2014届八年级全国数学竞赛赛前专项训练_代数式、恒等式、恒等变形(含详解)

八年级数学竞赛辅导资料及答案（四）代数恒等式的证明甲内容提要证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。

具体证法一般有如下几种1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。

变形的过程中要不断注意结论的形式。

2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。

3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。

即由左边－右边＝0可得左边＝右边。

4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。

还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，乙例题例1求证：3 n+2－2　n＋2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2　－2 n）＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2) ＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边　又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1 ＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n∴左边＝右边例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1)∵:a+b+c=0　∴a3+b3+c3－3abc＝0 即a3+b3+c3=3abc又证：∵:a+b+c=0 ∴a=－（b+c）两边立方 a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）移项 a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc再证：由己知　a=－b－c 代入左边,得（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc例3 己知a+,a≠b≠c　求证：a2b2c2=1证明：由己知a-b= ∴bc=b-c= ∴ca= 同理ab=∴ab　bc　ca＝＝1 即a2b2c2=1例4 己知:ax2+bx+c是一个完全平方式（a,b,c是常数）求证：b2－4ac=0证明：设:ax2+bx+c＝（mx+n）2， m,n是常数那么:ax2+bx+c＝m2x2+2mnx+n2根据恒等式的性质　得　∴: b2－4ac＝（2mn）2－4m2n2=0丙练习201．求证：①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab②（x+y）4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2 ③(x-2y)x3－(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3④3 n+2+5 n+2―3 n―5 n=24(5 n+3 n-1) ⑤a5n+a n+1=(a3 n－a2 n+1)(a2 n+a n+1)2.己知：a2+b2=2ab 求证：a=b3.己知：a+b+c=0求证：①a3+a2c+b2c+b3=abc ②a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a24.己知：a2=a+1 求证：a5=5a+35.己知：x＋y－z=0 求证： x3+8y3=z3－6xyz6.己知：a2+b2+c2=ab+ac+bc 求证：a=b=c7.己知：a∶b=b∶c 求证：（a+b+c）2+a2+b2+c2=2(a+b+c) (a+c)8.己知：abc≠0，ab+bc=2ac 求证：9．己知：　求证：x+y+z=010.求证：（2x－3）（2x+1）(x2－1)＋1是一个完全平方式11己知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除求证：ad=bc参考答案1. ④左边＝5 n(5 2-1)+3 n－1(33-3)= 24(5 n+3 n-1) 注意右边有3　n-12. 左边－右边＝（a-b）23. ②左边－右边＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=……4. ∵a5=a2a2a,用a2=a+1代入5. 用z=x+2y代入右边6. 用已知的（左－右）×27. 用b2=ac分别代入左边，右边化为同一个代数式8. 在已知的等式两边都除以abc9. 设三个比的比值为k,10. (2x2-x-2)2 11. 用待定系数法。

1 / 1 初中奥数竞赛：代数恒等式的证明 练习201． 求证： ①<a+b+c>2+<a+b-c>2－<a-b-c>2－<a-b-c>2＝8ab②〔x+y 〕4+x 4+y 4=2<x 2+xy+y 2>2 ③<x-2y>x 3－<y-2x>y 3=<x+y><x-y>3 ④3 n+2+5 n+2―3 n ―5 n =24<5 n +3 n-1> ⑤a 5n +a n +1=<a 3 n －a 2 n +1><a 2 n +a n +1>2.己知：a 2+b 2=2ab 求证：a=b3.己知：a+b+c=0求证：①a 3+a 2c+b 2c+b 3=abc ②a 4+b 4+c 4=2a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 24.己知：a 2=a+1 求证：a 5=5a+35.己知：x ＋y －z=0 求证： x 3+8y 3=z 3－6xyz6.己知：a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc 求证：a=b=c7.己知：a ∶b=b ∶c 求证：〔a+b+c 〕2+a 2+b 2+c 2=2<a+b+c><a+c>8.己知：abc ≠0,ab+bc=2ac 求证：c b b a 1111-=- 9．己知：ac z c b y b a x -=-=- 求证：x+y+z=0 10.求证：〔2x －3〕〔2x+1〕<x 2－1>＋1是一个完全平方式 11己知：ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除 求证：ad=bc答案：练习201. ④左边＝5 n <5 2-1>+3n －1<33-3>= 24<5 n +3 n-1> 注意右边有3n-12. 左边－右边＝〔a-b 〕23. ②左边－右边＝〔a 2+b 2-c 2〕2-4a 2b 2=……4. ∵a 5=a 2a 2a,用a 2=a+1代入5. 用z=x+2y 代入右边6. 用已知的〔左－右〕×27. 用b 2=ac 分别代入左边,右边化为同一个代数式8. 在已知的等式两边都除以abc9. 设三个比的比值为k,10. <2x 2-x-2>2 11. 用待定系数法。

