矩阵理论最小多项式

幂等矩阵的最小多项式概述及解释说明1. 引言1.1 概述幂等矩阵是线性代数中的一个重要概念，其最小多项式是对于一个给定的矩阵，满足多项式在这个矩阵上取值为零的最低次数的多项式。

在实际应用中，幂等矩阵在线性变换、图论、密码学等领域发挥着关键作用。

因此，对于幂等矩阵及其最小多项式的深入理解和求解方法的探究具有重要意义。

1.2 文章结构本文分为五个部分进行讨论。

首先，在引言部分，我们将对文章主题进行概述，并介绍文章的结构与目标。

接下来，在“幂等矩阵的最小多项式概述”部分，我们将详细介绍幂等矩阵和最小多项式的定义，并引入幂等矩阵的最小多项式概念。

然后，在“幂等矩阵的性质与特征”部分，我们将讨论幂等矩阵的一些特点和性质，并探讨特征值和特征向量与幂等矩阵之间的关系，以及在线性变换中幂等矩阵的应用举例。

接着，在“幂等矩阵的求解方法”部分，我们将总结一般情况下求解幂等矩阵最小多项式的方法，并专门介绍方阵和非方阵情况下求解幂等矩阵最小多项式的方法。

最后，在“结论及展望”部分，我们将对本文的研究成果进行总结，并提出存在的问题与未来的展望。

1.3 目的本文旨在全面概述和解释幂等矩阵的最小多项式相关内容，探讨幂等矩阵的性质与特征，介绍不同情况下求解幂等矩阵最小多项式的方法，并对研究成果进行总结。

通过本文的学习和理解，读者可以对幂等矩阵及其最小多项式有更深刻的认识，并能够应用所学知识解决实际问题。

此外，文章还将指出一些存在的问题，并提出未来进一步研究和探索的方向，为相关领域中进一步深入研究奠定基础。

2. 幂等矩阵的最小多项式概述2.1 幂等矩阵定义幂等矩阵是指满足AA=A的方阵。

换句话说，幂等矩阵乘以自己得到的结果与原矩阵相等。

幂等矩阵在线性代数和矩阵理论中有着重要的应用。

2.2 最小多项式定义对于一个方阵A，其最小多项式可以通过以下方式定义：首先找到所有使得p(A)=0成立的次数最低的多项式p(x)，其中p(x)≠0是一个非零多项式。

