也可以为求四边形CPQD的周长最短问题，类比“一点两线型”即可解决.3. 课堂总结师：让我们共同回顾一下古希腊著名的学者海伦所遇到的“将军饮马问题”，总结一下他所解决“最短路径问题”的所用的原理与方法.知识梳理1、利用轴对称知识解决最短路径问题，主要依据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”；2、运用轴对称的知识将“不在同一条直线上的两条线段”转化到“同一条直线上”，然后用“两点之间线段最短”解决问题.重难点归纳：最短路径问题的主要类型▲问题作法图形原理类型一lAB直线异侧有两点：在l上求一点P，使得PA+PB最小连接AB，线段AB与直线l的交点就是点P.lPABPA+PB的最小值为AB的值，两点之间，线段最短lBA⑴作点B关于直线l 的对称点B′；PA+PB的最类型二直线同侧有两点：在l上求一点P，使得PA+PB最小.⑵连接AB′，与直线l相交于点P．则点P即为所求．（同样可作点A的对称点）lPB'BA小值为AB′的值，PB=PB′，两点之间，线段最短类型三O BAP两条相交直线所成的角内有一点P：分别在边OA、OB上求一点E、F，使△EFP的周长最小.⑴分别作点P关于直线OA、OB 的对称点P′、P′′；⑵连接P′P′′，与直线OA、OB分别交于点E、F．则点E、F为所求的点．FEDCP''P'O BAPPE+EF+PF的最小值为P′P′′的值，PE=P′E，PF=FP′′，两点之间，线段最短.类型四PABOQ两条相交直线所成的角内有两点P、Q：分别在边OA、OB上求一点M、N，使得四边形MNPQ的周长最小.⑴作点P、Q分别关于直线OA、OB 的对称点P′、Q′；⑵连接P′Q′，与直线OA、OB分别交于点M、N．则点M、N为所求的点．NMQ'P'PABOQPM+MN+MQ的最小值为P′Q′的值，PM=P′M，NQ=NQ′，两点之间，线段最短.（三）课后作业基础型自主突破1.如图，若将河看作直线l，河的同侧有两个村庄P、Q.现要在l上的某处修建一个水泵站，分别向P、Q两个村庄供水，图中实线表示铺设的管道，下面的四种修建方案中，所需管道最短的是（）【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】（1）作点P关于直线l 的对称点P′；（2）连接QP′，与直线l相交于点M；则在l上的点M修建一个水泵站所需管道最短．【思路点拨】根据“两点一线型”的最短路径模型，故选D.【答案】D2.如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使得点P到点A、点B的距离之和最小，则点P的坐标是（）A. （-2 ，0）B.（4 ，0）C. （2 ，0）D.（0 ，0）【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】如图，作点B 关于x轴的对称点B′（4，-2），过点A作AC⊥x 轴，B′C⊥y轴于E，AC和B′C相交于点C，连接A B′ 交x轴于点P，交y轴于点D∵A（-2，4），B′（4，-2）∴C（-2，-2），E（0，-2），AC=B′C=6. 又∵AC⊥B′C，∴∠CA B′=∠A B′C=45°. ∵DE∥AC，∠DE B′=90°，∴∠ED B′ =∠DB′E=45°，∴DE =EB′=4，D（0，2）.同理可得∠OD P =∠OP D =45°，OP=OD=2 ，∴P（2，0）【思路点拨】在直角坐标系中抽出“两点一线型”的最短路径模型：在直线x轴的同侧有点A和点B点，在直线x轴上找一点P，使PA+PB最小.作图如图，再由图可构造得等腰直角△AC B′，求出坐标.【答案】C3.如图，等边△ABC的边长为6，AD是边BC上的中线，E是AD边上的动点，F是AC边上的一点.若AF=3，当EF+EC取得最小值时，∠ECF的度数是（）A.15°B.22.5°C.30°D.45°【知识点】等腰三角形的“三线合一”、轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】（1）因为等边△ABC的边长为6，又AF=3，所以点F为AC中点.取AB中点F′，则点F与点F′关于直线AD对称；（2）连接CF′，与直线AD相交于点E，此时EF+EC取得最小值.因为CF′是等边△ABC的边AB上的中线，所以CF′平分∠ACB，则∠ECF的度数是30°.（做题前应先忽略原图中的点E，如图1，再根据“两点一线型”的最短距离的模型作图，如图2：）【思路点拨】分离出点F、点C和直线AD，找出“两点一线型”的基本模型是解决本题的关键.连接CF′（或者连接BF）与直线AD交于点E，此时EF+EC取得最小值为CF′（或者BF），但题目要求∠ECF的度数，则只能连接CF′，根据等腰三角形“三线合一”的性质求解.【答案】C4.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，连接BD，且BD⊥CD，∠ADB=∠C. 若P是BC边上的动点，则DP长的最小值为. 【知识点】等角的余角相等、角平分线的性质、垂线段最短【解题过程】过点D作DP⊥BC于P，∵∠A=90°，BD⊥CD，∴△BAD和△BDC都是直角三角形. 又∵∠ADB=∠C，∴∠ABD=∠DBC. ∴BD是∠ABC 的平分线，∴垂线段DP=DA=3.【思路点拨】由题意可得△BAD和△BDC都是直角三角形，又因为∠ADB=∠C，所以∠ABD=∠DBC，则BD是∠ABC的平分线，根据“垂线段最短”和“角平分线的性质”求出DP长的最小值为3.【答案】35.如图，要在河道l边上建立一个水泵站，分别向A、B两个村庄引水，水泵站建在河道的什么地方，才能使输水管道最短？(保留作图痕迹，不写作法)【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】（1）将村庄A、B两地抽象为两个点，将河道l抽象为一条直线；（2）作点B关于直线l 的对称点B′，连接AB′，与直线l相交于点C.【思路点拨】“两点(直线同侧)一线型”，在直线l上找一点C，使AC+CB′最小，AC+CB′的最小值为线段AB′的值，再根据“两点之间，线段最短”解决.【答案】如图，点C即为水泵站建所在的位置：6.已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？