初中奥数恒等变形练习题恒等概念是对两个代数式来说，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等.表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式.如：a+b=b+a;2x+5x=7x都是恒等式.而t2+6=5t，x+7=4都不是恒等式.以前学过的运算律都是恒等式.将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换).以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变.如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法.1.如果两个多项式的同次项的系数都相等，那么这两个多项式是恒等的.如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个.反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项).2.通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的.如：如果ax2+bx+c=px2+qx+r是恒等式，那么必有：a=p，b=q，c=r例：求b、c的值，使下面的恒等成立.x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c ①解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立设x=1，代入①，得12+3×1+2=(1-1)2+b(1-1)+cc=6再设x=2，代入①，因为已得c=6，故有22+3×2+2=(2-1)2+b(2-1)+6b=5∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6解二：将右边展开x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c=x2-2x+1+bx-b+c=x2+(b-2)x+(1-b+c)。

8分式恒等变形满分晋级代数式10级二次根式的概念及运算代数式11级分式恒等变形代数式12级二次根式的综合化简漫画释义对于分式的混合运算和化简求值来说，最为重要的就是细心运算，不要跳步.个别的题目要注意是否有简便方法.【引例】 计算2233x y x yx y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ 【解析】 原式()2233x y x yx y x x y xx ⎧⎫+-⎡⎤=--+÷⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎩⎭ ()22233x y x y x y x x y x x y x ⎡⎤+-=-⋅++÷⎢⎥++⎣⎦ 2x x y=⋅-2x x y =-【点评】 此题还可以先将小括号里的式子通分，再打开括号，但是运算量会加大，所以在运算的 时候需要思考一下简单方法.例题精讲思路导航知识互联网题型一：分式的混合运算与化简求值【例1】 计算：⑴2322()x y x x y xy x y ⎛⎫⎛⎫-÷+⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⑵2212239a a a a a a -+÷--- 【解析】 ⑴2()()x x y y x y +-；⑵原式()()()331232a a a a a a a+-=+⋅--- 1322a a a +=+--1322a a a --=+-- 2222a a a a --+==---【探究对象】条件分式求值的方法与技巧 【探究一】将条件式变形后代入求值【变式一】已知234x y z==，求22x y z x y z +--+的值． 【解析】 设234x y zk ===，则x =2k ，y =3k ，z =4k ∴原式＝223444223455k k k k k k k k +⨯-==⨯-+．【备注】已知连比，常设比值k 为参数，这种解题方法叫见比设参法．【变式二】已知2260a ab b +-=，求a ba b-+的值． 【解析】 由2260a ab b +-=，有()()320a b a b +-=，∴30a b +=或20a b -=， 解得3a b =-或2a b =．当3a b =-时，原式＝323b bb b --=-+；当2a b =时，原式＝2123b b b b -=-+．典题精练【探究二】将所求式变形代入求值．【变式三】已知0a b c ++=，求111111()()()c b a a b c a b c+++++的值．【解析】 原式111111111()1()1()1c b a a b c c a b b c a=++-+++-+++-111()()3c b a a b c=++++- ∵0a b c ++=， ∴原式3=-．【变式四】已知0abc ≠，且0a b c ++=，求代数式222a b c bc ca ab++的值．【解析】 原式()333333b c b ca b c abc abc--++++==()3322333333b c b c bc b c abcbc b c abc ----++=-+==【探究三】将条件式和求值式分别变形后代入求值．【变式五】已知2210a a +-=，求分式22214()2442a a a a a a a a ----÷++++的值． 【解析】 原式2212[](2)(2)4a a a a a a a --+=-⋅++- 2(2)(2)(1)2(2)4a a a a a a a a -+--+=⋅+- 242(2)4a a a a a -+=⋅+- 211(2)2a a a a==++ ∵2210a a +-=， ∴221a a +=， ∴原式＝1．