北师大版七年级数学下册 第1~3章 期中培优、拔高(压轴题)卷(含答案)

2020-2021学年北师大版初一下综合拔高训练卷（3）限时训练：60分钟1、如图，已知D AC AB ,=为BAC ∠的角平分线上面一点，连接CD BD ,；如图2，已知E D AC AB 、,=为BAC ∠的角平分线上面两点，连接CE BE CD BD ,,,；如图3，已知F E D AC AB 、、,=为BAC ∠的角平分线上面三点，连接 CF BF CE BE CD BD ,,,,，，依次规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是____________【答案】552、如图,等腰ABC ∆中P AC AB ,,=为其底角平分线的交点,将BCP ∆沿CP 折叠,使B 点恰好落在AC 边上的点D 处,若DB DP =,则A ∠的度数为_______________【答案】︒362、如图，正方形ABCD 边长为E ,12为CD 上一点，沿AE 将ADE ∆折叠得AEF ∆，延长EF 交BC 于G ，连接6,,=BG CF AG ,下列说法正确的有______________①AFG ABG ∆≅∆；②4=DE ；③CF AG //；④572=∆FGC S【答案】①②③④4、若222254221a b c bc ab c ++=-+-，则a b c -+的值是__________【答案】3-5、观察：2(1)(1)1x x x -+=-，23(1)(1)1x x x x -++=-，324(1)(1)1x x x x x -+++=-，利用规律回答：如果：5432(1)(1)0a a a a a a -+++++=，则20072006a a -=_________．【答案】2-0或6、如图D ,为BAC ∠的外角平分线上一点并且满足DCB DBC CD BD ∠=∠=,，过D 作AC DE ⊥于AB DF E ⊥,交BA 的延长线于,F 则下列结论:①BDF CDE ∆≅∆②AE AB CE +=③BAC BDC ∠=∠④CBD DAF ∠=∠.其中正确的结论有___________【答案】①②③④7、在三角形纸片ABC 中，已知.12,5,90==︒=∠BC AB ABC 过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的T 处，折痕为MN ．当点T 在直线l 上移动时，折痕的端点MN 也随之移动．若限定似值）．【答案】119-178、如图，ABC ∆中，,15,8,90cm BC cm AC ACB ==︒=∠点M 从A 点出发沿B C A →→路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿A C B →→路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒cm 2和cm 3的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作l ME ⊥于l NF E ⊥,于F ．设运动时间为t 秒，要使以点C E M ,,为顶点的三角形与以点C F N ,,为顶点的三角形全等，则t 的值为 ．【答案】87523或或 9、如图，ABC ∆内角ABC ∠和外角ACD ∠的平分线交于点BE E ,交AC 于点F ，过点E 作BD EG //交AB 于点G ，交AC 于点H ，连接AE ，有以下结论；①EG BG =；②CBF HEF ∆≅∆；③︒=∠+∠90ACE AEB ；④GH CH BG =-；⑤︒=∠+∠90ABE AEC 其中正确的结论是____________【答案】①②③④10、如图，四边形ABCD 中，BDC AB CE BC AD ∆⊥,,//为等腰直角三角形，CE CD BD BDC ,,90=︒=∠与BD 交于F ，连M AF ,为BC 中点，连接DM 交CE 于N请说明：（1）ABD ∆≅NCD ∆；（2）AF AB CF +=【答案】略11、直角三角形有一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图，如图，ABC Rt ∆题：如图1，在ABC ∆中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，若P B ,在直线a 的异侧，⊥BM 直线a 于点M ，⊥CN 直线a 于点N ，连接PN PM 、；（1）求证：PN PM =；（2）若直线a 绕点A 旋转到图2的位置时，点P B ,在直线a 的同侧，其它条件不变，此时PN PM =还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；（3）如图3，090=∠BAC ,a 旋转到与BC 垂直的位置，E 为BC 上一点且a EN AC AE ⊥=,于N ，连接EC ,取EC 中点P ,连接PN PM ,,求证：PN PM ⊥【答案】略12、已知ABC ∆和DEC ∆都是等腰直角三角形，C 为它们的公共直角顶点，E D ,分别在AC BC ,边上．（1）如图1，F 是线段AD 上的一点，连接CF ，若CF AF =；①求证：点F 是AD 的中点；②判断BE 与CF 的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，把DEC ∆绕点C 顺时针旋转α角（0＜α＜90°），点F 是AD 的中点，其他条件不变，判断BE 与CF 的关系是否不变？若不变，请说明理由；若要变，请求出相应的正确结论．【答案】略。

北师大版数学七年级下册压轴大题练习1、如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．2、【问题背景】如图1，在等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上任意一点，连接AD、BE，AD与BE相交于点O，且BD＝CE．请直接写出线段AD与BE之间的数量关系：；∠AOE＝．【推广探究】如图2，在等边△ABC中，P、M分别为边AB、AC上的点，且AM＝BP，过点P作PQ∥BE交AC于点Q，过点M作MN∥AD交BC于点N，PQ与MN交于点F．（1）∠MFQ＝；（2）求证：PQ＝MN．【深入探究】如图3，在“推广探究”的条件下，令四边形APFM的周长为C1，四边形CNFQ的周长为C2，MF＝a，FQ＝b，FN＝c，则C1﹣C2＝（请用含有a、b的代数式表示）．3、如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）AP＝cm，BP＝cm（用含t的代数式表示）；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ 是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（3）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ 全等，求出相应的x的值．4、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AC上一动点．（1）如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足AE＝AF，∠EAF＝90°．求证：△ABE≌△ACF；（2）在（1）的条件下，求证：CF⊥BD；（3）由（1）我们知道∠AFB＝45°，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作CF⊥BD于F，连接AF．那么∠AFB的度数是否发生变化？请证明你的结论．5、如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CF，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若AC＝10，求四边形ABCD的面积；（3）求∠F AE的度数．6、已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时．①求证：△ABD≌△ACE；②直接判断结论BC，DC，CE的关系__________（不需证明）；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．7、【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F 且AE＝EF求证：AC＝BF．8、如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．（1）求证：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．9、如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于F，G 为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H．（1）△ABC≌△EDC吗？为什么？（2）求∠DHF的度数；（3）若EB平分∠DEC，则BE平分∠ABC吗？请说明理由．10、已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA．（1）AD与CB相等吗？请证明你的结论．（2）若∠BCD＝75°，求∠ACE的度数；（3）若∠BCE＝α，∠ACE＝β，则α、β之间满足一定的数量关系，请直接写出这个结论．11、问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）；特例探究：如图2，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN 内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；拓展应用：如图4，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD ＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为．12、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD于E．（1）如图（1），若BD平分∠ABC时，①求∠ECD的度数；②延长CE交BA的延长线于点F，补全图形，探究BD与EC的数量关系，并证明你的结论；（2）如图（2），过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系，并证明你的猜想．13、（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE；（2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E 三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．14、如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上的一动点．（1）如图1，连接DC并延长使CE＝CD，过点E作EF∥AB交AC的延长线于点F，试说明：AD＝FE；（2）如图2，当点D运动到AB中点时，点E是DC延长线上的一点，连接AE、BE，BE与AC延长交于点Q．①试说明：∠CBE＝∠CAE；②点P是AC延长线上的点，且PE＝BE，连接BP，若△BPQ的面积为26，AE＝8，求EQ的长．15、△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE＝90°．（1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE；（2）如图1，在（1）的条件下，连接AE交BC于M，求的值；（3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．16、如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．（1）求∠CAM的度数；（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；（3）当动点D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．北师大版数学七年级下册压轴大题练习参考答案1、解：（1）25°，115°（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：∵∠BAD+∠ADB＝140°∠CDE+∠ADB＝140°∴∠BAD＝∠CDE在△ABD和△DCE 中，∠B＝∠C＝40°，AB＝DC＝2，∠BAD＝∠CDE∴△ABD≌△DCE（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由如下：当∠BDA＝110°时，∵∠B＝∠C＝40°∴∠BAD＝180°﹣40°﹣110°＝30°∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°∴∠DAC＝100°﹣30°＝70°∴∠AED＝180°﹣40°﹣70°＝70°∴∠DAC＝∠AED∴△ADE的形状是等腰三角形当∠BDA＝80°时，∴∠BAD＝180°﹣40°﹣80°＝60°∴∠DAC＝100°﹣60°＝40°∴∠DAC＝∠ADE＝40°∴△ADE的形状是等腰三角形2、【问题背景】AD＝BE；60°【推广探究】（1）60（2）证明：∵∠APQ+∠P AQ+∠PQA＝180°∠MFQ+∠MQF+∠FMQ＝180°∠P AQ＝∠MFQ＝60°∴∠APQ＝∠FMQ∵AM＝BP∴AP＝CM在△P AQ和△MCN中，∠P AQ＝∠C，AP＝CM，∠APQ＝∠FMQ ∴△P AQ≌△MCN∴PQ＝MN【深入探究】2a﹣2b3、解：（1）2t，7﹣2t．（2）△CAP≌△PBQ，PC⊥PQ．证明：由题意，得t＝1时，AP＝BQ＝2（cm），BP＝7﹣2＝5（cm）∵AC＝5（cm），∠A＝∠B＝90°在△CAP和△PBQ中，BP＝AC＝5，∠A＝∠B，AP＝BQ∴△CAP≌△PBQ∴∠ACP＝∠BPQ∵∠ACP+∠CP A＝90°∴∠BPQ+∠CP A＝90°∴PC⊥PQ（3）①当AC＝PB，AP＝BQ时，△ACP与△BPQ全等此时AC＝PB＝5，AP＝BQ＝7﹣5＝2（cm）∴AP＝BQ＝2（cm）x＝2cm/s②当AC＝BQ，AP＝PB时，△ACP与△BPQ全等此时AC＝BQ＝5，AP＝PB＝（cm），∴AP＝2t＝（cm）解得t＝s∴BQ＝x＝5（cm）∴x＝cm/s4、（1）证明：∵∠BAC＝∠BAE+∠EAD＝90°∠EAF＝∠CAF+∠EAD＝90°∴∠BAE＝∠CAF在△ABE和△ACF中，AB＝AC，∠BAE＝∠CAF，AE＝AF ∴△ABE≌△ACF（1）证明：∵△ABE≌△ACF∴∠ABE＝∠ACF又∵∠ADB＝∠CDF∴∠DFC＝∠BAD＝90°∴CF⊥BD（2）不变，理由如下：过A作AE⊥AF 交BM于E∵∠BAC＝∠BAE+∠EAD＝90°∠EAF＝∠CAF+∠EAD＝90°∴∠BAE＝∠CAF由题意，得∠DFC＝∠BAC＝90°又∵∠ADB＝∠CDF∴∠ABD＝∠ACF在△ABE和△ACF中，∠ABD＝∠ACF，AB＝AC，∠BAE＝∠CAF ∴△ABE≌△ACF∴AE＝AF又∵∠EAF＝90°∴∠AFB＝∠AEF＝45°5、证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD∴∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE∴△ABC≌△ADE（2）∵△ABC≌△ADE∴AE＝AC＝10S△ABC＝S△ADE∴S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ACD ＝S △ADE +S △ACD ＝S △ACE ＝×10×10＝50（3）∵AF ⊥BC∴∠AFC ＝90°∵∠CAE ＝90°，AC ＝AE∴∠E ＝∠ACE ＝45°∵△ABC ≌△ADE∴∠BCA ＝∠E ＝45°∴∠F AC ＝90°﹣45°＝45°∴∠F AE ＝∠CAE+∠F AC ＝90°+45°＝135°6、解：（1）①证明：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形∴AB ＝BC ＝AC ，AD ＝DE ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝60°∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC即∠BAD ＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠EAC ，AD ＝AE ∴△ABD ≌△ACE②BC ＝CE +CD（2）BC +CD ＝CE证明：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形∴AB ＝BC ＝AC ，AD ＝DE ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝60°∴∠BAC +∠DAC ＝∠DAE +∠DAC即∠BAD ＝∠EAC在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠EAC，AD＝AE ∴△ABD≌△ACE∴BD＝CE∵BD＝BC+CD∴CE＝BC+CD7、（1）B（2）C（3）证明：如图，延长AD到M，使AD＝DM，连BM∵AD是△ABC中线∴CD＝BD∵在△ADC和△MDB中，∴△ADC≌△MDB∴BM＝AC，∠CAD＝∠M∵AE＝EF∴∠CAD＝∠AFE＝∠BFD∴∠BFD＝∠M∴BF＝BM＝AC8、（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝α∴∠ACD+∠BCD＝∠BCE+∠BCD即∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，AC＝CB，∠ACD＝∠BCE，CD＝CE ∴△ACD≌△BCE∴BE＝AD（2）如图，∵△ACD≌△BCE∴∠CAD＝∠CBE在△AOC和△BOM中，∠CAD＝∠CBE，∠AOC＝∠BOM ∴∠AMB＝∠ACB＝α（3）证明：如图，∵AD，BE的中点分别为点P、Q∴AP＝DP，BQ＝BE∵△ACD≌△BCE（已证）∴∠CAP＝∠CBQBE＝AD∴AP＝BQ在△ACP和△BCQ中，CA＝CB，∠CAP＝∠CBQ，AP＝BQ ∴△ACP≌△BCQ∴CP＝CQ，∠ACP＝∠BCQ∵∠ACB＝∠ACP+∠PCB＝90°∴∠BCQ+∠PCB＝90°即∠PCQ＝90°∴△CPQ为等腰直角三角形9、解：（1）△ABC≌△EDC．