(保留作图痕迹，不写作法)【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P′′，连接P′P′′交OA于E、交OB于F，此时△PEF周长有最小值，即乙站在E处、丙站在F处使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮路程和最短，所用的时间也最少.【思路点拨】甲、乙、丙三人的传球速度相同，则当路程和最短时所用的时间最少，这样就转化为“一点两线型”求三角形周长最短问题.在OA、OB上分别找点E、点F，PE+EF+PF的最小值为P′P′′的值，根据轴对称的性质得PE=P′E，PF=FP′′，再由“两点之间，线段最短”解决.【答案】如图所示，因为乙站在OA上，丙站在OB上，所以当乙站在OA上的E处，丙站在OB上的F处时，才能使传球所用时间最少．能力型师生共研7.八年级（6）班同学做游戏，在活动区域边放了一些球（如图），则小明按怎样的线路跑，去捡哪个位置的球，才能最快拿到球跑到目的地A？(保留作图痕迹，不写作法)【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】作“小明”关于小明关于活动区域边线OP的对称点A′，连接AA′交直线OP于点B，则按“小明”→B→A的线路跑，去捡B处的球，才能最快拿到球跑到目的地A.【思路点拨】“两点(直线同侧)一线型”，在直线l上找一点B，使AB+BA′最小，AB+BA′的最小值为线段AA′的值，再根据“两点之间，线段最短”解决.【答案】如图，小明行走的路线是:“小明”→B→A，即在B处捡球，才能最快拿到球跑到目的地A.8.如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=6cm，点M、N分别在OA、OB上，求△PMN周长的最小值.【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、等边三角形的判定【解题过程】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于点M，交OB于点N，此时△PMN周长有最小值= P1P2，∵根据轴对称的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，OP1 = OP =O P2，∴∠P1OP2=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠AOB= 2×30°=60°，∴△P1OP2为等边三角形，∴P1P2= OP1 =O P2 =6cm，即△PMN周长的最小值为6cm.【思路点拨】该题属于“一点两线型”求三角形周长最短问题，所求△PMN周长PM+MN+PN的最小值为P1P2的值；根据轴对称的性质可求得∠P1OP2=60°，OP1 = OP =O P2，△P1OP2为等边三角形，P1P2=6cm.【答案】6cm探究型多维突破9、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸CD的距离分别为AC，BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500 m. (1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处；(保留作图痕迹，不写作法)(2)求出最短路程.【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、全等三角形的判定【解题过程】(1)作法：①如图作点A关于CD的对称点A′；②连接A′B交CD 于点M. (2)由(1)可得直线CD是点A与点A′的对称轴，M在CD上，∴AM＝A′M，A′C＝AC，又∵AC＝BD，∠A′CM=∠BDM=90°，∠A′MC=∠BMD，∴△A′CM≌△BDM，∴CM＝DM，A′M＝BM，∴M为CD的中点，且A′B＝2AM，∵AM＝500 m，所以A′B＝AM＋BM＝2AM＝1 000 m．即最短路程1000 m. 【思路点拨】⑴该题为“两点(直线同侧)一线型”求最短路径问题，在直线l上找一点M，使A′M+MB最小，A′M+MB的最小值为线段A′B的值，再根据“两点之间，线段最短”解决;⑵由条件“AC＝BD”可推出△A′CM ≌△BDM，从而得到最短距离A′B=2AM=1000m【答案】(1)如图，点M即为所求的点; (2) 最短路程为1000 m.10.如图，在五边形ABCDE中，①在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小；(保留作图痕迹，不写作法)②若∠BAE＝125°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，∠AMN＋∠ANM的度数为________．【知识点】轴对称知识，两点之间线段最短，三角形的内角（外角）知识【解题过程】①取点A关于BC的对称点P、关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，如图1，PQ的长度即为△AMN的周长最小值，如图2；②如图3，∵∠BAE＝125°，∴在△APQ中，∠P＋∠Q＝180°－125°＝55°，∵∠AMN＝∠P＋∠PAM＝2∠P，∠ANM＝∠Q＋∠QAN＝2∠Q，∴∠AMN＋∠ANM＝2(∠P＋∠Q)＝2×55°＝110°【思路点拨】①转化为“一点两线型”求三角形周长最短问题，所求△AMN周长AM+MN+AN的最小值为线段PQ的值. ②根据三角形的内角和等于180°求出∠P＋∠Q，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决．【答案】①作图如图2，此时△AMN周长最小；②∠AMN＋∠ANM＝110°.自助餐1. 如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，8）和（6，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）A.（0，0）B.（0，2）C.（0，4）D.（0，6）【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、等腰直角三角形的知识【解题过程】作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′交y轴于点C′，当点C在C′处时△ABC的周长最小. 