双变量存在问题与恒成立探究
1.()(1),(0)ax f x x e a =+≠ ;()y f x =在1
x a
=处有水平切线 (1)求a 的值
(2)设()()ln g x f x x x =+,证明对任意12,(0,1)x x ∈,有1212|()()|2g x g x e e ---<+
思想强化:要求()g x 的范围,转化12()()()g x g x g x =
+,可求1()m g x M
<<,
2()n g x N <<,则12()()m n g x g x M N +<+<+
2. 1
()ln f x a x x
=-
-,a 为常数 1)若()0f x =恰有一解,求a 的值 2)若函数12()()()ln x p g x a f x p x x p
-=-
---+,p 为常数,试判断()g x 的单调性 3)若()f x 恰有两个零点12,x x 且12x x <,,求证11231a x x e -+<-
思想强化:对(2)的函数的探究来解决(3)的问题;关注p 的特殊性; ()g x 在(0,),(,)p p +∞上的单调性及符号,继而构造
不等式得出结论.
3. ()ln f x x x =,2()2g x x ax =-+- (1) 求()y f x =在[,2]t t +,0t >上的最小值;
(2)若()()y f x g x =+有两个不同的极值点12,x x 12()x x <,且21ln 2x x ->,求a 的范围.
思想强化:利用分类讨论思想进行求最小值;零点稳点转化为两个函数的交点问题,常分离常数法; 思考a 受2
1x x -的变化二变化的情况.利用临界状态来进行求a 的范围.
4. ()ln f x x mx =- (1)讨论函数()f x 的单调性区间
(2)
当m ≥
,设2()2()g x f x x =+的两个极值点1212,()x x x x <,恰为2
()ln h x x cx bx =--的零点,求12
12()(
)2
x x y x x h +'=-的最小值. 思想强化:归一法研究函数的参数问题;利用换元法12
x t x =
研究函数的最小值;
结合m ≥
特殊方法求t 的范围.
5.
()ln(1)f x x x =+-
(1) 若k Z ∈,且3
(1)(1)f x x k x
-+>-,对1x ∀>恒成立,求k 的最大值
(2) 证明,对于(0,1)中的任意一个常数a ,存在正数0x 使0()
2012
f x a e x <-成立.
6(1)讨论函数
2()2
x
x f x e x -=
+的单调性,并证明当0x >时(2)20x x e x -++>; (2)证明当[0,1)a ∈时, 2
()x
e ax a
g x x
--=
(0x >)有最小值,设()g x 最小值为()h t ,并求()h t 的值域; 思想强化:分式函数的求导;结合(1)的函数,研究()g x '的符号,并确定0()0g x '=中0x 的范围.进而求()h t 的范围.
课后练习题(2016年全国卷)1函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点
(1) 求a 的取值范围 (2) 设12,x x 是
()f x 的两个零点,证明122x x +<.
思想强化:利用分类讨论思想对a 进行讨论,次讨论a 与2
e
-
的大小; 利用函数的单调性证明122x x <-转证12()(2)f x f x <-
2.(2015年全国卷) 设2()mx f x e x mx =+-
(1)证明: ()f x 在(,0)-∞上单调递减,在(0,)+∞上单调递增;
(2)若对于任意12,[1,1]x x ∈-,都有12|()()|1f x f x e -≤-,求m 的取值范围
