函数图像与一元二次方程

b2-4ac
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
有一个交点
没有交点
想一想！
2 y x 6 x 8 的图象，利 已知二次函数
用图象回答问题： （1）方程 x 2 6 x 8 0 的解是什么？ （2）x取什么值时，y>0 ？ （3）x取什么值时，y<0 ？
t1=1s
15m 15m
t2=3s
（2）解方程 20＝20t－5t 2 t 2－4t＋4=0 t1=t2=2 当球飞行2s时，它的高度为20m．
t1=2s
20m
（3）解方程 20.5＝20t－5t 2 t 2－4t＋4.1=0 因为（－4）2－4×4.1＜0，所以方程无解． 球的飞行高度达不到20.5m．
20m
（4）解方程
0＝20t－5t2 t2－4t=0 t1=0,t2=4 当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面发出，4s时球 落回地面．
0ｓ
４ｓ
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系?
二次函数 y=ax2+bx+c的图象 与x轴交点 有两个交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个不相等的实 数根 有两个相等的实数 根 没有实数根
函数 y x 2x 3 0 的图象,分别说出一元二次
2
y x
2

2
xபைடு நூலகம்

3
y

x
2

6 x
2

9
x
2

6
x

9

0
x
2

x

3

0
方程 x 2 6 x 9 0
和
x 2 x 3 0 的根的情况
2
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系?
21.3 二次函数 与一元二次方程
2 y x 2 x 3 的顶点坐标, 写出二次函数
对称轴,并画出它的图象. x y
…
…
(1,-4)
2 3 -3 0 4 7
…
…
-2 7
-1 0 1 0 -3 -4
探究一
x2 2x 3 0
当x为何时,y=0?
M
N
x=-1, x=3 x=-1, x= 3 2
h = 20t－5t 2
考虑以下问题： （1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ （2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地需要用多少时间？
分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函 数 2
所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方
程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h 的值；否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值．
h=20t－5t
解：（1）解方程 15＝20t－5t 2
t 2－4t＋3=0
t1=1，t2=3
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m．
1
巩固练习
不画图象，你能说出函数 x 轴的交点坐标吗？
y x x 的图象与 6
2
2
解：当y=0时， x x 6 0
解得： x1 3, x2 2
所以,函数 y x 2 x 6 的图象与 x 轴的交 点坐标为（-3，0）和（2，0）.
探 究 二
观察二次函数 y x2 6x 9 0 的图象和二次
2
2
2
(1)
解:
∵
a 1, b 1, c 0
\ b 2 4ac (1) 2 4 ×1× 0 1 > 0
∴该抛物线与x轴有两个交点.
9
问题: 如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方 向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空 气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位： s）之间具有关系
二次函数 y=ax2+bx+c的图象 与x轴交点 有两个交点 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 有两个不相等的实 数根 有两个相等的实数 根 没有实数根
b2-4ac
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
有一个交点
没有交点
小试牛刀
1、判断下列函数图象与x 轴是否有公共点,并说明理由。 (1) y x x (2) y x 6 x 9 (3) y 3x 6 x 11