过点A作AE⊥x轴于点E，∵点A、B的坐标分别为（2，8）和（6，0），∴B′点坐标为（﹣6，0），E（2，0），AE=8，OE=2. ∴B′E=8，∴B′E =AE ，O B′=B′E－OE=6.又∵AE⊥B′B，∴∠A B′E=∠B′AE =45°，∵C′O∥AE，∠C′O B′=90°，∴∠C′B′O =∠B′C′O =45°，∴C′O = B′O =6，∴点C′的坐标是（0，6），当点C在C′处时△ABC的周长最小，故选D．【思路点拨】分离出“两点一线型”的最短路径模型：在y轴的同侧有点A和点B，点，在y轴上找一点C，使AC+CB最小.作图时应忽略图中的点C，再由图可构造等腰直角△AC B′，求出坐标.【答案】D2. 如图所示，点P为∠AOB内一点，OP=9，P1、P2分别是点P关于OA、OB 的对称点，P1P2交OA于点E，交OB于点F.当△PEF的周长是9时，∠AOB 的度数为（）A.15°B.30°C.45°D.60°【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短、等边三角形的知识、P2分别是点P关于OA、OB的对【解题过程】连接O P1，O P2. ∵OP=9 ，P1称点，∴根据轴对称知识O P1=O P2=OP=9，PE= P1E，PF=FP2 .∴PE+EF+PF= P1E+EF+ P2F=P1 P2=9，∴O P1=O P2= P1 P2，∴△OP1 P2是等边三角形.又∵由轴对称知识得∠P 1 OP 2=∠P 1 OP +∠POP 2=2（∠AOP +∠POB ）=2∠AOB ，∴2∠AOB=60°，∴∠AOB=30°【思路点拨】根据轴对称知识，PE +EF +PF = P 1E +EF + P 2F = P 1 P 2，如图连接O P 1， O P 2易得证△OP 1 P 2是等边三角形，故答案选B【答案】B3.如图，小河边有两个村庄A 、B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．(1)若要使厂部到A ，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？(保留作图痕迹，不写作法)【知识点】垂直平分线的知识，轴对称知识，两点之间线段最短【解题过程】(1)作线段AB 的垂直平分线，与EF 交于点P ，交点P 即为符合条件的点．如图1，取线段AB 的中点G ，过中点G 作AB 的垂线，交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离相等．也可分别以A 、B 为圆心，以大于21AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．(2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短．【思路点拨】 ⑴到A ，B 两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又在河边EF 上，所以作AB 的垂直平分线与EF 的交点即为符合条件的点．⑵要使厂部到A 村、B 村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，结合 “两点一线型”的最短路径模型，作A (或B )点关于EF 的对称点，连接对称点与B 点 (或A )，与EF 的交点即为所求．【答案】(1)如图1，自来水厂部建在点P 处，到A ，B 村的距离相等．(2)如图2，自来水厂部建在点P 处，到A 、B 的距离和最短．4.公园内两条小河MO ，NO 在O 处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P (如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q 和R ，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P′′，连接P′P′′分别交OM、ON于Q、R，此时△PQR周长有最小值，即此时使在半岛上修建的三段小路路程和最小，才能使修路费用最少.【思路点拨】要使修路费用最少，则应使三段路程和最小，这样就转化为“一点两线型”求三角形周长最小的问题.【答案】如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q＝PQ，PR＝P″R，则Q，R就是小桥所在的位置，修路费用最少．理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，P′Q′＋Q′R′＋R′P″＞P′Q＋QR＋RP″，所以△PQR的周长最小，Q，R就是我们所求的小桥的位置．5．如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR 的周长最小．【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【解题过程】(1)作点P关于直线BC的对称点P′；(2)连接P′Q，交BC于点R，则点R就是所求作的点，如图所示．【思路点拨】P，Q为△ABC边上的两个定点，所以PQ长为定值，使△PQR的周长最小，只需要PR+QR最小.故分离出“一点两线型”的模型：在直线BC的同侧有点P和点Q，在直线BC上找一点R，使PR+QR最小.【答案】如图所示，点R就是所求作的点.6．如图，一艘游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上某处，再返回P 处，请画出游船航行的最短路径．【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短【数学思想】转化思想【解题过程】如图1，作点P关于直线BC 的对称点P′，连接QP′，与直线BC 相交于点R. 则游船航行路线是：P→Q→R→P，即将游客送到河岸BC的R，游船航行的路径最短.（或作点Q关于直线BC 的对称点Q′同样得解，如图2）. 【思路点拨】将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”.由于P、Q为。