【备注】本例是将条件式化为“221a a +=”代入化简后的求值式再求值，这种代入的技巧叫做整体代入．【变式六】若4360x y z --=，()2700x y z xyz +-=≠，求222222522310x y z x y z +---的值．【解析】 由于0xyz ≠，∴4()3()60x y z z --=，2()70x y z z +-=，解得x z =3，yz=2∴222222522310x y z x y z +---=22222222(52)(2310)x y z z x y z z +-÷--÷ =22225()2()12()3()10x yz z x y z z+---=222253221233210⨯+⨯-⨯-⨯- =524-=13-．【例2】 将下列式子先化简，再求值⑴已知：2380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+-⋅--++的值； ⑵已知：31=+xx ，求1242++x x x 的值； ⑶已知：2410a a ++=，且42321533a ma a ma a++=++，求m 的值；⑷已知113x y -=，求2322x xy yx xy y+---的值．【解析】 ⑴原式2332x x -=++ 当2380x x +-=时，238x x += 原式382-=+310=-⑵22224111x x x x x ++=++21()218x x =+-+=，故811242=++x x x ⑶∵2410a a ++=，∴14a a +=-，22114a a+=又∵24223211145333123a m a ma m a a ma a ma m a+++++===++-+++ ∴372m =⑷解法一：将分子、分母同除以xy ，得：原式11222332333113251122x y y xy x x y ⎛⎫--++-⎪-⨯+⎝⎭====⎛⎫------- ⎪⎝⎭．解法二：由113x y -=，得3y x xy-=，即3y x xy -=，代入所求分式得： ()232326333223255x y xy x xy y xy xy xy x xy y x y xy xy xy xy -++--+-====-------．恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等．表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式．将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换)． 以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变．【引例】 已知有理数a 、b 、c 满足1111a b c a b c++=++，求证：a b =-，或b c =-，或c a =-．【解析】 1111a b c a b c ++=++1111a b a b c c+=-++ ()()()a b a b c a b cab c a b c c a b c -++---==++++ ① 若0a b +≠ 则()11ab c a b c -=++ ∴2ac bc c ab ++=- 20ab ac bc c +++= ∴()()0a b c c b c +++=()()0a c b c ++=∴0a c +=或0b c +=②当0a b +=时，即a b =-综上所述c a =-，或a b =-，或b c =-．【点评】 此结论十分有用，利用它，一些题可以迎刃而解．例题精讲思路导航题型二：分式的恒等变形【例3】 若n 为自然数，且1111a b c a b c ++=++，求证：2121212121211111n n n n n n a b c a b c++++++++=++． 【分析】 若1111a b c a b c++=++，则a b =-或b c =-或c a =-，用以解决本题就容易多了．【解析】 证明：由1111a b c a b c ++=++得a b =-或b c =-或c a =-，不妨设a b =-，代入左边左边()212121111n n n b c b +++=++- 212121111n n n bbc+++=-++211n c +=，而右边()21212121212111n n n n n n b b cb bc ++++++==-++-++ 211n c +=，∴左边=右边，原式成立．【例4】 若1abc =，求证：1111a b cab a bc b ca c ++=++++++【解析】 证法1：∵1abc =，∴1c ab=代入到等式左边左边1111111a b ab ab a b b a ab ab ab=++++⨯++⨯++ 1111a ab ab a ab a ab a =++++++++ 1==右边证法2：左边1a ab abcab a abc ab a ab ca abc ab=++++++⨯++ 1111a ab ab a ab a ab a =++++++++ 1==右边典题精练题型三：部分分式与分离常数此类题型常见于解决整除问题，特别常见于一元二次方程整数根问题.【引例】 已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a 、b 的值． 【解析】 22()2()42244a b a b x a b xx x x x +--+==+--- 所以40a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩【例5】 已知()()237231111x x A Bx x x x -+=++-+-+，其中A 、B 为常数，求42A B -的值．【解析】 1A =-，6B =-，原式8=【例6】 ⑴若整数m 使61mm-+为正整数，则m 的值为 ．⑵若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 的值有（ ）．