理由如下：∵CA平分∠BCE∴∠ACB＝∠ACE在△ACE和△BED中，BC＝CD，∠ACB＝∠ACE，AC＝CE ∴△ABC≌△EDC（2）∵∠ACB＝60°,CA平分∠BCE∴∠ACB＝∠ACE＝∠ECM＝60°在△CDG和△CBF中，FC＝CG，∠FCB＝∠DCG＝60°，BC＝CD ∴△CDG≌△CBF∴∠CBF＝∠CDG∵∠DFH＝∠BFC∴∠DHF＝∠BCF＝60°（2）BE平分∠ABC．理由如下：∵EB平分∠DEC∴∠DEH＝∠BEC∵∠ECM＝∠BEC+∠CBE＝60°∠DHF＝∠DEH+∠EDG＝60°∴∠CBE＝∠EDG由（2）知∠CBF＝∠CDG∴∠EDG＝∠CDG＝∠CBE∴∠EDC＝2∠CDG＝2∠CBE由（1）知△ABC≌△EDC∴∠ABC＝∠EDC＝2∠CBE∴∠ABE＝∠CBE∴BE平分∠ABC10、解：（1）AD≠CB，理由如下：∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBE在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC∴AD＝CE由题意，得CB≠CE∴AD≠CB（2）∵BD＝BC∴∠BCD＝∠BDC＝75°∴∠DBC＝∠ABD＝180°﹣75°﹣75°＝30°∵△ABD≌△EBC∴∠BAD＝∠BEC在△ABD和△CDE中∠BAD＝∠DEC，∠ADB＝∠EDC∴∠ACE＝∠ABD＝30°（3）由（1）得，△ABD≌△EBC∴∠BAD＝∠BEC在△ABD和△CDE中∠BAD＝∠DEC，∠ADB＝∠EDC∴∠ACE＝∠ABD＝β∵BD为△ABC的角平分线∴∠DBC＝∠ABD＝β∵BD＝BC，∠BCE＝α∴∠BCD＝∠BDC＝α﹣β∴在△DBC中，β+（α﹣β）+（α﹣β）＝180°∴2α﹣β＝180°11、证明：图②∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°∴∠AFC＝∠BDA＝90°∴∠ABD+∠BAD＝90°∠CAF+∠BAD＝90°∴∠ABD＝∠CAF在△ABD和△CAF中∴△ABD≌△CAF图③∵∠1＝∠2＝∠BAC∠1＝∠BAE+∠ABE∠BAC＝∠BAE+∠CAF∴∠ABE＝∠CAF∠AEB＝∠AFC在△ABE和△CAF中，∠AEB＝∠AFC，∠ABE＝∠CAF，AB＝AC ∴△ABE≌△CAF图④512、解：（1）①∵∠BAC＝90°，AB＝AC∴∠CBA＝45°∵BD平分∠ABC∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°∵CE⊥BD∴∠CED＝∠BAD＝90°又∵∠CDE＝∠BDA∴∠ECD＝∠DBA＝22.5°②BD＝2CE．证明：如图1∵BD平分∠ABC，CE⊥BD∠CBE＝∠FBE在△CBE与△FBE中，，BE＝BE，∠CEB＝∠FEB＝90°∴△CBE≌△FBE∴CE＝FE在△ABD与△ACF中，∠DBA＝∠ACF，∠BAD＝∠CAF＝90°，BA＝AC ∴△ABD≌△ACF∴BD＝CF＝2CE（2）结论：BE﹣CE＝2AF证明：如图（2），过A作AH⊥AE，交BE于H∴∠HAE＝90°∴∠HAC+∠CAE＝90°∠HAC+∠BAH＝90°∴∠BAH＝∠CAE在△ABH与△ACE中，∠BAH＝∠CAE，BA＝CA，∠HBA＝∠ECA ∴△ABH≌△ACE∴CE＝BH，AH＝AE∴△AEH是等腰直角三角形又∵AF⊥BE∴EF＝HF∴BE﹣CE＝HE＝2AF13、（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m∴∠BDA＝∠CEA＝90°∵∠BAC＝90°∴∠ABD+∠BAD＝90°∠CAE+∠BAD＝90°∴∠ABD＝∠CAE在△ADB和△CEA中，∠ABD＝∠CAE，∠BDA＝∠CEA，BA＝CA ∴△ADB≌△CEA∴AE＝BD，AD＝CE∴DE＝AE+AD＝BD+CE（2）解：成立；理由如下∵∠BDA ＝∠BAC ＝α∴∠BAD +∠CAE+α＝180°∠BAD +∠DBA+α＝180°∴∠CAE ＝∠ABD在△ADB 和△CEA 中，∠ABD ＝∠CAE ，∠BDA ＝∠CEA ，BA ＝CA ∴△ADB ≌△CEA∴AE ＝BD ，AD ＝CE∴DE ＝AE +AD ＝BD +CE（3）解：∵∠BAD ＞∠CAE ，∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC∠BAD +∠CAE+∠BAC ＝180°∠BAD +∠ABD+∠BDA ＝180°∴∠CAE ＝∠ABD在△ABD 和△CEA 中，∠ABD ＝∠CAE ，∠BDA ＝∠CEA ，BA ＝CA ∴△ABD ≌△CEA∴S △ABD ＝S △CEA如图，过A 作AG 垂直BF 于G则S △ABC ＝BC •AG ，S △ACF ＝CF •AG又∵BC ＝2CF∴S △ACF ＝S △ABC ＝×12＝6∴S △ACF ＝S △CEF +S △CEA ＝6∵S △ABD ＝S △CEA∴S △CEF +S △ABD ＝6∴△ABD与△CEF的面积之和为614、（1）证明：∵EF∥AB∴∠A＝∠F，在△ACD和△FCE中，∠A＝∠F，∠ACD＝∠FCE，CE＝CD ∴△ACD≌△FCE∴AD＝FE（2）①证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC ，D为AB中点∴AD＝DB，CD⊥AB∴∠CAB＝∠CBACD垂直平分AB∴EA＝EB∴∠EAB＝∠EBA∴∠EAB﹣∠CAB＝∠EBA﹣∠CBA∴∠CBE＝∠CAE②解：∵EA ＝EB ，EB ＝EP∴EP ＝EB ＝EA ＝8∴∠EAP ＝∠EP A∵∠CBE ＝∠CAE∴∠CBE ＝∠EP A∵∠BQC ＝∠PQE∴∠PEB ＝∠PCB ＝90°∴S △BEP ＝×8×8＝32∵S △BPQ ：S △BEP ＝26：32＝13：16∴BQ ：BE ＝13：16∵BE ＝8∴BQ ＝∴EQ ＝8﹣＝ 15、（1）证明：由题意，得CD ＝CE ，∠DCE ＝∠DCB +∠ECF ＝90° ∵EF ⊥BC∴∠CEF +∠ECF ＝90°∴∠DCB ＝∠CEF在△DBC 和△CEF 中，∠DBC ＝∠CFE ＝90°，∠DCB ＝∠CEF ，CD ＝CE ∴△DBC ≌△CFE（2）解：如图1，连AE 交BC 于M∵△DBC≌△CFE∴BD＝CF，BC＝EF∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BC∴AB＝EF，AD＝BF在△ABM和△EFM中，∠AMB＝∠EMF，∠ABM＝∠EFM，AB＝EF ∴△ABM≌△EFM∴BM＝MF∴BF＝2BM＝2MF∴AD＝2MF∴（3）解：不变．＝2，理由如下：如图，在EH上取EQ＝DG∵DG⊥DC∴∠CDG＝90°在△CDG和△CEQ中，EQ＝DG，∠CDG＝∠CEQ＝90°，CD＝CE ∴△CDG≌△CEQ∴CG＝CQ，∠DCG＝∠ECQ∵∠DCG+∠DCB＝45°∴∠ECQ+∠DCB＝45°∴∠HCQ＝90°- 45°＝45°∴∠HCQ＝∠HCG＝45°在△HCG和△HCQ中，CG＝CQ，∠HCQ＝∠HCG，HC＝HC ∴△HCG≌△HCQ∴HG＝HQ∴16、解：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠BAC＝60°∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM＝∠BAC＝30°（2）∵△ABC与△DEC为等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠DCB+∠ACD＝60°∠DCB+∠BCE＝60在△ADC和△BEC中，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE，AC＝BC ∴△ACD≌△BCE（3）∠AOB是定值60°，理由如下：如图，当D在线段AM上时∵△ACD≌△BCE （已证明）∴∠CBE＝∠CAD＝30°∵∠ABC＝60°∴∠ABO＝60°+30°＝90°又∵∠CAM＝∠BAM＝30°∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°如图2，当D在线段AM的延长线上时∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠DCB+∠ACB＝60°∠DCB+∠DCE＝60°在△ACD和△BCE中，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE，AC＝BC ∴△ACD≌△BCE∴∠CBE＝∠CAD＝30°∴∠ABO＝60°+30°＝90°∵线段AM为BC边上的中线∴∠BMO＝90°∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°如图3，当D在线段MA的延长线上时∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACD+∠ACE＝60°∠BCE+∠ACE＝60°∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE，AC＝BC ∴△ACD≌△BCE∴∠CBE＝∠CAD又∵∠CAM＝∠BAM＝30°∴∠CBE＝∠CAD＝180°﹣30°＝150°∴∠CBO＝180°﹣150°＝30∵线段AM为BC边上的中线∴∠BMO＝90°∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°综上，当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB＝60°．。

北师大版七年级下册数学培优压轴题一．解答题（共8 小题）1．已知四边形 ABCD中， AB=BC，∠ ABC=120°，∠ MBN=60°，∠ MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD，DC（或它们的延长线）于 E，F．当∠ MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF时（如图 1），易证 AE+CF=EF；当∠ MBN 绕 B 点旋转到 AE≠CF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．2．（1）如图，在四边形 ABCD中， AB=AD，∠ B=∠ D=90°，E、F 分别是边BC、CD上的点，且∠ EAF= ∠BAD．求证： EF=BE+FD；（2）如图，在四边形 ABCD中， AB=AD，∠ B+∠D=180°，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且∠ EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（ 3）如图，在四边形ABCD中， AB=AD，∠ B+∠ADC=180°， E、 F 分别是边 BC、CD延长线上的点，且∠ EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．3．如图 1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和 DEC重合放置，其中∠ C=90°，∠B=∠E=30°．（ 1）操作发现如图 2，固定△ ABC，使△ DEC绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：①线段 DE与 AC的位置关系是；②设△ BDC的面积为 S1，△ AEC的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是．（ 2）猜想论证当△ DEC绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（ 1）中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△ AEC中 BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（ 3）拓展探究已知∠ ABC=60°，点 D 是角平分线上一点， BD=CD=4，DE∥AB 交 BC于点 E（如图 4）．若在射线 BA 上存在点 F，使 S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的 BF的长．4．如图 1，已知线段 AB 的长为 2a，点 P 是 AB上的动点（ P 不与 A，B 重合），分别以 AP、PB为边向线段 AB 的同一侧作正△ APC和正△ PBD．（ 1）当△ APC与△ PBD的面积之和取最小值时，AP=；（直接写结果）（2）连接 AD、BC，相交于点 Q，设∠ AQC=α，那么α的大小是否会随点 P 的移动而变化？请说明理由；（3）如图 2，若点 P 固定，将△ PBD绕点 P 按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）5．如图 1，Rt△ ABC中 AB=AC，点 D、E 是线段 AC 上两动点，且 AD=EC，AM 垂直BD，垂足为 M，AM 的延长线交 BC于点 N，直线 BD 与直线 NE 相交于点F．试判断△ DEF的形状，并加以证明．说明：（ 1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写 3 步）；（ 2）在你经历说明（ 1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．1、画出将△ BAD沿 BA 方向平移 BA 长，然后顺时针旋转90°后图形；2、点 K 在线段 BD 上，且四边形 AKNC为等腰梯形（ AC∥KN，如图 2）．附加题：如图 3，若点 D、 E 是直线 AC 上两动点，其他条件不变，试判断△DEF的形状，并说明理由．6．如图，已知等边三角形ABC中，点 D， E， F 分别为边 AB，AC， BC的中点，M 为直线 BC上一动点，△ DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时，△ DMN 也随之整体移动）．（ 1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线 NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图 2，当点 M 在 BC上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由；（3）若点 M 在点 C 右侧时，请你在图 3 中画出相应的图形，并判断（ 1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．7．已知：等边三角形ABC（ 1）如图 1， P 为等边△ ABC外一点，且∠ BPC=120°．试猜想线段BP、 PC、AP 之间的数量关系，并证明你的猜想；（ 2）如图 2，P 为等边△ ABC内一点，且∠ APD=120°．求证： PA+PD+PC＞BD．8．真材料，然后回答：我初中学了多式的运算法，相的，我可以算出多式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，⋯下面我依次（ a+b）n展开式的各系数一步研究，当 n 取正整数可以独列成表中的形式：上面的多式展开系数表称“ 三角形”；仔察“ 三角形”，用你的律回答下列：（1）多式（ a+b）n的展开式是一个几次几式？并第三的系数；（2）你一下多式（ a+b）n展开式的各系数之和．（3）合上述材料，推断出多式（ a+b）n（ n 取正整数）的展开式的各系数之和 S，（果用含字母 n 的代数式表示）．2018 年 05 月 08 日 wujun 的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共8 小题）1．已知四边形ABCD中， AB=BC，∠ ABC=120°，∠ MBN=60°，∠ MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD，DC（或它们的延长线）于 E，F．当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF时（如图 1），易证 AE+CF=EF；当∠ MBN 绕 B 点旋转到 AE≠CF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【解答】解：∵AB ⊥AD ，BC ⊥CD ，AB=BC ，AE=CF ，在△ ABE和△ CBF中，，∴△ ABE≌△ CBF（SAS）；∴∠ ABE=∠CBF，BE=BF；∵∠ ABC=120°，∠ MBN=60°，∴∠ ABE=∠CBF=30°，∴AE= BE，CF= BF；∵∠ MBN=60°，BE=BF，∴△ BEF为等边三角形；∴AE+CF= BE+ BF=BE=EF；图2 成立，图 3 不成立．