第十三章轴对称13.4课题学习《最短路径问题》一、教学目标让学生能够利用轴对称、平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．二、教学重点及难点重点：利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．难点：如何利用轴对称、平移将最短路径问题转化为线段（或线段的和）最短问题．三、教学用具电脑、多媒体、课件、刻度尺、直尺四、相关资源微课，动画，图片.五、教学过程（一）引言导入前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节课我们将利用数学知识探究“将军饮马”和“造桥选址”两个极值问题．设计意图：直接通过引言导入新课，让学生明确本节课所要探究的内容和方向．（二）探究新知问题1如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？此图片是动画缩略图，本动画资源探索了将军饮马问题实际上就是最短路径问题，适用于最短路径问题的教学.若需使用，请插入【数学探究】最短路径问题.1．将实际问题抽象为数学问题学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识．（1）把A，B两地抽象为两个点；（2）把河边l近似地看成一条直线，C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小．2．解决数学问题（1）由这个问题，我们可以联想到下面的问题：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接AB，与直线l相交于一点C，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点C即为所求．（2）现在要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离和最短？（3）如何能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任一点C，都保持CB与CB′的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使问题得到解决．（4）你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B′吗？学生独立思考后，尝试画图，完成问题．小组交流，师生共同补充得出：作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．3．证明“最短”师生共同分析，证明“AC＋BC”最短．证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′，由轴对称的性质知：BC＝B′C，BC′＝B′C′，∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴AC＋BC＜AC′＋BC′．即AC＋BC最短．思考：证明AC＋BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC＋BC＜AC′＋BC′？这里“C′”的作用是什么？学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识．若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离都大于AC＋BC，就说明AC ＋BC最小．问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．）此图片是动画缩略图，本动画资源探索了造桥选址问题，造桥选址问题实际上是最短路径问题，适用于最短路径问题的教学.若需使用，请插入【数学探究】造桥选址问题.1．将实际问题抽象为数学问题把河的两岸看成两条平行线a和b（下图），N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？2．解决数学问题（1）由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋NB最小时，AM＋MN＋NB最小．这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？（2）如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB．这样，问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N ＋NB最小？（3）如图，在连接A′，B两点的线中，线段A′B最短．因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求．3．证明“最小”为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B．你能完成这个证明吗？证明：如图，在△A′N′B中，∵A′B＜A′N′＋BN′，∴A′N＋BN＋MN＜AM′＋BN′＋M′N′．∴AM＋MN＋BN＜AM′＋M′N′＋BN′．即AM＋MN＋BN最小．设计意图：通过“将军饮马问题”和“造桥选址问题”的解决，增强学生探究问题的信心，让学生通过轴对称、平移变换把复杂问题进行转化，有效突破难点，感悟转化思想的重要价值．六、课堂小结1．运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．2．利用平移确定最短路径选址解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，体会轴对称、平移在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值．本图片资源总结归纳了两点在直线同侧的最短路径问题，适用于最短路径问题的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】最短路径问题-两点在直线同侧.本图片资源总结归纳了两点在直线异侧的最短路径问题，适用于最短路径问题的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】最短路径问题-两点在直线异侧.七、板书设计13.4 最短路径问题运用轴对称解决距离最短问题利用平移确定最短路径选址。