编号：09005110201南阳师范学院2013届毕业生毕业论文（设计）题目：关于矩阵最小多项式的探讨完成人：李菊花班级：2009-02学制： 4 年专业：数学与应用数学指导教师：袁玉卓完成日期：2013-04-12目录摘要 (1)0引言 (1)1预备知识 (1)2矩阵最小多项式的求法 (2)2.1利用不变因子求矩阵最小多项式 (3)2.2利用特征函数求矩阵的最小多项式 (4)2.3利用Jordan标准型计算矩阵的最小多项式 (5)3 矩阵最小多项式的应用 (7)3.1矩阵最小多项式在矩阵运算中的应用 (7)3.1.1已知方阵A和多项式()f A (7)fλ，求().3.1.2A为方阵确定()f A的逆 (8)f A非奇异及求()3.2矩阵最小多项式在矩阵相似中的应用 (10)3.3矩阵最小多项式在微分方程组中的应用 (12)参考文献 (13)Abstract (14)关于矩阵最小多项式的探讨作者：李菊花指导老师：袁玉卓摘要：总结矩阵最小多项式的若干求法，并举例说明了矩阵最小多项式在代数问题、常微分方程组求解问题上的应用.关键词：矩阵;最小多项式;最小多项式的应用0引言在《高等代数》教材中，对矩阵最小多项式的概念有所阐述，但对其求法和应用讨论较少.事实上，矩阵的最小多项式在判断矩阵相似、若当标准型、矩阵函数、矩阵方程和研究线性变换的结构中都有极为重要的应用，也是现在研究矩阵最小多项式的主要方向之一.目前，国内很多学者对矩阵最小多项式的求法已有较深入的研究.为了更好地掌握矩阵最小多项式的求法，挖掘其应用价值，本文给出了矩阵最小多项式的若干求法，并举例说明了最小多项式的相关应用.1预备知识为了叙述的需要,我们首先引入以下符号.[]Cλ表示复数域C上的一元多项式环.()M C表示C上的全体n阶矩阵对矩阵的加法与数乘矩阵运算构成的向n量空间.()fλ表示方阵A的特征多项式.A()mλ表示方阵A的最小多项式.A为了便于证明，有必要引入矩阵最小多项式的相关概念.定义1[]1 设A ∈()nMC ，()[]f C λλ∈，若()f A =0，则称()f λ为A 的零化多项式.定义2[]1 在A 的零化多项式中，次数最低的首项系数是1的多项式称为A的最小多项式，记作()Am λ.引理1[]2 若当块()000100010001k k kcc J Cc c ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式为()()()kkJC m c λλ=-.若当块的最小多项式恰好是其特征多项式时，()()()||kk f E J C c λλλ=-=-.引理 2[]4相似矩阵有相同的最小多项式，即若A相似于B ，则()()A B m m λλ=.引理3[]2任取()nMC 中的k阶可逆矩阵A，设其最小多项式为()111n n A n n m b b b λλλλ--=++++ ，则1A-的最小多项式是1111.nn n nnnb b b b b λλλ--++++引理4[]5设A =()12,,...,s diag A AA ，记A 的最小多项式为()Am λ，iA 的最小多项式为()iA m λ，1,2,...,,i s =则()()()()12,,...,sAA A A m m m m λλλλ⎡⎤=⎣⎦. 引理 5[]1()A f λ的根必是()Am λ的根.2 矩阵最小多项式的求法在给出了矩阵的最小多项式的相关概念之后，我们容易得到以下几种计算矩阵最小多项式的方法. 2.1利用不变因子求矩阵最小多项式定理1[]6n 阶复数矩阵A 的最小多项式()Am λ就是A 的最后一个不变因子()nd λ.证明 任取()nM C 中矩阵A ，则A 相似于某一个若当块()nJ M C ∈.其中，()()()()1122,,...,,s s J diag J J J λλλ=由引理2知， ()().A J m m λλ=（1）又由引理4， ()()()()12,,...,s J J J J m m m m λλλλ⎡⎤=⎣⎦（2）再有引理1，(),1,2,...,.iik J i m i s λλ=-=（3）其中，ik 是()iiJ λ的阶数，i λ是iJ 主对角线的元素，结合（1），（2），（3）得：()()()()()()()()121212,,...,,,...,skk kA J J J J s s m m m m m λλλλλλλλλλλ⎡⎤===---⎡⎤⎣⎦⎣⎦.由引理4及初等因子的概念，()Jm λ是各若当块的初等因子（即A 的初等因子组）的最小公倍式，恰好等于从各组同底初等因子中抽取次数最高的一个作乘积的结果.根据用初等因子组确定不变因子的方法知()()Jnm d λλ=，()()()A J n m m d λλλ==.由定理1得出求()Am λ的步骤如下： （1）首先，求出矩阵A 的特征多项式()Af λ.（2）其次，求出矩阵A 的各阶行列式因子.（3）最后，利用不变因子与行列式因子之间的关系求出矩阵A 的最后一个不变因子即为矩阵A 的最小多项式()Am λ.由定理1可以得到计算矩阵A 最小多项式的第一种方法，即通过求矩阵A的最后一个不变因子()nd λ，得到矩阵A 的最小多项式.