A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个【解析】 ⑴ 0m =；⑵ B ，∵63632121x x x +=+--，又()21|6x -，216x -=±，3±，2±，1± ∴x 的整数值有4个.【例7】 已知a b ck b c a c a b===+++，求k 的值． 典题精练例题精讲思路导航【解析】因为a b ck b c a c a b ===+++． 所以()a k b c =+，① ()b k a c =+，② ()c k a b =+，③由①+②+③得()()()a b c k b c k a c k a b ++=+++++， 即2()a b c k a b c ++=++．当0a b c ++≠时，21k =，所以12k =．当0a b c ++=时，b c a +=-，所以1a a k b c a ===-+-，所以k 的值是12或1-．训练1. ⑴若不论x 为何值，分式212x x c++总有意义，则c ．⑵已知分式22153x x x +--的值为零，那么x 的值是 .⑶当x 时，分式215x x -+的值为正数.⑷当x 满足 时，102x x +<-.【解析】 ⑴1c >；⑵5- ；⑶1x > ；⑷12x -<<;训练2. ⑴2322()x y x x y xy x y ⎛⎫⎛⎫-÷-⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⑵2225241244a a a a a a ⎛⎫-+-+÷ ⎪+++⎝⎭，其中23a =+【解析】 ⑴()()222x x y y x y +-⑵2225224424a a a a a a a ⎛⎫-+++++=⋅ ⎪+-⎝⎭()()()()22222222a a a a a a -+=⋅=-++- 当23a =+时，原式2323=+-=训练3. 已知13x x -=，求1242++x x x 的值.【解析】 22224111x x x x x ++=++21()2112x x =-++=，故2421112x x x =++.训练4. 已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A 、B 、C 为常数，求A B C ++的值．【解析】 原式右边()()()()()()()22222211211111Ax x B x Cx A C x B A x B x x x x x x x x -+-+++--+-===---，得2A C +=，1B A -=，11B -=-，解得10A =，11B =，8C =-，从而13A B C ++=．思维拓展训练(选讲)题型一 分式的混合运算与化简求值 巩固练习【练习1】 计算： 22222112326246x x x x x x x x ⎛⎫++⎛⎫-÷- ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭ 【解析】 原式=1x x+-【练习2】 若4x y +=-，3xy =-，则式子1111x y +++的值为 . 【解析】 13题型二 分式的恒等变形 巩固练习【练习3】 已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111x y z y z x+=+=+，求证：2221x y z =. 【解析】 由11x y y z +=+，得11y z x y z y yz --=-=，故y z yz x y -=-，同理可得z x zx y z -=-，x y xy z x-=-， 故2221y z z x x y x y z x y y z z x ---=⋅⋅=---.题型三 部分分式与分离常数 巩固练习【练习4】 若28224M N x x x x --=+--恒成立，求M 、N 的值． 【解析】 ∵28224M N x x x x --=+--， ∴822(2)(2)M N x x x x x --=+-+- ∴ (2)(2)8M x N x x --+=-则228Mx M Nx N x ---=-，即228Mx Nx N M x ---=-故()2()8M N x N M x --+=-， ∴14M N N M -=⎧⎨+=⎩ 解得：5232M N ⎧⎪⎨⎪=⎩＝ 复习巩固【练习5】 当x 为何值时，分式22365112x x x x ++++有最小值？最小值是多少？ 【解析】 22223652266122(1)112x x x x x x x ++=-=-++++++ ∴当1x =-时，原分式有最小值4．测试1. ⑴计算：22266(3)443x x x x x x x -+-÷+⋅-+- ⑵先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中3x =-． 【解析】 ⑴22266(3)443x x x x x x x-+-÷+⋅-+-22(3)1(3)(2)2(2)3(3)2x x x x x x x -+-=⋅=--+---． ⑵原式()()()2121222x x x x x ++-=÷++- ()()()222121x x x x x +-+=⋅++21x x -=+． 当3x =-时，原式325312--==-+测试2. ⑴已知：2232a b ab -=，求2a b a b+-的值. ⑵已知113a b+=，则32a ab b a ab b -+++的值是 ． 【解析】 ⑴变形可得：()(3)0a b a b +-=，所以a b =-或3a b =，所以212a b a b +=--或52. ⑵∵113a b+=，∴0a ≠，0b ≠，0ab ≠ 1133(3)330112(2)322a ab b a ab b ab b a a ab b a ab b ab b a -+-+-+÷-====++++÷+++课后测第十五种品格：创新微生物之父列文胡克是是一位没有受到正式高等教育的英国皇家学会成员。