证明图 2．延长 DC至点 K，使 CK=AE，连接BK，在△ BAE和△ BCK中，则△ BAE≌△ BCK，∴BE=BK，∠ ABE=∠ KBC，∵∠ FBE=60°，∠ ABC=120°，∴∠ FBC+∠ABE=60°，∴∠FBC+∠KBC=60°，∴∠KBF=∠FBE=60°，在△ KBF和△ EBF中，∴△ KBF≌△ EBF，∴KF=EF，∴KC+CF=EF，即 AE+CF=EF．图 3 不成立，AE、CF、 EF的关系是 AE﹣CF=EF．2．（1）如图，在四边形ABCD中， AB=AD，∠ B=∠ D=90°，E、F 分别是边 BC、CD上的点，且∠ EAF= ∠BAD．求证： EF=BE+FD；（2）如图，在四边形 ABCD中， AB=AD，∠ B+∠D=180°，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且∠ EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形 ABCD中， AB=AD，∠ B+∠ADC=180°， E、 F 分别是边 BC、CD延长线上的点，且∠ EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【解答】证明：（1）延长 EB到 G，使 BG=DF，连接 AG．∵∠ ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ ABG≌△ ADF．∴AG=AF，∠ 1=∠2．∴∠ 1+∠ 3=∠2+∠3=∠EAF= ∠BAD．∴∠ GAE=∠EAF．又∵ AE=AE，∴△ AEG≌△ AEF．∴EG=EF．∵ EG=BE+BG．∴EF=BE+FD（2）（1）中的结论 EF=BE+FD仍然成立．（3）结论 EF=BE+FD 不成立，应当是 EF=BE﹣FD．证明：在 BE上截取 BG，使 BG=DF，连接 AG．∵∠ B+∠ ADC=180°，∠ ADF+∠ ADC=180°，∴∠ B=∠ ADF．∵AB=AD，∴△ ABG≌△ ADF．∴∠ BAG=∠DAF， AG=AF．∴∠ BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF= ∠BAD．∴∠ GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△ AEG≌△ AEF．∴EG=EF∵EG=BE﹣BG∴EF=BE﹣FD．3．如图 1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和 DEC重合放置，其中∠ C=90°，∠B=∠E=30°．（ 1）操作发现如图 2，固定△ ABC，使△ DEC绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：①线段 DE与 AC的位置关系是DE∥ AC；②设△ BDC的面积为 S1，△AEC的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是S1=S2．（ 2）猜想论证当△ DEC绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（ 1）中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△ AEC中 BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（ 3）拓展探究已知∠ ABC=60°，点 D 是角平分线上一点， BD=CD=4，DE∥AB 交 BC于点 E（如图 4）．若在射线 BA 上存在点 F，使 S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的 BF的长．【解答】解：（1）①∵△ DEC绕点 C 旋转点 D 恰好落在 AB 边上，∴AC=CD，∵∠ BAC=90°﹣∠ B=90°﹣ 30°=60°，∴△ ACD是等边三角形，∴∠ ACD=60°，又∵∠ CDE=∠BAC=60°，∴∠ ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠ B=30°，∠ C=90°，∴CD=AC= AB，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边 AC、AD 上的高相等，∴△ BDC的面积和△ AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；故答案为： DE∥ AC；S1=S2；（2）如图，∵△ DEC是由△ ABC绕点 C 旋转得到，∴ BC=CE，AC=CD，∵∠ ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣ 90°=90°，∴∠ ACN=∠DCM，∵在△ ACN和△ DCM中，，∴△ ACN≌△ DCM（ AAS），∴AN=DM，∴△ BDC的面积和△ AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点 D 作 DF1∥BE，易求四边形 BEDF1是菱形，所以 BE=DF1，且 BE、 DF1上的高相等，此时 S△DCF1=S△BDE；过点 D 作 DF2⊥BD，∵∠ ABC=60°，F1D∥BE，∴∠ F2F1D=∠ ABC=60°，∵ BF1=DF1，∠ F1 BD= ∠ABC=30°，∠ F2DB=90°，∴∠ F1DF2=∠ ABC=60°，∴△ DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ ABC=60°，点 D 是角平分线上一点，∴∠ DBC=∠DCB= ×60°=30°，∴∠ CDF1=180°﹣∠ BCD=180°﹣ 30°=150°，∠CDF2=360°﹣ 150°﹣60°=150°，∴∠ CDF1=∠CDF2，∵在△ CDF1和△ CDF2中，，∴△ CDF1≌△ CDF2（SAS），∴点 F2也是所求的点，∵∠ ABC=60°，点 D 是角平分线上一点， DE∥AB，∴∠ DBC=∠BDE=∠ABD= ×60°=30°，又∵ BD=4，∴ BE= ×4÷cos30°=2÷= ，∴ BF1，21 1 2+= ，= BF =BF+F F =故 BF 的长为或．4．如图 1，已知线段 AB 的长为 2a，点 P 是 AB上的动点（ P 不与 A，B 重合），分别以 AP、PB为边向线段 AB 的同一侧作正△ APC和正△ PBD．（1）当△ APC与△ PBD的面积之和取最小值时， AP= a ；（直接写结果）（2）连接 AD、BC，相交于点 Q，设∠ AQC=α，那么α的大小是否会随点 P 的移动而变化？请说明理由；（3）如图 2，若点 P 固定，将△ PBD绕点 P 按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）【解答】解：（1）设 AP 的长是 x，则 BP=2a﹣ x，∴S△APC+S△PBD= x? x+ （2a﹣ x） ? （2a﹣x）=x2﹣ ax+ a2，当x=﹣ =﹣ =a 时△ APC与△ PBD的面积之和取最小值，故答案为： a；（2）α的大小不会随点 P 的移动而变化，理由：∵△ APC是等边三角形，∴PA=PC，∠ APC=60°，∵△ BDP是等边三角形，∴PB=PD，∠ BPD=60°，∴∠ APC=∠BPD，∴∠ APD=∠CPB，∴△ APD≌△ CPB，∴∠ PAD=∠PCB，∵∠ QAP+∠QAC+∠ ACP=120°，∴∠ QCP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠ AQC=180°﹣ 120°=60°；（3）此时α的大小不会发生改变，始终等于60°．理由：∵△ APC是等边三角形，∴PA=PC，∠ APC=60°，∵△ BDP是等边三角形，∴PB=PD，∠ BPD=60°，∴∠ APC=∠BPD，∴∠APD=∠CPB，∴△APD≌△ CPB，∴∠PAD=∠PCB，∵∠ QAP+∠QAC+∠ ACP=120°，∴∠ QCP+∠QAC+∠ACP=120°，∴∠ AQC=180°﹣ 120°=60°．5．如图 1，Rt△ ABC中 AB=AC，点 D、E 是线段 AC 上两动点，且 AD=EC，AM 垂直BD，垂足为 M，AM 的延长线交 BC于点 N，直线 BD 与直线 NE 相交于点F．试判断△ DEF的形状，并加以证明．说明：（ 1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写 3 步）；（ 2）在你经历说明（ 1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．1、画出将△ BAD沿 BA 方向平移 BA 长，然后顺时针旋转90°后图形；2、点 K 在线段 BD 上，且四边形 AKNC为等腰梯形（ AC∥KN，如图 2）．附加题：如图 3，若点 D、 E 是直线 AC 上两动点，其他条件不变，试判断△ DEF 的形状，并说明理由．【解答】解：△ DEF是等腰三角形证明：如图，过点 C 作 CP⊥AC，交 AN 延长线于点 P∵Rt△ABC中 AB=AC∴∠ BAC=90°，∠ ACB=45°∴∠ PCN=∠ACB，∠ BAD=∠ACP∵AM⊥ BD∴∠ ABD+∠BAM=∠ BAM+∠CAP=90°∴∠ ABD=∠CAP∴△ BAD≌△ ACP∴AD=CP，∠ ADB=∠P∵AD=CE∴CE=CP∵CN=CN∴△ CPN≌△ CEN∴∠ P=∠ CEN∴∠ CEN=∠ADB∴∠ FDE=∠FED∴△ DEF是等腰三角形．附加题：△ DEF为等腰三角形证明：过点 C 作 CP⊥ AC，交 AM 的延长线于点 P ∵Rt△ABC中 AB=AC∴∠ BAC=90°，∠ ACB=45°∴∠ PCN=∠ACB=∠ECN∵AM⊥ BD∴∠ ABD+∠BAM=∠ BAM+∠CAP=90°∴∠ ABD=∠CAP∴△ BAD≌△ ACP∴AD=CP，∠ D=∠ P∵AD=EC，CE=CP又∵ CN=CN∴△ CPN≌△ CEN∴∠ P=∠ E∴∠ D=∠ E∴△ DEF为等腰三角形．6．如图，已知等边三角形ABC中，点 D， E， F 分别为边 AB，AC， BC的中点，M 为直线 BC上一动点，△ DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时，△ DMN 也随之整体移动）．（1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线 NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图 2，当点 M 在 BC上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由；（3）若点 M 在点 C 右侧时，请你在图 3 中画出相应的图形，并判断（ 1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．【解答】解：（1）判断： EN 与 MF 相等（或 EN=MF），点 F 在直线 NE 上，（ 2）成立．连接 DF，NF，证明△ DBM 和△ DFN 全等（ AAS），∵△ ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC．又∵ D，E，F 是三边的中点，∴EF=DF=BF．∵∠ BDM+∠ MDF=60°，∠ FDN+∠MDF=60°，∴∠ BDM=∠ FDN，在△ DBM 和△ DFN 中，，∴△ DBM≌△ DFN，∴BM=FN，∠ DFN=∠FDB=60°，∴NF∥BD，∵E， F 分别为边 AC， BC的中点，∴ EF是△ ABC的中位线，∴ EF∥BD，∴ F 在直线 NE 上，∵BF=EF，∴MF=EN．（ 3）如图③， MF 与 EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．连接 DF、DE，由（ 2）知 DE=DF，∠ NDE=∠FDM， DN=DM，在△ DNE和△ DMF 中，∴△ DNE≌△ DMF，∴MF=NE．7．已知：等边三角形ABC（ 1）如图 1， P 为等边△ ABC外一点，且∠ BPC=120°．试猜想线段 BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图 2，P 为等边△ ABC内一点，且∠ APD=120°．求证： PA+PD+PC＞BD．【解答】猜想： AP=BP+PC，（1）证明：延长 BP 至 E，使 PE=PC，连接 CE，∵∠ BPC=120°，∴∠ CPE=60°，又 PE=PC，∴△ CPE为等边三角形，∴CP=PE=CE，∠ PCE=60°，∵△ ABC为等边三角形，∴AC=BC，∠ BCA=60°，∴∠ ACB=∠PCE，∴∠ ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，即：∠ ACP=∠BCE，∴△ ACP≌△ BCE（SAS），∴ AP=BE，∵BE=BP+PE，∴ AP=BP+PC．（2）证明：在 AD 外侧作等边△ AB′D，则点 P 在三角形 ADB′外，连接 PB'，B'C，∵∠ APD=120°∴由（ 1）得 PB′=AP+PD，在△ PB′C中，有 PB′+PC＞CB′，∴PA+PD+PC＞CB′，∵△ AB′D、△ ABC是等边三角形，∴AC=AB，AB′=AD，∠BAC=∠ DAB′=60，°∴∠ BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD，即：∠ BAD=∠CAB′，∴△ AB′C≌△ ADB，∴CB′=BD，∴PA+PD+PC＞BD．8．认真阅读材料，然后回答问题：我初中学了多式的运算法，相的，我可以算出多式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，⋯下面我依次（ a+b）n展开式的各系数一步研究，当 n 取正整数可以独列成表中的形式：上面的多式展开系数表称“ 三角形”；仔察“ 三角形”，用你的律回答下列：（1）多式（ a+b）n的展开式是一个几次几式？并第三的系数；（2）你一下多式（ a+b）n展开式的各系数之和．（3）合上述材料，推断出多式（ a+b）n（ n 取正整数）的展开式的各系数之和 S，（果用含字母 n 的代数式表示）．【解答】解：（ 1）∵当 n=1 ，多式（ a+b）1的展开式是一次二式，此第三的系数： 0= ，2当 n=2 ，多式（a+b）的展开式是二次三式，此第三的系数： 1=，3当 n=3 ，多式（a+b）的展开式是三次四式，此第三的系数： 3=，4当 n=4 ，多式（a+b）的展开式是四次五式，此第三的系数： 6=，⋯∴多式（ a+b）n的展开式是一个 n 次 n+1 式，第三的系数：；（2）一下多式（ a+b）n展开式的各系数之和： 2n；（3）∵当 n=1 ，多式（ a+b）1展开式的各系数之和： 1+1=2=21，当 n=2 ，多式（ a+b）2展开式的各系数之和： 1+2+1=4=22，当n=3 ，多式（ a+b）3展开式的各系数之和： 1+3+3+1=8=23，当n=4 ，多式（ a+b）4展开式的各系数之和： 1+4+6+4+1=16=24，⋯∴多式（ a+b）n展开式的各系数之和：S=2n．。