例1求矩阵A =211011111-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭的最小多项式.解 矩阵A 特征多项式为：()()()2211||01121111A f E A λλλλλλλ--⎛⎫⎪=-=--=-- ⎪ ⎪--⎝⎭. 各阶行列式因子分别为：()()()23||21D E A λλλλ=-=--，()21D λ=，()11D λ=.则有()()()()()()()()()()2231123121,1,21D D d D d d D D λλλλλλλλλλ======--.于是()A f E Aλλ=-⇔()()21000100021λλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭.由于E A λ-的不变因子即为A的不变因子，从而有定理1知，()A f E A λλ=-的最后一个不变因子()()221λλ--就是A 的最小多项式，即()()()221A m λλλ=--.注 由例1可以看出运用定理1求矩阵的最小多项式有以下特点： (1)优点: 具有普遍适用性.(2)缺点: 由于该方法结合了矩阵的初等因子、行列式因子等的计算，计算过程比较复杂.为了减少运算，我们能否从矩阵的特征多项式出发，不用计算矩阵A 的各阶行列式因子以及利用不变因子与行列式因子之间的关系，得出求解矩阵的最小多项式的方法呢？下面我们先介绍一下另一个定理. 2.2利用特征多项式求矩阵最小多项式定理2[]7若矩阵A 的特征多项式()()()()1212||...lm m m A l f E A λλλλλλλλ=-=---其中12,,...,l λλλ为A的所有互不相同的特征值，且12,,...,l mm m 均大于等于1，则 ()()()()1212...ln n n A l m λλλλλλλ=---，其中1,1,2,...,ii nm i l≤≤=.由此定理2得出求()Am λ的步骤如下： (1)首先求出矩阵A 的特征多项式()Af λ.(2)其次将()Af λ分解不同的一次因式的幂积.(3)最后取包含一切不同的一次因式的幂积,由低次像高次逐一试验，求出使A零化的次数最低的这样的幂积即为()Am λ.由定理2可以得到计算矩阵A 的最小多项式的第二种方法，即通过计算矩阵A 的特征多项式，并分解成含()()()12sλλλλλλ--- 的形式，通过检测，可以得到矩阵A 的最小多项式.例2求矩阵200111113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的最小多项式. 解 矩阵A 的特征多项式为：()()32||1112113A f E A λλλλλλ-⎛⎫⎪=-=---=-⎪ ⎪--⎝⎭.矩阵A 的最小多项式为：()()2,1 3.kA m k λλ=-≤≤由于()20000000021110,21111110.111111111A E A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=-≠-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭且 所以2,k=故A 的最小多项式为：()()22.A m λλ=-注 由代数基本定理，我们知道()A f λ在复数域C 上肯定可以作标准分解，但是有时候做标准分解时有一定的难度，也有一定的技巧.那么有没有较易的方法来计算矩阵的最小多项式呢？下面是计算矩阵的最小多项式的另外一种方法.2.3利用Jordan 标准型计算矩阵的最小多项式北大教材《高等代数》第七章中关于矩阵的最小多项式有这样一个定理，现叙述如下：定理3[]5设A 是一个准对角矩阵1200A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭并设1A 的最小多项式为()1A m λ，2A 的最小多项式为()2A m λ，那么A的最小多项式为()1A m λ，()2A m λ的最小公倍式()()12,A A m m λλ⎡⎤⎣⎦. 这个结论可以推广到A 为若干个矩阵组成的准对角的情形，即如果12S A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭i A 的最小多项式为()iAm λ，其中1,2,i s = ，那么A的最小多项式为()()()()12,,...,s A A A A m m m m λλλλ⎡⎤=⎣⎦.从上述定理和推论中，我们可以得出利用Jordan 标准型计算矩阵最小多项式的步骤如下：(1)将矩阵A 化成若干个矩阵组成的准对角的形式. (2)分别求出各个分块矩阵的最小多项式.(3)求出各个分块矩阵的最小多项式的最小公倍式，即为矩阵A 的最小多项式.由定理3及其推广我们可以得到计算矩阵A 的最小多项式的第三种方法，即只要求出矩阵A 的分块矩阵iA 的最小多项式()iA m λ，然后求出它们的最小公倍式，即为矩阵A 的最小多项式.例3设2000012000012000001000011A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵A 的最小多项式()Am λ.