13.4最短路径问题设计课题 13.4最短路径问题授课年级学科数学课时安排 2 授课日期授课教师同头备课备课组长教学目标知识与技能：能够用轴对称的知识解决最短途的数学问题．过程与方法：在探索问题的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．情感、态度与价值观：培养学生的应用意识和探究精神．教学背景分析教学重点利用轴对称的知识解决在一条直线同侧的两个点距离之和最短的问题教学难点利用轴对称的知识解决较为复杂的最短途问题学情分析学生已经学习了如何画一个图形关于某条直线对称的图形，并且具备了如下的知识基础：两点之间线段最短、三角形三边关系等知识，再准备好圆规、直尺，就可以进行本节课关于最短距离的探究了。

利用三边关系验证最短距离是本节课的难点。

教学方法启发式教具学具尺子、学案辅助媒体无教学结构（思路）设计【活动一】讲授启发：教师给学生创设一个课题，情境必须与实际经验相联系，使学生产生要了解它的兴趣；【活动二】任务导向、合作探究：给学生足够的资料，使学生进一步观察、分析，研究该课题的性质和问题所在；学生自己提出解决问题的设想，或暂提出一些尝试性的不同的解答方案。

学生自己根据设想，进行推理，以求得解决问题的方案；进行实验验证，学生要根据明确的假设方案亲自动手去做，以检查全过程所达到的结果是否符合预期的目的。

在做的过程中，自己发现这些设想、假设的真实性和有效性【活动三】巩固拓展【活动四】布置作业教学活动设计教学活动包括：情境创设/活动构建(自主、合作、探究、展示) /评价检测/巩固提高/预习、复习等方面教师活动学生活动设计意图【活动一】讲授启发复习线段的垂直平分线有什么性质将军饮马问题：在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它．其实用我们所学的知识就能解决，你知道怎么做吗？【活动二】任务导向、合作探究问题1 两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点，使得PA+PB最小。

课题学习最短路径问题教学内容解析：本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。

本节课以数学史中的一个经典故事---- “将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。

教学目标设置：1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题2、在谈最短路径的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。

教学重点难点：重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。

难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

学生学情分析：1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。

此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强。

2、学生已经学习过“两点之间，线段最短。

”以及“垂线段最短”。

以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。

教学策略分析：最短路径问题从本质上说是最值问题，作为八年级学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。

解答“当点 A、 B 在直线 l 的同侧时，如何在 l 上找到点 C，使 AC与 BC的和最小”，需要将其转化为“直线 l 异侧的两点，与直线 l 上的点的线段的和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。

在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到。

13.4.最短路径问题一、内容和内容解析1．内容利用轴对称、平移研究某些最短路径问题。

2．内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段主要以“两点之间，线段最短”。

“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马问题”“造桥选址”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称﹑平移等变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用轴对称﹑平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.二、目标和目标解析1.目标：（1）能利用轴对称﹑平移变化解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，（2）在探索最短路径的过程中，感悟﹑应用转化思想．2. 目标解析达成目标（1）的标志是：学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学问题；能利用轴对称、平移变化，将不共线的点﹑线转化到一条直线上，从而将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；并能通过逻辑推理证明所求距离最短．达成目标（2）的标志是：在探索最短路径的过程中，能借助轴对称、平移变化，将不共线的点﹑线转化到一条直线上，体会轴对称、平移的“桥梁”作用，感悟转化思想．三、教学问题诊断分析最短路径问题从本质上说是极值问题，作为八年级的学生，在此之前很少接触，解决这方面问题的经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的极值问题，更会感到陌生，无从下手。