北师⼤版七年级下册第1章《整式的乘除》培优拔尖习题训练（带答案）北师⼤版第1章《整式的乘除》培优拔尖习题训练⼀．选择题（共10⼩题）1．下⾯计算正确的是（）A．a2?a3＝a5B．3a2﹣a2＝2C．4a6÷2a3＝2a2D．（a2）3＝a52．化简（x+4）（x﹣1）+（x﹣4）（x+1）的结果是（）A．2x2﹣8B．2x2﹣x﹣4C．2x2+8D．2x2+6x3．若要使4x2+mx+成为⼀个两数差的完全平⽅式，则m的值应为（）A．B．C．D．4．下列计算错误的是（）A．（﹣2a3）3＝﹣8a9B．（ab2）3?（a2b）2＝a7b8C．（xy2）2?（9x2y）＝x6y6D．（5×105）×（4×104）＝2×10105．已知长⽅形ABCD可以按图⽰⽅式分成九部分，在a，b变化的过程中，下⾯说法正确的有（）①图中存在三部分的周长之和恰好等于长⽅形ABCD的周长②长⽅形ABCD的长宽之⽐可能为2③当长⽅形ABCD为正⽅形时，九部分都为正⽅形④当长⽅形ABCD的周长为60时，它的⾯积可能为100．A．①②B．①③C．②③④D．①③④6．若（x2+x+b）?（2x+c）＝2x3+7x2﹣x+a，则a，b，c的值分别为（）A．a＝﹣15，b＝﹣3，c＝5B．a＝﹣15，b＝3，c ＝﹣5C．a＝15，b＝3，c＝5D．a＝15，b＝﹣3，c＝﹣57．如图1，在边长为a的正⽅形中剪去⼀个边长为b的⼩正⽅形（a＞b），把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成⼀个梯形（如图2），利⽤这两幅图形⾯积，可以验证的乘法公式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b28．若（a﹣c+b）2＝21，（a+c+b）2＝2019，则a2+b2+c2+2ab的值是（）A．1020B．1998C．2019D．20409．我们知道，同底数幂的乘法法则为a m?a n＝a m+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的⼀种新运算：h（m+n）＝h（m）?h（n）；⽐如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝3×3＝9，若h（2）＝k（k≠0），那么h（2n）?h（2020）的结果是（）A．2k+2020B．2k+1010C．k n+1010D．1022k10．观察下列各式：（x2﹣1）÷（x﹣1）＝x+1．（x3﹣1）÷（x﹣1）＝x2+x+1，（x4﹣1）÷（x﹣1）＝x3+x2+x+1，（x5﹣1）÷（x﹣1）＝x4+x3+x2+x+1，根据上述规律计算2+22+23+…+262+263的值为（）A．264﹣1B．264﹣2C．264+1D．264+2⼆．填空题（共8⼩题）11．2015年诺贝尔⽣理学或医学奖得主中国科学家屠呦呦，发现了⼀种长度约为0.000000456毫⽶的病毒，把0.000000456⽤科学记数法表⽰为．12．已知x2﹣2（m+3）x+9是⼀个完全平⽅式，则m＝．13．计算：（16x3﹣8x2+4x）÷（﹣2x）＝．14．若计算（x﹣2）（3x+m）的结果中不含关于字母x的⼀次项，则m的值为．15．若（x﹣2）x＝1，则x＝．16．如图所⽰，如图，边长分别为a和b的两个正⽅形拼接在⼀起，则图中阴影部分的⾯积为．17．在我们所学的课本中，多项式与多项式相称可以⽤⼏何图形的⾯积来表⽰，例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以⽤下⾯图中的图①来表⽰．请你根据此⽅法写出图②中图形的⾯积所表⽰的代数恒等式：18．观察下列各等式：x﹣2＝x﹣2（x﹣2）（x+2）＝x2﹣22（x﹣2）（x2+2x+4）＝x3﹣23（x﹣2）（x3+2x2+4x+8）＝x4﹣24……请你猜想：若A?（x+y）＝x5+y5，则代数式A＝．19．先化简，再求值：（m﹣2）2﹣（n+2）（n﹣2）﹣m（m﹣1），其中2m2+12m+18+|2n﹣3|＝0．20．计算：（1）（﹣4x2）﹣（1+2x）（8x﹣2）（2）（﹣2x﹣y）（y﹣2x）﹣（2x+y）2（3）先化简再求值：（12x3y2+x2y﹣x2y3）÷（﹣2x2y）﹣[2（x﹣y）]2，其中x＝﹣，y＝321．阅读材料：（1）1的任何次幂都为1：（2）﹣1的奇数次幂为﹣1：（3）﹣1的偶数次幂为1：（4）任何不等于零的数的零次幂为1．请问当x为何值时，代数式（2x+3）x+2020的值为1．22．（1）先化简，再求值已知：[（x﹣2y）2﹣4y2+2xy]÷2x，其中x＝1，y＝2．（2）先化简，再求值：（﹣3ab）2（a2+ab+b2）﹣3ab（3a3b+3a2b2﹣ab3），其中a＝﹣，b＝23．（1）计算：（a﹣2）（a2+2a+4）＝．（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝．（2）上⾯的整式乘法计算结果很简洁，你⼜发现⼀个新的乘法公式（请⽤含a，b的字母表⽰）．（3）下列各式能⽤你发现的乘法公式计算的是．A．（a﹣3）（a2﹣3a+9）B．（2m﹣n）（2m2+2mn+n2）C．（4﹣x）（16+4x+x2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）24．如图1，在⼀个边长为a的正⽅形⽊板上锯掉⼀个边长为b的正⽅形，并把余下的部分沿虚线剪开拼成图2的形状．（1）请⽤两种⽅法表⽰阴影部分的⾯积：图1得：；图2得；（2）由图1与图2⾯积关系，可以得到⼀个等式：；（3）利⽤（2）中的等式，已知a2﹣b2＝16，且a+b＝8，则a﹣b＝．参考答案1．【解答】解：A、结果是a5，故本选项符合题意；B、结果是2a2，故本选项不符合题意；C、结果是2a3，故本选项不符合题意；D、结果是a6，故本选项不符合题意；故选：A．2．【解答】解：（x+4）（x﹣1）+（x﹣4）（x+1）＝x2+3x﹣4+x2﹣3x﹣4＝2x2﹣8，故选：A．3．【解答】解：∵（2x﹣）2＝4x2﹣x+，或[2x﹣（﹣）]2＝4x2+x+，∴m＝﹣或．故选：A．4．【解答】解：A、（﹣2a3）3＝﹣8a9，正确；B、（ab2）3?（a2b）2＝a7b8，正确；C、（xy2）2?（9x2y）＝x4y5，错误；D、（5×105）×（4×104）＝2×1010，正确；故选：C．5．【解答】解：①四边形AEFG、FHKM、SKWC的周长之和等于长⽅形ABCD的周长；②长⽅形的长为a+2b，宽为2a+b，若该长⽅形的长宽之⽐为2，则a+2b＝2（2a+b）解得a＝0．这与题意不符，故②的说法不正确；③当长⽅形ABCD为正⽅形时，2a+b＝a+2b所以a＝b，所以九部分都为正⽅形，故③的说法正确；④当长⽅形ABCD的周长为60时，即2（2a+b+a+2b）＝60整理，得a+b＝10所以四边形GHWD的⾯积为100．故当长⽅形ABCD的周长为60时，它的⾯积不可能为100，故④的说法不正确．综上正确的是①③．故选：B．6．【解答】解：∵（x2+x+b）?（2x+c）＝2x3+7x2﹣x+a，2x3+2x2+2bx+cx2+cx+bc＝2x3+7x2﹣x+a，2x3+（2+c）x2+（2b+c）x+bc∴2+c＝7，2b+c＝﹣1，bc＝a．解得c＝5，b＝﹣3，a＝﹣15．故选：A．7．【解答】解：图1阴影部分的⾯积等于a2﹣b2，图2梯形的⾯积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）根据两者阴影部分⾯积相等，可知（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2⽐较各选项，只有D符合题意故选：D．8．【解答】解：（a﹣c+b）2＝a2+b2+c2﹣2ac﹣2bc+2ab＝21①，（a+c+b）2＝a2+b2+c2+2ac+2bc+2ab＝2019②，①+②，得2（a2+b2+c2）+4ab＝2040，a2+b2+c2+2ab＝1020．故选：A．9．【解答】解：∵h（2）＝k（k≠0），h（m+n）＝h（m）?h（n），∴h（2n）?h（2020）＝h（）?h（）＝?＝k n?k1010＝k n+1010，故选：C．10．【解答】解：有上述规律可知：（x64﹣1）÷（x﹣1）＝x63+x62+…+x2+x+1当x＝2时，即（264﹣1）÷（2﹣1）＝1+2+22+…+262+263∴2+22+23+…+262+263＝264﹣2．故选：B．⼆．填空题（共8⼩题）11．【解答】解：把0.000000456⽤科学记数法表⽰为4.56×10﹣7，故答案为：4.56×10﹣7．12．【解答】解：∵x2﹣2（m+3）x+9是⼀个完全平⽅式，∴m+3＝±3，解得：m＝﹣6或m＝0，故答案为：﹣6或013．【解答】解：（16x3﹣8x2+4x）÷（﹣2x）＝﹣8x2+4x﹣2．故答案为：﹣8x2+4x﹣2．14．【解答】解：原式＝3x2+（m﹣6）x﹣2m，由结果不含x的⼀次项，得到m﹣6＝0，解得：m＝6，故答案为：615．【解答】解：∵（x﹣2）x＝1，∴x＝0时，（0﹣2）0＝1，当x＝3时，（3﹣2）3＝1，则x＝0或3．故答案为：0或3．16．【解答】解：∵去掉△DEF，则剩余部分为⼀个直⾓梯形∴图中阴影部分的⾯积为：（a+a+b）b﹣（b﹣a）a﹣（a+b）a＝ab+b2﹣ab+a2﹣a2﹣ab＝b2故答案为：．17．【解答】解：根据图形列得：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．18．【解答】解：（x4﹣x3y+x2y2﹣xy3+y4）（x+y）＝x5+y5，故答案为：x4﹣x3y+x2y2﹣xy3+y4．三．解答题（共6⼩题）19．【解答】解：（m﹣2）2﹣（n+2）（n﹣2）﹣m（m﹣1）＝m2﹣4m+4﹣n2+4﹣m2+m＝﹣n2﹣3m+8，∵2m2+12m+18+|2n﹣3|＝0，∴2（m+3）2+|2n﹣3|＝0，∴m+3＝0，2n﹣3＝0，∴m＝﹣3，n＝1.5，当m＝﹣3，n＝1.5时，原式＝﹣1.52﹣3×（﹣3）+8＝﹣3．20．【解答】解：（1）（﹣4x2）﹣（1+2x）（8x﹣2）＝﹣4x2﹣8x+2﹣16x2+4x＝﹣20x2﹣4x+2；（2）（﹣2x﹣y）（y﹣2x）﹣（2x+y）2＝4x2﹣y2﹣4x2﹣4xy﹣y2＝﹣2y2﹣4xy；（3）（12x3y2+x2y﹣x2y3）÷（﹣2x2y）﹣[2（x﹣y）]2＝﹣6xy+y2﹣4x2+8xy﹣4y2＝2xy﹣4x2﹣y2﹣，当，y＝3时，原式＝2×（﹣）×3﹣4×（﹣）2﹣×32﹣＝﹣36．21．【解答】解：①由2x+3＝1，得x＝﹣1，当x＝﹣1时，代数式（2x+3）x+2020＝12019＝1；②由2x+3＝﹣1，得x＝﹣2，当x＝﹣2时，代数式（2x+3）x+2020＝（﹣1）2018＝1；③由x+2020＝0，得x＝﹣2020，当x＝﹣2020时，2x+3＝﹣4037≠0所以（2x+3）x+2020＝（﹣4037）0＝1．当x＝﹣2020时，代数式（2x+3）x+2020的值为1．答：当x为﹣1、﹣2、﹣2020时，代数式（2x+3）x+2020的值为1．22．【解答】解：（1）[（x﹣2y）2﹣4y2+2xy]÷2x＝[x2﹣4xy+4y2﹣4y2+2xy]÷2x＝[x2﹣2xy]÷2x＝，当x＝1，y＝2时，原式＝；（2）（﹣3ab）2（a2+ab+b2）﹣3ab（3a3b+3a2b2﹣ab3）＝9a2b2（a2+ab+b2）﹣（9a4b2+9a3b3﹣3a2b4）＝9a4b2+9a3b3+9a2b4﹣9a4b2﹣9a3b3+3a2b4＝12a2b4，当a＝，b＝时，原式＝．23．【解答】解：（1）原式＝a3﹣8；原式＝8x3﹣y3；（2）（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；（3）能⽤发现的乘法公式计算的是（4﹣x）（16+4x+x2）．故答案为：（1）a3﹣8；8x3﹣y3；（2）（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；（3）C．24．【解答】解：（1）图1中阴影部分的⾯积为：a2﹣b2，图2中阴影部分的⾯积为：（2b+2a）（a﹣b），即（a+b）（a﹣b）；故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）由图1与图2⾯积关系，可以得到⼀个等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）∵a2﹣b2＝16，且a+b＝8，∴（a+b）（a﹣b）＝16，即8（a﹣b）＝16，∴a﹣b＝2．故答案为：2．。

北师大版七年级(下)期中数学试卷(1-4章)及答案讲评北师大版七年级,下，期中数学试卷及答案一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)1、下列说法正确的是( )A、4不是单项式B、,的系数是22 C、的系数是 D、πr的次数是32、下列算式能用平方差公式计算的是( )A、(3a+b)(3b,a)B、n) C、(2x,y)(,2x+y) D、(,m+n)(,m,3、如图，已知AB?CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分?BEF，若?1=48?，则?2的度数是( )A、64?B、65?C、66?D、67?4、如果?1与?2互补，?1与?3互余，那么( )A、?2,?3B、?2=?3C、?2,?3D、?2??35、下列语句正确的是( )A、近似数0.009精确到百分位B、近似数56.7万有三个有效数字5 C、近似数800有一个有效数字 D、近似数3.670×10精确到千分位6、(2008•江汉区)2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，国内外社会各界纷纷向灾区捐款捐物，抗震救灾(截止6月4日12时，全国共接收捐款约为43 681 000 000人民币(这笔款额用科学记数法表示(保留三个有效数字)正确的是( )1110 A、0.437×10 B、4.4×10109 C、4.37×10 D、43.7×107、如上图是一间卧室地面瓷砖的图案，在这间卧室地下藏有一宝物，则藏在白色瓷砖和灰色瓷砖下的可能性是( )A、藏在白色瓷砖下的可能性大B、藏在灰色瓷砖下的可能性大C、藏在两种瓷砖下的可能性一样大D、藏在灰色瓷砖下与藏在白色瓷砖下的可能性之比是3:2228、25x+kxy+9y为完全平方式，则k的值为( )A、15B、30C、,30D、?30二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)29、计算:(,a)= _________ (210、某同学做一道数学题:两个多项式A，B其中B为4x,3x+7，试求A+B，他误将“A+B”看成“A,B”，求出的结果2为8x,x+1，则A+B= _________ (2211、如果代数式2x+3x+7的值为8，那么代数式4x+6x,9的值是 _________ (12、(2005•吉林)为了解某市初中生视力情况，有关部门进行抽样调查，数据如表所示(若该市共有初中生15万人，则全市视力不良的初中生约有 _________ 万人(抽样人数其中视力不良学生人数男女合计 4500 975 1185 216013、一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒(当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是 _________ (14、(2004•四川)(规律探究题)某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第1次铺2块，如图，第2次把第1次铺的完全围起来，如图，第3次把第2次铺的完全围起来，如图;…(依此方法，第n次铺完后，用字母n表示第n次镶嵌所使用的木块数 _________ (15、平面内6条直线交点的个数最多是 _________ 个，最少是 _________ 个( 16、如图，已知:直线a?b，则?A= _________ (三、解答题(本大题共8小题，共52分)17、阅读下题并填空:已知:?ABC，?A、?B、?C之和为多少,为什么,解:?A+?B+?C=180?理由:作?ACD=?A，并延长BC到E??1=?A(已作)?AB?CD( _________ )??B= _________ ( _________ )而?ACB+?1+?2=180???ACB+ _________ + _________ =180?(等量代换)2218、已知|a+|+(b,3)=0，求代数式[(2a+b)+(2a+b)(b,2a),6b]?2b的值( 19、计算:如图所示，DE?BC，CD?GF，且?1=40?，?B=35?(求?2和?3的度数(20、(2008•扬州)一只不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同( (1)小明认为，搅匀后从中任意摸出一个球，不是白球就是红球是等可能的，你同意他的说法吗,为什么, (2)搅匀后从中一把摸出两个球，请通过列表和树状图求出两个球必是白球的概率;(3)搅匀后从中任意摸出一个球，要使得摸出的红球概率为，应如何添加红球,21、a、b、c是三个连续的正整数(a,b,c)，以b为边长作正方形，分别以c、a为长和宽作长方形，哪个图形的面积大,为什么,22、(2004•南平)如图，反映了被调查用户用甲，乙两种品牌空调售后服务的满意程度(以下称:用户满意程度)，分为很不满意，不满意，较满意，很满意四个等级，并依次记为1分，2分，3分，4分( (1)分别求甲，乙两种品牌用户满意程度分数的平均值(计算结果精确到0.01分);(2)根据条形统计图及上述计算结果说明哪个品牌用户满意程度较高,你愿意购买哪种品牌的空调,23、乘法公式的探究及应用((1)如左图，可以求出阴影部分的面积是 _________ (写成两数平方差的形式);(2)如右图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是_________ ，长是 _________ ，面积是 _________ ((写成多项式乘法的形式)(3)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 _________ ((用式子表达) (4)运用你所得到的公式，计算下列各题:?10.3×9.7?(2m+n,p)(2m,n+p)24、一粒米，许多同学都认为微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整块馒头或整碗米饭倒掉(针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重11.07克(现在请你来计算:(1)一粒大米重约多少克,(结果保留两个有效数字)(2)按我国现有人口13亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克,(3)假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2.5元?千克计算，可卖得人民币多少元,(4)经过以上计算，你有何感想和建议,北师大版七年级,下，期中数学试卷,答案，答案与评分标准一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)1、下列说法正确的是( )4不是单项式 B、,的系数是2 A、2 C、的系数是 D、πr的次数是3考点:单项式。