解 设12A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中1200120012A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21011A⎛⎫= ⎪⎝⎭.因Jordan 矩阵1A 的最小多项式为()()132Am λλ=-.Jordan矩阵2A 的最小多项式为()()221Am λλ=-.故由上述定理可得矩阵A 的最小多项式为()()()2312.A m λλλ=--从例3中可以看出，用Jordan 标准型计算矩阵的最小多项式虽然比较容易计算，但是运算量比较大.那么计算矩阵的最小多项式还有其它的方法呢？目前计算矩阵A 的最小多项式的方法有四种，第一种是利用矩阵A 的最后一个不变因子，第二种是利用矩阵矩阵A 的特征多项式的标准分解，第三种是利用Jordan 标准型，第四种是利用矩阵A 的幂系列的相关性.上面给出了求矩阵A 的最小多项式的前三种最常用的方法.最后一种方法在此不再论述.当给出一个矩阵A 要求计算其最小多项式的时候，我们要灵活地选择计算矩阵A 最小多项式的方法.这样不仅可以有效地达到预计目的，而且可以大大地减少运算过程.我们知道矩阵的最小多项式在研究线性变换的结构及矩阵的对角化方面起着十分重要的作用，然而它在实际运算中有哪些作用呢？下面从三个方面简要叙述.3 矩阵最小多项式的应用我们在矩阵的最小多项式的相关概念以及两种基本求法的基础上，进一步探讨矩阵的最小多项式，简要地总结出了矩阵的最小多项式在矩阵函数、矩阵相似和微分方程组中的相关应用.下面从这三个角度逐一论述. 3.1 矩阵最小多项式矩阵运算中的应用 3.1.1已知方阵A 和多项式()f λ，求().f A设()f λ是任意多项式，()Am λ为方阵A 的最小多项式，有带余除法知，用()Am λ除()f λ，得到商式()q λ和余式()r λ，即()()()()()()()()()()0.A A f q m r r m r λλλλλλλ=+∂<∂=或由哈密顿-凯莱定理可知()0,A f A =再由引理5得出()0,A m A =因此()()()()().A fA q A m A r A r A =+=由此看出，由()r A 来求()fA 要比直接计算()f A 简单些.下面通过实际运算来体现矩阵A 的最小多项式在求矩阵函数中的作用.例4设()9764322241211f λλλλλλλλ=-++--+102011010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭求()f A .解 矩阵A 的特征多项式为：()()()2312||011112 1.01A f E A λλλλλλλλλλ--⎛⎫⎪=-=+-=-+-=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭因为()A f λ没有重根，故()()32 1.AA m f λλλλ==-+由带余除法得：()()()().A f q m r λλλλ=+计算可知()2,r λλ=+因此：()()()()()3022011.012A f A q A m A r A r A A E ⎛⎫⎪=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭在利用矩阵的最小多项式求解矩阵函数时，从例4中可以看出，当多项式的次数比较高时，直接将A 带入()f λ求解()f A 运算量会很大，而由带余除法知利用最小多项式可以使()f λ的次数降到低于()Am λ的次数，再将A带入求解，从而简化了运算过程.注 如果已知矩阵A 的特征多项式()Af λ，而矩阵A 的最小多项式()Am λ尚未求出，为了求出()f A ，可以用()Af λ除()f λ得到余式()r λ，此时依然有()().fA r A =3.1.2A 为方阵确定()f A 非奇异及求()f A 的逆.(()f λ是多项式).定理4[]7设()Am λ是方阵A 的最小多项式，()f λ是次数大于等于1的多项式.（1）若()()|Af m λλ，则()f A 降秩（奇异）.（2）若()()()(),,Ad f m λλλ=则秩()d A =秩()f A .（3）()f A 非异的充要条件是()f λ、()Am λ互质.我们从以下两个例题来说明上述定理的简单应用.例5 设多项式()65422321f λλλλλλ=+-+-+，()432223 2.g λλλλλ=-+--矩阵200111113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，试判断矩阵多项式()f A 和()g A 的奇异性，并求出()g A 的秩.解：由例2知，矩阵A 的最小多项式为：()()22.A m λλ=-由多项式理论求得()f λ和()Am λ的最大公因式为：()()()()1,1,Ad f m λλλ==由定理3知，()f A 是非奇异矩阵.