江苏省镇江市扬中中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试卷

江苏省扬州中学2014-2015学年高二上学期月考数学试卷（10月份）一、填空题：本大题共14个小题；每小题5分，共70分．1．（5分）若直线y=kx+1与直线2x+y﹣4=0垂直，则k=．2．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为．3．（5分）设AA1是正方体的一条棱，则这个正方体中与AA1垂直的棱共有条．4．（5分）直线x+2y﹣1=0右上方（不含边界）的平面区域用不等式表示．5．（5分）若一个球的体积为，则它的表面积为．6．（5分）直线a，b分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线，则a，b位置关系是．7．（5分）将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为．8．（5分）过点C（3，4）且与x轴，y轴都相切的两个圆的半径分别为r1，r2，则r1r2=．9．（5分）已知直线kx﹣y+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，若点M在圆C上，且有（O为坐标原点），则实数k=．10．（5分）设α，β为两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；②若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直；③若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥β；④若m∥n，n⊥α，α∥β，则m⊥β．其中所有真命题的序号是．11．（5分）正三棱锥P﹣ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点A到侧面PBC的距离是．12．（5分）过圆x2+y2=4内一点P（1，1）作两条相互垂直的弦AC，BD，当AC=BD时，四边形ABCD的面积为．13．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是．14．（5分）平面直角坐标系中，已知点A（1，﹣2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），当四边形PABN的周长最小时，过三点A、P、N的圆的圆心坐标是．二、解答题：本大题共6小题，14+14+14+16+16+16=90分．15．（14分）如图，在四面体ABCD中，AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且．（1）若EF∥平面ABD，求实数λ的值；（2）求证：平面BCD⊥平面AED．16．（14分）已知：无论a取何值，直线（a+2）x+（a+1）y+a=0始终平分半径为2的圆C．（1）求圆C的标准方程；（2）过点A（﹣1，4）作圆C的切线l，求切线l的方程．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．求证：（1）AD∥平面PBC；（2）平面PBC⊥平面PAB．18．（16分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：EF⊥B1C；（3）求三棱锥的体积．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1．（1）若过点C1（﹣1，0）的直线l被圆C2截得的弦长为，求直线l的方程；（2）设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长．①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；②动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．江苏省扬州中学2014-2015学年高二上学期月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题；每小题5分，共70分．1．（5分）若直线y=kx+1与直线2x+y﹣4=0垂直，则k=．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题；直线与圆．分析：直线y=kx+1的斜率是k，直线2x+y﹣4=0的斜率是﹣2，利用直线与直线垂直的关系，能够求出k．解答：解：直线y=kx+1的斜率是k，直线2x+y﹣4=0的斜率是﹣2，∵直线y=kx+1与直线2x+y﹣4=0垂直，∴﹣2k=﹣1，k=．故答案为：．点评：本题考查直线的一般方程与直线的垂直关系，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为1．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：根据所给的圆的一般式方程，求出圆的圆心，根据圆心在直线3x+y+a=0上，把圆心的坐标代入直线的方程，得到关于a的方程，解方程即可．解答：解：∵圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心是（﹣1，2）圆心在直线3x+2y+a=0上，∴﹣3+2+a=0，∴a=1故答案为：1点评：本题考查圆的一般方程与点与直线的位置关系，本题解题的关键是表示出圆心，根据圆心的位置，即可求解3．（5分）设AA1是正方体的一条棱，则这个正方体中与AA1垂直的棱共有8条．考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据正方体的性质，判定线面垂直，再根据线面垂直判断线线垂直．解答：解：∵AA1垂直于上、下两底面，∴位于上、下两底面中的8条棱都与AA1垂直，其余的棱与AA1平行，故答案是8．点评：本题考查空间中直线与直线的垂直关系的判定．4．（5分）直线x+2y﹣1=0右上方（不含边界）的平面区域用不等式x+2y﹣1＞0表示．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：直线ax+by+c=0（b≠0）两侧的区域用不等式ax+by+c＜0或ax+by+c＞0表示．只看b的值，b＞0时“＞”为上侧、“＜”为下侧．而b＜0时“＞”为下侧、“＜”为上侧．解答：解：∵y的系数大于零，∴要表示直线x+2y﹣1=0右上方（不含边界）的平面区域，需用“＞”的不等式表示，∴x+2y﹣1＞0故答案为：x+2y﹣1＞0点评：本题主要考查用不等式表示平面区域，关键是记住y的系数与上下两侧的关系．5．（5分）若一个球的体积为，则它的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：有球的体积，就可以利用公式得到半径，再求解其面积即可．解答：解：由得，所以S=4πR2=12π．点评：本题考查学生对公式的利用，是基础题．6．（5分）直线a，b分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线，则a，b位置关系是相交或异面．考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：a，b对角线开始于同一个顶点时相交；a，b不是开始于同一个顶点时异面；a，b 没有平行的可能．解答：解：∵直线a，b分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线，∴a，b可能是相交线，a，b对角线开始于同一个顶点时相交；a，b也可以是异面，两个对角线a，b不是开始于同一个顶点时异面；a，b没有平行的可能．故答案为：相交或异面．点评：本题考查两条直线的位置关系的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．（5分）将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据半圆的周长等于圆锥底面圆的周长求出底面圆的半径，再根据圆锥的轴截面图形求高即可．解答：解：设圆锥的底面圆半径为r，则2πr=2π⇒r=1，∴h==．故答案是．点评：本题考查圆锥的侧面展开图及圆锥的轴截面，比较基础．8．（5分）过点C（3，4）且与x轴，y轴都相切的两个圆的半径分别为r1，r2，则r1r2=25．考点：圆的标准方程．专题：计算题．分析：由题意得：满足与x轴，y轴都相切的圆的圆心在第一象限，设出圆心（a，a），根据切线的性质得到半径r=a，表示出圆的标准方程，由C在此圆上，将C的坐标代入圆的方程中，得到关于a的一元二次方程，根据r1，r2为此一元二次方程的两个解，利用根与系数的关系即可得出r1r2的值．解答：解：由题意得：满足与x轴，y轴都相切的圆的圆心在第一象限，设圆心坐标为（a，a），则半径r=a，∴圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2=a2，又C（3，4）在此圆上，∴将C的坐标代入得：（3﹣a）2+（4﹣a）2=a2，整理得：a2﹣14a+25=0，∵r1，r2分别为a2﹣14a+25=0的两个解，∴r1r2=25．故答案为：25点评：此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：切线的性质，以及韦达定理，根据题意满足与x轴，y轴都相切的圆的圆心在第一象限，进而设出相应圆的标准方程是解本题的关键．9．（5分）已知直线kx﹣y+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，若点M在圆C上，且有（O为坐标原点），则实数k=0．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：设AB的中点为 D，有=2，即圆心到直线的距离等于半径的一半，由点到直线的距离公式列方程解出实数k的值．解答：解：设AB的中点为D，有=2，||=2||=R=2，∴||=1．由点到直线的距离公式得 1=，解得k=0，故答案为 0．点评：本题考查向量加减法的意义，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用．10．（5分）设α，β为两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；②若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直；③若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥β；④若m∥n，n⊥α，α∥β，则m⊥β．其中所有真命题的序号是④．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：证明题．分析：①若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β，由面面平行的判定定理判断；②若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直，由线线的位置关系判断；③若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥β，由线面垂直的条件进行判断；④若m∥n，n⊥α，α∥β，则m⊥β，由线面垂直的条件进行判断．解答：解：①若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β，是一个错误命题，因为m，n 不一定相交；②若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直，是错误命题，因为两个不垂直的平面中也存在互相垂直的两条直线；③若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥β，是错误命题，因为对比面面垂直的性质定理知，少了一个条件即n⊂α；④若m∥n，n⊥α，α∥β，则m⊥β是一个正确命题，因为两条平行线中的一条垂直于一个平面，则它也垂直于另一个平面，再有两个平行平面中的一个平面与一条直线垂直，则另一个平面也与这条直线垂直．故答案为④点评：本题考查平面与平面之间的位置关系，解题的关键是有着较好的空间想像能力以及对命题相关的定义与定理掌握得比较熟练．11．（5分）正三棱锥P﹣ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则点A到侧面PBC的距离是．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角．专题：计算题；压轴题．分析：在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．设P在底面ABC上的射影为O，则PO=2，且O是三角形ABC的中心，设底面边长为a，设侧棱为b，则斜高．由面积法求A到侧面PBC的距离．解答：解：如图所示：设P在底面ABC上的射影为O，则PO⊥平面ABC，PO=2，且O是三角形ABC的中心，∴BC⊥AM，BC⊥PO，PO∩AM=0∴BC⊥平面APM又∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面APM，又∵平面ABC∩平面APM=PM，∴A到侧面PBC的距离即为△APM的高设底面边长为a，则设侧棱为b，则斜高．由面积法求A到侧面PBC的距离故答案为：点评：本小题主要考查棱锥，线面关系、直线与平面所成的角、点到面的距离等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．12．（5分）过圆x2+y2=4内一点P（1，1）作两条相互垂直的弦AC，BD，当AC=BD时，四边形ABCD的面积为6．考点：直线与圆相交的性质；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题；直线与圆．分析：根据题意画出相应的图形，连接OP，OA，过O作OE⊥AC，OF⊥BD，利用垂径定理得到E、F分别为AC、BD的中点，由AC=BD得到弦心距OE=OF，可得出四边形PEOF为正方形，由P与O的坐标，利用两点间的距离公式求出|OP|的长，即为正方形的对角线长，求出正方形的边长OE，由圆的方程找出半径r，得到OA的长，在直角三角形AOE中，由OA与OE的长，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AC与BD的长，再利用对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半，即可求出四边形ABCD的面积．解答：解：根据题意画出相应的图形，连接OP，OA，过O作OE⊥AC，OF⊥BD，∴E为AC的中点，F为BD的中点，又AC⊥BD，AC=BD，∴四边形EPOF为正方形，由圆的方程得到圆心O（0，0），半径r=2，又P（1，1），∴|OP|==，∴OE=×=1，又OA=r=2，∴根据勾股定理得：AE==，∴AC=BD=2AE=2，则S四边形ABCD=AC•BD=6．故答案为：6点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，正方形的判定与性质，两点间的距离公式，以及对角线互相垂直的四边形面积求法，当直线与圆相交时，常常由垂径定理根据垂直得中点，然后由弦心距，弦长的一半及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．13．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．解答：解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤（）2，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故答案为：（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及换元的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．14．（5分）平面直角坐标系中，已知点A（1，﹣2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），当四边形PABN的周长最小时，过三点A、P、N的圆的圆心坐标是．考点：圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆．分析：根据两点之间的距离公式，列出四边形PABN的周长关于a的表达式，得到x轴上的点（a，0）与（1，3）和（3，1）距离之和最小时，四边形PABN的周长也最小．利用对称思想结合直线方程的求法，可得a值为时，四边形PABN的周长最小．从而得到P、N的坐标，再用直线方程的一般式，求出经过三点A、P、N的圆方程，从而得到圆心的坐标．解答：解：四边形PABN的周长为C=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|=+++1=+++1，只需求出+的最小值时的a值．由于+=+，表示x轴上的点（a，0）与（1，3）和（3，1）距离之和，只需该距离之和最小即可．利用对称的思想，可得该距离之和的最小值为（1，﹣3）与（3，1）间的距离，且取得最小的a值为E（1，﹣3）与F（3，1）确定的直线与x轴交点的横坐标，∵直线EF的斜率k==2，∴直线EF方程为y+3=2（x﹣1），化简得y=2x﹣5，令y=0，得x=，所以此时a值为由以上的讨论，得四边形PABN的周长最小时，P（，1），N（，1）设过三点A、P、N的圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0可得，解之得D=﹣6，E=，F=∴过三点A、P、N的圆方程为x2+y2﹣6x+y+=0，可得圆坐标为（3，﹣）故答案为：（3，﹣）点评：本题以四边形周长取最小值为载体，求经过三点圆的圆心坐标，着重考查了直线的方程、圆方程求法等知识，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，14+14+14+16+16+16=90分．15．（14分）如图，在四面体ABCD中，AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，点F在线段AC上，且．（1）若EF∥平面ABD，求实数λ的值；（2）求证：平面BCD⊥平面AED．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：计算题．分析：（1）因为EF∥平面ABD，所以EF⊂平面ABC，EF∥AB，由此能够求出实数λ的值．