七年级数学下册——第一章整式的乘除（复习）单项式整式多项式同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方同底数幂的除法零指数幂负指数幂整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式第1章整式的乘除单元测试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每小题四个答案中只有一个是正确的，请把正确的答案选出来！1.下列运算正确的是（）A. 954aaa=+ B. 33333aaaa=⋅⋅C. 954632aaa=⨯ D. ()743aa=-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫⎝⎛-20122012532135.2（）A. 1- B. 1 C. 0 D. 19973.设()()Ababa+-=+223535，则A=（）A. 30abB. 60abC. 15abD. 12ab4.已知,3,5=-=+xyyx则=+22yx（）A. 25. B 25- C 19 D、19-5.已知,5,3==ba xx则=-bax23（）A、2527B、109C、53D、526. .如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四 种表示该长方形面积的多项式：①(2a +b )(m +n ); ②2a (m +n )+b (m +n ); ③m (2a +b )+n (2a +b ); ④2am +2an +bm +bn ， 你认为其中正确的有A 、①②B 、③④C 、①②③D 、①②③④ （ ）7．如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ） A 、 –3B 、3C 、0D 、18．已知.(a+b)2=9，ab= －112 ，则a ²+b 2的值等于（ ）A 、84B 、78C 、12D 、6 9．计算（a －b ）（a+b ）（a 2+b 2）（a 4－b 4）的结果是（ ） A ．a 8+2a 4b 4+b 8B ．a 8－2a 4b 4+b 8C ．a 8+b 8D ．a 8－b 810.已知m m Q m P 158,11572-=-=（m 为任意实数），则P 、Q 的大小关系为 （ ）A 、Q P >B 、Q P =C 、Q P <D 、不能确定二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）温馨提示：填空题必须是将最简洁最正确的答案填在空格处！ 11.设12142++mx x 是一个完全平方式，则m =_______。

2021年七下期中考试金牌压轴题训练（一）（时间：60分钟 总分：100） 班级 姓名 得分 一、单选题1．在矩形ABCD 内将两张边长分别为a 和()b a b >的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为1S ，图2中阴影部分的面积为2S ．当4AD AB -=时，21S S -的值为（ ）A ．4aB ．4bC ．44a b -D ．5b【答案】B 【分析】利用面积的和差分别表示出1S 和2S ，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【详解】解：1()()()()()()S AB a a CD b AD a AB a a AB b AD a =-⋅+--=-⋅+--，2()()()S AB AD a a b AB a =-+--，21()()()()()()S S AB AD a a b AB a AB a a AB b AD a b AD a b ABab AD ab b AB ab =⋅--⋅+()b AD AB =-4b =．故选：B ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟悉相关运算法则是解题的关键．2．一副直角三角尺叠放如图所示，现将30°的三角尺ABC固定不动，将45°的三角尺BDE 绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线AB的上方，当两块三角尺至少有一组边互相平行 所有符合条件的度数为（）时，则ABEA．45°，75°，120°，165°B．45°，60°，105°，135°C．15°，60°，105°，135°D．30°，60°，90°，120°【答案】A【分析】分DE∥AB，DE∥AC，BE∥AC，AC∥BD，分别画出图形，根据平行线的性质和三角板的特点求解．【详解】解：如图，∥DE∥AB，∥∥D+∥ABD=180°∥∥ABD=90°∥∥ABE=45°；∥DE∥AC，∥∥D=∥C=90°，∥B，C，D共线，∥∥ABE=∥CBE+∥ABC=180°-45°+30°=165°；∥BE∥AC，∥∥C=∥CBE=90°，∥∥ABE=∥ABC+∥CBE=120°；∥AC∥BD，∥∥ABD=180°-∥A=120°，∥∥ABE=∥ABD-∥DBE=75°，综上：∥ABE的度数为：45°或75°或120°或165°．【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，平行线的性质，解题的关键是注意分类讨论，做到不重不漏．3．星期六早晨蕊蕊妈妈从家里出发去观山湖公园锻炼，她连续、匀速走了60min后回家，图中的折线段OA﹣AB﹣BC是她出发后所在位置离家的距离s（km）与行走时间t（min）之间的函数关系，则下列图形中可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：观察s 关于t 的函数图象，发现：在图象AB 段，该时间段蕊蕊妈妈离家的距离相等，即绕以家为圆心的圆弧进行运动，∥可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是B ．故选B ． 考点：函数的图象．二、填空题4．观察等式：232222+=-；23422222++=-；2345222222已知按一定规律排列的一组数：502、512、522、⋯、992、1002．若502a =，用含a 的式子表示这组数的和是____． 【答案】22a a - 【分析】由等式：232222+=-；23422222++=-；2345222222+++=-，得出规律：231222222nn，那么505152991002222223100(2222)2349(2222)，将规律代入计算即可．【详解】 解：232222；23422222++=-；2345222222+++=-；⋯231222222nn ，5051529910022222231002349(2222)(2222)10150(22)(22)1015022，502a ，10150222(2)22a ，∴原式22a a =-，故答案是：22a a -． 【点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．5．已知直线AB∥CD ，点P 、Q 分别在AB 、CD 上，如图所示，射线PB 按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA 便立即回转，并不断往返旋转；射线QC 按顺时针方向每秒1°旋转至QD 停止，此时射线PB 也停止旋转．（1）若射线PB 、QC 同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为_____； （2）若射线QC 先转45秒，射线PB 才开始转动，当射线PB 旋转的时间为_____秒时，PB′∥QC′．【答案】PB′∥QC′ 15秒或63秒或135秒． 【分析】（1）求出旋转30秒时，∥BPB′和∥CQC′的度数，过E 作EF∥AB ，根据平行线的性质求得∥PEF 和∥QEF 的度数，进而得结论；（2）分三种情况：∥当0s＜t≤45时，∥当45s＜t≤67.5s时，∥当67.5s＜t＜135s时，根据平行线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间．【详解】（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∥BPB′＝4°×30＝120°，∥CQC′＝30°，过E作EF∥AB，则EF∥CD，∥∥PEF＝180°﹣∥BPB′＝60°，∥QEF＝∥CQC′＝30°，∥∥PEQ＝90°，∥PB′∥QC′，故答案为：PB′∥QC′；（2）∥当0s＜t≤45时，如图2，则∥BPB′＝4t°，∥CQC′＝45°+t°，∥AB∥CD，PB′∥QC′，∥∥BPB′＝∥PEC＝∥CQC′，即4t＝45+t，解得，t＝15（s）；∥当45s＜t≤67.5s时，如图3，则∥APB′＝4t﹣180°，∥CQC'＝t+45°，∥AB∥CD，PB′∥QC′，∥∥APB′＝∥PED＝180°﹣∥CQC′，即4t﹣180＝180﹣（45+t），解得，t＝63（s）；∥当67.5s＜t＜135s时，如图4，则∥BPB′＝4t﹣360°，∥CQC′＝t+45°，∥AB∥CD，PB′∥QC′，∥∥BPB′＝∥PEC＝∥CQC′，即4t﹣360＝t+45，解得，t＝135（s）；综上，当射线PB旋转的时间为15秒或63秒或135秒时，PB′∥QC′．故答案为：15秒或63秒或135秒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题．6．甲地宏达物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度沿快速通道向乙地匀速行驶，快递车到达乙地后，卸完物资并另装货物共用了45 分钟，然后按原路以另一速度返回，直至与货车相遇．已知货车行驶速度为60 km/h，两车间的距离y(km) 与货车行驶时间x(h) 之间的函数图象如图所示：给出以下四个结论：∥ 快递车从甲地到乙地的速度是 100 km/h ； ∥ 甲、乙两地之间的距离是 80 km ； ∥ 图中点 B 的坐标为 (324, 35)；∥ 快递车从乙地返回时的速度为 90 km/h ． 其中正确的是_____（填序号）． 【答案】∥∥∥ 【解析】（1）设快递车从甲地到乙地的速度为x 千米/时，由题意可得：2(x -60)=80，解得：x=100，即快递车从甲到乙的速度为100km/时，故∥正确； （2）由（1）可知，快递车从甲到乙行驶了2小时，其行驶速度为100km/时， ∥甲地到乙地的距离为：100×2=200（km ），故∥错误；（3）由题意可知，图中B 点的坐标表示快递车开始从乙地返回甲地时的出发时间和此时两车间的距离，∥B 点的横坐标为：2+45÷60=324，B 点的纵坐标为：80-60×4560=35，故∥正确； （4）设快递车返回时的速度为a 千米/时，由图中信息和（3）中结论可得：5945(22)(60)356060a -+=，解得：90a =，故∥正确； 综上所述，正确的结论是∥∥∥， 故答案为：∥∥∥.三、解答题7．找规律：观察算式 13＝1 13+23＝9 13+23+33＝36 13+23+33+43＝100…（1）按规律填空）13+23+33+43+…+103＝；13+23+33+43+…+n3＝．（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程）（3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程）【答案】（1）255；2(1)2nn⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；（2）1622600；（3）281275⨯【分析】（1）观察等式右边都是平方数，且底数正好是等式左边各底数的和，依此规律类推可分别解决以上两个问题；（2）由于上面的等式都是从底数是1开始的，所以可以把该式子前面的部分从1开始补上，再把补上的部分减掉即可；（3）该式中的底数并不是题干中所给出的从1开始的连续整数，因此不能直接用上述规律解题，但该式中的底数却都是从1开始的连续整数的2倍，因此提出2后，各项都含有32，逆用乘法分配律即可解决问题．【详解】解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）2＝255；13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝2(1)2nn⎡⎤+⎢⎥⎣⎦；（2）113+123+133+143+...+503＝（13+23+33+43+...+503）-（13+23+33+43+ (103)＝()()22 5050+11010122+⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝1622600；（3）23+43+63+...+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）2+（2×4）3+...+（2×50）3＝23×（13+23+33+43+ (503)＝23×()25050+12⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝281275⨯．【点睛】本题属于数式规律题，考查了学生对数的观察和分析的能力，首先学生应对平方数有一定的认识和感知力，这样才能迈出解决问题的第一步，其次学生要学会对不同的数进行关联，通过它们的和差积商中的一种或多种组合找到它们的联系，才能得出这道题的规律，建议在学习过程中多积累相关经验，发散思维，提高解决该类问题的效率．8．梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（AB∥CD）如图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q，若灯P射线自PA逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q射线自QD逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心．（1）若把灯P自PA转至PB，或者灯Q自QD转至QC称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的时间；（2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求∥PMQ；（3）在两灯同时开启后的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？【答案】（1）P、Q两灯照射一次各需要的时间分别为18秒、45秒；（2）108PMQ；（3）当开启15s或1357s或2257s后，两灯的光束互相垂直．【分析】（1）直接利用180除以两灯的速度即可求得结果；（2）过点M作//FM AB，利用平行线的相关性质求解即可；（3）分三种情况：∥当两灯开启时间小于18秒时，∥当两灯开启时间大于18秒，小于36秒时，PM返回时，第一次与DM相遇，∥当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时，PM 返回时，第二次与DM相遇，分别根据两灯的光束互相垂直，利用平行线的相关性质，找准等量关系，列出方程求解即可．【详解】解：（1）∥灯P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，∥P灯照射一次需要的时间是：1801810（秒）Q灯照射一次需要的时间是：180454（秒）；（2）∥转动12秒时，两光束恰好在M点汇聚，∥1012120APM,41248DQM，如下图示，过点M作//FM AB，则有////FM AB CD∥180APM PMF，48FMQ DQM，∥180********PMF APM，∥6048108 PMQ PMF FMQ；（3）∥当两灯开启时间小于18秒时，如图1所示，过点M作//FM AB，则有////FM AB CD∥10APM t，4FMQ DQM t，∥18018010PMF APM t，∥两灯的光束互相垂直，∥依题意可得：18010490t t解之得：15t ；∥当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时，PM返回时，第一次与DM相遇，则如图2所示，过点M作//FM AB，则有////FM AB CD∥10180PMF BPM t，4FMQ DQM t，∥两灯的光束互相垂直，∥依题意可得：10180490t t解之得：1357t；∥当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时，PM返回时，第二次与DM相遇，则如图3所示，过点M作//FM AB，则有////FM AB CD∥10180BPM t，4DQM t，∥18036010PMF BPM t，1801804FMQ DQM t∥两灯的光束互相垂直，∥依题意可得：36010180490t t解之得：2257t；综上所述，当开启15s或1357s或2257s后，两灯的光束互相垂直．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，熟悉相关性质是解题的关键．9．用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形.设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数之和为x.探究一：图中∥—∥的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数之和的对应关系如表：S与x之间的关系式为：________.探究二：图中∥—∥的格点多边形内部都只有2个格点，请你先完善下表格的空格部分（即分别计算出对应格点多边形的面积S）：S 与x 之间的关系式为：________.猜想：当格点多边形内部有且只有n 个格点时，S 与x 之间的关系式为：_______. 【答案】探究一：0.5S x =；探究二：完整的表格信息见详解，0.51S x =+；猜想：0.51x n +-.【分析】探究一：通过观察可以看出多边形的面积等于各边上格点个数的一半，即0.5S x =； 探究二：用“切割法”将∥—∥中图形分割成几个三角形或者矩形即可求出其面积， 通过观察可以发现多边形的面积等于各边上格点的个数和的一半加1，即0.51S x =+，猜想：观察可发现∥—∥多边形内部都有2个格点，面积在探究一的基础上加1，结合探究一、二可得出解析式 【详解】探究一：当S=2时，x=4；当S=2.5时，x=5；…..通过观察多边形的面积等于各边上格点个数的一半，即0.5S x =； 探究二：表格填写如下通过观察可以发现多边形的面积等于各边上格点个数的一半再加1，即0.51S x =+； 猜想：比较探究二与探究一，图形面积加1，图形内部格点个数加2，也就是多边形内部格点数每增加n 个，面积就比原来多了n -1，故S 与x 的关系式为0.51S x n =+-. 【点睛】本题主要考查变量之间的关系中的用表格表示变量之间的关系和用关系式表示变量之间的关系，解答本题的关键是要理解原图（表格）的变化规律，然后将它用关系式表示出来.。