()g λ和()A m λ的最大公因式为：()()()()2,2,A d g m λλλλ==-由定理3知，()g A 是奇异矩阵，且秩()()g A =秩()()2d A ，而()220010000021112010111113001111d A A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.显然，秩()()g A =秩()()2d A 1=.从例5中我们可以得出：利用定理3可以判断矩阵多项式()f A 的奇异性并可以求出()f A 的秩.在矩阵的运算中,求矩阵的逆一般是比较麻烦的,对于一些特殊的矩阵可以利用矩阵的最小多项式来化简.我们通过下面的例子来说明.例6 设()32682f λλλλ=+++110014104A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求()f A 的逆矩阵.解 矩阵A 的特征多项式为：()()211||0143.104A f E A λλλλλλλ+-⎛⎫⎪=-=+-=+⎪ ⎪-+⎝⎭所以()()3Am λλλ=+或()()23.Am λλλ=+由于()21434280,214A A E-⎛⎫ ⎪+=--≠ ⎪ ⎪-⎝⎭故()()232369.A m λλλλλλ=+=++易知()()(),1,Af m λλ=于是存在()()[],,p q C λλλ∈使得()()()() 1.A f p m q λλλλ+=其中()()()()2211825,824.5050p q λλλλλλ=++=-++于是()()()()A fA p A m A q A E+=.由于 ()0,A m A =因此()()()()()().A fA p A m A q A E fA p A E +=⇔=从而()()()1218641182541812.5050319fA p A AA E-⎛⎫ ⎪==++=⎡⎤⎣⎦⎪ ⎪⎝⎭在例6中，如果直接将A 带入()f λ求解()f A ，在求解()f A 的逆，虽然可以求出最终的结果，但是计算过程复杂繁琐的多.由此可以看出，利用矩阵最小多项式求解矩阵函数的逆，可以简化计算过程.从以上的例题中，我们可以得出：矩阵最小多项式能起到简化多项式的作用.3.2矩阵最小多项式在矩阵相似中的应用由北大数学教材《高等代数》[]5第七章定理，我们知道 ：数域p 上的n 级矩阵A 与对角阵相似的充要条件为A 的最小多项式是p 上的互素的一次因式的乘积.由此得出的推论如下：推论1[]9若A 的某一零化多项式没有重根，则A 与对角方阵相似，且对角阵的元素都是此零化多项式的根.证明 设多项式()f λ没有重根且()0f A =， 由于()()|A m fλλ (4)故()Am λ也没有重根，所以存在对角阵D ，使得12n A D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则12,,...,nλλλ都是A 的特征根,同时12,,...,nλλλ 都是()Am λ的根.由(4)知12,,...,nλλλ都是()f λ的根.我们由北大数学教材《高等代数》[]5第七章第九节中的推论可以知道：复数矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 的最小多项式没有重根.有推论1可以判断方阵能否与对角阵相似.下面举例说明与对角矩阵相似的一些特殊矩阵.例7 证明在以下三种条件下矩阵A 是否可以对角化. ()1;kAE = ()22;AA =()30, 1.kAk =>证明（1）由于kAE=，得到0kA E -=，取()1kf λλ=-使A 零化. 由于()1k f λλ=-无重根，故12n A D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中1,1,2,...,k ii nλ==.（2）由2AA=，得2AA -=，故()()21f λλλλλ=-=-使A 零化.由于()f λ没有重根，故12n A D λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，0,1,2,...,ii nλ==.（3）由于0,1kAk =>，故得()kf λλ=为零化多项式.但是它有重根，由推论2知A 不可对角化.3.3矩阵最小多项式在微分方程组中的应用在历年研究生入学考试中,对矩阵的最小多项式的考查综合性较强,能力要求较高,是个难点.下面通过线性微分方程组的定解问题和有关定理来说明矩阵的最小多项式在常微分方程组中的灵活运用.在线性控制系统中，常常涉及求解线性微分方程组的问题，用矩阵函数理论给计算带来很大方便.对于一阶线性微分方程组的定解问题：()00|{t t d X A X F td tX X t ⎛⎫⎪⎝⎭==+=，其中()()()()()()12,,,...,Tn nijn A a CX t x t x t x t ⨯=∈=易得方程组的唯一解为：()()()()000.t A t t A t t X eX t eF d τττ--=+⎰上述求解可归纳为A te 的计算，一般都用矩阵标准型来求解矩阵函数A te或()f A t ,但是若矩阵A 与对角阵()12,,...n diag λλλ不相似，计算过程会很复杂.