（2）因为AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥DE，由此能够证明平面BCD⊥平面AED．解答：解：（1）因为EF∥平面ABD，易得EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD=AB，所以EF∥AB，又点E是BC的中点，点F在线段AC上，所以点F为AC的中点，由得；（2）因为AB=AC=DB=DC，点E是BC的中点，所以BC⊥AE，BC⊥DE，又AE∩DE=E，AE、DE⊂平面AED，所以BC⊥平面AED，而BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面AED．点评：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象与推理论证能力．16．（14分）已知：无论a取何值，直线（a+2）x+（a+1）y+a=0始终平分半径为2的圆C．（1）求圆C的标准方程；（2）过点A（﹣1，4）作圆C的切线l，求切线l的方程．考点：圆的切线方程；圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：（1）求出动直线经过的定点，即圆C的圆心，然后代入圆的标准方程得答案；（2）分切线斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时直接写出切线方程，斜率存在时设出切线方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径求解斜率，则切线方程可求．解答：解：（1）由（a+2）x+（a+1）y+a=0，得a（x+y+1）+2x+y=0，联立，解得：．∴直线（a+2）x+（a+1）y+a=0过定点（1，﹣2）．即圆的圆心为（1，﹣2）．又圆的半径为2．∴圆的方程为：（x﹣1）2+（y+2）2=4；（2）如图，当切线l的斜率不存在时，切线方程为x=﹣1；当切线l的斜率存在时，设切线方程为y﹣4=k（x+1），整理得：kx﹣y+k+4=0．由圆心（1，﹣2）到切线的距离等于圆的半径得：，解得：k=﹣．∴切线l的方程为：．整理得：4x+3y﹣8=0．综上，圆的切线方程为x=﹣1或4x+3y﹣8=0．点评：本题考查圆的标准方程的求法，训练了直线系方程的用法，考查了利用几何法求圆的切线方程，是中档题．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．求证：（1）AD∥平面PBC；（2）平面PBC⊥平面PAB．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由BC∥平面PAD，利用线面平行的性质定理即可得到BC∥AD，再利用线面平行的判定定理即可证明AD∥平面PBC；（2）自P作PH⊥AB于H，由平面PAB⊥平面ABCD，可得PH⊥平面ABCD．于是BC⊥PH．又BC⊥PB，可得BC⊥平面PAB，进而得到面面垂直．解答：证明：（1）因为BC∥平面PAD，而BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD=AD，所以BC∥AD．因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC．（2）自P作PH⊥AB于H，因为平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABCD．因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PH．因为∠PBC=90°，所以BC⊥PB，而∠PBA≠90°，于是点H与B不重合，即PB∩PH=P．因为PB，PH⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．因为BC⊂平面PBC，故平面PBC⊥平面PAB．点评：本题综合考查了线面、面面垂直的判定与性质定理，线面平行的判定与性质定理，需要较强的推理能力和空间想象能力．18．（16分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：EF⊥B1C；（3）求三棱锥的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．专题：计算题．分析：（1）欲证EF∥平面ABC1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABC1D1内一直线平行，连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，根据中位线定理可知EF∥D1B，满足定理所需条件；（2）先根据线面垂直的判定定理证出B1C⊥平面ABC1D1，而BD1⊂平面ABC1D1，根据线面垂直的性质可知B1C⊥BD1，而EF∥BD1，根据平行的性质可得结论；（3）可先证CF⊥平面EFB 1，根据勾股定理可知∠EFB1=90°，根据等体积法可知=V C﹣B1EF，即可求出所求．解答：解：（1）证明：连接BD1，如图，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则平面ABC1D1．（2）（3）∵CF⊥平面BDD1B1，∴CF⊥平面EFB1且，∵，，∴EF2+B1F2=B1E2即∠EFB1=90°，∴==点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及线面垂直的性质和三棱锥体积的计算，同时考查了空间想象能力、运算求解能力、转化与划归的思想，属于中档题．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．考点：圆的标准方程；直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x﹣y+a=0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．解答：解：（Ⅰ）法一：曲线y=x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线x=3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2=（2）2+t2，解得t=1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F=0x=0，y=1有1+E+F=0y=0，x2 ﹣6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程，故有D=﹣6，F=1，E=﹣2，即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，由已知可得判别式△=56﹣16a﹣4a2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2=4﹣a，x1x2=①，由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，又y1=x1+a，y2=x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2=0②由①②可得a=﹣1，满足△=56﹣16a﹣4a2＞0．故a=﹣1．点评：本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．20．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1．（1）若过点C1（﹣1，0）的直线l被圆C2截得的弦长为，求直线l的方程；（2）设动圆C同时平分圆C1的周长、圆C2的周长．①证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；②动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：计算题；综合题；直线与圆．分析：（1）设过直线l方程：y=k（x+1），根据垂直于弦的直径的性质，结合点到直线的距离公式列式，可解出k的值，从而得到直线l的方程；（2）①由题意，圆心C到C1、C2两点的距离相等，由此结合两点间的距离公式建立关系式，化简整理得x+y﹣3=0，即为所求定直线方程；②根据题意设C（m，3﹣m），得到圆C方程关于参数m的一般方程形式，由此可得动圆C经过圆x2+y2﹣6y﹣2=0与直线x﹣y+1=0的交点，最后联解方程组，即可得到动圆C经过的定点坐标．解答：解：（1）设过点C1（﹣1，0）的直线l方程：y=k（x+1），化成一般式kx﹣y+k=0 ∵直线l被圆C2截得的弦长为，∴点C2（3，4）到直线l的距离为d==，解之得k=或由此可得直线l的方程为：4x﹣3y+4=0或3x﹣4y+3=0．（2）①设圆心C（x，y），由题意，得CC1=CC2，即=，化简整理，得x+y﹣3=0，即动圆圆心C在定直线x+y﹣3=0上运动．②设圆C过定点，设C（m，3﹣m），则动圆C的半径为=，于是动圆C的方程为（x﹣m）2+（y﹣3+m）2=1+（m+1）2+（3﹣m）2，整理，得x2+y2﹣6y﹣2﹣2m（x﹣y+1）=0，由得或所以动圆C经过定点，其坐标为，．点评：本题求被定圆截得定长的弦所在直线方程，并探索动圆圆心在定直线上的问题．考查了直线与圆的方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，考查学生运算能力．。

2014-2015学年江苏省镇江市扬中二中高二（上）期末数学试卷（一）一、填空题1．已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的条件．2．命题“∃x∈[0，3]，使x2﹣2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为．3．（2015•张家港市校级模拟）已知函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f（x）的极大值为．4．若直线y=﹣x+b为函数的一条切线，则实数b= ．5．在平面直角坐标系xoy中，记不等式组表示的平面区域为D．若对数函数y=log a x（a＞1）的图象与D有公共点，则a的取值范围是．6．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．7．已知p：﹣2≤x≤11，q：1﹣3m≤x≤3+m（m＞0），若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为．8．函数的图象经过四个象限，则a的取值范围是．9．已知函数f（x）=x3﹣x2﹣3x，直线l：9x+2y+c=0．若当x∈[﹣2，2]时，函数y=f（x）的图象恒在直线l的下方，则c的取值范围是．10．若椭圆=1（m＞n＞0）和双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1•PF2的值是．11．已知椭圆的上焦点为F，直线x+y+1=0和x+y﹣1=0与椭圆相交于点A，B，C，D，则AF+BF+CF+DF= ．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．13．长为6的线段AB两端点在抛物线x2=4y上移动，在线段AB中点纵坐标的最小值为．14．定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为．二、解答题（共6小题，满分46分）15．已知p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0； q：实数x满足2＜x≤3．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．16．在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，AB=BC=2，CD=SD=1，BC⊥CD，M为SB的中点，DS⊥面SAB．（1）求证：CM∥面SAD；（2）求证：CD⊥SD；（3）求四棱锥S﹣ABCD的体积．17．（某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a（3≤a≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为（12﹣x）2万件．（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．18．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．（1）求抛物线方程；（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K（m，0）是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M 的位置关系．19．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O 为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．20．设函数f（x）=x2，g（x）=alnx+bx（a＞0）．（1）若f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）求F（x）=f（x）﹣g（x）的极小值；（2）在（1）的结论下，是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m同时成立？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由．（3）设G（x）=f（x）+2﹣g（x）有两个零点x1和x2，若x0=，试探究G′（x0）值的符号．2014-2015学年江苏省镇江市扬中二中高二（上）期末数学试卷（一）参考答案与试题解析一、填空题1．已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的充分不必要条件．考点：充要条件．专题：阅读型．分析：先求出条件q满足的条件，然后求出¬p，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题¬p的关系．解答：解：条件q：，即x＜0或x＞1￢p：x＞1∴￢p⇒q为真且q⇒￢p为假命题，即¬p是q的充分不必要条件故答案为：充分不必要点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．2．命题“∃x∈[0，3]，使x2﹣2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（1，+∞）．．考点：特称命题．专题：简易逻辑．分析：写出命题的否命题，据已知命题为假命题，得到否命题为真命题；分离出m；通过导函数求出不等式右边对应函数的在范围，求出m的范围．解答：解：∵命题“∃x∈[0，3]时，满足不等式x2﹣2x+m≤0是假命题，∴命题“∀x∈[0，3]时，满足不等式x2﹣2x+m＞0”是真命题，∴m＞﹣x2+2x在[0，3]上恒成立，令f（x）=﹣x2+2x，x∈[0，3]，∴f（x）max=f（1）=1，∴m＞1．故答案为：（1，+∞）．点评：本题考查了命题的真假判断与应用、二次函数恒成立问题．解答关键是将问题等价转化为否命题为真命题即不等式恒成立，进一步将不等式恒成立转化为函数的最值．3．（2015•张家港市校级模拟）已知函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f（x）的极大值为2ln2﹣2 ．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：先求导数，当x=1时，即可得到f′（1），再令导数大于0或小于0，解出x的范围，即得到函数的单调区间，进而可得函数的极大值．解答：解：由于函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f′（x）=2f′（1）×﹣1（x＞0），f′（1）=2f′（1）﹣1，故f′（1）=1，得到f′（x）=2×﹣1=，令f′（x）＞0，解得：x＜2，令f′（x）＜0，解得：x＞2，则函数在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数，故f（x）的极大值为f（2）=2ln2﹣2故答案为：2ln2﹣2点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，属于基础题．4．若直线y=﹣x+b为函数的一条切线，则实数b= ±2 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：设切点为P（m，n），求出函数的导数，得切线斜率为﹣1=，再根据切点P既在切线y=﹣x+b上又在函数图象上，列出关于m、n、b的方程组，解之即可得到实数b之值．解答：解：函数的导数为设直线y=﹣x+b与函数相切于点P（m，n），则解之得m=n=1，b=2或m=n=﹣1，b=﹣2综上所述，得b=±2故答案为：±2点评：本题给出已知函数图象的一条切线，求参数b的值，着重考查了导数的运算公式与法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于基础题．5．在平面直角坐标系xoy中，记不等式组表示的平面区域为D．若对数函数y=log a x（a＞1）的图象与D有公共点，则a的取值范围是（1，] ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据对数函数的图象和性质，即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：若a＞1，当对数函数图象经过点A时，满足条件，此时，解得，即A（2，3），此时log a2=3，解得a=，∴当1＜a≤时，满足条件．∴实数a的取值范围是1＜a≤，故答案为：（1，]点评：本题主要考查线性规划的应用，利用对数函数的图象和性质，通过数形结合是解决本题的关键．6．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．解答：解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆锥的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．7．