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1期中考试压轴题专练第一章整式的乘除1．（23-24七年级上·福建泉州·期中）某网店实行优惠购物，优惠规定如下：①如果一次性购物在400元以内，按标价给予九折优惠；②如果一次性购物超过400元的，可以先享受“天猫”每满400元减50元的优惠政策（满800元减100元，以此类推，不设上限）进行减扣，然后再给予八折优惠．某顾客在该网店两次购物的商品标价共计900元，若第一次购物商品标价为a 元，且少于第二次购物商品的标价，则该顾客两次购物的实际付款总额不可能为（）元A ．0.1640a +B ．0.1680a +C ．640D ．6802．（23-24八年级上·重庆渝中·阶段练习）若有两个整式()()()32325610111A x x a x b x c x d =-+=-+-+-+，2B x ex f =++．下列结论中，正确的有（）①当A B +为关于x 的三次三项式时，则10f =-；②当多项式A B ⋅乘积不含4x 时，则6e =；③17a b c ++=；④当B 能被2x -整除时，24e f +=-；⑤若2x m =或2m -时，无论e 和f 取何值，B 值总相等，则2m =-．A ．①②④B ．①③④C ．③④⑤D ．①③④⑤3．（22-23七年级下·重庆北碚·期中）给定一个正整数m ，任意两个整数a 与b 分别除以m 所得的余数相同，我们就说a ，b 对m 同余，记作)mod a b m ≡．例如：31934÷= ，49954÷= ，记作()3149mod9≡．①()19492023mod3≡②若()mod3a b ≡，则()25mod3a b ≡③若()()mod 7mod 7a b c d ≡≡，，则()mod 7ac bd ≡④若()1000100910K a b c d =++++（19,0,,9a b c d ≤≤≤≤，a ，b ，c ，d 为整数），则()()mod9K a b c d ≡+++以上说法正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．44．（23-24七年级上·福建厦门·期中）如图，长为y cm ，宽为x cm 的大长方形被分割为7小块，除阴影A ，B 外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形C ，其较短的边长为4cm ，下列说法中正确的有．（填写序号）①小长方形C 的较长边为()12cm y -；②阴影A 的较短边和阴影B 的较短边之和为()28cm x y -+；③若x 为定值，则阴影A 和阴影B 的周长和为定值；④当20x =时，阴影A 和阴影B 的面积和为定值．5．（22-23七年级上·江苏连云港·期中）矩形ABCD 内放入两张边长分别为a 和()b a b >的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为1S ；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为2S ；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为3S ，已知132S S -=，239S S -=，设AD AB m -=，则mb =．6．（22-23七年级下·山东菏泽·阶段练习）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H 为AE 的中点，连结DH ，FH ．将乙纸片放到甲的内部得到图2.已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为．7．（23-24八年级上·四川内江·期中）数学活动课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为a 、宽为b 的长方形，并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3(1)观察图2，请你写出下列三个代数式：222(),,a b a b ab ++之间的等量关系(2)若要拼出一个面积为()()2a b a b ++的矩形，则需要A 号卡片1张，B 号卡片2张，C 号卡片张．(3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：225,15a b a b +=+=，求ab 的值；②已知：22(2023)(2022)5a a -+-=，求()()20232022a a --的值．8．（23-24八年级上·广东珠海·期中）结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．(1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；(2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x 满足()()251x x --=，可设2x a -=，5-=x b ，则1ab =，3a b +=-．则22a b +=______．(3)若x 满足()()1053x x --=，则()()22105x x -+-的值为______；(4)小玲想利用图2中x 张A 纸片，y 张B 纸片，z 张C 纸片拼出一个面积为()()3a b a b ++的大长方形，则x y z ++=______；(5)如图3，已知正方形ABCD 的边长为x ，E ，F 分别是AD 、DC 上的点，且1AE =，3CF =，长方形EMFD 的面积是24，分别以MF 、DF 为边作正方形，求阴影部分的面积．9．（23-24八年级上·四川内江·期中）阅读下列解答过程：已知：0x ≠，且满足231x x -=．求：221x x +的值．解：231x x -= ，2310x x ∴--=130x x ∴--=，即13x x-=．2221123211x x x x ⎛⎫∴+=-+=+= ⎪⎝⎭．请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知0a ≠，且满足()()()222112329147a a a a a +---+=-，求：(1)221a a +的值；(2)24255a a a ++的值．10．（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a 、b 定义运算：()()b m a n a b a b =+※（其中m 、n 为常数），如2332(3)(2)m n =+※．(1)填空：当1m =，2023n =时，2)(1=※__________；(2)若1410=※，2215=※，求214m n +-的值．11．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）阅读下面问题：你能化简()()99981···1a a a a -++++吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．(1)先填空：①()()11a a -+= ．②()()211a a a -++= ．：③()()3211a a a a -+++= ．④由此猜想()()99981···1a a a a -++++= ．(2)利用得出的结论计算：20212020201920182222 (3)+++++12．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）阅读以下材料：已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如436834862924⨯=⨯=，所以43和68与34和86都是“幸福数对”.解决如下问题：(1)请判断24与63是否是“幸福数对”？并说明理由：(2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为a ，个位数字为b ，且a b ¹；另一个数的十位数字为c ，个位数字为d ，且c d ≠，试说明a ，b ，c ，d 之间满足怎样的数量关系，并写出证明过程；(3)若有一个两位数，十位数字为()21++x x ，个位数字为()223x x ++；另一个两位数，十位数字为()225x x ++，个位数字为()22x x ++．若这两个数为“幸福数对”，求出这两个两位数．13．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）我们定义：如果两个多项式M 与N 的和为常数，则称M 与N 互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如226M x x =-+与221N x x =-+-互为“对消多项式”，它们的原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5“对消值”为5．(1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是（填序号）；①232x x +与232x +；②6x -与2x -+； ③2352x y xy -+与2352 1.x y xy --(2)多项式2()A x a =-与多项式2-2B bx x b =-+（a ，b 为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”；(3)关于x 的多项式264C mx x =++与()()1D m x x n =-++互为“对消多项式”，“对消值”为t ．若a b m -=，b c mn -=，求代数式2222a b c ab bc ac t ++---+的最小值．14．（23-24八年级上·广东广州·期末）阅读理解：条件①：无论代数式A 中的字母取什么值，A 都不小于常数M ；条件②：代数式A 中的字母存在某个取值，使得A 等于常数M ；我们把同时满足上述两个条件的常数M 叫做代数式A 的下确界．例如：222222521115(1)4x x x x x ++=+⋅⋅+-+=++，2(1)0x +≥ ，2254x x ∴++≥（满足条件①）当1x =-时，2254x x ++=（满足条件②）4∴是225x x ++的下确界．又例如：()22222252111514x x x x x ++=+⋅⋅+-+=++，由于||1x ≠-，所以22||54x x ++≠，（不满足条件②）故4不是22||5x x ++的下确界．请根据上述材料，解答下列问题：(1)求241x x -+的下确界．(2)若代数式223x mx ++的下确界是1，求m 的值．(3)求代数式22222410x y xy x y ++--+的下确界．15．（23-24七年级上·北京西城·期中）阅读理解：我们通常学习的数都是十进制数，使用的数码共有10个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，表示具体数时采用“逢十进一”的原则，比如：32104123410110210310=⨯+⨯+⨯+⨯，（这里我们规定：a ≠0时，01a =），又如：2311110.1251258101010==⨯+⨯+⨯．而现代的计算机和依赖计算机的设备都使用二进制数，用到的数码只有两个：0和1，表示具体数时“逢二进一”．二进制数和十进制数可以互相转化，二进制数的运算也和十进制数的运算类似．①我们可以把十进制整数转化成二进制整数．比如：654321010312120202121212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，所以103用二进制数码表示是1100111，记为()21031100111=；②也可以把十进制分数或者小数转化为二进制小数，比如：2311110.1250018222==⨯+⨯+⨯，所以18可以表示成二进制小数()20.001，记为()210.0018=．这里还可以把分子1和分母8都转化为二进制数，在二进制下用分了除以分母得到18的二进制小数表示：由于()211=，()281000=，所以()()221181000=，而()()()()22221110001000=÷可以类比十进制数一样做除法，只是商和余数都只能是0或1：20.001(1000) 1.0001000______0，所以()210.0018=；③与十进制数类似，二进制也有循环小数，比如：()()()()2222110.3111311===÷ ，由20.0101(11) 1.000011___...，可知()210.013= ．问题解决：(1)将十进制数35化成二进制数为：（______）．二进制小数()20.101化为十进制分数是______．(2)将十进制分数化成二进制小数：()25______32=；()21______5=．(3)在十进制中，循环小数都可以化为分数，比如：将0.6化为分数形式．设0.60.66666x ==⋯⋯ （A ）则10 6.6 6.66666x -=⋯⋯ （B ）．A B -（）（）得：9x 6=即23x =，于是得到20.63= ．同样，二进制中的循环小数也可以用类似的方法化为十进制分数．请二进制循环小数()20.000 化成十进制分数，保留计算过程．第二章相交线与平行线17．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图，已知AB CD ∥，点E ，F 分别在AB ，CD 上，点G ，H 在两原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7条平行线AB ，CD 之间，AEG ∠与FHG ∠的平分线交于点M ．若84EGH ∠=︒，20HFD ∠=︒，则M ∠的度数为（）．A ．64︒B ．54︒C ．42︒D ．32︒18．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）如图，AB CD ，BF 平分ABE ∠，DF 平分CDE ∠，则BED ∠与BFD ∠的数量关系为（）A ．180BED BFD ∠+∠=︒B ．2360BED BFD ∠+∠=︒C ．2360BED BFD ∠+∠=︒D ．2BFD BED∠=∠19．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，AB CD ，BE 平分ABF ∠，DCF ECF ∠=∠，已知15F E ∠-∠=︒，则ABE DCF ∠+∠=度．20．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知AB CD ∥，点E 是AB 上方一点，点M N 、分别在直线AB 、CD 上，连结EM 、EN ，MF 平分AME ∠，NG 交MF 的反向延长线于点G ，若180ENG END ∠+∠=︒，且2102G E ∠+∠=︒，则AME ∠度数为．21．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，AB CD ∥，ABG ∠的平分线与CDE ∠的平分线交于点M ，45M ∠=︒，64F ∠=︒，66E ∠=︒，则G ∠=︒．22．如图，已知AD CE ，∠BCF ＝∠BCG ，CF 与∠BAH 的平分线交于点F ，若∠AFC 的余角等于2∠ABC 的补角，则∠BAH 的度数是．23．已知正方形ABCD 的边长是1，E 为CD 边的中点，P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A 点出发，沿A B C D →→→运动，到达点E.若点P 经过的路程为自变量x ，△APE 的面积为函数y ，则当y ＝13时，x 的值等于．24．（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图（1）所示，线段AM 与线段BN 重合，点O 是它们的中点，保持AM 不动，将BN 绕点O 顺时针旋转(0180m m << ）；射线OP 从与射线OM 重合开始，绕点O 逆时针旋转n （至多旋转到与射线ON 重合为止）．在此基础上，我们给出如下定义：比较POA ∠与POB ∠的大小，若POA POB ∠≠∠，则将其中较小角的度数定义为OP 对AOB ∠的“迷你角度”；若POA POB ∠=∠，则将POA ∠或POB ∠的度数定义为OP 对AOB ∠的“迷你角度”．(1)当60m =时，①如图（2）所示，若138n =，求OP 对AOB ∠的“迷你角度”是多少度；②若OP 对AOB ∠的“迷你角度”为65 ，请借助图（3）和图（4）进行分析，求出n 的值是多少．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9(2)若::12m n =时，OP 对AOB ∠的“迷你角度”是42 ，请直接写出m 的值，不用说明理由．25．（22-23七年级下·重庆江津·期中）如图，已知AB CD ∥，E 、F 分别在AB 、CD 上，点G 在AB 、CD 之间，连接GE 、GF．(1)当50BEG ∠=︒，EP 平分BEG ∠，FP 平分DFG ∠时：①如图1，若EG FG ⊥，求P ∠的度数；②如图2，在CD 的下方有一点Q ，EG 平分BEQ ∠，FD 平分GFQ ∠，求2Q P ∠+∠的度数；(2)如图3，在AB 的上方有一点O ，若FO 平分GFC ∠．线段GE 的延长线平分OEA ∠，则当EOF EGF α∠+∠=时，请直接写出OEA ∠与OFC ∠的数量关系．