第2讲代数式一、单选题l. (2022·福建九年级统考觉赛〉已知正整数。

，b,c,d满足：a<b<C<d，的b+c+d=2022,d2 －♂＋b2-a2 =2022, 则这样的4元数组（a,b, C, d)兴有（）A.251组B.252组 c.502组 D.504组’＋ .t,nnA2.(2021·全国九年级竞赛〉当x＝�二三二肘，多项式（4x3-1997x -1994户侧的值为〈〉2A.1B.-1c.22001 D._ 220013.(2022·广东，九年级统考竞赛〉已知a1(b+c)=b1(α＋c) =2022，且a'b，则ι仇·的值为〈）A.2022B.-2022 c.4044。

－40444.(2021·全国九年级党和设。

＝-fi-1，则3a3+12a2-6a-12= ( )A.24B.25 c. 4..／宁＋10 D.4..／宁＋125.(2019秋·河南许昌·七年级校联考竞赛〉定义：若。

＋b＝月，则称。

与b是关于数n的“平衡数”。

比如3与-4是关于－I的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有α＝3x2 -IOkx+ 12与b=-3x2+5x-2k (k为常数〉始终是关于数n的“平衡数”，则n=A.11B.12 c.13 D.146.(2019秋－河南许昌七年级校联考竞赛〉如果单项式7x"'y川与单项式4x2-my3＂－＇是同类项，则m.-2n的值是A.1B.-1c.2 D.-27.(2020秋·江西·七年级江西省子都中学校考竞赛〉数学课上，老师讲了多项式的加诚，放学后，小明回主l脱出础笔记，认真阳习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：叫什川－tρ＋叶y2) =-t x2一一＋y2空格的地方被钢笔水弄污了，那么划中的一项是（〉A.-7xyB.7xyC.-xyD.xy8.(2022春·山东济南·六年级校考竞赛〉在幼发拉底河岸的古代庙宇图书馆遗址里，曾经发掘出大量的知土板，美索不达米亚人在这些结土板上刻出来乘法表、加法表和平方表．用这些简单的平方表，美索不达米亚入这样ti算：第一步：( 103+95）÷2=99，第二步(103-95) .;.2=4：第三步：查平方表：知99的平方是9801，第四步：查平方袭，知4的平方是16,�五步：9801-16=9785=95? 103.设两囚数分别为。

代数式恒等变形A 卷1、若3265122-+-+=+--x bx a M x x x ,a 、b 是常数,则（ ） A 、M 是一个二次多项式 B 、Ｍ是一个一次多项式 C 、6=++b a M D 、10=-+M b a 答案：C解答：由已知等式得：()()6522656512222+---+++-+=+--x x b M x b a M Mx x x x ∴()()b M x b a M Mx x 226522--+++-+= ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=--=++-=1236051b a M b a M M ,解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==831b a M 提示：利用待定系数法解决问题。

2、（2０0２年重庆市初中竞赛题)若012192=+-x x ，则=+441xx ( ） A 、411 B 、16121 C 、1689 D 、427答案:C 解答:∵0≠x ∴2191=+x x ，411122=+xx ∴168921122244=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x提示：本题的关键是利用211222-⎪⎭⎫⎝⎛+=+x x x x 进行化简。

３、（２0０1年全国初中数学竞赛）若143=-x x ，则552128234+--+x x x x 的值是（ )A 、２B 、4C 、6D 、8答案：D解答:∵143=-x x∴()()8523252434255212833234=+-+=+--+-=+--+x x x x x x x x x x x x 提示:本题利用添项与拆项进行分解整体代入,本题也可以利用已知逐步降次解决问题。

4、（全国竞赛题)如果52332412---=----+cc b a b a ，则c b a ++的值是（ ) A 、6 B 、8 C 、20 D 、24 答案：C解答：∵52332412---=----+cc b a b a ∴()[]()[]()[]053293632142421121=+--+----+---++---c c b b a a∴()()()033212211222=-----+--c b a∴011=--a ，022=--b ，033=--c ∴2=a ,6=b ,12=c ∴20=++c b a提示:本题利用添项构造完全平方式解决问题。

