2019-2020年九年级下学期中考数学压轴题汇总
如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2
＋bx （a ＞0）经过点A 和
x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；
（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．
例2 2012年苏州市中考第29题
如图1，已知抛物线211(1)444
b y x b x =
-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．
（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC
是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明
理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任
意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不
存在，请说明理由．
例3 2012年黄冈市中考模拟第25题
如图1，已知抛物线的方程C 1：1(2)()y x x m m
=-+- (m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．
（1）若抛物线C 1过点M (2, 2)，求实数m 的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H
的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
图1
例4 2010年义乌市中考第24题
如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q 两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
图1 图2
例5 2009年临沂市中考第26题
如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
,
图1
例6 2008年苏州市中考第29题
图1
因动点产生的梯形问题
例1 2012年上海市松江区中考模拟第24题
已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶
点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，点B 关于直线l 的对
称点为C ，若点D 在y 轴的正半轴上，且四边形ABCD 为梯形．
①求点D 的坐标；
②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P ，其对称
轴与直线y ＝3x －3交于点E ，若7
3t a n =
∠D P E ，求四边形BDEP 的面积．
图1
例2 2012年衢州市中考第24题
如图1，把两个全等的Rt △AOB 和Rt △COD 方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB 、
OD 在x 轴上．已知点A (1，2)，过A 、C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点E 、F ．抛物线y
＝ax 2＋bx ＋c 经过O 、A 、C 三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P 为线段OC 上的一个动点，过点P 作y 轴的平
行线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，问是否存在这样的点
P ，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的
坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若△AOB 沿AC 方向平移（点A 始终在线段AC 上，
且不与点C 重合），△AOB 在平移的过程中与△COD 重叠部
分的面积记为S ．试探究S 是否存在最大值？若存在，求出
这个最大值；若不存在，请说明理由．
图1
例 3 2011年义乌市中考第24题
已知二次函数的图象经过A （2，0）、C (0，12) 两点，且对称轴为直线x ＝4，设顶点
为点P ，与x 轴的另一交点为点B ．
（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；
（2）如图1，在直线 y ＝2x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为等腰梯形？若存在，求
出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M 是线段OP 上的一个动点（O 、P 两点除外），以每秒2个单位长度
的速度由点P 向点O 运动，过点M 作直线MN //x 轴，交PB 于点N ． 将△PMN 沿直线MN 对
折，得到△P 1MN ． 在动点M 的运动过程中，设△P 1MN 与梯形OMNB 的重叠部分的面积为S ，
运动时间为t 秒，求S 关于t 的函数关系式．