（用含α的式子表示）26．（22-23七年级下·河北石家庄·期中）已知AB CD ，定点E ，F 分别在直线AB ，CD 上，在平行线AB ，CD 之间有一动点P ，满足0180EPF ︒<∠<︒．(1)如图1，当P 点在EF 的左侧时，若20AEP ∠=︒，30PFC ∠=︒，则EPF ∠=；(2)如图2，当P 点在EF 的右侧时，猜想AEP ∠，EPF ∠，PFC ∠满足的数量关系，并说明理由；(3)如图3，点P 在EF 左侧，且100EPF ∠=︒，PEB ∠和PFD ∠的角平分线QE ，QF 交于点Q ，BEQ ∠与DFQ ∠的角平分线交于点1Q ，1BEQ ∠与1DFQ ∠的角平分线交于点2Q ，2BEQ ∠与2DFQ ∠的角平分线交于点3Q ；以此类推，请直接写出2023EQ F ∠的度数．27．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如图，AB CD ∥，点E 在AB 上，点G 在CD上．(1)如图1，在AB 、CD 上分别取点M 、N ，连接MN ，点F 在MN 上，已知FH 平分MFE ∠，FK 平分MFG ∠，若30AEF ∠=︒，42CGF ∠=︒，求EFG ∠，HFK ∠的度数．(2)如图2，EK 平分FEB ∠，GH 平分CGF ∠，反向延长GH 交EK 于K ，设EFG x ∠=，请通过计算，用含x 的代数式表示EKG ∠．(3)如图3，已知90FHG ∠=︒，60FGH ∠=︒，FK 平分EFH ∠，GK 平分CGH ∠，请直接写出AEF ∠与FKG ∠的数量关系_________________28．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，直线MN PQ ∥，直线AB 分别交MN PQ 、于A B 、点，90ABP ∠<︒，点D 在线段BQ 上（不在端点处），点C 在直线AB 上，点E 在直线MN 上，连接CD CE 、．(1)如图1，点C 在线段AB 上，若,65EC CD AEC ⊥∠=︒，则CDB ∠的度数为_________；(2)如图2，点C 在线段AB 上，点K 为直线MN 与PQ 之间区域的一点，点E 在线段AN 上（不与端点重合），连EK KD 、．若1160,,33ECD NEK CEN KDQ CDQ ∠=︒∠=∠∠=∠，求EKD ∠的度数；(3)如图3，DH AB ⊥于点,H EC CD ⊥，点C 在射线HA 上运动（C 不与H 重合），AEC ∠与CDB ∠的角平分线所在直线交于点,G AEC ∠与CDQ ∠的角平分线所在直线交于点,F FGD ∠与GFD ∠的角平分线交于点T ，直接写出FEN CDG ∠∠、与FGT ∠的数量关系．29．已知AB CD∥(1)如图1，若60ABC ∠=︒，可得BCD ∠=；(2)如图2，若60ABC ∠=︒，CM 平分BCD ∠，则BCM ∠=；(3)如图3，在（2）的条件下，如果CN CM ⊥，则BCN ∠=；(4)尝试解决下面问题：如图4，40B ∠=︒，CN 是BCE ∠的平分线，CN CM ⊥，求BCM ∠的度数．(5)拓展延伸：如图2，已知AB CD ∥，60ABC ∠=︒，CM 平分BCD ∠，CN CM ⊥，则BCN ∠=；30．如图，AB CD ∥，点A ，E ，B ，C 不在同一条直线上．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11(1)如图1，求证：180E C A ∠+∠-∠=(2)如图2，直线FA ，CP 交于点P ，且13BAF BAE ∠∠=，13DCP DCE ∠=∠．①试探究E ∠与APC ∠的数量关系；②如图3，延长CE 交射线PF 于点Q ，若AE PC ∥，α(0α22.5)BAQ ∠=<<︒ ，则PQC ∠的度数为(用含α的式子表示)．31．汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A 射线自AM 顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的速度是/a ︒秒，灯B 转动的速度是/b ︒秒，且a 、b 满足()2340a b a b -++-=，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ M N ∥，且45BAN ∠=︒．(1)=a ，b =；(2)若灯B 射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，求A 灯转动几秒时，两灯的光束第一次互相平行？(3)如图，两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前，若射出的光束交于点C，①用含t 的代数式表示BCA ∠=②过C 作CD AC ⊥交PQ 于点D ，则在转动过程中，探究BAC ∠与BCD ∠有怎样的数量关系．32．已知AB CD ．[知识回顾]（1）如图1，点E 在两平行线之间，试说明：BED ABE EDC ∠=∠+∠．[知识应用]（2）如图2，BP 、DP 分别平分ABE ∠、EDC ∠，利用()1中的结论，试说明：12BPD BED ∠=∠；（3）如图2，直接写出BPD ∠、BED ∠、PBE ∠、PDE ∠四个角之间的数量关系．[知识拓展]（4）如图3，若145BEF ∠=︒，135EFD ∠=︒，BP 、DP 分别平分ABE ∠、CDF ∠，那么BPD ∠=______︒；(只要直接填上正确结论即可)（5）如图4，若BEF ∠、EFG ∠、FGD ∠三个角的和是n ，BP 、DP 分别平分ABE ∠、CDG ∠，那么BPD ∠=______(．用含n 的式子表示)33．（22-23七年级下·山东潍坊·期中）现有一块含30︒角的直角三角尺AOB ，AOB ∠是直角，其顶点O 在直线l 上，请你解决下列问题：(1)如图1，请直接写出1∠、2∠的数量关系；(2)如图2，分别过点A 、B 作直线l 的垂线，垂足分别为C 、D ，请写出图中分别与1∠、2∠相等的角，并说明理由；(3)如图3，AC 平分OAB ∠，将直角三角尺AOB 绕着点O 旋转，当AC l ∥时，请直接写出OB 与直线l 所成锐角的度数．34．（22-23七年级下·辽宁大连·期中）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，直线CD ∥直线AB ，直线FE 分别交直线CD 、直线AB 于点H 、G ，求证：180BGE CHG ∠∠+=︒．独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师提出新问题，请你解答．“如图2，点N 在射线HF 上，点M 在射线GE 上，点Q 在射线HC 上，点P 在射线GA 上，连结,NQ MP ，且270NQC APM ∠∠+=︒，探究直线NQ 与直线MP 之间的位置关系并说明理由；”问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，在（2）的条件下，连接KH ，使KH 平分NKM ∠，180KHE CHE ∠∠+=︒，若给出FHC ∠与APK ∠一定的数量关系，则图3中所有已经用字原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13母标记的角中，有些角是可以求出来的，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，若177FHC APE ∠=∠，求∠PMH 的度数并说明理由．”35．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如图，直线PQ MN ∥，一副三角尺（90,30,ABC CDE ACB BAC ∠∠∠∠==︒=︒=60,45DCE DEC ∠∠︒==︒）按如图①放置，其中点E 在直线PQ 上，点B ，C 均在直线MN 上，且CE 平分ACN ∠．(1)求DEQ ∠的度数．(2)如图②，若将三角形ABC 绕点B 以每秒4度的速度逆时针方向旋转（,A C 的对应点分别为F ，G ），设旋转时间为t （s ）（045≤≤t ）；①在旋转过程中，若边∥BG CD ，求t 的值；②若在三角形ABC 绕点B 旋转的同时，三角形CDE 绕点E 以每秒3度的速度顺时针方向旋转（,C D 的对应点为H ，K ）请求出当边BG HK ∥时t 的值．36．（22-23七年级下·四川成都·期中）如图，直线AB CD ，点E 、F 分别在、AB CD 上，点M 为两平行线内部一点．(1)如图1，探究12M ∠∠∠、、的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若MEB ∠和MFD ∠的角平分线交于点N ，且100ENF ∠=︒，直接利用（1）中的结论，求M ∠的度数；(3)如图3，点G 为直线CD 上一点，连接GM 并延长交直线AB 于点Q ，在线段MG 上取一点P ，连接PF ，使25PFG MFG ∠=∠，在射线PF 取一点H ，连接EH ，使25BEH BEM ∠=∠，设EMF α∠=，求H ∠的度数（用含α的代数式表示）．37．（22-23七年级下·广东深圳·期中）如图1，AD BC ∥，BAD ∠的平分线交BC 于点G ，90BCD ∠=︒．(1)试说明BAG BGA ∠=∠；(2)如图2，若50ABG ∠=︒，BCD ∠的平分线交AD 于点E 、交射线GA 于点F ．求AFC ∠的度数；(3)如图3，线段AG 上有一点P ，满足2ABP PBG ∠=∠，过点C 作CH AG ∥．若在直线AG 上取一点M ，使PBM DCH ∠=∠，请直接写出ABM GBM∠∠的值．38．（22-23七年级下·陕西西安·期中）已知：直线EF 分别交直线AB ，CD 于点G ，H ，且180AGH DHF ∠+∠=︒．(1)如图1，求证：AB CD ∥；(2)如图2，点M ，N 分别在射线GE ，HF 上，点P ，Q 分别在射线GA ，HC 上，连接MP ，NQ ，且90MPG NQH ∠+∠=︒，分别延长MP ，NQ 交于点K ，求证：MK NK ⊥；(3)如图3，在（2）的条件下，连接KH ，若KH 平分MKN ∠，且HE 平分KHD ∠，若5DHG MPG ∠=∠，请直接写出KMN ∠的度数．第三章变量之间的关系39．（22-23七年级下·河南郑州·期中）如图1，在直角ABC 中，90C ∠=︒，点D 是BC 的中点，动点P 从点C 沿出发沿CA AB -运动到点B ，设点P 的运动路程为x ，PCD 的面积为y ，y 与x 的图象如图2所示，则ABC 的面积为（）原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15A．9B．12C．16D．3240．用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形.设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数之和为x.探究一：图中①—④的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数之和的对应关系如表：多边形的序号①②③④…多边形的面积S2 2.534…各边上格点的个数和x4568…S与x之间的关系式为：________.探究二：图中⑤—⑧的格点多边形内部都只有2个格点，请你先完善下表格的空格部分（即分别计算出对应格点多边形的面积S）：多边形的序号⑤⑥⑦⑧…多边形的面积S…各边上格点的个数和x4568…S与x之间的关系式为：________.猜想：当格点多边形内部有且只有n个格点时，S与x之间的关系式为：_______.。

七年级下学期期中考试数学试卷满分：150分考试用时：120分钟范围：第一章《整式的乘除》～第三章《变量之间的关系》班级姓名得分卷Ⅰ一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45.0分。

在每小题的四个选项中，只有一个选项正确，请把你认为正确的选项填涂在相应的答题卡上）1.用100元钱在网上书店恰好可购买m本书，但是每本书需另加邮寄费6角，购买n本书共需费用y元，则可列出关系式()A. y=n(100m +0.6) B. y=n(100m)+0.6C. y=n(100m+0.6)D. y=100mn+0.62.已知火车站托运行李的费用C和托运行李的质量P(P为整数)的对应关系如下表所P(kg)12345…C(元)2 2.53 3.54…则C与P之间的关系式为()A. C=0.5(P−1)B. C=2P−0.5C. C=2P+0.5D. C=2+0.5(P−1)3.如图，直线a，b相交于点O.如果∠1+∠2=60∘，那么∠3是()A. 150∘B. 120∘C. 60∘D. 30∘4.如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有()A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条5.计算(−3a2)2÷a2的结果是()A. −9a2 B. 6a4 C. 3a2D. 9a26.一个多项式除以2x2y，其商为(4x3y2−6x3y+2x4y2)，则这个多项式为()A. 2xy−3x+x2yB. 8x6y2−12x6y+4x8y2C. 2x−3xy+x2yD. 8x5y3−12x5y2+4x6y37.某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些():温度(℃)−20−100102030声速(m/s)318324330336342348下列说法中错误的是()A. 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速B. 温度越高，声速越快C. 当空气温度为20℃时，5s内声音可以传播1740mD. 温度每升高10℃，声速增加6m/s8.在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，下图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y(千米)与行驶时间x(小时)的关系的图象.下列说法错误的是()A. 乙先出发的时间为0.5小时B. 甲的速度是80千米/小时C. 甲出发0.5小时后两车相遇D. 甲到B地比乙到A地早1小时129.已知点P在直线a上，也在直线b上，但不在直线c上，且直线a，b，c两两相交，那么符合以上条件的图形是()B.A.C. D.10.若∠1与∠2是内错角，∠1=30°，则∠2=()A. 30°B. 150°C. 30°或150°D. 大小不能确定×103)=106；③−3xy·11.下列等式：①3a3·(2a2)2=12a12；②(2×103)×(12(−2xyz)2=12x3y3z2；④4x3·5x4=9x12，其中正确的个数是()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个12.在数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘.放学后，小丽回到家拿出课堂笔记，认真地复习老师课上讲的内容，她突然发现一道题：−3x2(2x−+1)=−6x3+3x2y−3x2，那么方框中的是()A. −yB. yC. −xyD. xy13.已知2m=3，3m=2，则6m等于()A. 1B. 1.5C. 5D. 614.如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系不正确的是()A. ∠1与∠4是同位角B. ∠2与∠4是同旁内角C. ∠3与∠4是同旁内角D. ∠2与∠3是内错角15.一个大烧杯中装有一个小烧杯，在小烧杯中放入一个浮子(质量非常轻的空心小圆球)后再往小烧杯中注水，水流的速度恒定不变，小烧杯被注满后水溢出到大烧杯中，浮子始终保持在容器的正中间．用x表示注水时间，用y表示浮子的高度，则用来表示y与x之间关系的选项是()A.B.C.D.卷Ⅱ二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）16.火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y(米)与火车行驶时间x(秒)之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：①火车的长度为120米；②火车的速度为30米/秒；③火车整体都在隧道内的时间为25秒；④隧道长度为750米．其中正确的结论是________.(把你认为正确结论的序号都填上)17.如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处.他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处.这样做最节省水管长度，其数学道理是．18.一块长方形草坪的面积为4a2−6ab+2a，若它的一条边长为2a，则它的周长是．19.如图所示，直线a，b，c两两相交，∠1=3∠3，∠2=75∘，则∠4=．20.甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y(千米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需分钟到达终点B．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）21.（8分）先化简，再求值：(a+3)2−(a+1)(a−1)−2(2a+4)，其中a=−1．222.（8分）如图，直线AB、CD交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC=116°，求∠AOD的度数．23.（12分）下图为小强在早晨８时从城市出发到郊外所走的路程与时间的变化图。