已知p：﹣2≤x≤11，q：1﹣3m≤x≤3+m（m＞0），若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为[8，+∞）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：将条件¬p是¬q的必要不充分条件，转化为q是p的必要不充分条件，进行求解．解答：解：因为¬p是¬q的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，即p⇒q，但q推不出p，即，即，所以m≥8．故答案为：[8，+∞）点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用逆否命题的等价性，将条件进行转化是解决本题的关键，主要端点等号的取舍．8．函数的图象经过四个象限，则a的取值范围是（﹣96，﹣15）．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：首先讨论a=0时原函数图象的情况，当a≠0时，求出原函数的导函数，分a＞0和a＜0两种情况讨论原函数的单调性，求出函数的极值点并求解极值，当a＞0时，要使原函数的图象经过四个象限，需要极大值大于0，且极小值小于0，此时a的值不存在；当a＜0时，要使原函数的图象经过四个象限，则需要极小值小于0，且极大值大于0，由此解得a 的取值范围．解答：解：由，若a=0时，原函数化为f（x）=80．为常数函数，不合题意；f′（x）=ax2+ax﹣2a=a（x2+x﹣2）=a（x+2）（x﹣1）．若a＞0时，当x∈（﹣∞，﹣2），x∈（1，+∞）时有f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上为增函数．当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣2，1）上为减函数．所以函数f（x）在x=﹣2时取得极大值=．函数f（x）在x=1时取得极小值．因为函数的图象先增后减再增，要使函数的图象经过四个象限，则，解①得：a＞﹣15．解②得：a＜﹣96．此时a∈∅；若a＜0，当x∈（﹣∞，﹣2），x∈（1，+∞）时有f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上为减函数．当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣2，1）上为增函数．所以函数f（x）在x=﹣2时取得极小值=．函数f（x）在x=1时取得极大值．为函数的图象先减后增再减，要使函数的图象经过四个象限，则，解得﹣96＜a＜﹣15．所以使函数的图象经过四个象限的a的取值范围是（﹣96，﹣15）．故答案为（﹣96，﹣15）．点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数的极值与函数图象之间的关系，思考该问题时考虑数与形的结合，属中档题．9．已知函数f（x）=x3﹣x2﹣3x，直线l：9x+2y+c=0．若当x∈[﹣2，2]时，函数y=f（x）的图象恒在直线l的下方，则c的取值范围是c＜﹣．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：分离参数，构造函数，求出函数再闭区间上的最值即可．解答：解：∵当x∈[﹣2，2]时，函数y=f（x）的图象恒在直线l的下方，即x3﹣x2﹣3x＜﹣x﹣，在x∈[﹣2，2]时恒成立，即c＜﹣x3+2x2﹣3x，令g（x）=﹣x3+2x2﹣3x，∴g'（x）=﹣2x2+4x﹣3，∵g'（x）=﹣2x2+4x﹣3=﹣2（x﹣1）2﹣1＜0恒成立，∴g（x）在∈[﹣2，2]上单调递减，故当x∈[﹣2，2]时，[g（x）]min=g（2）=﹣∴c＜﹣，故答案为：c＜﹣，点评：本题主要考查函数的求导运算、闭区间上的恒成立问题．闭区间上的恒成立问题一般都是转化为求最值，即使参数大于最大值或小于最小值的问题．10．若椭圆=1（m＞n＞0）和双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则PF1•PF2的值是m﹣a2．考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用椭圆和双曲线的定义写出两个定义式，然后平方，观察之后，两式相减，求出整体未知数PF1•PF2的值．解答：解析：PF1+PF2=2，|PF1﹣PF2|=2a，所以PF+PF+2PF1•PF2=4m，PF﹣2PF1•PF2+PF=4a2，两式相减得：4PF1•PF2=4m﹣4a2，∴PF1•PF2=m﹣a2．故答案：m﹣a2．点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题．解决本题的关键在于根据椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，利用定义化简．11．（ 2011•南京校级模拟）已知椭圆的上焦点为F，直线x+y+1=0和x+y﹣1=0与椭圆相交于点A，B，C，D，则AF+BF+CF+DF= 8 ．考点：椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：由题意可知AB=CF+DF=，则AF+BF+AB=4a=8，进而可得AF+BF=8﹣AB=8﹣，由此可知答案．解答：解：直线x+y+1=0代入椭圆，并整理得7x2+6x﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴同理，可得CD=CF+DF=．∵AF+BF+AB=4a=8，∴AF+BF=8﹣AB=8﹣，∴AF+BF+CF+DF=（8﹣）+=8．答案：8．点评：本题考查椭圆的性质及其应用，解题时要注意公式的灵活运用．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx ﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．13．长为6的线段AB两端点在抛物线x2=4y上移动，在线段AB中点纵坐标的最小值为 2 ．考点：抛物线的简单性质．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，设线段AB的中点为M，分别过点A，B，C，作AD⊥x轴，BE⊥x轴，MN ⊥x轴，垂足分别为D，E，N．利用梯形的中位线和抛物线的定义可得|MN|=（|AD|+|BE|）=（|AF|﹣1+|BF|﹣1）≥（|AB|﹣2）即可得出．解答：解：如图所示，设线段AB的中点为M，分别过点A，B，C，作AD⊥x轴，BE⊥x轴，MN⊥x轴，垂足分别为D，E，N．则|MN|=（|AD|+|BE|）=（|AF|﹣1+|BF|﹣1）≥（|AB|﹣2）=（6﹣2）=2．当且仅当线段AB过焦点时取等号．故AB的中点到y轴的距离的最小值为2．故答案为：2点评：本题考查了抛物线的定义和梯形的中位线定理，考查了分析问题和解决问题的能力．14．定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e x f（x）＞e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）．考点：导数的乘法与除法法则．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解解答：解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f'（x）＞1﹣f（x），∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+5，∴g（x）＞5，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=6﹣1=5，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故答案为：（0，+∞）．点评：本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．二、解答题（共6小题，满分46分）15．已知p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0； q：实数x满足2＜x≤3．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）先通过解一元二次不等式求出p下的x的取值范围：a＜x＜3a，a=1时，所以p：1＜x＜3．根据p∧q为真得p，q都真，所以，所以解该不等式组即得x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，则：，所以解该不等式组即得a的取值范围．解答：解：（1）p：由原不等式得，（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a＜x＜3a；当a=1时，得到1＜x＜3；q：实数x满足2＜x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴实数x的取值范围是：（2，3）；（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；∴，解得1＜a≤2；∴实数a的取值范围是（1，2]．点评：考查解一元二次不等式，p∧q的真假和p，q真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．16．在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，AB=BC=2，CD=SD=1，BC⊥CD，M为SB的中点，DS⊥面SAB．（1）求证：CM∥面SAD；（2）求证：CD⊥SD；（3）求四棱锥S﹣ABCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用平行线中的一条直线与令一条直线垂直，推出另一条直线垂直证明CD⊥SD；（2）取SA中点N，连接ND，NM，证明NMCD是平行四边形，通过ND∥MC，证明CM∥面SAD；（3）利用V S﹣ABCD：V S﹣ABD=S ABCD：S△ABD，求出V S﹣ABD，即可求四棱锥S﹣ABCD的体积．解答：（1）证明：取SA的中点，∵M为SB的中点，∴MN∥AB，MN=，∵AB=2，CD=1，∴MN∥CD，MN=DC，∴四边形MNDC为平行四边形，∴CM∥ND，ND⊂面SAD，CM⊄面SAD；∴CM∥面SAD证明：（2）∵DS⊥面SAB，AB⊂面SAB．∴DS⊥AB，∵AB∥DC，∴DS⊥DC，解：（3）V S﹣ABCD：V S﹣ABD=S ABCD：S△ABD=3：2，过D作DH⊥AB，交于H，由题意得，BD=AD==，在Rt△DSA，Rt△DSB中，SA=SB==2．所以，V S﹣ABD=V D﹣SAB=S△ABS×DS==，四棱锥S﹣ABCD的体积为：×=；点评：考查直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力．17．（某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a（3≤a≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为（12﹣x）2万件．（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）根据题意先求出每件产品的利润，再乘以一年的销量，便可求出分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）根据L与x的函数关系式先求出该函数的导数，令L′（x）=0便可求出极值点，从而求出时最大利润，再根据a的取值范围分类讨论当a取不同的值时，最大利润各为多少．解答：解：（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=（x﹣3﹣a）（12﹣x）2，x∈[9，11]．（2）L′（x）=（12﹣x）2+2（x﹣3﹣a）（12﹣x）×（﹣1）=（12﹣x）2﹣2（x﹣3﹣a）（12﹣x）=（12﹣x）（18+2a﹣3x）．令L′（x）=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）．∵3≤a≤5，∴8≤6+a≤．在x=6+a两侧L′的值由正值变负值．所以，当8≤6+a≤9，即3≤a≤时，L max=L（9）=（9﹣3﹣a）（12﹣9）2=9（6﹣a）；当9＜6+a≤，即＜a≤5时，L max=L（6+a）=（6+a﹣3﹣a）[12﹣（6+a）]2=4（3﹣a）3，即当3≤a≤时，当每件售价为9元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9（6﹣a）万元；当＜a≤5时，当每件售价为（6+a）元，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=4（3﹣a）3万元．点评：本题主要考查了函数的导数的求法以及利用导数来求得函数的最值问题，是各地高考的热点和难点，解题时注意自变量的取值范围以及分类讨论等数学思想的运用，属于中档题．18．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5．过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．（1）求抛物线方程；（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K（m，0）是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M 的位置关系．考点：抛物线的标准方程；直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）抛物线的准线为，于是，p=2，由此可知抛物线方程为y2=4x．（Ⅱ）由题意得B，M的坐标，，，直线FA的方程，直线MN的方程，由此可知点N的坐标即可；（Ⅲ）由题意得，圆M的圆心坐标为（0，2），半径为2．当m=4时，直线AP的方程为x=4，此时，直线AP与圆M相离；当m≠4时，写出直线AP的方程，圆心M（0，2）到直线AP的距离，由此可判断直线AP与圆M的位置关系．解答：解：（1）抛物线，∴p=2．∴抛物线方程为y2=4x．（2）∵点A的坐标是（4，4），由题意得B（0，4），M（0，2），又∵F（1，0），∴，∴，则FA的方程为y=（x﹣1），MN的方程为．*k*s*5*u解方程组，∴．（3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2．当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离，当m≠4时，直线AK的方程为，即为4x﹣（4﹣m）y﹣4m=0，圆心M（0，2）到直线AK的距离，令d＞2，解得m＞1∴当m＞1时，直线AK与圆M相离；当m=1时，直线AK与圆M相切；当m＜1时，直线AK与圆M相交．点评：本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质、直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．19．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O 为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，得a=2，，由此能求出椭圆C的方程．（2）法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），设y1＞0．由于点M 在椭圆C上，故．由T（﹣2，0），知=，由此能求出圆T的方程．法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sin θ＞0，由T（﹣2，0），得=，由此能求出圆T的方程．（3）法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（10分）故，由此能够证明|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，由此能够证明|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R •x S|=4为定值．解答：解：（1）依题意，得a=2，，∴c=，b==1，故椭圆C的方程为．…（3分）（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨设y1＞0．由于点M在椭圆C上，所以．（*）…（4分）由已知T（﹣2，0），则，，∴=（x1+2）2﹣==．…（6分）由于﹣2＜x1＜2，故当时，取得最小值为．由（*）式，，故，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（8分）方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，由已知T（﹣2，0），则=（2cosθ+2）2﹣sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3=．…（6分）故当时，取得最小值为，此时，又点M在圆T上，代入圆的方程得到．故圆T的方程为：．…（8分）（3）方法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（10分）故（**）…（11分）又点M与点P在椭圆上，故，，…（12分）代入（**）式，得：．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．则直线MP的方程为：，令y=0，得，同理：，…（12分）故．所以|OR|•|OS|=|x R|•|x S|=|x R•x S|=4为定值．…点评：本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．20．设函数f（x）=x2，g（x）=alnx+bx（a＞0）．（1）若f（1）=g（1），f′（1）=g′（1）求F（x）=f（x）﹣g（x）的极小值；（2）在（1）的结论下，是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m同时成立？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由．（3）设G（x）=f（x）+2﹣g（x）有两个零点x1和x2，若x0=，试探究G′（x0）值的符号．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）只要利用条件f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），即可求出a、b的值，再求F（x）的导数，求单调区间，即可得到极小值；（2）由于f（x）与g（x）有一个公共点（1，1），而函数f（x）=x2在点（1，1）的切线方程为y=2x﹣1，只要验证 f（x）≥2x﹣1，g（x）≤2x﹣1 都成立即可；（3）由G（x）=f（x）+2﹣g（x）有两个零点x1和x2，得到x1，x2满足的关系式，由x0=，再经过讨论换元可证得G′（x0）＞0．解答：解：（1）由f（1）=g（1），得 b=1．∵f′（x）=2x，g′（x）=+b，f′（1）=g′（1），∴2=a+b，解得a=b=1，则g（x）=lnx+x．F（x）=x2﹣lnx﹣x（x＞0）的导数为F′（x）=2x﹣1﹣=，当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）递增，当0＜x＜1时，F′（x）＜0，F（x）递减，则有x=1时，F（x）取得极小值，且为0；（2）因f（x）与g（x）有一个公共点（1，1），而函数f（x）=x2在点（1，1）的切线方程为y=2x﹣1，下面验证 f（x）≥2x﹣1，g（x）≤2x﹣1，都成立即可．由x2﹣2x+1≥0，得x2≥2x﹣1，知f（x）≥2x﹣1恒成立．设h（x）=lnx+x﹣（2x﹣1），即h（x）=lnx﹣x+1，h′（x）=﹣1=，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0．∴h（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，∴h（x）在x=1时取得最大值，∴h（x）=lnx+x﹣（2x﹣1）的最大值为h（1）=0，则lnx+x≤2x﹣1恒成立．故存在这样的k和m，且k=2，m=﹣1，满足条件．（3）G′（x0）的符号为正，理由为：∵G（x）=x2+2﹣alnx﹣bx有两个不同的零点x1，x2，则有 x12+2﹣alnx1﹣bx1=0，x22+2﹣alnx2﹣bx2=0，两式相减得x22﹣x12﹣a（lnx2﹣lnx1）﹣b（x2﹣x1）=0．即x1+x2﹣b=，又x1+x2=2x0，则G′（x0）=2x0﹣﹣b=（x1+x2﹣b）﹣=﹣=[ln ﹣]=[ln﹣]，①当0＜x1＜x2时，令=t，则t＞1，且G′（x0）=[lnt﹣]，故μ（t）=lnt﹣（t＞1），μ′（t）=﹣=＞0，则μ（t）在[1，+∞）上为增函数，而μ（1）=0，∴μ（t）＞0，即lnt﹣＞0，又a＞0，x2﹣x1＞0，∴G′（x0）＞0，②当0＜x2＜x1时，同理可得：G′（x0）＞0，综上所述：G′（x0）值的符号为正．点评：本题考查了导数的综合应用，熟练利用导数求极值和最值及恰当分类讨论、换元是解决问题的关键．专业文档珍贵文档。

