数据回归分析和拟合的Matlab实现
本次将教程的主要内容包含：
一、多元线性回归 2#
多元线性回归：regress
二、多项式回归 3#
一元多项式：polyfit或者polytool
多元二项式：rstool或者rsmdemo
三、非线性回归 4#
非线性回归：nlinfit
四、逐步回归 5#
逐步回归：stepwise
一、多元线性回归
多元线性回归：
1、b=regress(Y, X ) 确定回归系数的点估计值
2、[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) 求回归系数的点估计和区间估计、并检验回归模型
①bint表示回归系数的区间估计.
②r表示残差
③rint表示置信区间
④stats表示用于检验回归模型的统计量,有三个数值：相关系数r2、F值、与F对应的概率p
说明：相关系数r2越接近1，说明回归方程越显著；
时拒绝H0，F越大，说明回归方程越显著；与F对应的概率p<α时拒绝H0
⑤alpha表示显著性水平(缺省时为0.05)
3、rcoplot(r,rint) 画出残差及其置信区间具体参见下面的实例演示
4、实例演示，函数使用说明
(1)输入数据
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>>x=[143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164]'; >>X=[ones(16,1) x];
>>Y=[88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102]';
(2)回归分析及检验
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>> [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X)
b =
-16.0730
0.7194
bint =
-33.7071 1.5612 0.6047 0.8340
r =
1.2056
-3.2331
-0.9524
1.3282
0.8895
1.1702
-0.9879
0.2927
0.5734
1.8540
0.1347
-1.5847
-0.3040
-0.0234
-0.4621
0.0992
rint =
-1.2407 3.6520 -5.0622 -1.4040 -3.5894 1.6845 -1.2895 3.9459 -1.8519 3.6309 -1.5552 3.8955 -3.7713 1.7955 -2.5473 3.1328
-2.2471 3.3939
-0.7540 4.4621
-2.6814 2.9508
-4.2188 1.0494
-3.0710 2.4630
-2.7661 2.7193
-3.1133 2.1892
-2.4640 2.6624
stats =
0.9282 180.9531 0.0000 1.7437
运行结果解读如下
参数回归结果为
，对应的置信区间分别为[-33.7017,1.5612]和[0.6047,0.834]
r2=0.9282(越接近于1，回归效果越显著)，F=180.9531，p=0.0000，由p<0.05, 可知回归模型y=-16.073+0.7194x成立
(3)残差分析作残差图
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rcoplot(r,rint)
二、多项式回归
一元多项式回归
1、一元多项式回归函数
(1)[p,S]=polyfit(x,y,m) 确定多项式系数的MATLAB命令
说明：x=(x1,x2,…,x n),y=(y1,y2,…,y n)；p=(a1,a2,…,a m+1)是多项式y=a1x m+a2x m-1+…+a m x+a m+1的系数；S是一个矩阵,用来估计预测误差
(2)polytool(x,y,m) 调用多项式回归GUI界面，参数意义同polyfit
2、预测和预测误差估计
(1)Y=polyval(p,x) 求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y
(2)[Y,DELTA]=polyconf(p,x,S,alpha) 求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间Y±DELTA，alpha缺省时为0.5
3、实例演示说明
观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s的表达式(即回归方程
s=a+bt+ct2)
t (s) 1/30 2/30 3/30 4/30 5/30 6/30 7/30
s (cm) 11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13
t (s) 8/30 9/30 10/30 11/30 12/30 13/30 14/30
s (cm) 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48
解法一：直接作二次多项式回归
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>>t=1/30:1/30:14/30;
>>s=[11.86 15.67 20.60 26.69 33.71 41.93 51.13 61.49 72.90 85.44 99.08 113.77 129.54 146.48];
>>[p,S]=polyfit(t,s,2)
p =
489.2946 65.8896 9.1329