如果运用矩阵的最小多项式理论，计算过程将大大简化.如何运用矩阵的最小多项式理论快速地求出基解矩阵呢？为此我们引入下述定理：定理5 []10若矩阵n nA C⨯∈的最小多项式()Am λ为m 次多项式，()()()()1212...ln n n A l m λλλλλλλ=---，其中12,,...,l λλλ为A的所有互不相同的特征值，又与收敛的复变幂级数()()0kk k fZ t C t Z∞==∑相应的()()0kkk f A t C t A ∞==∑是A的收敛幂级数，则()f A t 可表为A 的1m -次多项式，并且()()()()1011.m m fA t a t E a t A a t A--=+++其中系数()0a t ，()1a t ， ，()1m at -由以下方程组确定：对()1,2,.i i l λ∀=)()()()()()()()()()()()()()()()()1011212311111231|1!121|i ii i m i m i i m m i i n m n i n i m i in a t a t a t f t d f t a t a t a t m a t d d f t n a t m m m n a t d λλλλλλλλλλλλλ---------⎧+++=⎪⎪++++-==⎪⎨⎪⎪⎪-++----==⎩例8 求下列微分方程组的定解.00,1,1{Td X A X d tX ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==其中211011111A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭解 有定解理论得出方程组的解为：()0A tX eX =其特征方程为()()()2d et 21E A λλλ-=--.易得矩阵的最小多项式()()()221.A m λλλ=--设()()()01A tf A t ea t E a t A ==+，得20112tta a e a ae +=+={解之得：20212t t t ta e e a e e =-=-{则有()()()2222012232202.22t tttt t A ttttt t ttte eee e e ef A t a t E a t A ee ee e e ee⎛⎫---⎪==+=- ⎪ ⎪--⎝⎭故定解为：()()2200,3,3.TA tttttX eX e e e e==--从例8中我们可以看出，如果利用特征多项式来求解，由于特征多项式()()()221Af λλλ=--.特征根有两个，且特征值1的次数为2，计算量显然要比例题中的解法复杂.由此可见，用矩阵最小多项式计算微分方程组的标准矩阵和齐次线性微分方程组的初值问题能起到简化计算的目的. 此题通过利用矩阵的最小多项式灵活地求出了微分方程组的定解,体现了其在交叉学科中的重要地位.参 考 文 献[1] 赵礼峰.矩阵最小多项式求法探讨[J].淮北煤师院学报.1993,3(14):60-65.[2] 吴洁华.矩阵最小多项式的求解及应用[J].韩山师范学院学报.2010,6(31):19-24.[3] 钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2003.[4] 韩振芳，杨小姝，王宇红.有关最小多项式定理及其应用[J].河北北方学院学报（自然科学报）2006，3（22）：4-5.[5] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.[6] 龙小胖.最小多项式的求法[J].井冈山师范学院学报（自然科学）.2004，5（25）：54-55.[7] 贺加来.矩阵的最小多项式的进一步探讨[J].巢湖学院学报.2006,3(8):157-159.[8] 朱思铭，王寿松，李艳会.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006.[9] 靳艳芳.最小多项式的性质、求法及应用[D].河南郑州：郑州华信学院综合教育部,1994.[10] 王子瑜，陈华如.矩阵最小多项式在微分方程组中的应用[J].铜陵学院学报.2004(3):67-71.Discussion on Minimal Polynomial of MatrixLI Ju-huaAbstract: We summarize the approaches to minimal polynomial of a matrix. Examples about the minimal polynomial in solving algebra and ordinary differential system problems are explained to prove the Validity.Key words: matrix; minimal polynomial; application of minimal polynomial.。