对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路．教学时．教师可从“直线异侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”．在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，学生想不到，不会用．教师可作适时的点拨，让学生体会“任意”的作用.基于以上分析，确定本节课的教学难点是：如何利用轴对称、平移变化将最短路径问题转化为线段和最小问题．四、教学支持条件分析根据本节内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，化静为动，以《几何画板》为平台，通过动态的演示，对线段长度的度量，更有助于学生的探究发现。

XX市XXX中学统一备课用纸科目数学年级八年级班级授课时间年月日课题13.4 课题学习最短路径问题课型新授课教学目标1．学会最短路径问题灵活运用．2．利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题．体会转化类比的数学思想．3．通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐．教学重点将实际问题转化成数学问题，运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题，确定出最短路径的方法．教学难点探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及原理．教具准备多媒体及课件教学内容及过程教学方法和手段一、引入新课古从军行[唐] 李颀白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．行人刁斗风沙暗，公主琵琶幽怨多．野云万里无城郭，雨雪纷纷连大漠．胡雁哀鸣夜夜飞，胡儿眼泪双双落．闻道玉门犹被遮，应将性命逐轻车．年年战骨埋荒外，空见蒲桃入汉家．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短?这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天都要骑马从城堡A出发，到城堡B，途中马要到小河边饮水一次，将军想知道：要到小河的什么位置饮马才能使路径最短？从此，这个被称为"将军饮马"的问题广泛流传．这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它．二、探究性质将军每天都要骑马从城堡A出发，到城堡B，途中马要到小河边饮水一次，将军想知道：要到小河的什么位置饮马才能使路径最短?作图问题：在直线l上求作一点C，使AC+BC最短问题．动手操作：1．如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？②最短，因为两点之间，线段最短2．如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？PC最短，因为垂线段最短3．在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？三角形三边关系：两边之和大于第三边；斜边大于直角边．三、典例分析例如图，一艘旅游船从大桥AB的P处把游客送往河岸BC处，由于客流量大，需立马赶到Q处接下一批游客，请画出旅游船的最短路径．变式如图，一艘旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．四、基础小练1．如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8 km，P，Q两地到l的距离分别为2 km，5 km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是( )2．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是( )A．4.8 B．9.6 C．10 D．123．如图，正方形ABCD，M是BC的中点，P是对角线BD上一动点，要使PM+PC的值最小，请确定P点的位置．4．如图，已知菱形ABCD，M、N分别是AB、BC的中点，P是对角线AC上一动点，要使PM+PN的值最小，请确定P点的位置．OAMN5．如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，∠C=90°，且BC=1，MN 为AC 的垂直平分线，设P 为直线MN 上任一点，PB+PC 的最小值为____．6．如图，在直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C 是y 轴上的一个动点，且A ，B ，C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时点C 的坐标是( )A ．(0，3)B ．(0，2)C ．(0，1)D ．(0，0)MADBCNMCDAB五、拓展提升7．已知：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小．分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM ，ON 于点B 、点C ，则点B 、点C 即为所求．8．如图，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，桥造在何处可使从A 到B 的路径AMNB 最短)(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．)→造桥选址问题 (问题解决)如图，平移A 到A1，使AA1等于河宽，连接A1B 交河岸于N 作桥MN ，此时路径AM+MN+BN 最短． 理由：另任作桥M1N 1，连接AM 1，BN 1，A 1N 1．由平移性质可知，AM ＝A 1N ，AA 1＝MN ＝M 1N 1，AM 1＝A 1N 1．AM+MN+BN 转化为AA 1＋A 1B ，而AM 1＋M 1M 1＋BN 1转化为AA 1＋A 1N 1＋BN 1． 在△A 1N 1B 中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B ． 因此AM 1＋M 1N 1＋BN 1＞ AM+MN+BN ．六、课堂小结最短路径问题[实际问题→(转化思想)抽象→数学模型] 原理→线段公理+垂线段最短将军饮马→方法→轴对称知识+线段公理(同侧问题→转化思想[轴对称]→异侧问题) 造桥选址→方法→将固定线段“桥”平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四形的问题 教 学反 思。