联赛题型解读（一）——整式与恒等变形左右。

而代数的基础便是整式,其中乘法公式、因式分解以及恒等变形,为代数提供了丰富的知识和技巧。

下面我们通过统计近16 年初中数学联赛中整式的分值（注：至少在结构和形式上是对整式的考察才会计入分值统计）,帮助大家更好的了解整式在联赛中考察的分值比重。

总结这几年来初中数学联赛对整式的考察,整式一般会考察2道题左右,考察的分值最高达到41 分（3 道一试题外加 1 道二试题）,而且整体趋势是在有一两年的高分值之后跟随几年的低峰。

我们可以认为在接下来的一两年内,会在一试中进行2 题左右的考察。

而且近三年的趋势就是这一块的内容有加强考察的趋势,说明这方面的能力要求在提升。

恒等变形的技巧贯穿了整个代数,可以说整式是整个初中代数的基础与灵魂所在。

整式中的知识大体来说包含了：乘法公式,因式分解及恒等变形,三个部分,这里简单的介绍前两个部分的基础知识。

1.乘法公式这里介绍常用的八个乘法公式：（1）平方差：a2 -b2 =(a +b)(a -b)；⎣⎦（2） 平方： (a ± b )2= a 2 ± 2ab + b 2 ；（3） 三元完全平方： (a + b + c )2= a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca ；（4）a 2 +b 2 +c 2 ± ab ± bc ± ca = 1 ⎡(a ± b )2 + (b ± c )2 + (c ± a )2⎤ ； 2 （5） 和（差）的立方： (a + b )3= a 3 + b 3 + 3ab (a + b );(a - b )3= a 3 - b 3 - 3ab (a - b )；（6） 立方和（差）： a 3 + b 3 = (a + b )(a 2 - ab + b 2 ); a 3 - b 3 = (a - b )(a 2 + ab + b 2 )；（7）（8） a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = (a + b + c )(a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca )-a 4 - b 4 - c 4 + 2a 2b 2 + 2b 2c 2 + 2c 2 a 2= (a + b + c )(a + b - c )(b + c - a )(c + a - b )2. 因式分解简单的介绍一下初中阶段可以学习和使用的 10 种常见因式分解的方法： （1） 提取公因式：上午+下午=（上+下）午；（2） 公式法： x 6 - y 6 = (x 3 + y 3 )(x 3 - y 3 ) = (x + y )(x - y )(x 2 + xy + y 2 )(x 2 - xy + y 2 )； （3） 分组分解法： ax + ay + bx + by = a (x + y ) + b (x + y ) = (a + b )(x + y ) ； （4） 十字相乘:二次三项式 abx 2 + (ad + bc ) x + cd = (ax + b )(cx + d ) ；（5） 双十字相乘：选定两个二次三项式进行十字相乘；分步两次十字相乘大致相同； （6） 拆项天项: a 4 + a 2b 2 + b 4 = a 4 + 2a 2b 2 + b 4 - a 2b 2 = (a 2 + ab + b 2 )(a 2 - ab + b 2 ) ; （7） 整体换元：对于较复杂的式子可以进行适当换元让结构形式变得简单；（8） 主元法：多字母的代数式,可以选择结构较好的字母当做主元进行因式分解； （9） 因式定理：多项式 f (x ) ,当 x = a 的时候 f (a ) = 0 ,则 f ( x ) 有因式 x - a （10） 轮换对称式:简单举例：若关于 x 、y 、z 的轮换式有因式 x - y ,则其有因式(x - y )( y - z )(z - x )前 8 种因式分解的方法在初中均要求学生掌握,后 2 种有兴趣有精力的学生可以选择性的进行学习。

2014年全国初中数学联合竞赛（初二组）初赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、C2、B3、B4、D5、D6、C二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、41n -2、43、14、3三、（本大题满分20分）解不等式13|2|-<-x x解：（1）当2<x 时，不等式化为132-<-x x ，解此不等式得43>x 故此时243<<x ；（10分） （2）当2≥x 时，不等式化为132-<-x x ，解此不等式得21->x 故此时2≥x ． （15分） 综上所述，不等式的解为：34x >．（20分）四、（本大题满分25分） 如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，DE BC ⊥于E .若3,5DE BD ==， 求梯形ABCD 的面积．解：在直角△BDE 中，由勾股定理有：422=-=DE BD BE ；（5分）过D 作AC 的平行线交BC 的延长线于F ，连接DF 、CF ，则ACFD 是平行四边形，故CF =AD ，DF AC BD ==，所以DE 是等腰△DBF 底边上的高，故28BF BE ==（15分） 所以1221)(21=⋅=+=DE BF DE AD BC S ABCD （25分）．五、（本大题满分25分）已知正整数a 、b 满足332)(b a b a +=+，试求a 、b 的值．解：由已知得b a b ab a +=+-22，（5分）则2)1()1()(222=-+-+-b a b a ．（10分）因为a 、b 均为正整数，故01≥-a ，01≥-b ，（1）当a=b 时，1)1()1(22=-=-b a ，即a =b=2；（15分）（2）当a b ≠时，2()1a b -=，从而2(1)1a -=且2(1)0b -=；或者2(1)0a -=且2(1)1b -=； 所以，2,1a b ==，或者1,2a b ==．（20分）综上所述，所求,a b 的值是：2a b ==；或者1,2a b ==；或者2,1a b ==．（25分）。