极小多项式？
在抽象代数中，一个域上的代数的元素之极小多项式（或最小多项式）是它满足的最低次多项式。

此概念对线性代数与代数扩张的研究极有助益。

1.形式定义
设为域，为有限维-代数。

对任一元素，集合张出有限维向量空间，所以存在非平凡的线性关系：
可以假设，此时多项式满足。

根据多项式环里的除法，可知这类多项式中只有一个次数最小者，称之为的极小多项式。

由此可导出极小多项式的次数等於，而且可逆若且唯若其极小多项式之常数项非零，此时可以表成的多项式。

2,矩阵的极小多项式
考虑所有矩阵构成的-代数，由於，此时可定义一个矩阵之极小多项式，而且其次数至多为；事实上，根据凯莱-哈密顿定理，可知其次数至多为，且其根属於该矩阵的特徵值集。

极小多项式是矩阵分类理论（约当标准形、有理标准形）的关键。

3,极小多项式与代数扩张
设为的有限扩张，此时可视为有限维-代数。

根据域的性质，极小多项式必为素多项式。

元素的迹数及范数等不变量可以从极小多项式的系数读出。

矩阵的最小多项式
求矩阵最小多项式的方法：特征多项式：(λ+1)(λ-1)^2，因为(A-E)(A+E)=0，所以最小多项式是(λ+1)(λ-1)。

最小多项式是代数数论的基本概念之一。

A的特征多项式是A的零化多项式，而在A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为A的最小多项式。

在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。

这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。

在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。

矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。

矩阵论最小多项式矩阵论最小多项式是矩阵理论中的一个重要概念，它可以用于计算矩阵的特征值和特征向量，对于研究矩阵的性质和应用有很大的帮助。

下面我们来一步一步地探究什么是矩阵论最小多项式。

第一步，了解矩阵的特征值和特征向量在介绍矩阵论最小多项式之前，首先需要了解矩阵的特征值和特征向量的概念。

矩阵的特征值是一个数，是该矩阵的一个特性，可以通过求解矩阵的特征多项式得到。

而矩阵的特征向量则是指矩阵与特征向量相乘等于特征值乘以特征向量的一个向量。

矩阵的特征值和特征向量对于研究矩阵的性质和应用非常重要。

第二步，引入矩阵多项式矩阵多项式是指多项式中的系数为矩阵，它是矩阵理论中一个重要的概念。

例如，一个$2*2$矩阵$A$的多项式可以表示为：$$f(x)=a_0I+a_1A+a_2A^2+a_3A^3+...+a_nA^n$$其中，$I$是单位矩阵，$a_0,a_1,a_2,...,a_n$为实数或复数。