2014～2015学年度第一学期期中考试高二数学试题一．填空题（每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1. 命题“2,220x R x x ∃∈++=”的否定是 ▲ .2. 过点()4,3P --，倾斜角为135°的直线的方程为 ▲ .3. ()43,7M xoy -点，关于平面的对称点的坐标为 ▲ .4. 直线240x y +-=在两坐标轴上的截距之和为 ▲ .5. 已知一个球的体积为336cm π，则这个球的表面积为 ▲ .6. 直线()230215x y +-=-被圆心为，的圆截得的弦长为，则圆的方程为 ▲ 7. “1a =”是“01ax y x ay +=+=直线与直线平行”的 ▲ 条件 （填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”） 8. ()()(),00,2,1,1P m A B 点到定点距离之和的最小值是 ▲9. 在过点()2,3的直线中，被圆22240x y x y +--=截得的弦长最短的直线的方程为▲10. ,,_______a b c αβγ设为不同的直线，，，为不同的平面，则下面命题正确的个数为 ①,a c b c a b ⊥⊥若则 ②,a b b a a ααα⊂若则或 ③,a a b b αα⊥⊥若则 ④,αγβγαβ⊥⊥若则11. 若圆222424030x y k x y k k k x y ++-+-=-+=关于直线对称，则实数的值为▲12. 若命题“[)()21,3,220x x a x ∃∈+--≥是不等式”是假命题，则实数a 的值为▲13. 在2,1,ABC BC AB AC ABC ∆==∆中，已知则面积的最大值是▲14. 圆()()2220x a y a a x y a -+-=+=上恰有两点到直线的取值范围是 ▲二、解答题（共6小题，合计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 15.（本小题满分14分）[)()22:11:4240""""p y x mx q x m x p q p q m =++-+∞--+=已知命题二次函数在，上单调递增；命题方程没有实数根。

江苏省扬中市第二高级中学2014－2015第一学期高二数学阶段练习 姓名1．直线022=+-y ax 与直线01)3(=+-+y a x 平行，则实数a 的值为 . 2、已知点P （0，-1），点Q 在直线x-y+1=0上，若直线PQ 垂直于直线x+2y-5=0，则点Q 的坐标是3．已知点)(b a P ，在圆222:r y x C =+外，则直线2:r by ax l =+与圆C ． 4、如果直线04122=-++++=my kx y x kx y 与圆交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线01=-+y x 对称，则k -m 的值为5．已知O 是坐标原点，点A )1,1(-，若点M ),(y x 为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+212y x y x 上的一个动点，则OM z ⋅=的取值范围是 .6．已知动圆0264222=-+--+m my mx y x 恒过一个定点,这个定点的坐标是__ __ ． 7．一直线过点M （－3，23），且被圆x 2+y 2=25所截得的弦长为8，则此直线方程为 . 8、若直线y=x+b 与曲线21y x -=恰有一个公共点，则实数b 的取值范围为 9、若圆222)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线4x －3y=2的距离等于1，则半径r 范围是 ；10．光线沿0522=+++y x ()0≥y 被x 轴反射后，与以()2,2A 为圆心的圆相切，则该圆的方程为 ．11．直线l ：03=-+y x 上恰有两个点A 、B 到点（2，３）的距离为2，则线段ＡＢ的长为 .12．如果圆22()()4x a y a -+-=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是 ．13．若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则ba 11+的最小值为 . 14．已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，若OQ OP ⊥，则m 的值为 ．15、已知ABC ∆的一条内角平分线CD 的方程为012=-+y x ，两个顶点为)1,1(),2,1(--B A ，求第三个顶点C 的坐标。

2023-2024学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若直线l 经过点A （2√3，﹣1），B （√3，2），则l 的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．抛物线y =14x 2的准线方程是（ ） A ．y ＝﹣1B ．y ＝1C ．x =−116D ．x =1163．某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量75%分位数为（ ） A ．58 B ．60C ．61D ．624．以双曲线x 24−y 29=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）A ．x 24+y 29=1 B ．x 213+y 24=1C ．x 213+y 29=1D ．x 213+y 211=15．直线l ：y ＝2x +3关于点P （2，3）对称的直线l ′的方程是（ ） A ．2x ﹣y ﹣5＝0B ．2x +y ﹣5＝0C ．2x ﹣y +5＝0D ．2x +y +5＝06．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线y 216−x 2m=1的图象的一部分，当拱顶M 到水面的距离为4米时，水面宽AB 为4√3米，则当水面宽度为4√6米时，拱顶M 到水面的距离为（ ）A ．4米B ．（8√2−4）米C ．(2√6−4)米D ．(4√7−4)米7．过点M （2，1）的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为（ ） A ．x ﹣y ＝0B ．x +y ﹣3＝0C ．x ﹣y +3＝0D ．x +y ﹣1＝08．如图所示，椭圆中心在原点，F 是左焦点，直线AB 1与BF 交于D ，且∠BDB 1＝90°，则椭圆的离心率为（ ）A ．√3−12B ．√5−12C ．√√5−12D ．√32二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l 1：ax +2y +3a ＝0，和直线l 2：3x +（a ﹣1）y +7﹣a ＝0，下列说法正确的是（ ） A ．当a =25时，l 1⊥l 2B ．当a ＝﹣2时，l 1∥l 2C ．直线l 1过定点（﹣3，0），直线l 2定点（﹣1，0）D ．当l 1，l 2平行时，两直线的距离为513√1310．已知圆C ：x 2+y 2﹣4x +2＝0，则下列说法正确的有（ ） A ．直线x ﹣y ﹣1＝0与圆C 的相交弦长为√6B ．圆C 关于直线x ﹣y ＝0对称的圆的方程为x 2+（y ﹣2）2＝2C ．若点P （x ，y ）是圆C 上的动点，则x 2+y 2的最大值为2+√2D ．若圆C 上有且仅有三个点到直线x +y +m ＝0的距离等于√22，则m ＝﹣1或﹣3 11．已知双曲线y 29−x 216=1的上、下焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上，则下列结论正确的是（ ）A ．该双曲线的离心率为54B ．该双曲线的渐近线方程为y =±34xC ．若PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为9D ．点P 到两渐近线的距离乘积为1442512．已知P 是左、右焦点分别为F 1，F 2的椭圆x 24+y 22=1上的动点，M （0，2），下列说法正确的有（ ）A ．|PF 1|+|PF 2|＝4B ．|PF 1|﹣|PF 2|的最大值为2√2C ．存在点P ，使∠F 1PF 2＝120°D ．|MP |的最大值为2+√2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．已知方程x 23+k+y 22−k =1表示椭圆，则k 的取值范围为 ．14．一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆标准方程为 ． 15．已知双曲线C ：x 216−y 24=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，直线l 过坐标原点O 且与双曲线C 交于点M ，N ．若|MN |＝|F 1F 2|，则四边形MF 1NF 2的面积为 ．16．设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1（α＞b ＞0）的左、右焦点．若在直线x =a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）直线l 经过两直线2x +y ﹣8＝0与x ﹣2y +1＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．（2）已知直线l 经过点A （﹣3，2），且原点到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程．18．（12分）新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为[90，100），[100，110），…，[140，150]分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）．（1）求频率分布直方图中的x 的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于[120，140）的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求[130，140）这组中至少有1人被抽到的概率．19．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 与双曲线E ：x 23−y 26=1的一个焦点重合．（1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且|AB |＝8，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 20．（12分）如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知△AF 1B 的面积为40√3，求a ，b 的值．21．（12分）已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴正半轴上，直线3x ﹣4y +4＝0与圆C 相切． （1）求圆C 的方程；（2）若过点（0，﹣3）的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，且OA →⋅OB →=3，O 为坐标原点，求三角形AOB 的面积．22．（12分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点． （1）求椭圆的方程； （2）求m 的取值范围；（3）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形．2023-2024学年江苏省镇江市扬中第二高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若直线l 经过点A （2√3，﹣1），B （√3，2），则l 的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：若直线l 经过点A （2√3，﹣1），B （√3，2），则l 的斜率为√3−2√3=−√3，故它的倾斜角为120°， 故选：C ．2．抛物线y =14x 2的准线方程是（ ） A ．y ＝﹣1B ．y ＝1C ．x =−116D ．x =116解：因为抛物线的标准方程为：x 2＝4y ，焦点在y 轴上； 所以：2p ＝4，即p ＝2， 所以：p2=1，所以准线方程y ＝﹣1． 故选：A ．3．某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量75%分位数为（ ） A ．58B ．60C ．61D ．62解：根据题意，12个数据从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71， 因为75%×12＝9，所以该地区的月降水量的75%分位数为12（58+64）＝61，故选：C ． 4．以双曲线x 24−y 29=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）A ．x 24+y 29=1 B ．x 213+y 24=1C ．x 213+y 29=1 D ．x 213+y 211=1解：双曲线x 24−y 29=1的焦点坐标为F 1(−√13，0)，F 2(√13，0)，顶点坐标为A 1（﹣2，0），A 2（2，0），由题意得：椭圆的焦点为A 1（﹣2，0），A 2（2，0）， 顶点坐标为F 1(−√13，0)，F 2(√13，0)， 所以椭圆的方程是x 213+y 29=1，故选：C ．5．直线l ：y ＝2x +3关于点P （2，3）对称的直线l ′的方程是（ ） A ．2x ﹣y ﹣5＝0B ．2x +y ﹣5＝0C ．2x ﹣y +5＝0D ．2x +y +5＝0解：∵直线l ：y ＝2x +3∴A （0，3），B （﹣1，1）在此直线上∵A （0，3）关于点P （2，3）的对称点为C （4，3） B （﹣1，1）关于点P （2，3）的对称点为D （5，5） ∴C ，D 所在直线的斜率为k =5−35−2=2∴直线l ：y ＝2x +3关于点P （2，3）对称的直线l '的方程为y ﹣3＝2（x ﹣4）即2x ﹣y ﹣5＝0 故选：A ．6．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线y 216−x 2m=1的图象的一部分，当拱顶M 到水面的距离为4米时，水面宽AB 为4√3米，则当水面宽度为4√6米时，拱顶M 到水面的距离为（ ）A ．4米B ．（8√2−4）米C ．(2√6−4)米D ．(4√7−4)米解：由题意得M （0，﹣4），A(−2√3，−8)，即6416−12m=1，解得m ＝4，∴y 216−x 24=1，当水面宽度为4√6米时，即x =−2√6时，y =−4√7， 拱顶M 到水面的距离为(4√7−4)， 故选：D ．7．过点M （2，1）的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为（ ） A ．x ﹣y ＝0B ．x +y ﹣3＝0C ．x ﹣y +3＝0D ．x +y ﹣1＝0解：圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4的圆心为C （1，0），当∠ACB 最小时，CM 和AB 垂直， ∵CM 的斜率等于1−02−1=1，∴AB 直线的斜率等于﹣1，则直线l 的方程为y ﹣1＝﹣（x ﹣2），即x +y ﹣3＝0， 故选：B ．8．如图所示，椭圆中心在原点，F 是左焦点，直线AB 1与BF 交于D ，且∠BDB 1＝90°，则椭圆的离心率为（ ）A ．√3−12B ．√5−12C ．√√5−12D ．