13.4 最短路径问题一、教学目标能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。

二、教学重难点（1）教学重点：利用轴对称解决简单的最短路径问题（2）教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段的和最小的问题。

三、创设情景，复习回顾师：同学们，暑假即将结束，你们又要步入心爱的学校学习啦！上学第一天，别迟到喔！假设从你家到学校有如图4条路线，走哪条路线能最快到达学校呢？生：第三条路线显然最快，因为这是一个基本事实：两点之间，线段最短。

师：老师再来考验下你们对这个知识点的掌握情况。

如图，要在公路l上建一个公交车站C，使得公交车站C到A、B两小区的距离之和最小，问公交车站C应该建在哪里？生：我们用直尺将A、B连接起来，AB的连线与l的交点便是公交车站C的位置，原理就是：两点之间，线段最短。

师：这个题目涉及的问题我们称它们为最短路径问题。

本节课我们就利用所学知识继续探究数学史中著名的“将军饮马问题”四、互动新授（一）“将军饮马问题”的解决师：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦，有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？教师引导学生将实际问题转化为数学问题：将A、B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。

问题就转化为：当C点在l的什么位置时，AC与CB的和最小？通过观察我们发现：点A、B在直线l的同侧，如何在直线l上找一个动点C，使得AC 与CB的和最小？如果点A、B分别是直线l异侧的两个点，同学们运用两点之间线段最短，直接将AB连接起来，AB与l的交点便是点C。

AC与CB的和最小，即为AB的长度。

经过这个问题的启发，对于点A、B在直线l的同侧，我们可以想办法把点A移到l的另一侧A’，满足直线l上任意一点C，都有AC=A’C。

《13.4 课题学习最短路径问题》教学设计刘艳娟巩义市站街镇实验学校《13.4 课题学习最短路径问题》教学设计共1课时13.4 课题学习最短路径一、学习目标1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟化归思想；2. 能将实际问题中的“地点”、“河”抽象为数学中的“点”、“线”，把实际问题抽象为数学问题，并能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟“转化”作用。

二、学情分析由于八年级学生首次遇到某条线段或线段和最小，所以无从下手，另外证明两条线段和最小时要选取另外一点，学生想不到、不会用，所以利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，逻辑推理证明所求距离最短是本节课的难点。

三、重点难点1. 重点：将实际问题抽象为数学问题；将同侧两点转化为异侧两点．2. 难点：利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，逻辑推理证明所求距离最短.四、教学过程活动1【导入】创设情境、引入新课小伙子，把你的笔记本拿给老师好吗？谢谢，请问，你刚才为什么要选择从这条路径走，而不是绕外围呢？同学们，你们能用我们的数学知识来解释这个生活常识吗？现实生活中，我们常常涉及到选择最短路径问题，今天我们将利用大家前一阶段所学的知识解决生活中的实际问题：§13.4 课题学习最短路径问题让我们穿越时空，回归到遥远的古希腊，来探究数学史上著名的“将军饮马问题”。

活动2【讲授】探究“将军饮马问题”1、提出问题，抽象模型相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。

有一天，一位将军专程来拜访海伦，求教一个他百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后回到驻地B处，问到河边的什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，就利用数学知识回答了这个问题，后来被称为“将军饮马问题”。

13．4 课题学习最短路径问题（1）教案一、内容和内容解析1.内容利用轴对称研究某些最短路径问题2.内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究。

本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题。

•学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。

二、目标和目标解析1．目标能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．2．目标解析达成目标的标志是：学生能将实际问题的“地点”“河”抽象为数学中得“点”“线”，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的桥梁作用，感悟转化的数学思想。

三、教学方法：自主学习根据学生学习了“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短”、轴对称及性质的基础上，通过创设实际的情景，学生合作探究，再现教学内容，学生在亲身经历的过程中建构知识，产生情感。

四、教学内容诊断分析最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。

解答“当点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短”，需要将其转化为“直线l异侧的两个点，与直线l上的点的线段和最小”问题，为什么需要这样转化、怎样通过轴对称实现转化，一些学生会有理解上和操作上的困难。