北师大版七年级下册数学培优压轴题一．解答题（共8小题）1．已知四边形ABCD中.AB=BC.∠ABC=120°.∠MBN=60°.∠MBN绕B点旋转.它的两边分别交AD.DC （或它们的延长线）于E.F．当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1）.易证AE+CF=EF；当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时.在图2和图3这两种情况下.上述结论是否成立？若成立.请给予证明；若不成立.线段AE.CF.EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想.不需证明．2．（1）如图.在四边形ABCD中.AB=AD.∠B=∠D=90°.E、F分别是边BC、CD上的点.且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图.在四边形ABCD中.AB=AD.∠B+∠D=180°.E、F分别是边BC、CD上的点.且∠EAF=∠BAD.（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图.在四边形ABCD中.AB=AD.∠B+∠ADC=180°.E、F分别是边BC、CD延长线上的点.且∠EAF=∠BAD.（1）中的结论是否仍然成立？若成立.请证明；若不成立.请写出它们之间的数量关系.并证明．3．如图1.将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置.其中∠C=90°.∠B=∠E=30°．（1）操作发现：如图2.固定△ABC.使△DEC绕点C旋转.当点D恰好落在AB边上时.填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1.△AEC的面积为S2.则S1与S2的数量关系是．（2）猜想论证：当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时.小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立.并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高.请你证明小明的猜想．（3）拓展探究：已知∠ABC=60°.点D是角平分线上一点.BD=CD=4.DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F.使S△DCF=S△BDE.请直接写出相应的BF的长．4．如图1.已知线段AB的长为2a.点P是AB上的动点（P不与A.B重合）.分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时.AP= ；（直接写结果）（2）连接AD、BC.相交于点Q.设∠AQC=α.那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；（3）如图2.若点P固定.将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°）.此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想.不必证明）5．如图1.Rt△ABC中AB=AC.点D、E是线段AC上两动点.且AD=EC.AM垂直BD.垂足为M.AM的延长线交BC于点N.直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF的形状.并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索.没有找到解决问题的方法.请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后.可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件.完成你的证明．1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长.然后顺时针旋转90°后图形；2、点K在线段BD上.且四边形AKNC为等腰梯形（AC∥KN.如图2）．附加题：如图3.若点D、E是直线AC上两动点.其他条件不变.试判断△DEF的形状.并说明理由．6．如图.已知等边三角形ABC中.点D.E.F分别为边AB.AC.BC的中点.M为直线BC上一动点.△DMN 为等边三角形（点M的位置改变时.△DMN也随之整体移动）．（1）如图1.当点M在点B左侧时.请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论.不必证明或说明理由；（2）如图2.当点M在BC上时.其它条件不变.（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立.请利用图2证明；若不成立.请说明理由；（3）若点M在点C右侧时.请你在图3中画出相应的图形.并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立.请直接写出结论.不必证明或说明理由．7．已知：等边三角形ABC；（1）如图1.P为等边△ABC外一点.且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系.并证明你的猜想；（2）如图2.P为等边△ABC内一点.且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD．8．认真阅读材料.然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则.相应的.我们可以计算出多项式的展开式.如：（a+b）1=a+b.（a+b）2=a2+2ab+b2.（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3.…下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现.当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”.用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．（3）结合上述材料.推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S.（结果用含字母n的代数式表示）．北师大版七年级下册数学培优压轴题参考答案与试题解析1、【解答】∵AB⊥AD.BC⊥CD.AB=BC.AE=CF.在△ABE和△CBF中..∴△ABE≌△CBF（SAS）；∴∠ABE=∠CBF.BE=BF；∵∠ABC=120°.∠MBN=60°. ∴∠ABE=∠CBF=30°.∴AE=BE.CF=BF；∵∠MBN=60°.BE=BF.∴△BEF为等边三角形；∴AE+CF=BE+BF=BE=EF；图2成立.图3不成立．证明图2．延长DC至点K.使CK=AE.连接BK.在△BAE和△BCK中.则△BAE≌△BCK.∴BE=BK.∠ABE=∠KBC.∵∠FBE=60°.∠ABC=120°.∴∠FBC+∠ABE=60°.∴∠FBC+∠KBC=60°.∴∠KBF=∠FBE=60°.在△KBF和△EBF中.∴△KBF≌△EBF.∴KF=EF.∴KC+CF=EF.即AE+CF=EF．图3不成立.AE、CF、EF的关系是AE﹣CF=EF．2．【解答】（1）延长EB到G.使BG=DF.连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°.AB=AD.∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF.∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE.∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD；（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．（3）结论EF=BE+FD不成立.应当是EF=BE﹣FD．证明：在BE上截取BG.使BG=DF.连接AG．∵∠B+∠ADC=180°.∠ADF+∠ADC=180°.∴∠B=∠ADF．∵AB=AD.∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG=∠DAF.AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE.∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF∵EG=BE﹣BG；∴EF=BE﹣FD．3．【解答】（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上.∴AC=CD.∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°.∴△ACD是等边三角形.∴∠ACD=60°.又∵∠CDE=∠BAC=60°.∴∠ACD=∠CDE.∴DE∥AC；②∵∠B=30°.∠C=90°.∴CD=AC=AB.∴BD=AD=AC.根据等边三角形的性质.△ACD的边AC、AD上的高相等.∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）.即S1=S2；故答案为：DE∥AC；S1=S2；（2）如图.∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到.∴BC=CE.AC=CD.∵∠ACN+∠BCN=90°.∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°.∴∠ACN=∠DCM.∵在△ACN和△DCM中..∴△ACN≌△DCM（AAS）.∴AN=DM.∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）.即S1=S2；（3）如图.过点D作DF1∥BE.易求四边形BEDF1是菱形.所以BE=DF1.且BE、DF1上的高相等.此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD.∵∠ABC=60°.F1D∥BE.∴∠F2F1D=∠ABC=60°.∵BF1=DF1.∠F1BD=∠ABC=30°.∠F2DB=90°.∴∠F1DF2=∠ABC=60°.∴△DF1F2是等边三角形.∴DF1=DF2.∵BD=CD.∠ABC=60°.点D是角平分线上一点.∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°.∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°.∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°.∴∠CDF1=∠CDF2.∵在△CDF1和△CDF2中..∴△CDF1≌△CDF2（SAS）.∴点F2也是所求的点.∵∠ABC=60°.点D是角平分线上一点.DE∥AB.∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°.又∵BD=4.∴BE=×4÷cos30°=2÷=.∴BF1=.BF2=BF1+F1F2=+=.故BF的长为或．4．【解答】（1）设AP 的长是x.则BP=2a ﹣x.∴S △APC +S △PBD =x •x+（2a ﹣x ）•（2a ﹣x ）=x 2﹣ax+a 2.当x=﹣=﹣=a 时△APC 与△PBD 的面积之和取最小值.故答案为：a ；（2）α的大小不会随点P 的移动而变化.理由：∵△APC 是等边三角形.∴PA=PC.∠APC=60°. ∵△BDP 是等边三角形.∴PB=PD.∠BPD=60°.∴∠APC=∠BPD.∴∠APD=∠CPB. ∴△APD ≌△CPB.∴∠PAD=∠PCB.∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°. ∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°.∴∠AQC=180°﹣120°=60°；（3）此时α的大小不会发生改变.始终等于60°．理由：∵△APC 是等边三角形. ∴PA=PC.∠APC=60°.∵△BDP 是等边三角形.∴PB=PD.∠BPD=60°.∴∠APC=∠BPD. ∴∠APD=∠CPB.∴△APD ≌△CPB.∴∠PAD=∠PCB.∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°. ∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°.∴∠AQC=180°﹣120°=60°．5．【解答】△DEF 是等腰三角形；证明：如图.过点C 作CP ⊥AC.交AN 延长线于点P ∵Rt △ABC 中AB=AC ；∴∠BAC=90°.∠ACB=45°∴∠PCN=∠ACB.∠BAD=∠ACP ； ∵AM ⊥BD ；∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°；∴∠ABD=∠CAP ；∴△BAD ≌△ACP ； ∴AD=CP.∠ADB=∠P ；∵AD=CE ；∴CE=CP ；∵CN=CN ；∴△CPN ≌△CEN ； ∴∠P=∠CEN ；∴∠CEN=∠ADB ；∴∠FDE=∠FED ；∴△DEF 是等腰三角形． 附加题：△DEF 为等腰三角形；证明：过点C 作CP ⊥AC.交AM 的延长线于点P ∵Rt △ABC 中AB=AC ；∴∠BAC=90°.∠ACB=45°；∴∠PCN=∠ACB=∠ECN ；∵AM ⊥BD ； ∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°；∴∠ABD=∠CAP ；∴△BAD ≌△ACP ；∴AD=CP.∠D=∠P ； ∵AD=EC.CE=CP ；又∵CN=CN ；∴△CPN ≌△CEN ；∴∠P=∠E ； ∴∠D=∠E ；∴△DEF 为等腰三角形．6．【解答】（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF）.点F在直线NE上.（2）成立．连接DF.NF.证明△DBM和△DFN全等（AAS）.∵△ABC是等边三角形.∴AB=AC=BC．又∵D.E.F是三边的中点.∴EF=DF=BF．∵∠BDM+∠MDF=60°.∠FDN+∠MDF=60°.∴∠BDM=∠FDN.在△DBM和△DFN中..∴△DBM≌△DFN.∴BM=FN.∠DFN=∠FDB=60°.∴NF∥BD.∵E.F分别为边AC.BC的中点.∴EF是△ABC的中位线.∴EF∥BD.∴F在直线NE上.∵BF=EF.∴MF=EN．（3）如图③.MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）．连接DF、DE.由（2）知DE=DF.∠NDE=∠FDM.DN=DM.∴△DNE≌△DMF.∴MF=NE．在△DNE和△DMF中.；7．【解答】AP=BP+PC.（1）证明：延长BP至E.使PE=PC.连接CE.∵∠BPC=120°.∴∠CPE=60°.又PE=PC.∴△CPE为等边三角形.∴CP=PE=CE.∠PCE=60°.∵△ABC为等边三角形.∴AC=BC.∠BCA=60°.∴∠ACB=∠PCE.∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP. 即：∠ACP=∠BCE.∴△ACP≌△BCE（SAS）.∴AP=BE.∵BE=BP+PE.∴AP=BP+PC．（2）证明：在AD外侧作等边△AB′D.则点P在三角形ADB′外.连接PB'.B'C.∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD.在△PB′C中.有PB′+PC＞CB′.∴PA+PD+PC＞CB′.∵△AB′D、△ABC是等边三角形.∴AC=AB.AB′=AD.∠BAC=∠DAB′=60°.∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD.即：∠BAD=∠CAB′.∴△AB′C≌△ADB.∴CB′=BD.∴PA+PD+PC＞BD．8．【解答】解：（1）∵当n=1时.多项式（a+b）1的展开式是一次二项式.此时第三项的系数为：0=.当n=2时.多项式（a+b）2的展开式是二次三项式.此时第三项的系数为：1=.当n=3时.多项式（a+b）3的展开式是三次四项式.此时第三项的系数为：3=.当n=4时.多项式（a+b）4的展开式是四次五项式.此时第三项的系数为：6=.…∴多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式.第三项的系数为：；（2）预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：2n；（3）∵当n=1时.多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1=2=21.当n=2时.多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=22.当n=3时.多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23.当n=4时.多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24.…∴多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：S=2n．。