初三数学竞赛试题 2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准A．B． C． D．2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准2．【答】 A.，易知：当，时，取得最大值.4．【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.6．【答】 A.过作于，易知△≌△，△∽△.设，则，，，，故，即.又，故可得.故.1．【答】 0.由题意知，所以2．【答】144.由条件得，由的唯一性，得且，所以，所以.当时，由可得，可取唯一整数值127.故满足条件的正整数的最大值为144.4．【答】36.设的最大公约数为，，，均为正整数且，，则，所以，从而，设（为正整数），则有，而，所以均为完全平方数，设，则，均为正整数，且，.又，故，即.注意到，所以或.若，则，验算可知只有满足等式，此时，不符合题意，故舍去.解由已知条件可得，.设，，则有，，……………………5分若，即，，则是一元二次方程的两根，但这个方程的判别式，没有实数根；……………………15分若，即，，则是一元二次方程的两根，这个方程的判别式，它有实数根.所以. ……………………20分解取，，可得，所以1具有性质.取，，可得，所以5具有性质.…………………5分为了一般地判断哪些数具有性质，记，则＝.即……………………10分如果，即，则有；如果，即，则有；如果，即，则有；由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质.因此，1，5和2014都具有性质. ……………………20分若2013具有性质，则存在整数使得.注意到，从而可得，故，于是有，即，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质. ……………………25分2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准，易知：当，时，取得最大值.【答】 B.若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.A．B． C． D．【答】 A.设，则，，，，故，即.又，故可得.故.。

代数式的恒等变形1.已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=O ，则(x-y-z)2009=2.设x ，y 满足(x-1)3+2004y=1002，(y-1)3+2004x=3006，则x+y=．3.分解因式：1)()(22++-+b a b a ab =6.已知m 、n 为整数,且满足2m 2+ n 2+3m + n - 1 = 0. 则m+ n=9.在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，且满足a 4+b 4+21c 4=a 2c 2+b 2c 2．则△ABC 的形状是． 10.若ax+by=7，ax 2+by 2=49，ax 3+by 3=133，ax 4+by 4=406，则()()17199562x y xy a b ++-+=.11.已知非零实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=1，111111()()()3+++++=-a b c b c a c a b，则a+b+c=.12.若x ，y 是实数，且m=x 2-4xy+6y 2-4x-4y ，则m 的最小值为．13.已知17b a -=，2124a a +=，则ba a- 14.已知a ，b ，c 都是整数，且24a b -=，210ab c +-=，求a b c ++=15.实数x 、y 、z 满足：2+=y x ，012222=++z xy ，求x y z ++=16. a 、b 、c 为三角形的三条边长，满足 ac 2+b 2c-b 3=abc ．若三角形的一个内角为100°，则三角形的另两个角之差的正弦等于17.若a 、b 、C 为实数，222,1,3a b c a b c a b c >>++=++=,则b c +的取值范围是18.已知xyz=1，x+y+z=2，x 2+y 2+z 2=16．则111222xy z yz x zx y++=+++19.已知x 、y 为正整数，且满足2x 2+3y 2=4x 2y 2+1．则x 2+y 2=20.已知yx z z y x x z y y x z z y x x z y -+-+=-+-+=++-+=p ．则p 3+p 2+p=．21.若正数m ，n 满足43,+=m n ． 22.已知a+b=8，ab=c 2+16，则a+2b+3c=．23.已知x 、y 满足22524x y x y ++=+，则代数式xy x y +的值为． 24.若2x y -=，224x y +=，则20042004xy +的值是。