√32解：设左顶点A （﹣a ，0），左焦点F （﹣c ，0），上顶点B 1（0，b ），下顶点B （0，﹣b ） 则直线AB 1的斜率为ba ，直线BF 的斜率为−bc因为∠BDB 1＝90°，直线AB 1与直线BF 交于D ，所以AB 1⊥BF 所以ba⋅(−bc)=−1所以b 2＝ac又因为a 2＝b 2+c 2，所以a 2＝ac +c 2， 所以e 2+e ﹣1＝0 所以e =−1±√52因为0＜e ＜1，所以e =√5−12故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l 1：ax +2y +3a ＝0，和直线l 2：3x +（a ﹣1）y +7﹣a ＝0，下列说法正确的是（ ） A ．当a =25时，l 1⊥l 2B ．当a ＝﹣2时，l 1∥l 2C ．直线l 1过定点（﹣3，0），直线l 2定点（﹣1，0）D ．当l 1，l 2平行时，两直线的距离为513√13解：对于A ，当a =25时，那么直线l 1：25x +2y +65=0，和直线l 2：3x −35y +335=0， 此时两直线的斜率分别为k 1=−15和k 2＝5，所以k 1•k 2＝﹣1，所以l 1⊥l 2，故A 选项正确；对于B ，当a ＝﹣2时，那么直线l 1为x ﹣y +3＝0，直线l 2为x ﹣y +3＝0，此时两直线重合，故B 选项错误；对于C ，由直线l 1：ax +2y +3a ＝0，整理可得：a （x +3）+2y ＝0，故直线l 1过定点（﹣3，0）， 直线l 2：3x +（a ﹣1）y +7﹣a ＝0，整理可得：a （y ﹣1）+3x ﹣y +7＝0，故直线l 2过定点（﹣2，1），故C 选项错误；对于D ，当l 1，l 2平行时，两直线的斜率相等，即−2a =−a−13，解得：a ＝3或a ＝﹣2， 当a ＝﹣2时，两直线重合，舍去；当a ＝3时，直线l 1为3x +2y +9＝0，l 2为3x +2y +4＝0， 此时两直线的距离d =√3+2=5√1313，故D 选项正确． 故选：AD ．10．已知圆C ：x 2+y 2﹣4x +2＝0，则下列说法正确的有（ ） A ．直线x ﹣y ﹣1＝0与圆C 的相交弦长为√6B ．圆C 关于直线x ﹣y ＝0对称的圆的方程为x 2+（y ﹣2）2＝2C ．若点P （x ，y ）是圆C 上的动点，则x 2+y 2的最大值为2+√2D ．若圆C 上有且仅有三个点到直线x +y +m ＝0的距离等于√22，则m ＝﹣1或﹣3 解：圆C ：x 2+y 2﹣4x +2＝0，即（x ﹣2）2+y 2＝2， 对于A ，设x ﹣y ﹣1＝0到圆心（2，0）距离为d 1=|2−1|√2=√22， ∵圆C 半径为√2．∴直线x ﹣y ﹣1＝0与圆C 的相交弦长l =2√2−12=√6，故A 正确，对于B ，点C 关于x ﹣y ＝0对称点为（0，2），又关于直线对称的圆半径不变， 则圆C 关于直线x ﹣y ＝0对称的圆的方程为x 2+（y ﹣2）2＝2，故B 正确， 对于C ，圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝2，可得2−√2≤x ≤2+√2， 又x 2+y 2＝4x ﹣2，得x 2+y 2∈[6−4√2，6+4√2]，故C 错误， 对于D ，圆C 上有且仅有三个点到直线x +y +m ＝0的距离等于√22等价于直线x +y +m ＝0到圆心（2，0）距离d 2=√2−√22=√22， 则√2=√22，得m ＝﹣1或﹣3．故D 正确． 故选：ABD ． 11．已知双曲线y 29−x 216=1的上、下焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上，则下列结论正确的是（ ）A ．该双曲线的离心率为54B ．该双曲线的渐近线方程为y =±34xC ．若PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为9D ．点P 到两渐近线的距离乘积为14425解：双曲线y 29−x 216=1的a ＝3，b ＝4，c ＝5，e =c a =53，故A 错误；双曲线y 29−x 216=1的渐近线方程为y ＝±34x ，故B 正确；设|PF 1|＝s ，|PF 2|＝t ，由双曲线的定义可得|s ﹣t |＝6， 若PF 1⊥PF 2，可得s 2+t 2＝4c 2＝100，即有，st ＝32， 可得△PF 1F 2的面积为12st ＝16，故C 错误；设P （m ，n ），可得16n 2﹣9m 2＝144，点P 到两渐近线的距离乘积为|3m−4n|5•|3m+4n|5=|9m 2−16n 2|25=14425，故D 正确．故选：BD ．12．已知P 是左、右焦点分别为F 1，F 2的椭圆x 24+y 22=1上的动点，M （0，2），下列说法正确的有（ ）A ．|PF 1|+|PF 2|＝4B ．|PF 1|﹣|PF 2|的最大值为2√2C ．存在点P ，使∠F 1PF 2＝120°D ．|MP |的最大值为2+√2解：由题设可得：a ＝2，b =√2=c ，由椭圆的定义可得：|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝4，故选项A 正确；由椭圆的性质可知：|PF 1|﹣|PF 2|≤|F 1F 2|＝2c ＝2√2（当P 为椭圆的右顶点时取“＝“），故选项B 正确； 又由椭圆的性质可知：当点P 为椭圆的上顶点或下顶点时，∠F 1PF 2最大，此时tan ∠F 1PF 22=c b=1＜√3， ∴∠F 1PF 22＜60°，即∠F 1PF 2＜120°，故选项C 错误；设P （2cos θ，√2sin θ），则|MP |=√(2cosθ−0)2+(√2sinθ−2)2=√−2sin 2θ−4√2sinθ+8=√−2(sinθ+√2)2+12，当sin θ＝﹣1时，|MP |max ＝2+√2，故选项D 正确， 故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．已知方程x 23+k +y 22−k =1表示椭圆，则k 的取值范围为 (−3，−12)∪(−12，2) ． 解：∵方程x 23+k+y 22−k=1表示椭圆，则 {3+k ＞02−k ＞03+k ≠2−k ⇒{ k ＞−3k ＜2k ≠−12解得 k ∈(−3，−12)∪(−12，2) 故答案为：(−3，−12)∪(−12，2)． 14．一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆标准方程为 （x −32）2+y 2=254 ．解：一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点．且圆心在x 轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2）， 设圆的圆心（a ，0），则√(a −0)2+(0−2)2=4−a ，解得a =32， 圆的半径为52，所求圆的方程为：（x −32）2+y 2=254． 故答案为：（x −32）2+y 2=254．15．已知双曲线C ：x 216−y 24=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，直线l 过坐标原点O 且与双曲线C 交于点M ，N ．若|MN |＝|F 1F 2|，则四边形MF 1NF 2的面积为 8 ．解：由题意如图：双曲线C ：x 216−y 24=1，可知a ＝4，b ＝2，c ＝2√5， 因为|MN |＝|F 1F 2|，所以四边形MF 1NF 2是矩形，设|MF 1|＝m ，m ＞0，则|MF 2|＝m +2a ＝m +8，所以m 2+（m +8）2＝（4√5）2，解得m ＝2√6−4，四边形MF 1NF 2的面积为：（2√6−4）（2√6+4）＝24﹣16＝8．故答案为：8．16．设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（α＞b ＞0）的左、右焦点．若在直线x =a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是 [√33，1) ．解：设直线x =a 2c 交x 轴于点M ，由已知可得：|F 1F 2|＝|F 2P |有解，又|PF 2|≥|F 2M |，则2c ≥a 2c −c ，则3c 2≥a 2，即c 2a 2≥13，即e =c a ∈[√33，1)， 故答案为：[√33，1)．四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）直线l 经过两直线2x +y ﹣8＝0与x ﹣2y +1＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．（2）已知直线l 经过点A （﹣3，2），且原点到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程．解：（1）直线l 经过两直线2x +y ﹣8＝0与x ﹣2y +1＝0的交点，{2x +y −8=0x −2y +1=0，解得x ＝3，y ＝2，即交点坐标为（3，2）， 当直线在两坐标轴上的截距为0时，则直线方程为y =23x ，即2x ﹣3y ＝0，当直线在两坐标轴的截距不为0时，则可设直线方程为x a +y a =1，将点（3，2）代入可得，3a +2a =1，解得a ＝5，故直线方程为x +y ﹣5＝0，综上所述，所求直线l 的方程为2x ﹣3y ＝0或x +y ﹣5＝0．（2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 经过点A （﹣3，2），则直线l 方程为x ＝﹣3，当直线l 斜率存在时，可设该直线方程为y ﹣2＝k （x +3），即kx ﹣y +3k +2＝0，∵原点到直线l 的距离等于3， ∴√k 2+1=3，解得k =512，即直线l 方程为5x ﹣12y +39＝0， 综上所述，所求直线l 的方程为x ＝﹣3或5x ﹣12y +39＝0．18．（12分）新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为[90，100），[100，110），…，[140，150]分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）．（1）求频率分布直方图中的x 的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于[120，140）的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求[130，140）这组中至少有1人被抽到的概率．解：（1）由频率分布直方图得：（0.005+0.03+0.03+x +0.01+0.005）×10＝1，解得x ＝0.02．平均分为95×0.05+105×0.3+115×0.3+125×0.2+135×0.1+145×0.05＝116.5．（2）由频率分布直方图得到成绩位于[120，130）和[130，140）上的人数比为0.20.1=2， 抽取的6人中成绩位于[120，130）上的有4人，编号为1，2，3，4，位于[130，140）上的有2人，编号为a ，b ，从这6人中任2人的基本事件有12，13，14，1a ，1b ，23，24，2a ，2b ，34，3a ，3b ，4a ，4b ，ab ，共15个，其中[130，140）这组中至少有1人被抽到的基本事件有1a ，1b ，2a ，2b ，3a ，3b ，4a ，4b ，ab ，共9个，∴[130，140）这组中至少有1人被抽到的概率为P =915=35． 19．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 与双曲线E ：x 23−y 26=1的一个焦点重合．（1）求抛物线C 的方程； （2）过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且|AB |＝8，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解：（1）∵双曲线E ：x 23−y 26=1的焦点坐标为（±3，0），又抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F(p 2，0)，∴p 2=3，即p ＝6． ∴抛物线C 的方程为y 2＝12x ．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线定义，知|AB|=|AF|+|BF|=x 1+p 2+x 2+p 2=x 1+x 2+p =x 1+x 2+6=8，∴x 1+x 2＝2，于是线段AB 的中点M 的横坐标是1，又准线方程是x ＝﹣3，∴点M 到准线的距离等于1+3＝4．20．（12分）如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知△AF 1B 的面积为40√3，求a ，b 的值．解：（Ⅰ）∠F 1AF 2＝60°⇔a ＝2c ⇔e =c a =12． （Ⅱ）设|BF 2|＝m ，则|BF 1|＝2a ﹣m ，在三角形BF 1F 2中，|BF 1|2＝|BF 2|2+|F 1F 2|2﹣2|BF 2||F 1F 2|cos120°⇔（2a ﹣m ）2＝m 2+a 2+am ．⇔m =35a ．△AF 1B 面积S =12|BA ||F 1A |sin60°⇔12×a ×(a +35a)×√32=40√3 ⇔a ＝10，∴c ＝5，b ＝5√3．21．（12分）已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴正半轴上，直线3x ﹣4y +4＝0与圆C 相切．（1）求圆C 的方程；（2）若过点（0，﹣3）的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，且OA →⋅OB →=3，O 为坐标原点，求三角形AOB 的面积．解：（1）设圆心坐标为（a ，0），（a ＞0），所以√32+42=2，解得a ＝2或−143（舍去）， 所以圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2＝4．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线l ：y ＝kx ﹣3，联立{y =kx −3(x −2)2+y 2=4， 消y 得（k 2+1）x 2﹣（4+6k ）x +9＝0，又Δ＝（4+6k ）2﹣36（k 2+1）＝48k ﹣20＞0，解得k ＞512，所以x 1x 2=9k 2+1，x 1+x 2=4+6k k 2+1，y 1y 2=(kx 1−3)(kx 2−3)=k 2x 1x 2−3k(x 1+x 2)+9=9−12k k 2+1， 因为OA →⋅OB →=3，OA →=(x 1，y 1)，OB →=(x 2，y 2)，所以x 1x 2+y 1y 2=9k 2+1+9−12kk 2+1=3，解得k ＝1或﹣5（舍去），所以直线l ：y ＝x ﹣3，又圆心C 到直线l 的距离d =|2−3|√1+1=√22， 则|AB|=2√22−(√22)2=√14，又点O 到直线l 的距离ℎ=1+1=3√22， 所以S △AOB =12⋅|AB|⋅ℎ=12×√14×3√22=3√72．22．（12分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点．（1）求椭圆的方程；（2）求m 的取值范围；（3）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形．解：（1）设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 则{a =2b4a 2+1b 2=1，解得{a 2=8b 2=2 ∴椭圆方程x 28+y 22=1（2）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m又K OM =12∴l 的方程为：y =12x +m由{y =12x +m x 28+y 22=1，∴x 2+2mx +2m 2﹣4＝0 ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，∴Δ＝（2m ）2﹣4（2m 2﹣4）＞0， ∴m 的取值范围是{m |﹣2＜m ＜2且m ≠0}（3）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1+k 2＝0即可 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则k 1=y 1−1x 1−2，k 2=y 2−1x 2−2 由x 2+2mx +2m 2﹣4＝0可得x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝2m 2﹣4而k 1+k 2=y 1−1x 1−2+y 2−1x 2−2=(y 1−1)(x 2−2)+(y 2−1)(x 1−2)(x 1−2)(x 2−2)=(12x 1+m−1)(x 2−2)+(12x 2+m−1)(x 1−2)(x 1−2)(x 2−2)=x 1x 2+(m−2)(x 1+x 2)−4(m−1)(x 1−2)(x 2−2) =2m 2−4+(m−2)(−2m)−4(m−1)(x 1−2)(x 2−2) =2m 2−4−2m 2+4m−4m+4(x 1−2)(x 2−2)=0 ∴k 1+k 2＝0故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形．。