第三步，引入矩阵的代数幂矩阵$A$的代数幂$A^k$表示将矩阵$A$相乘$k$次所得到的矩阵，其中$k$为自然数。

第四步，定义矩阵的最小多项式对于一个$n*n$矩阵$A$，它的最小多项式是一个次数最低的多项式$f(x)$，使得$f(A)=0$。

具体来说，就是将矩阵$A$代入多项式$f(x)$中，得到的结果为零矩阵。

最小多项式是一个矩阵独有的概念，可以用来求解矩阵的特征值和特征向量。

需要注意的是，最小多项式与矩阵的特征多项式是不同的概念。

第五步，求解矩阵的最小多项式求解矩阵的最小多项式是矩阵理论中的一个重要问题，可以采用以下两种方法进行求解：1.使用线性代数的基本定理求解，可以通过矩阵的特征值和特征向量进行求解；2.使用寻找伴随算子的方法，可以将矩阵的最小多项式转化为对应的伴随矩阵的特征多项式。

最后总结，矩阵论最小多项式是矩阵理论中的一个重要概念，它可以用于计算矩阵的特征值和特征向量。

通过了解矩阵的特征值和特征向量、引入矩阵多项式、引入矩阵的代数幂和定义矩阵的最小多项式等步骤，可以更好地理解和运用矩阵论最小多项式。

矩阵的多项式形式
矩阵的多项式形式指的是将矩阵表示为多项式的形式，即将一个矩阵用一个多项式来表示。

这种形式在矩阵计算中十分常见，例如在求解线性方程组、矩阵求逆、特征值和特征向量等问题中都有所应用。

矩阵的多项式形式可以用两种方法表示：一种是将矩阵表示为其特征多项式的形式，另一种是将矩阵表示为其最小多项式的形式。

特征多项式是一个关于λ的多项式，它的根是矩阵的特征值。

用特征多项式表示矩阵的好处在于可以简化计算，例如可以用伯努利-霍尔公式(Bernoulli-Horn formula)快速计算矩阵的幂。

最小多项式是一个次数最低的关于λ的多项式，它的根是矩阵的特征值和Jordan块大小的倒数。

用最小多项式表示矩阵的好处在于可以唯一地确定矩阵的Jordan标准形。

总之，矩阵的多项式形式是矩阵计算中的重要概念，可以方便地进行矩阵计算和矩阵分解。

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极小多项式是一个线性代数和抽象代数中的重要概念，用于描述矩阵的性质。

计算极小多项式的过程相对复杂，需要一定的数学知识和技巧。

下面将介绍如何计算极小多项式，并提供一个示例来帮助理解。

1.构造行列式首先，考虑一个n阶方阵A，我们需要构造一个关于A的多项式。

定义一个矩阵多项式的行列式D(t)： D(t) = det(tI - A)其中，I是单位矩阵，t是一个未知数。

方阵(tI - A) 称为伴随矩阵。

2.寻找零化多项式下一步是找到一个次数最低的非零多项式p(t)，使得p(A) = 0。

根据伴随矩阵的定义，我们可以得到一个定理：p(t)必须是D(t)的因子。

所以，我们需要计算D(t)的因子来找到极小多项式。

这可以通过对D(t)进行因式分解来实现。

关于如何因式分解多项式的具体步骤，可以参考线性代数教材或内容。

3.确定极小多项式一旦我们找到了一个次数最低的非零多项式p(t)使得p(A) = 0，那么极小多项式就是p(t)。

以下是一个例子，用于帮助理解如何计算极小多项式：假设我们有一个2阶方阵A： A = [1 2] [3 4]首先，我们构造伴随矩阵： (tI - A) = [t-1 -2] [-3 t-4]然后，计算行列式： D(t) = det(tI - A) = (t-1)(t-4) - (-2)(-3) = t^2 - 5t + 6将D(t)进行因式分解：D(t)=(t-2)(t-3)因此，极小多项式是p(t) = (t-2)(t-3)通过验证，我们可以发现p(A) = 0。

以上是计算极小多项式的基本步骤和示例。

实际上，更复杂的方阵需要更复杂的计算方式来得到极小多项式。

有关更详细的计算方法和示例，可以参考相关专业的线性代数和抽象代数教材。