江苏省扬州中学2014-2015学年第一学期期中考试高二数学试卷（注：本试卷满分160分，考试时间120分钟，请将答案写在答题纸上） 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 1．抛物线x y 82=的焦点坐标为 ▲ ．2．经过点（－2，3），且与直线250x y +-=垂直的直线方程为____▲_______． 3．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为_____▲_____．4.已知无论k 取任何实数，直线0)142()32()41(=-+--+k y k x k 必经过一定点，则该定点坐标为 ▲ ．5.设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为，则a =_____▲______．6. 圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是 ▲ cm.7. 如果规定：z y y x ==,，则 z x = 叫做 z y x ,, 关于相等关系具有传递性，那么空间三直线c b a ,,关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是_____ ▲______. 8.双曲线)0(1222>=+-m m y m x 的一条渐近线方程为x y 2=，则=m ▲ . 9．已知椭圆13422=+y x 上一点P 到左焦点的距离为25,则它到右准线的距离为 ▲ . 10． 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的等价条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号 ▲ （写出所有真命题的序号）． 11.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x ,21,F F 为椭圆的两个焦点且21,F F 到直线1=+bya x 的距离之和为b 3，则离心率e = ▲ .12.若点B A ,在曲线)0(222>=-x y x 上，则→→•OB OA 的最小值为 ▲ .13.已知过点)2,(m P 作直线l 与圆O ：122=+y x 交于B A ,两点，且A 为线段PB 的中点,则m 的取值范围为 ▲ .14．已知椭圆22 221(0)x ya ba b+=>>的离心率21=e，A,B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A,B 的一点，直线PA,PB倾斜角分别为,αβ，则cos()=cos+αβαβ-（）▲ .16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．求证：（1）PB∥平面AEC；（2）平面PCD⊥平面PAD．17．（本小题满分15分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D-中，已知平面11AAC C ABCD⊥平面，且31AB BC CA AD CD=====，．(1)求证：1BD AA⊥;(2)在棱BC上取一点E，使得AE∥平面11DDCC，求BEEC的值．18.（本小题满分15分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）AD1 C1A1B1BCDPAB CDE(第16题图)的轨迹方程为12510022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、)764,0(M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D ．观测点)0,4(A ,)0,6(B 同时跟踪航天器． （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？19. （本小题满分16分）（1）求右焦点坐标是)0,2(，且经过点)2,2(--的椭圆的标准方程.（2）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ,设斜率为k 的直线l 交椭圆C 于B A ,两点，AB 的中点为M ，证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上.（3）利用（2）中所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出图中的定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.20. （本小题满分16分）在直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点为)1,0(),1,0(B A -，平面内两点M G ,同时满足：)1(G 为ABC ∆的重心；M )2(到ABC ∆三点C B A ,,的距离相等；)3(直线GM 的倾斜角为2π. （1）求证：顶点C 在定椭圆E 上，并求椭圆E 的方程；（2）设N R Q P ,,,都在曲线E 上，点)0,2(F ，直线RN PQ 与都过点F 并且相互垂直，求四边形PRQN 的面积S 的最大值和最小值.高二数学期中试卷答题纸 2014.11一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 成绩1． 2． 3． 4．5． 6． 7． 8．9． 10． 11． 12．13． 14．三、解答题（本大题共6小题，计90分） 15．解：16．解：17．解：高二__________ 学号________ 姓名_____________………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………P A BCD E (第16题图)18．解：19.解：请将20题做在反面高二数学期中试卷参考答案 2014.111. )0,2(；2. 280x y -+=；3. 22x -2x+y =0 ；4. (2,2)； 5. 0 ；6. 4；7. 平行； 8.32； 9. 3 ； 10. （1）（2）； 11. 36；12. 2；13. ]5,5[-；14. 7115.解：由(2)(21)618m m m +-=+，得4m =或52m =-； 当m =4时，l 1：6x +7y -5=0，l 2：6x +7y =5,即l 1与l 2重合，故舍去。

2014-2015学年江苏省镇江市扬中中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．只填结果，不要过程！）1．过点（﹣2，3）且与直线x﹣2y+1=0垂直的直线的方程为．2．过三点A（﹣4，0），B（0，2）和原点O（0，0）的圆的标准方程为．3．已知△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则BC边上的高AD的长为．4．已知两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8．若直线l1与直线l2平行，则实数m= ．5．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l∥α，m⊂α，则l∥m；②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则l∥m；③若l∥m，m⊂α，则l∥α；④若l⊥α，m∥α，则l⊥m．其中真命题是（写出所有真命题的序号）．6．若圆x2+y2=4 与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0相外切，则实数m= ．7．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是．8．过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，当α最小时，此时点P坐标为．9．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．10．已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．11．已知点P在抛物线x2=4y上运动，F为抛物线的焦点，点A的坐标为（2，3），若PA+PF 的最小值为M，此时点P的纵坐标的值为n，则M+n= ．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，若直线y=kx﹣3上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．13．已知等腰三角形腰上的中线长为2，则该三角形的面积的最大值是．14．已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是．二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．（1）若AA1⊥AD，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，AP=AD，PB⊥AC，BD⊥AC，E为PD的中点．求证：（1）AE∥平面PBC；（2）PD⊥平面ACE．17．（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±，求该双曲线的标准方程．18．已知△ABC三个顶点坐标分别为：A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l经过点（0，4）．（1）求△ABC外接圆⊙M的方程；（2）若直线l与⊙M相切，求直线l的方程；（3）若直线l与⊙M相交于A，B两点，且AB=2，求直线l的方程．19．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1），（1）求实数a的取值范围以及直线l的方程；（2）若圆C上存在四个点到直线l的距离为，求实数a的取值范围；（3）已知N（0，﹣3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=PN，求实数a的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．2014-2015学年江苏省镇江市扬中中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．只填结果，不要过程！）1．过点（﹣2，3）且与直线x﹣2y+1=0垂直的直线的方程为2x+y+1=0 ．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线x﹣2y+1=0垂直的直线方程为2x+y+c=0，再把点（﹣2，3）代入，即可求出c值，得到所求方程．解答：解：∵所求直线方程与直线x﹣2y+1=0垂直，∴设方程为2x+y+c=0∵直线过点（﹣2，3），∴﹣4+3+c=0，∴c=1∴所求直线方程为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．点评：本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于常规题．2．过三点A（﹣4，0），B（0，2）和原点O（0，0）的圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5 ．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由条件利用圆的弦的性质求出圆心的坐标，可得圆的半径，从而求得圆的标准方程．解答：解：由于所求的圆经过三点A（﹣4，0），B（0，2）和原点O（0，0），故圆心在直线x=﹣2上，又在y=1上，故圆心的坐标为M（﹣2，1），半径为MO=，故要求的圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，故答案：（x+2）2+（y﹣1）2=5．点评：本题主要考查求圆的标准方程，关键在于利用圆的弦的性质求出圆心的坐标，属于基础题．3．已知△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则BC边上的高AD的长为 5 ．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由已知条件分别求出直线BC和直线AD所在的方程，联立方程组，求出点D，由此能求出高AD的长．解答：解：∵△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），∴BC边的斜率k BC==﹣，∴BC边上的高AD的斜率k AD=，∴直线AD：y﹣4=，整理，得3x﹣4y+10=0，直线BC：，整理，得4x+3y+5=0，联立，得D（﹣2，1），∴|AD|==5．故答案为：5．点评：本题考查三角形的高的求法，是基础题，解题时要注意直线方程和两点间距离公式的合理运用．4．已知两条直线l1：（3+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5+m）y=8．若直线l1与直线l2平行，则实数m= ﹣7 ．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：对x，y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出．解答：解：当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x+y=4，此时两条直线不平行；当m=﹣5时，两条直线分别化为：x﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；当m≠﹣3，﹣5时，两条直线分别化为：y=x+，y=+，∵两条直线平行，∴，≠，解得m=﹣7．综上可得：m=﹣7．故答案为：﹣7．点评：本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题．5．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l∥α，m⊂α，则l∥m；②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则l∥m；③若l∥m，m⊂α，则l∥α；④若l⊥α，m∥α，则l⊥m．其中真命题是②④（写出所有真命题的序号）．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：①若l∥α，m⊂α，则l与m平行或异面，故①错误；②若l⊂α，l∥β，α∩β=m，则由直线与平面平行的性质得l∥m，故②正确；③若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故③错误；④若l⊥α，m∥α，则由直线与平面垂直的性质得l⊥m，故④正确．故答案为：②④．点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．若圆x2+y2=4 与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0相外切，则实数m= ±3 ．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：先求出圆的圆心和半径，根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，求得m的值．解答：解：圆x2+y2=4 的圆心为（0，0）、半径为2；圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0，即（x﹣m）2+y2=1，表示圆心为（m，0）、半径等于1的圆．根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，即|m|=2+1=3，求得m=±3，故答案为：±3．点评：本题主要考查圆的标准方程，两个圆相外切的性质，属于基础题．7．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是﹣3 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据条件画出可行域，设z=x﹣y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=x﹣y，过可行域内的点A（0，3）时的最小值，从而得到z 最小值即可．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，将z=x﹣y整理得到y=x﹣z，要求z=x﹣y的最小值即是求直线y=x﹣z的纵截距的最大值，当平移直线x﹣y=0经过点A（0，3）时，x﹣y最小，且最小值为：﹣3，则目标函数z=x﹣y的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．8．过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，当α最小时，此时点P坐标为（﹣4，﹣2）．考点：简单线性规划；直线与圆的位置关系．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，确定α最小时点P的位置即可．解答：解：如图阴影部分表示，确定的平面区域，当P离圆O最远时，α最小，此时点P坐标为：（﹣4，﹣2），故答案为：：（﹣4，﹣2）．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．9．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．考点：抛物线的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．解答：解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．点评：本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．10．已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得渐近线y=x经过点（1，2），可得b=2a，代入可得离心率e===，化简即可．解答：解：双曲线的渐近线方程为y=x，故y=x经过点（1，2），可得b=2a，故双曲线的离心率e====故答案为：点评：本题考查双曲线的离心率，涉及渐近线的方程，属中档题．11．已知点P在抛物线x2=4y上运动，F为抛物线的焦点，点A的坐标为（2，3），若PA+PF 的最小值为M，此时点P的纵坐标的值为n，则M+n= 5 ．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的标准方程求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PN|=M，由此可得．解答：解：抛物线标准方程 x2=4y，p=2，焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1．设p到准线的距离为PN，（即PN垂直于准线，N为垂足），则M=|PA|+|PF|=|PA|+|PN|=4，此时P（2，1），∴n=1，则M+n═5故答案为：5．点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，是解题的关键．12．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，若直线y=kx﹣3上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：圆C的方程表示以C（4，0）为圆心，半径等于1的圆．由题意可得，直线y=kx﹣3和圆C′：即（x﹣4）2+y2=9有公共点，由点C′到直线y=kx﹣3的距离为d≤3，求得实数k的最大值．解答：解：圆C的方程为：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣3上至少存在一点，使得以该点为圆心，2为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=9与直线y=kx﹣3有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣3的距离为d，则d=≤3，即7k2﹣24k≤0，∴0≤k≤，∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．13．已知等腰三角形腰上的中线长为2，则该三角形的面积的最大值是．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：建系，设C（m，0），B（﹣m，0），A（0，n），可得D（，），进而由题意可得BD2=（）2+（）2=4，故三角形的面积S=mn=••≤•=，注意等号成立的条件即可．解答：解：以等腰三角形底边BC的中点为原点，建立如图所示的坐标系，设C（m，0），则B（﹣m，0），A（0，n），由中点坐标公式可得D（，），由题意可得BD2=（）2+（）2=4，∴三角形的面积S=mn=••≤•=当且仅当=即n=3m时取等号，∴三角形的面积的最大值为故答案为：点评：本题考查基本不等式求最值，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．14．已知椭圆，F1，F2是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF1|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：设点P到直线l的距离为d，根据椭圆的定义可知|PF2|比d的值等于c比a的值，由题意知|PF1|等于2d，且|PF1|+|PF2|=2a，联立化简得到：|PF1|等于一个关于a与c的关系式，又|PF1|大于等于a﹣c，小于等于a+c，列出关于a与c的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围，即为离心率e的范围，同时考虑e小于1，从而得到此椭圆离心率的范围．解答：解：设P到直线l的距离为d，根据椭圆的第二定义得=e=，|PF1|=2d，且|PF1|+|PF2|=2a，则|PF1|=2a﹣|PF2|=2a﹣=2d，即d=，而|PF1|∈（a﹣c，a+c]，即2d=，所以得到，由①得：++2≥0，为任意实数；由②得：+3﹣2≥0，解得≥或≤（舍去），所以不等式的解集为：≥，即离心率e≥，又e＜1，所以椭圆离心率的取值范围是[，1）．故答案为：[，1）点评：此题考查学生掌握椭圆的定义及椭圆简单性质的运用，是一道中档题．二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．如图，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，D为BC的中点．（1）若AA1⊥AD，求证：AD⊥DC1；（2）求证：A1B∥平面ADC1．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）证明AD⊥BC，AD⊥CC1，利用线面垂直的判定定理，可得AD⊥平面BCC1B1，即可证明AD⊥DC1；（2）连结A1C，交AC1于点O，连结OD，则O为A1C的中点，证明OD∥A1B，可得A1B∥平面ADC1．解答：证明：（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．…（2分）因为AA1⊥AD，AA1∥CC1，所以AD⊥CC1，…（4分）因为CC1∩BC=C，所以AD⊥平面BCC1B1，…（6分）因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1…（7分）（2）连结A1C，交AC1于点O，连结OD，则O为A1C的中点．因为D为BC的中点，所以OD∥A1B …（9分）因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，…（12分）所以A1B∥平面ADC1…（14分）点评：本题考查直线与平面平行的判定、考查线面垂直的判定定理与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，AP=AD，PB⊥AC，BD⊥AC，E为PD的中点．求证：（1）AE∥平面PBC；（2）PD⊥平面ACE．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（1）要证明线面平行，需要构造线面平行的判定定理的条件﹣﹣在面PBC内找到与AE平行的直线，取PC的中点F利用题目中的平行关系，可证得AE∥BF，即得AE∥BF．（2）由PB⊥AC，BD⊥AC可得AC⊥平面PBD，利用线面垂直的定义得AC⊥PD，然后由AP=AD，E为PD的中点得到PD⊥AE，由线面垂直的判定定理可得PD⊥平面ACE．解答：证明：（1）取PC中点F，连接EF，BF，∵E为PD中点，∴EF∥DC且EF=．∵AB∥DC且，∴EF∥AB且EF=AB．∴四边形ABFE为平行四边形．∴AE∥BF．∵AE⊄平面PBC，BF⊂平面PBC，∴AE∥平面PBC．（2）∵PB⊥AC，BD⊥AC，PB∩BD=B，∴AC⊥平面PBD．∵PD⊂平面PBD，∴AC⊥PD．∵AP=AD，E为PD的中点，∴PD⊥AE．∵AE∩AC=A，∴PD⊥平面ACE．点评：本题考查了线面平行和线面垂直的判断，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，是个中档题．17．（1）已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；（2）已知双曲线的渐近线方程为y=±x，准线方程为x=±，求该双曲线的标准方程．考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；（2）利用双曲线的标准方程及其性质即可得出．解答：解：（1）设椭圆的标准方程为：，由题意得a=2，c=1，⇒b2=3，∴所求椭圆的标准方程为．（2）由题意知双曲线标准方程为：，（a，b＞0）．∴，，又c2=a2+b2，解得a=4，b=3，∴所求双曲线标准方程为．点评：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．18．已知△ABC三个顶点坐标分别为：A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l经过点（0，4）．（1）求△ABC外接圆⊙M的方程；（2）若直线l与⊙M相切，求直线l的方程；（3）若直线l与⊙M相交于A，B两点，且AB=2，求直线l的方程．考点：直线和圆的方程的应用；圆的一般方程．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）确定△ACB是等腰直角三角形，因而△ACB圆心为（1，2），半径为2，即可求△ABC外接圆⊙M的方程；（2）当直线l与x轴垂直时，显然不合题意，因而直线l的斜率存在，设l：y=kx+4，由题意知，求出k，即可求直线l的方程；（3）分类讨论，利用勾股定理，可得直线l的方程．解答：解：（1）∵A（1，0），B（1，4），C（3，2），∴=（﹣2，﹣2），=（﹣2，2），∴，则△ACB是等腰直角三角形，因而△ACB圆心为（1，2），半径为2，∴⊙M的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．（2）当直线l与x轴垂直时，显然不合题意，因而直线l的斜率存在，设l：y=kx+4，由题意知，解得k=0或，…（8分）故直线l的方程为y=4或4x﹣3y+12=0．…（10分）（3）当直线l与x轴垂直时，l方程为x=0，它截⊙M得弦长恰为；…（12分）当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+4，∵圆心到直线y=kx+4的距离，由勾股定理得，解得，…（14分）故直线l的方程为x=0或3x+4y﹣16=0．…（16分）点评：本题考查直线和圆的方程的应用，考查直线、圆的方程，考查点到直线的距离公式，属于中档题．19．已知直线l与圆C：x2+y2+2x﹣4y+a=0相交于A，B两点，弦AB的中点为M（0，1），（1）求实数a的取值范围以及直线l的方程；（2）若圆C上存在四个点到直线l的距离为，求实数a的取值范围；（3）已知N（0，﹣3），若圆C上存在两个不同的点P，使PM=PN，求实数a的取值范围．考点：直线和圆的方程的应用．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）圆的方程化为标准方程，可得实数a的取值范围，利用垂径定理，可求直线l 的方程；（2）确定与直线l平行且距离为的直线，即可求实数a的取值范围；（3）利用PM=PN，可得圆的方程，结合两个圆相交，求实数a的取值范围．解答：解：（1）圆…（1分）据题意：…（2分）因为CM⊥AB，⇒k CM•k AB=﹣1，k CM=﹣1，⇒k AB=1所以直线l的方程为x﹣y+1=0…（4分）（2）与直线l平行且距离为的直线为：l1：x﹣y+3=0过圆心，有两个交点，…（6分）l2：x﹣y﹣1=0与圆相交，；…（8分）（3）设…（12分）据题意：两个圆相交：…（14分）且，所以：…（16分）点评：本题考查圆的方程，考查直线和圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由椭圆的离心率得到a2=3b2，设出椭圆上点P的坐标，写出点到直线的距离，然后对b分类求出|PQ|的最大值，由最大值等于3求解b的值，进一步得到a的值，则椭圆方程可求；（2）求出圆心到直线l的距离，由勾股定理得到弦长，代入三角形的面积公式，把面积用含有d的代数式表示，配方后求出面积的最大值并求得使面积最大时的d值，从而得到m，n的值，则点M的坐标可求．解答：解：（1）∵，∴，于是a2=3b2．设椭圆C上任一点P（x，y），则（﹣b≤y≤b）．当0＜b＜1时，|PQ|2在y=﹣b时取到最大值，且最大值为b2+4b+4，由b2+4b+4=9解得b=1，与假设0＜b＜1不符合，舍去．当b≥1时，|PQ|2在y=﹣1时取到最大值，且最大值为3b2+6，由3b2+6=9解得b2=1．于是a2=3，椭圆C的方程是．（2）圆心到直线l的距离为，弦长，∴△OAB的面积为，于是．而M（m，n）是椭圆上的点，∴，即m2=3﹣3n2，于是，而﹣1≤n≤1，∴0≤n2≤1，1≤3﹣2n2≤3，∴，于是当时，S2取到最大值，此时S取到最大值，此时，．综上所述，椭圆上存在四个点、、、，使得直线与圆相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大，且最大值为．点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了函数取得最值的条件，体现了分类讨论的数学思想方法，训练了利用配方法求函数的最值，是压轴题．。

高二数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 椭圆2219x y +=的离心率e = . 2.抛物线y x 162=的准线方程是 ．3.双曲线13822=-y x 的渐近线方程为 ． 4．球的内接正方体边长为2，这个球的表面积为 ． 5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1BC 与AC 所成角的大小为 ．6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB AD cm ==，12AA cm =，则三棱锥11A B D D -的体积为 3cm ．7．双曲线191622=-yx 右支点上的一点P 到右焦点的距离为2， 则P 点到左准线的距离为 ．8．P 为椭圆14522=+y x 上的点，21,F F 是其两个焦点，若 3021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是 ．9．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2为椭圆221912y x +=的两个焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为 ．10．已知βα,,γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若ββα⊥⊥l ,，则α//l ； ②若βα//,l l ⊥，则βα⊥； ③若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l ； ④若γαβα//,⊥，则βγ⊥。

其中正确命题的序号是 ．11．如图直三棱柱ABB 1-DCC 1中，∠ABB 1=900，AB=4，BC=2，CC 1=1，DC 上有一动点P ， 则△APC 1周长的最小值是 ．12．用一些棱长为1cm 的小正方体码放成一个几何体， 图1为其俯视图，图2为其主视图，则这个几何体的体积 最大是 cm 3．D 1C 1B 1A 1DCBAA 1B 1DCB AD 1C1CD BB C1A1 第11题图图1（俯视图） 图2（主视图） 13. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 ．14．过椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰为右焦点F ,若5231<<k ，则椭圆的离心率e 的取值范围是 .二、解答题（本题共6小题，共90分。

江苏省扬州中学2014—2015学年度上学期质量检测（12月）高二数学试题一、填空题（每小题5分，共70分）1.命题“若，则”的否命题．．．为 ． 2.“”是“”成立的 条件． （从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分又不必要”中选择一个正确的填写）3.在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为 ．4．曲线在处的切线方程为 ．5．已知正四棱柱的底面边长是，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的侧面积为 ．6．双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距为16，一条渐近线方程为，则双曲线方程为 ．7．设是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题：①若，则；②若，则；③若βαβα⊥⊥则,,//a a ；④若，则,其中正确的命题序号是 ．8．函数的单调递减区间为 ．9．在一个直径为16cm 的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高了4cm ，则球的半径是 cm ．10．已知函数f (x )＝e x －ax 在区间(0，1)上有极值，则实数a 的取值范围是 ．11.设命题关于的方程034232=+++m mx x 有两个不等实根，命题方程表示双曲线，若“或”为真命题，“且”为假命题，则实数的取值范围是 ．12.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f ++-->的解集为 ．13. 已知曲线：，直线：，在曲线上有一个动点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为.再过点作曲线的切线，分别与直线和轴相交于点，是坐标原点.若的面积为，则的面积为 ．14．已知椭圆E ：，椭圆E 的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是 ．二、解答题(15、16每题14分，17、18每题15分，19、20每题16分，共90分)15.设命题实数满足，其中，命题实数满足⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤--0820622x x x x ． (1)若，且为真，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．16.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧面是等边三角形，侧面是以为斜边的直角三角形，为的中点，为的中点．（1）求证： //平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积．17. 某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y (万元)随医疗总费用x (万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．(1)请你分析该单位能否采用函数模型y ＝0.05(x 2+4x +8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y ＝x x +a (a 为常数)作为报销方案，请你确定整数的值．(参考数据：，18.已知函数x x m x f 9)3()(3+-=．（1）若函数在区间(－∞，+∞)上是单调函数，求的取值范围；（2）若函数在区间上的最大值为4，求的值．19．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，分别是椭圆的左、右两个顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点．⑴求直线的方程；⑵求的值；⑶设为常数．过点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点，分别交圆于点，记和的面积分别为，，求的最大值．（第19题图）20.已知函数图像上一点处的切线方程为．(1)求的值；(2)若方程在区间内有两个不等实根，求的取值范围；(3)令)()()(R k kx x f x g ∈-=，如果的图像与轴交于))(0,(),0,(2121x x x B x A <两点，的中点为，求证：.参考答案1.若，则2.必要不充分3.44.5.726. 7.③④ 8. 9. 10. 11.12. 13.4 14.415. (1)由得又，所以当时，，即为真时，实数的范围是，由⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤--0820622x x x x 得，即为真时，实数的范围是， 若为真，则真且真，所以实数的范围是（2）或，或，由是的充分不必要条件，有，得．16.(1)取SA 中点N 连MN ，易证四边形CENM 为平行四边形，，又面SAE,面SAE ，面SAE ．（2）侧面SCD 是直角三角形，为直角，E 为CD 中点，222,5,2AE SE SA AE AB SA =+∴=== ，，同理⊂=⋂SB SA S SB SA ,,面SAB ，面SAB ．（3）63144331212121=⋅⋅⋅⋅===---SAB E AEB S AED S V V V ． 17. (1)函数y =0.05(x 2+4x +8)在[2,10]上是增函数，满足条件①，当x =10时,y 有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③.但当x =3时,y =2920<32,即y x 2不恒成立,不满足条件②, 故该函数模型不符合该单位报销方案(2)对于函数模型y =x x +a ，设f (x )= x x +a ，则f ´(x 2x =x －2x所以f (x )在[2，10]上是增函数，满足条件①，由条件②，得xx +a x 2，即a x x 2在x ，10]上恒成立， 令g (x )=2ln x x 2，则g ´(x )=2x －12=4－x 2x，由g ´(x )>0得x <4， g (x )在(0，4)上增函数，在(4，10)上是减函数a g 由条件③，得f a ，解得a 另一方面，由x x +a x ，得a x 在x，10]上恒成立a综上所述，a 的取值范围为，2ln2]，所以满足条件的整数a 的值为1.18.（1）因为 (0)＝9 > 0，所以f (x)在区间上只能是单调增函数．由 (x)＝3(m －3)x 2 + 9≥0在区间(－∞，+∞)上恒成立，所以m ≥3．故m 的取值范围是［3，+∞) ．（2）当m≥3时，f (x)在［1，2］上是增函数，所以[f (x)] max ＝f (2)＝8(m －3)＋18＝4,解得m ＝54<3，不合题意，舍去． 当m ＜3时， (x)＝3(m －3) x 2 + 9=0，得．所以f (x)的单调区间为：单调减，单调增，单调减．①当，即时，([12]⊆，，所以f (x)在区间［1，2］上单调增，[f (x)] max ＝f(2)＝8(m －3)＋18＝4，m ＝54，不满足题设要求． ②当，即0＜m ＜时， [f (x)] max 32334336)33(=-⇒=-=-=m m m f 舍去． ③当，即m≤0时，则，所以f (x)在区间［1，2］上单调减，[f (x)] max ＝f (1)＝m + 6＝4，m ＝－2. 综上所述：m ＝－2．19.⑴连结，则，且，又，所以.所以，所以直线的方程为.⑵由⑴知，直线的方程为，的方程为，联立解得.因为，即，所以，，故椭圆的方程为.由2222),41,y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得，所以1()3274()7a a PQ a QA a --==---． ⑶不妨设的方程为， 联立方程组2222,41,y kx x y aa =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得， 所以；用代替上面的，得．同理可得，，．所以41214S S OB OC OM ON a ⋅=⋅⋅⋅⋅=．………15=， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为．20.解：(1), ,. ∴,且ln2462ln22a b -=-++.解得a ＝2,b ＝1. .(2),设()2()2ln h x f x m x x m =+=-+,则()222(1)2x h x x x x -'=-=,令,得x ＝1(x ＝－1舍去).当x ∈时, , h(x)是增函数；当x ∈时, , h(x)是减函数. 则方程在内有两个不等实根的充要条件是1()0,e (1)0,(e)0.h h h ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤解得.(3)()22ln g x x x kx =--,.假设结论成立, 则有21112222120002ln 0, 2ln 0, 2, 220. x x kx x x kx x x x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪⎨+=⎪⎪--=⎪⎩①②③④,①－②,得221121222ln ()()0x x x k x x x ----=. ∴120122ln2x x k x x x =--.由④得,于是有12120ln 1x x x x x =-,∴121212ln 2x x x x x x =-+, 即11212222ln 1x x x x x x -=+.⑤ 令, (0＜t ＜1),则＞0.∴在0＜t ＜1上是增函数,有,∴⑤式不成立,与假设矛盾. ∴.。

江苏省扬州中学2014-2015学年高二上学期质量检测（12月） 数学试题2014.12.13一、填空题（每小题5分，共70分）1.命题“若0x >，则20x >”的否命题．．．为 ． 2.“M N >”是“22log log M N >”成立的 条件． （从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分又不必要”中选择一个正确的填写）3.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离 为3，则焦点到准线的距离为 ．4．曲线()232f x x x =-在1x =处的切线方程为 ．5．已知正四棱柱的底面边长是3，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的侧面积为 ．6．双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，一条渐近线方程为y x =，则双曲线方程为 ．7．设a b 、是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题： ①若,a b a α⊥⊥，则//b α；②若,a βαβ⊥⊥，则//a α； ③若βαβα⊥⊥则,,//a a ；④若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥,其中正确的命题序号是 ． 8．函数x x x f ln 21)(2-=的单调递减区间为 ． 9．在一个直径为16cm 的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高了4cm ，则球的半径是 cm ．10．已知函数f (x )＝e x －ax 在区间(0，1)上有极值，则实数a 的取值范围是 ．11.设命题:p 关于x 的方程034232=+++m mx x 有两个不等实根，命题:q 方程15122=-+-my m x 表示双曲线，若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则实数m 的取值范围是 ．12.设函数()f x 是定义在(0)-∞，上的可导函数，其导函数为()f x '，且有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f ++-->的解集为 ．13. 已知曲线C ：()(0)af x x a x=>+，直线l ：y x =，在曲线C 上有一个动点P ，过点P 分别作直线l 和y 轴的垂线，垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线，分别与直线l 和y 轴相交于点,M N ，O 是坐标原点.若ABP ∆的面积为12，则OMN ∆的面积为 ．14．已知椭圆E ：2214x y +=，椭圆E 的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是 ．二、解答题(15、16每题14分，17、18每题15分，19、20每题16分，共90分)15.设命题:p 实数x 满足03422<+-a ax x ，其中0>a ，命题:q 实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤--0820622x x x x ． (1)若1=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围； (2)若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数x 的取值范围．16.已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAB 是等边三角形，侧面SCD 是以CD 为斜边的直角三角形，E 为CD 的中点，M 为SB 的中点． （1）求证：CM //平面SAE ； （2）求证：SE ⊥平面SAB ； （3）求三棱锥S AED -的体积．17. 某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y (万元)随医疗总费用x (万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．(1)请你分析该单位能否采用函数模型y ＝0.05(x 2+4x +8)作为报销方案； (2)若该单位决定采用函数模型y ＝x 2ln x +a (a 为常数)作为报销方案，请你确定整数a 的值．(参考数据：ln20.69，ln102.3)18.已知函数x x m x f 9)3()(3+-=．（1）若函数)(x f 在区间(－∞，+∞)上是单调函数，求m 的取值范围； （2）若函数)(x f 在区间]2,1[上的最大值为4，求m 的值．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =，12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点，圆2A 的半径为a ，过点1A 作圆2A 的切线，切点为P ，在x 轴的上方交椭圆E 于点Q ．⑴求直线OP 的方程；⑵求1PQ QA 的值；⑶设a 为常数．过点O 作两条互相垂直的直线，分别交椭圆E 于点,B C ，分别交圆2A 于点,M N ，记OBC ∆和OMN ∆的面积分别为1S ，2S ，求21S S ⋅的最大值．（第19题图）20.已知函数2ln )(bx x a x f -=图像上一点))2(,2(f P 处的切线方程为22ln 23++-=x y ．(1)求b a ,的值；(2)若方程0)(=+m x f 在区间],1[e e内有两个不等实根，求m 的取值范围；(3)令)()()(R k kx x f x g ∈-=，如果)(x g 的图像与x 轴交于))(0,(),0,(2121x x x B x A <两点，AB 的中点为)0,(0x C ，求证：0)('0≠x g .命题、校对：高二数学备课组高二数学质量检测答题纸 2014.12.13一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 成绩1． 2． 3． 4．5． 6． 7． 8．9． 10． 11． 12．13． 14．三、解答题（15、16每题14分，17、18每题15分，19、20每题16分，共90分） 15．解：学号________ 姓名_____________…线……………内……………不……………要……………答……………题………………16．解：17．解：18．解：19.解：请将20题做在反面高二数学质量检测参考答案 2014.121.若0≤x ，则02≤x 2.必要不充分 3.4 4.0=-y x 5.726.1283622=-x y 7.③④ 8.)1,0( 9.334 10.e a <<1 11.]5,4()1,1[⋃- 12.)2016,(--∞ 13.4 14.4 15. (1)由03422<+-a ax x 得0))(3(<--a x a x 又0>a ，所以a x a 3<<当1=a 时，31<<x ，即p 为真时，实数x 的范围是31<<x ，由⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤--0820622x x x x 得32≤<x ，即q 为真时，实数x 的范围是32≤<x ， 若q p ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的范围是32<<x（2）a x p ≤⌝:或a x 3≥，2:≤⌝x q 或3>x ，由p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，有⎩⎨⎧>≤<3320a a ，得21≤<a ． 16.(1)取SA 中点N 连MN ，易证四边形CENM 为平行四边形，EN CM //∴， 又⊂EN 面SAE,⊄CM 面SAE ，//CM ∴面SAE ．（2） 侧面SCD 是直角三角形，CSD ∠为直角，E 为CD 中点，1=∴SE222,5,2AE SE SA AE AB SA =+∴=== ，SA SE ⊥∴，同理SB SE ⊥⊂=⋂SB SA S SB SA ,,面SAB ，⊥∴SE 面SAB ．（3）63144331212121=⋅⋅⋅⋅===---SAB E AEB S AED S V V V ． 17. (1)函数y =0.05(x 2+4x +8)在[2,10]上是增函数，满足条件①，当x =10时,y 有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③.但当x =3时,y =2920<32,即y ≥x2不恒成立,不满足条件②,故该函数模型不符合该单位报销方案(2)对于函数模型y =x -2ln x +a ，设f (x )= x -2ln x +a ，则f ´(x )=1-2x =x －2x≥0.所以f (x )在[2，10]上是增函数，满足条件①，由条件②，得x -2ln x +a ≥x 2，即a ≥2ln x -x2在x ∈[2，10]上恒成立，令g (x )=2ln x -x 2，则g ´(x )=2x －12=4－x2x，由g ´(x )>0得x <4，∴g (x )在(0，4)上增函数，在(4，10)上是减函数.∴a ≥g (4)=2ln4-2=4ln2-2. 由条件③，得f (10)=10-2ln10+a ≤8，解得a ≤2ln10-2.另一方面，由x -2ln x +a ≤x ，得a ≤2ln x 在x ∈[2，10]上恒成立,∴a ≤2ln2, 综上所述，a 的取值范围为[4ln2-2，2ln2]， 所以满足条件的整数a 的值为1.18.（1）因为f '(0)＝9 > 0，所以f (x)在区间()-∞+∞，上只能是单调增函数．由f '(x)＝3(m －3)x 2 + 9≥0在区间(－∞，+∞)上恒成立，所以m ≥3．故m 的取值范围是［3，+∞) ．（2）当m ≥3时，f (x)在［1，2］上是增函数，所以[f (x)] max ＝f (2)＝8(m －3)＋18＝4, 解得m ＝54<3，不合题意，舍去．当m ＜3时，f '(x)＝3(m －3) x 2 + 9=0，得x =．所以f (x)的单调区间为：(-∞，单调减，(单调增，)+∞单调减．2，即934m <≤时，([12]⊆，，所以f (x)在区间［1，2］上单调增，[f (x)] max ＝f(2)＝8(m －3)＋18＝4，m ＝54，不满足题设要求．②当12<<，即0＜m ＜94时，[f (x)] max 32334336)33(=-⇒=-=-=m m m f 舍去．1，即m ≤0时，则[12]⎤⊆+∞⎥⎦，，所以f (x)在区间［1，2］上单调减，[f (x)] max ＝f (1)＝m + 6＝4，m ＝－2. 综上所述：m ＝－2．19.⑴连结2A P ，则21A P A P ⊥，且2A P a =，又122A A a =，所以1260A A P ∠=.所以260POA ∠=，所以直线OP 的方程为y =.⑵由⑴知，直线2A P的方程为)y x a =-，1A P的方程为)y x a +， 联立解得2P ax =.因为e =c a =2234c a =，2214b a =，故椭圆E 的方程为222241x y a a =+.由2222),41,y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Q a x =-，所以1()3274()7a aPQ a QA a --==---． ⑶不妨设OM 的方程为(0)y kx k =>，联立方程组2222,41,y kx x y aa =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得B ，所以OB =1k-代替上面的k，得OC =．同理可得，OM，ON =．所以41214S S OB OC OM ON a ⋅=⋅⋅⋅⋅=．………15≤，当且仅当1k =时等号成立，所以12S S ⋅的最大值为45a ．20.解：(1)()2af x bx x '=-,()242a f b '=-,()2ln 24f a b=-.∴432ab -=-,且ln2462ln22a b -=-++.解得a ＝2,b ＝1. .(2)()22ln f x x x =-,设()2()2ln h x f x m x x m=+=-+,则()222(1)2x h x x x x -'=-=,令()0h x '=,得x ＝1(x ＝－1舍去).当x ∈1[,1)e 时,()0h x '>, h(x)是增函数；当x ∈(1,e]时,()0h x '<, h(x)是减函数. 则方程()0h x =在1[,e]e 内有两个不等实根的充要条件是1()0,e (1)0,(e)0.h h h ⎧⎪⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤解得2112m e <+≤.(3)()22ln g x x x kx =--,()22g x x k x '=--.假设结论()00g x '=成立,则有21112222120002ln 0, 2ln 0, 2, 220. x x kx x x kx x x x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪⎨+=⎪⎪--=⎪⎩①②③④,①－②,得221121222ln ()()0x x x k x x x ----=.∴120122ln2x x k x x x =--.由④得0022k x x =-,于是有12120ln 1x x x x x =-,∴121212ln 2xx x x x x =-+,即11212222ln 1x x x x x x -=+.⑤ 令12x t x =,22()ln 1t u t t t -=-+ (0＜t ＜1),则22(1)()(1)t u t t t -'=+＞0.∴()u t 在0＜t ＜1上是增函数,有()(1)0u t u <=,∴⑤式不成立,与假设矛盾. ∴()00g x '≠.。